ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ МНОГОМЕРНЫМ ОБЪЕКТОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.876.5

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ МНОГОМЕРНЫМ ОБЪЕКТОМ

Д.И. Ярещенко

Сибирский федеральный университет Российская Федерация, 660074, г. Красноярск, ул. Академика Киренского 26/1

E-mail: YareshenkoDI@yandex.ru

В работе рассматривается многомерный безынерционный объект с запаздыванием, характеризующийся стохастической зависимостью выходных переменных. Исследуется задача управления данным объектом в условиях неполной информации.

Ключевые слова: многомерный объект, управление, составной вектор, выходные переменные, непараметрические алгоритмы

ON ONE PROBLEM OF CONTROL OF A MULTIDIMENSIONAL OBJECT

D.I. Yareshchenko

Siberian Federal University 26/1, Academician Kirensky St., Krasnoyarsk, 660074, Russian Federation E-mail: YareshenkoDI@yandex.ru

The paper considers a multidimensional inertialess object with delay, characterized by a stochastic dependence of the output variables. The problem of control of this object under conditions of incomplete information is investigated.

Keywords: multidimensional object, control, composite vector, output variables, nonparametric algorithms

Введение. Проблема управления многомерными дискретно-непрерывными процессами с запаздыванием является весьма актуальной [1]. Прежде всего, это связано с тем, что таких систем достаточно много на практике, в том числе и в ракетно-космической, а также в технологических процессах производства космической техники. Еще одной отличительной чертой является то, что рассматриваемые многомерные объекты характеризуются неизвестной стохастической зависимостью компонент вектора выходных переменных. И при моделировании и управлении такими объектами необходимо учитывать данную информацию. Также влияет и количество априорной информации по различным каналам многомерной системы. Рассмотрим многомерный объект с зависимыми выходными переменными, и представим его следующим образом (рис. 1):

Ф)

1 i , > i

р >

Рис. 1. Многомерный объект

Секция «Математические методы моделирования, управления и анализа данных»

На рисунке 1 приведены следующие обозначения: и (г ) = (их (г),..., ит (г)) - т-мерный вектор входных переменных, х(() = (х1 ((),...,хп(г)) - п-мерный вектор выходных переменных. По различным каналам процесса зависимость ]-ой компоненты вектора х может быть представлена в виде некоторой зависимости от тех или иных компонент вектора и : х<1 > = (и < 1 >) ] = 1, п , где х<'>, и <'> - составные векторы.

Каждый выходной ]-ый канал зависит от нескольких компонент вектора и , например и <5>(() = (и1 ((), и3 ((), и6 (()), где и <5> означает составной вектор, а может и от всех. При

построении моделей реальных технологических и производственных процессов чаще всего векторы х и и используются в виде тех или иных составных векторов [2].

В этом случае математическое описание многомерного объекта будет выглядеть следующим образом:

Е (и< 1> ((), х< 1> (г + т), 4(1)) = 0, 1 = 1П, (1)

где функции () - неизвестны, и <1>(г), х<1>(г) - составные векторы, т- известное

запаздывание по различным каналам многомерной системы.

Система моделей исследуемого процесса может быть представлена в следующем виде:

Е, (и<1 > (г), х <1 > (г), х,, и,, 4 (г)) = 0, у = Щ, (2)

где х,, и, - временные векторы (набор данных, поступивший к Б-му моменту времени), но и в этом случае (), 1 = 1, п продолжают оставаться неизвестными.

Задача управления подобными объектами предполагает учет неизвестной зависимости выходных переменных в отличие от известных [3]. При этом приведем следующую схему управления (рис. 2).

Рис. 2. Схема управления

На рисунке 2 приняты следующие обозначения: и(г) - входные управляемые переменные процесса; ¿и() - входные неуправляемые, но контролируемые переменные процесса; х(г) -выходные переменные процесса; 4 (г) - случайные помехи, действующие на объект; х* (г) -исходные значения задающих воздействий; х** (г) - задающие воздействия, которые необходимо найти из системы уравнений:

Е (<» ((), Г 1> (г), х*< 1> (г), 4(г)) = 0, у = Щ, (3)

где функции () продолжают оставаться не известными, а и <1>, Д<1>, х *<1> - составные вектора. Следует учитывать, что многомерная система имеет стохастические зависимости выходных переменных, поэтому выбирать произвольно задающие воздействия х** из

областей ) не представляется возможным. Поэтому для задающего воздействия х** берем произвольные значения из области Вторую переменную х2 определяем с

учетом выбранной компоненты х** из следующего выражения:

х**' =

Т х2 ф г=1 ( ** г х1 _ х1 Л <т> П ф ) к=1 ( ' "к _ "к Л < р> П )у=1 ( ' Л /у_/у

V С* С V "к V с/

. ( Т ф г=1 V х** х' ^ <т> ( П ф к=1 V ' Л "к _ "к <Р> ( П [ у=1 V г Л /у_/у

С х1 у С "к у с/ у

(4)

где . е П(хг), т.е. суммирование проводится не по всей первоначальной выборке, а только по тем значениям, которые оказываются наиболее близки к вновь поступившим /. В общем виде алгоритм принимает следующий вид:

1 1 -1 (х** - х' Л<т> (" _Л<р>( .. Л

х] ~

ТхП

'=1 1=1

х1 _ х]

П ф

х1

к=1

П

у=1

/у _ /у

у

"1-1 1

1(

ТП

г=1 1=1

х; _ х;

П ф

х у

к=1

ик _ ик

л<р>(/„_/Л

(5)

П

у=1

V "/у

В общем виде для многомерной системы алгоритм управления будет выглядеть следующим образом:

ик =

. к _1 (

ТЯ П ф

'=1 к=1

ик _ ик

Л

(

V "к у

П ф

1=1

х1 _ х;

г

П ф

х1 у

у=1

( г \

V С/У

. к _1 (

Т П ф

' =1 к=1

"к _ "к

л

г

"к у

П ф

1=1

х1 _ х1

П ф

у

( г \

с/ у

к = 1, т

(6)

Алгоритмы (5) и (6) могут быть использованы для расчета соответствующих задающих воздействий и управляющих воздействий, которые вычисляются по определенной последовательности вычислений. В этом и состоит существенное отличие моделирования и управления многомерными безынерционными системами с запаздыванием, при условии, что запаздывание по всем каналам объекта известно.

Заключение. В рассматриваемой работе были приведены непараметрические алгоритмы управления многомерными объектами, которые учитывают стохастические зависимости выходных переменных. При этом обращается внимание на то, что компоненты вектора задающих воздействий требуют специального определения.

Работа выполнена в рамках государственного задания Министерства науки и высшего образования Российской федерации (код научной темы ¥№2-2020-0011).

Библиографические ссылки

1. Медведев А.В. О теории непараметрических систем управления // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычисл. техника и информатика. 2013. № 1 (22). С. 6-19.

2. Фельдбаум А. А. Основы теории оптимальных автоматических систем. М. : Физматгиз, 1963. 553 с.

3. Методы классической и современной теории автоматического управления: в 5 т. Т. 2: Статистическая динамика и идентификация систем автоматического управления / под. ред. К. А. Пупкова, Н.Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 640 с.

с

с

© Ярещенко Д.И., 2021