О ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ МНОГОМЕРНЫМИ ОБЪЕКТАМИ С ОСОБЕННОСТЯМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.876.2

О ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ МНОГОМЕРНЫМИ ОБЪЕКТАМИ

С ОСОБЕННОСТЯМИ

Д. И. Ярещенко

Сибирский федеральный университет Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79 E-mail: YareshenkoDI@yandex.ru

Рассматривается задача управления многомерными безынерционными объектами с запаздыванием в случае, когда компоненты вектора выходов стохастически зависимы, в условиях неполной информации.

Ключевые слова: многомерный объект, непараметрическое управление, стохастическая зависимость

ABOUT THE PROBLEM OF MANAGING MULTIDIMENSIONAL OBJECTS

WITH FEATURES

D. I. Yareshchenko

Siberian Federal University 79, Svobodny Av., Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation E-mail: YareshenkoDI@yandex.ru

The problem of controlling multidimensional inertialess objects with delay in the case when the components of the output vector are stochastically dependent under conditions of incomplete information is considered.

Key words: multidimensional object, nonparametric control, stochastic dependence

В настоящей работе рассматривается задача управления многомерными объектами с запаздыванием в условиях недостатка априорной информации. Необходимо отметить, что измерение некоторых выходных переменных объекта осуществляется через достаточно большие промежутки времени, значительно превосходящие постоянную времени этого объекта. При таких условиях исследуемый процесс рассматривается как безынерционный с запаздыванием. Рассмотрение подобного рода процессов приводит к зависимости выходных переменных, которая априори является неизвестной. Такие процессы были названы Т-процессами, а их модели - Т-моделями [1]. Такие процессы характерны для многих отраслей промышленности, например в металлургии (плавка стали), стройиндустрии (производство цемента), а также в социальных науках, включая образовательный процесс.

Математическое описание многомерных объектов со стохастической зависимостью выходных переменных представляется в виде системы неявных стохастических уравнений:

Fj (u(t -г), ju{t -г), x{t ), £(t))= 0, j = Щ, (1)

где функции Fj (•) - не известны, т.к. не известны зависимости, а г - запаздывание по

различным каналам многомерной системы, которое известно.

В общем виде исследуемая многомерная система, реализующая Т-процесс, может быть представлена на рисунке 1. На рисунке 1 приняты следующие обозначения:

Актуальные проблемы авиации и космонавтики - 2020. Том 2

и = {и1,...,ит)е 0(иЯт - ш-мерный вектор входных управляемых переменных, где 0(и) -некоторая подобласть, определяемая технологическим регламентом, х = (х1,...,хп) е 0(х) ^ Я" - п-мерный вектор выходных переменных, ^ = (ц,...,^р)ёП(^)с Яр - р-мерный вектор входных, но неуправляемых переменных, ) - случайные помехи, действующие на процесс. Вертикальные стрелки показывают зависимость выходных переменных.

Рис. 1. Многомерный процесс

Для каждого канала многомерного объекта могут быть использованы некоторые компоненты векторов и , Д и х . Это приводит к необходимости вводить составные вектора, в которые включены некоторые компоненты векторов и, Д и х, например, и<3> =(и1, и4, д), где и<3> - составной вектор. Но также могут быть включены и все компоненты многомерной системы. Т-модель рассматривается в виде следующей системы:

Р! (и<'>, х<'>)= 0, ] = 1т. (2)

Управление многомерными процессами с зависимостью выходных переменных рассматривается в условиях непараметрической неопределенности, т.е. в условиях, когда модель процесса с точностью до вектора параметров отсутствует полностью. В этом случае известные приемы не применимы [2, 3] и следует использовать другие подходы для решения задачи [1]. Рассмотрим схему непараметрической системы управления объектом.

Рис. 2. Схема управления объектом

На рисунке 2 х* = (х1,...,х*)е о(х*)е Я" - задающее воздействие. Очень часто в реальных

задачах число компонент вектора и больше числа компонент вектора х . В этом случае в число компонент вектора Д включают компоненты вектора и , с тем, чтобы размерность вектора и и х сделать одинаковой.

Непараметрический алгоритм управления Т-объектом принимается в следующем виде. Входную переменную и1 ) возьмем произвольно из области 01 (и), и обозначаем ее как

и* ). Вместо ) можно было бы взять и любую другую входную управляемую переменную. Входная переменная и*) будет определяться следующим образом:

U2 =

2>2 2t i=1 ( * i u1 - u1 \ <n> П * ) i=1 ( < - x \< p> П « f * i л ßv-ßv

c V u1 l ^ V J

i=l ^ *i u1 - u1 <n> ( П f 1=1 \ * i л xl - xj < p> / П f V=1 ^ * i ßv ~ßv

c u1 J cXj J c* J

(3)

где < п > - размерность составного вектора х}., < п >< п, < р > - размерность составного вектора ру, < р > < р, х} - задающие воздействия, определяемые для каждой компоненты вектора выходных переменных из области О.^ (х), р** - произвольные значения из области И так далее для каждой компоненты входа ит ) объекта. В общем виде для многомерной системы алгоритм управления будет выглядеть следующим образом:

< =

s k-1 Z uk п ф i=1 k=1 f * i u* - uk < n > П * ) i=1 f * i j xl - xj p > П « ( * ßv~ß

c V uk l l

s k-1 f Z in * i=1 k=1 ^ * i л uk - uk < n > ^ П f -1 l x - xj j < p > / П ® V=1 ^ * i ßv-ßv

c uk J S I c*

k = 1, m.

(4)

где для каждой последующей компоненты вектора управляющих воздействии учитываются предыдущие найденные значения управляющих воздействий. Настраиваемыми параметрами будут параметры размытости си, сх,см . Для них будут использоваться следующие формулы:

cM =а

Я "Я

+ ^ c* = ß

xj - xj

+ V и cu =y

uk - uk

+ 7], где а, ß и у некоторые параметры

большие 1, а 0 1. Следует заметить, что выбор си, cx, cß должен осуществляться на каждом такте управления. При этом если сначала определен си, то определение cx, cß

осуществляется с учетом этого факта. Однако может быть и наоборот, сначала, например, определяется cx, а потом си, c и т.д.

Проведенные вычислительные эксперименты показали достаточно хорошие результаты предлагаемой цепочки управления многомерной системой. Таким образом, многошаговый непараметрический алгоритм управления (4) может быть использован для управления объектом с запаздыванием в условиях непараметрической неопределенности.

Библиографические ссылки

1. Медведев A.B. Основы теории непараметрических систем: монография; Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. - Красноярск, 2018. 727 с.

2. Цыпкин ЯЗ. Основы информационной теории идентификации. М.: Наука, 1984. 320 с.

3. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления // перевод с англ. В.А. Лотоцкого, A.C. Манделя. - М.: Изд-во «Мир», 1975. 680 с.

Ярещенко Д. П., 2020