О задаче размещения потребителей в сетях с распределением потока. I. NP-полнота Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2017. № 3-1

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2017. No. 3-1

УДК 519.1 DOI 10.23683/0321-3005-2017-3-1-36-41

О ЗАДАЧЕ РАЗМЕЩЕНИЯ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ В СЕТЯХ С РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ПОТОКА. I. NP-ПОЛНОТА

© 2017 г. Д.О. Свиридкин1, В.А. Скороходов1

1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия

THE PROBLEMS OF CONSUMERS PLACEMENT IN NETWORKS WITH CONDITIONS OF FLOW DISTRIBUTION. I. NP-COMPLEXITY

D.O. Sviridkin1, V.A. Skorokhodov1

1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia

Свиридкин Дмитрий Олегович - студент, Институт ма- Dmitry O. Sviridkin - Student, Vorovich Institute of Mathe-

тематики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воро- matics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal

вича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090,

8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия, e-mail: sv.l1@mail.ru Russia, e-mail: sv.l1@mail.ru

Скороходов Владимир Александрович - кандидат физико- Vladimir A. Skorokhodov - Candidate of Physics and Ma-

математических наук, доцент, Институт математики, thematics, Associate Professor, Vorovich Institute of Ma-

механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича, Юж- thematics, Mechanics and Computer Science, Southern Fe-

ный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ро- deral University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don,

стов-на-Дону, 344090, Россия, e-mail:pdvaskor@yandex.ru 344090, Russia, e-mail: pdvaskor@yandex.ru

Рассмотрены ориентированные сети с потреблением потока. Особенностью таких сетей является то, что для некоторых вершин указана величина потребления потока, т.е. величина входящего потока в некоторую вершину может не совпадать с величиной выходящего. На таких сетях рассмотрены задачи размещения потребителей ресурса в узлах сети при различных условиях распределения потока. Задачи рассмотрены в вычислительной и оптимизационной формулировках. Условия распределения введены в случаях вещественного и целочисленного потоков. В качестве рассматриваемых условий распределения для вещественного потока предложены условия жесткого распределения, для целочисленного - условия распределения по приоритетам и нежесткого распределения с приоритетами. Выбранные условия распределения таковы, что поток фиксированной величины определяется единственным образом. Показано, что задачи размещения потребителей в предположении неравенства классов P и NP не могут быть решены за полиномиальное время. Доказано, что задача обеспечения заданной величины потребления является NP-полной независимо от выбранных условий распределения потока. Для задачи обеспечения максимальной величины потребления доказана ее NP-полнота в сильном смысле для случаев целочисленного потока и всех рассмотренных условий распределения потока.

Ключевые слова: сети с потреблением потока, распределение потока, максимальный поток в сети.

We consider the directed networks with flow consumption. The feature of these networks is that some vertex has the value of flow consumption, so value of incoming and outcoming flows for some vertex can be different. For these networks we consider the problems of placement resource consumers in vertex of network under a special conditions of flow distribution. The problems are considered in computing and optimization formulations. The conditions of flow distribution are imposed in integer and real cases. As these conditions of flow distribution we propose strict distribution for real case and distribution by priorities or non strict distribution with priorities for integer case. The chosen conditions of distribution provide the property: the flow of fixed value is determined uniquely. It is shown that the problems of placement of consumers may not be solved in polynomial time if P Ф NP. It is proved that the problem of ensuring a predetermined consumption value is NP-complete problem, regardless of the selected conditions offlow distribution. For the problem of ensuring a maximal consumption value we proved that last one is strongly NP-complete problem in integer case under all considering conditions.

Keywords: networks with flow consumption, flow distribution, maximum flow on a network.

Введение для каждой вершины x, и приходящий в вершину x

поток обязательно уменьшается на величину a(x),

В работе [1] изучены ориентированные сети с не превосходящую ^(x). возможностью потери (утечек) потока в вершинах В настоящей работе рассмотрены сети, аналои разработан метод нахождения максимального гичные сетям из [1]: для каждого узла указаны вели-потока в таких сетях. Рассмотренные сети таковы, чины потребления ^(x) ресурса, т.е. приходящий что величина максимальной потери ^(x) указана ресурс уменьшается на величину 0 < a(х) < ц/(x) .

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 3-1

Для таких сетей выделены задачи максимизации суммарной величины фактического потребления: задача о выборе подмножества вершин заданной мощности, на котором достигается максимальная величина потребления при заданной величине входящего потока сети. Приходящий поток в некоторую вершину уменьшается только в том случае, если вершина принадлежит выбранному подмножеству. Из-за неопределённости при насыщении дуг сети остатком потока введены определённые правила, по которым дуги сети насыщаются потоком. В качестве таких правил рассмотрены различные условия распределения потока в сети [2, 3].

В случае целочисленного потока в сети рассмотрены распределение потока по приоритетам и нежесткое распределение с приоритетами, а в вещественном случае - жесткое распределение [2, 3].

Для каждого случая доказана сильная полнота соответствующей задачи выбора подмножества для размещения потребителей для любого способа распределения потока.

Основные понятия

Рассмотрим сеть 0(Х,и, /) такую, что для каждой её дуги и е и заданы 2 величины: пропускная способность с(и) и доля р(и) прохождения по ней потока, приходящего в начальную вершину дуги и [4-6]. Обозначим через Р(и) величину потока Р, проходящего по дуге и.

Ясно, что для величин р(и), с(и) и Р(и) справедливы следующие выражения [4, 7]:

Е Р(и) - Е Р(и) = 0, Ух Ф s, Г,

\ие[ х]- ие[ х]+ (1)

0 < Р (и) < с(и), У и еи.

Е р(и) = 1, Ух Ф t. (2)

ие[ х]+

Здесь и далее через [х]+ будем обозначать множество дуг, выходящих из вершины х, а через [х] - входящих.

Определение 1. Поток Р в сети О будем называть потоком с распределением, если для него выполняются соотношения (1) и для каждой дуги и еи и величины входящего в вершину (Р1 ° / )(и) потока определена функция удовлетворяющая следующим условиям:

( \

a :U х R+ ^ R+.

F (u) = a

u, EF(v)

v veK Pi0fXu)r

Vu eU.

(3)

j

Такую функцию будем далее называть методом или алгоритмом распределения потока по дугам.

Определение 2. Поток Р в сети О называется жёстко распределённым, если для него выполняются соотношения (1), (2), и величины пропускаемого по дугам потока удовлетворяют следующим соотношениям:

Р (и ) • р(и1) = Р (и1) • р(и ) У и,, и} е[ х]+, (4) Ух е X \{*} .

Определение 3. Сети, в которых рассматриваются только потоки, удовлетворяющие условиям (1), (2) и (4), называются сетями с жёстким распределением потока.

Определение 4. Сети, в которых рассматриваются только потоки, удовлетворяющие условиям (1) и (3), будем называть сетями с нежёстким распределением потока.

Кроме этого, рассмотрим потоки с распределением по приоритетам и с нежестким распределением по приоритетам.

Определение 5. Будем говорить, что поток распределяется по приоритетам, если для каждой вершины х выходящие из нее дуги упорядочены , и,

и^ (по приоритету) и выполняется

соотношение Р(и,) > 0^ У] </: Р(и]) = е(иу-).

Определение 6. Будем говорить, что целочисленный поток распределён нежёстко с приоритетами, если для каждой вершины х выходящие из нее

дуги упорядочены

U2'---Udeg + ( x)J

тету). И при величине выходящего из x потока Fout (x) выполняется соотношение

F (u, ) > LFoutt (x) • P(Ui ) J ^ Yj < i : F (uj ) = c(Uj ).

Пусть сеть F(X,Uf) с условием распределения потока такова, что для каждой её вершины x е X указана функция ^(x) - величина максимально возможного потребления потока в вершине x [1]. Будем считать, что для источника 5 и стока t величина потребления равна нулю. В этой сети будем рассматривать потоки со следующими свойствами: Г £ F (u) = £ F (u) + a( x), Yx е X ;

ue[x] ue[x]+

' 0 < F (u) < c(u), Yu е U,

приори-

(5)

где a(x) = min < x), EF(u) > - величина факти-

[ U€{xf J

ческого потребления потока в вершине x, при этом 0 < a(x) < iy(x) .

Определение 7. Сеть G(X,Uf) будем называть сетью с потреблением, если в ней рассматриваются только такие потоки, которые удовлетворяют условию (5).

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 3-1

Отметим, что условие (3) для сети с потреблением будет иметь вид

(

F (u) = а

\

£F(v) - a((pi о f )(u))

ve[( pjo f)(u)]-

, (6)

Уи еи.

Будем полагать, что рассматриваемые далее сети являются сетями без петель, кратных дуг и контуров.

Определение 8. Задачей выбора подмножества вершин сети О с распределением потока для размещения потребителей [1] при заданной величине входного потока РиаП (коротко: задачей размещения потребителей) будем называть задачу нахождения такого ¿-элементного подмножества вершин V, что при выполнении (5), (6) и условии, что а(х) =0 для всех вершин х е X\ V, разность

^шя ~ £ Р(ы) максимальна.

ые[7 ]"

Иначе говоря, в заданной сети с распределенным потоком величины по известным для каждой вершины величинам, на которые можно максимально уменьшить величины выходящего из вершины потока, и по заданному правилу пересчета потока по исходящим дугам требуется выбрать к вершин, после уменьшения выходящего потока из которых величина потока, приходящего в сток, была бы минимальна.

Пример 1. Продемонстрируем перечисленные способы распределения. Рассмотрим сеть О на рис. 1.

Числа 1 и 2 у дуг и2 и соответственно - это нумерация в порядке убывания приоритетов. Рассмотрим следующий поток без потребления: Р(и^ = 10 , Р(иг) = 5 , г = 2. ..5 . Величины потребления в вершинах зададим следующим образом: К0 = 7, ^(2) = 5 , ^(3) = 5 .

Пропускные способности дуг будем полагать равными величинам проходящего по ним потока.

Рис. 1. Сеть G / Fig. 1. Network G

Рассмотрим несколько вариантов выбора вершин.

Вариант 1. Пусть выбирается одна вершина -вершина 1. Рассмотрим последующую конфигурацию для трех вышеописанных правил распределения потока.

Поскольку а(1) = тт{ ^(1), Р(ы1)} = тт{ 7,10} = 7, следовательно, из (5) получим Р (Ы1) = = Р(ы2) + Р(ы3) + а(1) , т.е. Р(ы2) + Р(ы3) = 3.

Распределение по приоритетам. Сначала заполняется дуга и2. Ее пропускная способность с(и2) = 5. Величина нераспределенного потока равна 3, поэтому Р(и2) = 3 и Р= 0. Таким образом, в сток приходят 3 единицы потока.

Нежёсткое распределение с приоритетами. Будем считать распределение равномерным, т.е.

р (и) =- (для неравномерного распре-

¿еЕ+ (Р1 ° / )(и) деления насыщение будет проходить аналогично).

Первый этап. Распределение согласно долям р(и2) = Р(и3) = 0,5 при величине Еои( = 3 имеет вид Р (и2 ) = Р (и3 ) = [3 • 0,5] = 1.

Второй этап. Оставшийся нераспределённый поток единичной величины распределяется следующим образом. Поскольку приоритет дуги и2 выше, значит, в итоге получаем Р(и2) = 2 , Р(и^ = 1. Таким образом, в сток приходит поток величины 3.

Жёсткое распределение. В этом случае также распределение будем считать равномерным. Поскольку Р(и2) • 0,5 = Р(и3) • 0,5 и Р(и2) + Р(и3) = 3, то Р(и2) = Р(и3) = 1,5 . Таким образом, в сток приходит поток величины 3.

Вариант 2. Пусть теперь выбираются две вершины: 1 и 3.

Ранее мы определили величины потока на дугах, когда выбрана вершина 1. Пересчитаем их, добавив вершину 3: Р(и3 ) = Р(и5) + а(3) .

Распределение по приоритетам. Поскольку в этом случае а(3) = тт{^(3), Р(и3)} = min{5,0} = 0, то Р(и5 ) = 0 и в сток приходит поток величины 3.

Нежёсткое распределение с приоритетами. Поскольку в этом случае а(3) = тт{^(3),

Р(и3)} = min{5,1} = 1, значит, Р(и5) = 0 и в сток приходят 2 единицы потока.

Жёсткое распределение. Поскольку в этом случае а(3) = гап{^(3), Р(и3)} = тп{5,1,5} = 1,5 , то Р (и5) = 0 и в сток приходит поток величины 1,5.

Конец примера 1.

u

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

Пример 1 показывает, что величина фактического потребления в вершине зависит от способа распределения, а также от величин фактического потребления в других вершинах.

Алгоритмическая сложность решений задачи размещения потребителей в сети

Рассмотрим решение поставленной задачи при помощи «жадного» подхода: на каждом этапе выбирается вершина, дающая в текущий момент наибольшую прибавку к суммарному потреблению. Обратимся к рассмотренному примеру 1 и покажем, что такой подход, вообще говоря, не дает оптимального решения.

Во всех рассмотренных случаях распределения сначала будет выбрана вершина 1, а затем вершина 2. Однако в случае распределения по приоритетам такой выбор даст суммарную величину потребления 10; в случае нежесткого распределения -9, в случае жесткого - 8,5. Оптимальное решение -выбрать вершины 2 и 3 и во всех случаях получить сумму 10. «Жадный» подход дает оптимальное решение на этом примере только для распределения по приоритетам, но это не гарантировано для других конфигураций.

Ясно, что можно получить точное решение задачи путем перебора всех возможных подмножеств вершин величины к, но временная сложность такого решения, вообще говоря, растет экспоненциально с увеличением числа вершин и размера подмножеств. Поэтому возникает вопрос о существовании других алгоритмов, дающих оптимальное решение, но работающих за полиномиальное время. Далее мы покажем, что, вероятнее всего (если P Ф NP [8, 9]), таких алгоритмов не существует.

Сформулируем две оптимизационные задачи размещения потребителей и докажем, что в обоих случаях они КР-полны [9] при любом рассмотренном способе распределения потока.

Задача 1 (об установлении фиксированного значения фактического потребления). Установить

существование подмножества V с X такого, что | V |= k и суммарная величина фактического потребления после размещения потребителей равна а, где а задано заранее.

Задача 2 (об установлении величины фактического потребления не меньше заданного значения).

Установить существование подмножества V с X такого, что | V |= k и суммарная величина фактического потребления после размещения потребителей не меньше а, где а задано заранее.

Отметим, что задача 2 соответствует оптимизационной задаче (найти множество вершин, обеспечивающих максимальное потребление), а задача 1 -

NATURAL SCIENCE. 2017. No. 3-1

вычислительной (определить множество вершин, если известна величина утечек). Ясно, что многократным решением задачи 1 можно без выполнения дополнительных преобразований решить задачу 2, но не наоборот.

Теорема 1. Задача 1 является NP-полной независимо от способа распределения потока, если алгоритм распределения выполняется за полиномиальное от числа дуг время.

Доказательство. Задача 1 принадлежит классу NP, поскольку если представлен сертификат решения [8] - подмножество вершин V, то можно расставить потребителей в выбранных вершинах и определить величину результирующего потока за полиномиальное время. Алгоритм размещения: провести топологическую сортировку сети (что возможно, так как в сети нет контуров), начиная с источника. Далее, двигаясь по полученному в результате списку, размещать потребителей, пересчитывая выходящий поток и применяя алгоритм распределения, по условию выполняющийся за полиномиальное от числа дуг время.

Сведем задачу о сумме подмножества (необходимо выбрать подмножество чисел с заданной суммой) к задаче 1.

Пусть N =| S |, где S - некоторое заданное мультимножество натуральных чисел. Под мультимножеством будем понимать множество, возможно, содержащее одинаковые элементы.

Построим сеть G(X,UJ) следующим образом. Определим множество вершин X = {5,1,2,..., N, t} , где вершины 5 и t являются соответственно источником и стоком сети G. Дуги сети {щ,..., Un} таковы, что f (u0) = (5,1) , f (Un ) = (N, t) и f (ui) = (i,i +1) для всех i e [1;N - 1]Z.

Зафиксируем некоторую нумерацию элементов во множестве S: S = {S1,..., Sn }. Положим пропускные способности всех дуг сети G, а также величину стартового потока Fstart равными сумме элементов S . Величины потребления в вершинах сети G зададим следующим образом: iy(i) = Si для всех значений i e [1; N]z .

Заметим, что построение сети G осуществляется за полиномиальное время.

Ясно, что если существует способ выбрать к чисел множества S так, чтобы их сумма была равной заданному числу A, то существует способ выбрать к вершин-потребителей в построенной сети G так, чтобы величина фактического потребления в сети была равна A. Обратное также верно.

Поскольку задача определения существования к-элементного подмножества с заданной суммой NP-полна [9], то и задача 1 тоже NP-полна.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Задача 2 для случаев распределения с приоритетами и нежесткого распределения NP-полна в сильном смысле [9].

Доказательство. Аналогично задаче 1 можно показать, что задача 2 также принадлежит к классу ОТ.

Сведем задачу о вершинном покрытии [8, 9] к задаче 2 в следующей формулировке: существует ли для заданного неориентированного связного графа О вершинное покрытие величины к?

Подмножество вершин V е X называется вершинным покрытием, если для каждой дуги и е и

или (р1 о /)(и) е V, или (р2 о /)(и) е V.

На основе графа О будем строить сеть О' и одновременно с построением сети распределять в ней поток. В конечном итоге будет построена сеть, в которой для каждой вершины х, отличной от источника и стока, будет справедливо утверждение: проходящий через х поток равен числу инцидентных ей дуг в графе О, а проходящий через всю сеть поток равен числу дуг графа О.

Построение сети и распределение потока будем проводить в несколько этапов.

1. Выберем любую вершину графа О или любой набор независимых вершин. Пометим эти вершины как использованные и поместим их в очередь Q.

2. Пока Q не пуста, выбираем некоторую вершину х из Q и полагаем <^(х) = ёс§(х) .

Если для вершины х остались инцидентные ей дуги, для которых не зафиксирована ориентация, то достраиваем дугу и такую, что /(и) = (5, х), и пропускаем по ней поток, равный числу таких дуг.

Каждую еще не ориентированную дугу и ориентируем так, что вершина х является её началом, и пропускаем по ней поток, равный 1. Полагаем доли прохождения потока по этим дугам равными между собой. Если вершина на другом конце дуги и не помечена, помечаем её и добавляем в конец очереди Q.

Если величина полученного выходящего из вершины х потока меньше величины входящего, то достраиваем дугу V такую, что /(V) = (х, £), и пропускаем по ней разницу входящего и выходящего потока. Этой дуге назначаем долю, равную нулю, и наименьший приоритет.

Заметим, что построение сети выполняется за полиномиальное время обходом исходного графа в ширину.

Докажем теперь, что в исходном графе О существует вершинное покрытие мощности к тогда и только тогда, когда в построенной сети О' существует способ выбора к вершин-потребителей такой, что — В = 0, где В - суммарная величина фактического потребления в сети.

NATURAL SCIENCE. 2017. No. 3-1

Необходимость. Пусть множество V - вершинное покрытие мощности k. Покажем, что если выбраны вершины из V , то в построенной сети выходящий поток равен нулю.

Поскольку V - вершинное покрытие, то для каждой дуги u графа G одна из вершин х = (p1 ° f )(u), У = (p2 ° f)(u) принадлежит множеству V .

Отметим, что вершина y гарантированно имеет дугу в сток, поскольку в нее входит поток величины deg+ (y) по входящим дугам, присутствующим в исходном графе, и величины deg_ (y) из источника, а по дугам, отличным от дуги в сток, проходит только поток величины deg_ (y), при этом величина deg+ (y) не меньше единицы.

В силу того, что дугам, ведущим в сток, присвоен наименьший приоритет, следовательно, если после размещения потребителей по дуге u проходит нулевой поток, то из вершины x в сток также проходит только нулевой поток.

Разместим потребителей в выбранных вершинах

множества V и рассмотрим каждую дугу u исходного графа.

1. Если по ней проходит нулевой поток, то, как было отмечено ранее, в сток попадает на единицу меньший поток, чем до размещения.

2. Если по ней проходит единичный поток, то

поскольку V - вершинное покрытие, значит, х £ V, y е V. Отсюда следует, что весь выходящий поток из y обнуляется и, значит, в сток попадает на единицу меньший поток, чем до размещения.

Поскольку за каждую дугу поток уменьшается на единицу, результирующий поток будет уменьшен на | U |. Так как через всю сеть проходил поток | U |, то результирующий поток равен нулю.

Достаточность. Пусть для размещения потребителей выбрано подмножество вершин V мощности k, на котором достигается минимальное значение результирующего потока Fstart _ B = 0 (структура G' такова, что V существует). Покажем, что

V является вершинным покрытием.

Предположим противное, что существует непокрытое ребро u.

Отметим, что в таком случае по нему протекает как минимум единица потока, поскольку к вершине х = (P1 ° f )(u) подведена дуга из источника, через которую поступает столько единиц потока, сколько у вершины x исходящих дуг, не ведущих в сток.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

Таким образом, в вершину у = (р2 ° /)(и) поступает хотя бы единица потока по входящим дугам из вершин, отличных от источника. Весь поток по исходящей от источника дуге к вершине у распределяется по исходящим из у дугам, не ведущим в сток, заполняя их полностью. Отсюда следует, что приходящая по дуге и единица потока будет распределена из вершины у в сток напрямую. Значит, в сток попадает хотя бы единица потока. Получаем противоречие с тем, что величина результирующего потока равна нулю.

Таким образом, сильная КР-полнота задачи 2 следует из сильной КР-полноты задачи о вершинном покрытии.

Теорема 2 доказана.

Сведение, использованное в доказательстве теоремы 2, для жесткого случая не применимо, так как опирается именно на приоритеты.

Весьма примечательно, что задачу поиска вершинного покрытия для двудольного графа, имеющую полиномиальное решение, можно решить при помощи задачи 2 для жесткого случая.

Возьмем то же самое сведение, что и в теореме 2, но в качестве начальных вершин обозначим все вершины первой доли. Они, очевидно, независимы.

В построенной сети ни одна вершина первой доли не будет иметь дуги в сток, так как в процессе построения все инцидентные им дуги еще не будут ориентированы, а ни одна вершина второй доли не будет иметь дуги из источника, так как все инцидентные ей дуги уже будут ориентированы как входящие. В таком случае приоритеты не нужны.

Авторы признательны проф. Я.М. Ерусалим-скому за ценное обсуждение содержания статьи и благожелательное отношение к их научной деятельности.

Литература

1. Скороходов В.А., Шевелев М.В. Задачи о потере потока в ориентированных сетях // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2015. № 2. С. 47-53.

2. Скороходов В.А., Чеботарева А.С. Задача о максимальном потоке в сети с особыми условиями распределения потока // Дискретный анализ и исследование операций. 2015. Т. 22, № 3. С. 55-74.

3. Ерзин А.И., Тахонов И.И. Задача поиска сбалансированного потока // Сиб. журн. индустр. математики. 2006. Т. IX, № 4. С. 50-63.

4. Ерусалимский Я.М., Скороходов В.А., Кузьми-нова М.В., Петросян А.Г. Графы с нестандартной до-

NATURAL SCIENCE. 2017. No. 3-1

стижимостью: задачи, приложения. Ростов н/Д. : Изд-во ЮФУ, 2009.

5. Скороходов В.А. Потоки в обобщенных сетях со связанными дугами // Моделирование и анализ информационных систем. 2012. T. 19, № 2. С. 41-52.

6. Скороходов В.А. Потоки в сетях с меняющейся длительностью прохождения // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2011. № 1. С. 21-26.

7. Ford L.R., Fulkerson D.R. Flows in networks. New Jersey : Princeton University Press, 1974.

8. Cormen T.H., Leiserson C.E., Rivest R.L., Stein C. Introduction to Algorithms. MIT Press, 2009.

9. Gary M., Johnson D. Computing Machines and Hard-to-Solve Problems. М. : Мир, 1982.

References

1. Skorokhodov V.A., Shevelev M.V. Zadachi o po-tere potoka v orientirovannykh setyakh [Problems on the loss of a flow in oriented networks]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki. 2015, No. 2, pp. 47-53.

2. Skorokhodov V.A., Chebotareva A.S. Zadacha o maksimal'nom potoke v seti s osobymi usloviyami raspredeleniya potoka [The problem of the maximum flow in a network with special flow distribution conditions]. Diskretnyi analiz i issledovanie operatsii. 2015, vol. 22, No. 3, pp. 55-74.

3. Erzin A.I., Takhonov I.I. Zadacha poiska sbalan-sirovannogo potoka [The problem of finding a balanced flow]. Sib. zhurn. industr. matematiki. 2006, vol. IX, No. 4, pp. 50-63.

4. Erusalimskii Ya.M., Skorokhodov V.A., Kuz'mi-nova M.V., Petrosyan A.G. Grafy s nestandartnoi dosti-zhimost'yu: zadachi, prilozheniya [Graphs with nonstandard attainability: tasks, applications]. Rostov-on-Don: Izd-vo YuFU, 2009.

5. Skorokhodov V.A. Potoki v obobshchennykh setyakh so svyazannymi dugami [Flows in generalized networks with coupled arcs]. Modelirovanie i analiz informatsionnykh sistem. 2012, vol. 19, No. 2, pp. 4152.

6. Skorokhodov V.A. Potoki v setyakh s menyayush-cheisya dlitel'nost'yu prokhozhdeniya [Flows in networks with varying transit times]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki. 2011, No. 1, pp. 21-26.

7. Ford L.R., Fulkerson D.R. Flows in networks. New Jersey: Princeton University Press, 1974.

8. Cormen T.H., Leiserson C.E., Rivest R.L., Stein C. Introduction to Algorithms. MIT Press, 2009.

9. Gary M., Johnson D. Computing Machines and Hard-to-Solve Problems. Moscow: Mir, 1982.

Поступила в редакцию /Received_2 мая 2017 г. / Мау 2, 2017