Непараметрические модели многомерных систем с запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.942

НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

А. В. Терешина, Д. И. Ярещенко

Сибирский федеральный университет Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79 E-mail: YareshenkoDI@yandex.ru

Настоящий доклад посвящен решению задачи идентификации для многомерных безынерционных объектов с запаздыванием, при наличии Т-процессов, т. е. построения Т-моделей в условиях непараметрической неопределенности. Многочисленные вычислительные эксперименты показали достаточно высокую их эффективность. Приводятся некоторые результаты статистического моделирования Т-процессов.

Ключевые слова: непараметрическое моделирование, Т-процессы, Т-модели, безынерционные объекты.

NONPARAMETRIC MODELS OF MULTI-DIMENSIONAL SYSTEMS WITH DELAY

A. V. Tereshina, D. I. Yareshchenko

Siberian Federal University 79, Svobodny Av., Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation E-mail: YareshenkoDI@yandex.ru

This report is devoted to the problem of identification for multidimensional non-inertial objects with delay, in the presence of T-processes, that is, the construction of T-models under nonparametric uncertainty. Numerous computational experiments have shown their high efficiency. The paper presents some results of statistical modeling of T-processes.

Keywords: nonparametric modeling, T-processes, T-models, non-inertial objects.

Ниже рассматриваются модели нового класса моделей (Т-модели) при условии, что объем априорной информации достаточно мал. Речь идет о многомерных безынерционных объектах в случае, когда компоненты вектора выходов стохастически зависимы, причем характер этой зависимости неизвестен. Подобного рода объекты доминируют во многих отраслях промышленности: металлургической, машиностроительной, приборостроительной и др.

Решение задачи идентификации и синтез алгоритмов управления подобных многомерных объектов неизбежно приводит к системе неявных зависимостей входных-выходных переменных объекта. Ключевым вопросом в данной ситуации является определение характера этой зависимости, для чего и необходимо наличие той или иной априорной информации. Учитывая, что основным назначением модели, подобного рода объектов, является прогноз выходных переменных при известных входных, необходимо решать систему нелинейных уравнений, относительно компонент вектора выхода [1].

Таким образом, возникает довольно нетривиальная ситуация, которая сводится к решению системы неявных нелинейных уравнений в условиях, когда собственно самих уравнений в обычном смысле нет.

Следовательно, модель объекта не может быть построена так, как это принято в существующей теории идентификации, в результате недостатка априорной

информации. Если можно было бы параметризовать систему нелинейных уравнений, то при известном входе следовало бы решить эту систему, поскольку она в данном случае известна, раз этап параметризации преодолен [2].

Процессы, выходные переменные которых имеют неизвестные стохастические связи, были названы Т-процессами, а их модели, соответственно, Т-мо-делями.

Описание процесса, показанного на рис. 1, может быть принято в виде системы неявных функций:

(и<>(/), х<1>(/)) = 0, ] — й, (1)

где и<1> (t), х<1> (t) - составные векторы. При этом

основной особенностью моделирования подобного процесса в условиях непараметрической неопределенности является тот факт, что вид функций (1) неизвестен. Естественно, что система моделей может быть представлена в следующем виде:

17. (и< 1 ), х< 1 >(t), х,, их ) = 0, ] — \П, (2)

где х,, и, - временные векторы (набор данных, поступивший к Б-му моменту времени), в частности

X, — (Х1,..., х, ) — (х11, Х12 ,..., х1,,..., х21, Х22 ,..., х2,,..., хп1,

хп2,...,х,), но и в этом случае (•), . — 1,п продолжают оставаться неизвестными.

Математические методы моделирования, управления и анализа данных

Рис. 8. Прогноз выходной переменной x1 с помехой 5 %

В теории идентификации подобные задачи не только не рассматриваются, но и не ставятся. В дальнейшем мы рассмотрим задачу построения Т-моделей в условиях непараметрической неопределенности, т. е. в условиях, когда система (2) не известна с точностью до параметров. В этой связи схема решения системы нелинейных уравнений (которые неизвестны) может быть представлена в виде некоторой последовательной алгоритмической цепочки.

Сначала на основании имеющейся обучающей выборки, включающей наблюдения всех компонент входных и выходных переменных, формируется вектор невязок:

8,= Fj (u<j>,x<j>(i),x,и,), j = M, (3)

где F (u< j>, x<j> (i ), xs, us ) примем в виде непараметрической оценки регрессии Надарая-Ватсона [5]:

8, 0) = F8j (u, X, (i )) =

(4)

= х, ( Х, [/]П Ф

f k Г.Л

uk- uk[i]

k=1

c.

suk

r *

1П Ф

i=1 k=1

f k Г-Л

uk" uk [i]

c

suk

разные функции Ф

i , г.-Л uk~ uk[i]

и параметр размыто-

S Xj ['■ ] П Ф

xj =■

uh - uhm i^i 8k2[i y

П ф

где у = 1, п, , < т > - размерность составного вектора ик, < т > < т , в дальнейшем это обозначение используется и для других переменных. Колоколооб-

сти еШ1 удовлетворяют некоторым условиям сходимости и обладают следующими свойствами [1]. А уже после этого оценки выхода объекта, при известных значениях входных переменных, строятся на основании оценок Надарая-Ватсона [3].

¿П Ф( ик1 "Мк1['] |П Ф Р"[г]1 (5)

1=1 к1=1 V Сш ) к2 =1 V

У = 1, п ,

где колоколообразные функции Ф (•) примем в виде

треугольного ядра.

Таким образом, при заданных значениях входных переменных Т-процесса, можно осуществить процедуру оценивания прогноза выходных переменных.

Для вычислительного эксперимента был взят объект, с пятью входными переменными

и (1) = (и (1), и2 (1), и3 (1), и4 (), и5 (1)), принимающими случайные значения в интервале и () е [0, 3], и тремя выходными переменными х (/) = = (х (1), х2 (1), х3 (1)), принимающими значения в интервалах: х (1) е [-2; 11], х2 (1) е [-1; 8], х 3 (1) е [-1; 8].

На рис. 2 представлены результаты сравнения выхода объекта и модели.

Многочисленные вычислительные эксперименты по исследованию предлагаемых Т-моделей показали достаточно высокую их эффективность. В работе приводятся некоторые результаты вычислительных экспериментов, иллюстрирующих эффективность предлагаемой технологии прогноза значений выходных переменных по известным входным.

Полученные алгоритмы идентификации и управления могут быть использованы в компьютерных системах различного назначения, как-то: системах тех-

i=i

нической диагностики, системах управления дискретно-непрерывными процессами, системах принятия решений и др.

Библиографические ссылки

1. Медведев А. В. Основы теории адаптивных систем : монография / Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2015. 526 с.

2. Цыпкин Я. З. Основы информационной теории идентификации. М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. 320 с.

3. Надарая Э. А. Непараметрическое оценивание плотности вероятностей и кривой регрессии. Тбилиси : Изд-во Тбилисского ун-та, 1983. 194 с.

References

1. Medvedev A. V. Osnovy teorii adaptivnyh system: monografiya [Fundamentals of adaptive systems theory]. Krasnoyarsk, SibGAU Publ., 2015. 526 p.

2. Cypkin Y. Z. Osnovy informacionnoj teorii identi-fikacii [Fundamentals of Information theory of identification]. Nauka, glavnaya redakciya fiziko-matematicheskoj literatury, 1984. 320 p.

3. Nadaraya E. A. Neparametricheskoe ocenivanie plotnosti veroyatnostej i krivoj regressii [Nonparametric estimation of probability density and regression curve]. Tbilisi, Iz-vo Tbilisskogo un-ta, 1983. 194 p.

© Tepemnm A. B., %e^emo fl. H., 2018