CC BY
49
ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2017. № 1
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2017. No. 1
УДК 519.1 DOI 10.18522/0321-3005-2017-1-25-30
2- И 3-ПУТИ НА ГРАФЕ-РЕШЕТКЕ И КОМБИНАТОРНЫЕ ТОЖДЕСТВА
© 2017 г. Я.М. Ерусалимский 2- AND 3-WAY ON A GRAPH-LATTICE AND COMBINATORIAL IDENTITIES
Ya.M. Erusalimskiy
Ерусалимский Яков Михайлович - Южный федеральный уни- Yakov M. Erusalimskiy - Southern Federal University, верситет, Институт математики, механики и компьютерных Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer наук им. И.И. Воровича, доктор технических наук, кандидат Science, Doctor of Technical Science, Candidate of Physics физико-математических наук, профессор, кафедра алгебры и and Mathematics, Professor, Department of Algebra and дискретной математики, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, Discrete Mathematics, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Россия, e-mail: [email protected] 344090, Russia, e-mail:[email protected]
Граф-решетка имеет вершины в точках плоскости с неотрицательными целыми координатами. Из каждой вершины выходят две ориентированные дуги: горизонтальная и вертикальная в соседние вершины (правую и верхнюю). Вероятность перехода по каждой из дуг равна 1/2. Рассмотрена задачи о случайных блужданиях по вершинам графа с ограничениями на достижимость. Допустимыми на графе-решётке считаются только 2- и 3-пути. Под 2(3)-путем на графе решётке будем понимать путь, удовлетворяющий условию: его начальный и все внутренние максимальные по вложению подпути, состоящие только из вертикальных дуг, имеют длину, кратную 2 (3). Получена формула для количества таких путей, соединяющих заданные вершины графа-решётки, найдена вероятность попадания из одной вершины в другую по 2-и 3-путям. Следствием последнего является комбинаторное тождество, использующее элементы треугольника Паскаля.
Ключевые слова: ориентированный граф, граф-решётка, случайные блуждания, вероятность перехода, достижимость вершин, треугольник Паскаля, комбинаторное тождество.
Graph-lattice has vertices at the points of a plane with a non-negative integer coordinates. Each vertex has two oriented arcs: horizontal and vertical arcs to the neighboring vertices (right and top). The transition probability for each of the arc is equal to 1/2. We considered the problem of random walks on the vertices of the graph with restrictions on the achievability. Valid for consideration are only 2(3)-paths. Under the 2(3)-path on the graph-lattice we mean a path of satisfying the next condition - maximum by embedding beginning sub-path consisting only of vertical arcs and all maximum by embedding internal sub-paths consisting only of vertical arcs have a length multiple of 2 (3). We obtain a formula for the number ofpaths connecting specified vertices of the graph-lattice, found the probability of getting from one vertex to another via 2(3)-paths. The consequence of the latter is the combinatorial identity, which contained elements of Pascal's triangle.
Keywords: directed graph, graph-lattice, random walk, transition probability, the attainability of the vertices, Pascal's triangle, combinatorial identity.
Граф-решётка и 2-пути на нём 3. Из вершины x = (p; q) существует путь в
вершину y = (s; t) тогда и только тогда, когда
РассматРивается бесконечный °риентир°ван- (p < s)&(q < t), при этом длины всех путей равны
ный граф, который будем называть графом- , . , ,, . о___ m „ „
F Л/Г , (s - p) + (t - q). Все эти пути находятся на графе-решёткой. Множество вершин этого графа -
Z+ х Z+ (здесь Z+ - множество неотрицательных решётке в прямоуголь«ике с ниж^ лев°й вершиной x и правой верхней вершиной y и сторонами,
целых чисел). Из каждой вершины (p; q) выходят
параллельными координатным осям.
две дуги: одна (горизонтальная) - в вершину 0 ~ , л
^ v ^ у Задача о попадании из вершины x = (p; q) в (p + 1; q), другая (вертикальная) - (p; q +1). Будем
, вершину y = (s; t) равносильна задаче о попадании
считать, что длины всех дуг графа-решетки равны _
единице. из вершины O = (0;0) в вершину (s - p; t - q) .
Ясно, что: На этом графе будем рассматривать 2-пути (оп-
1. Граф-решётка не содержит контуров. ределения дадим ниже) и ограниченную достижи-
2. Все пути на этом графе простые. мость по 2-путям. Ограничение на достижимость
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
означает, что допустимыми являются не все возможные пути, а только удовлетворяющие поставленному ограничению [1].
Рассмотрим задачу о количестве 2-путей, ведущих из вершины O = (0 ;0) в вершину
A = (n - m; m). Все пути, ведущие из вершины O в
вершину A , имеют длину, равную n , и располагаются в прямоугольнике, имеющем стороны, параллельные координатным осям, а противоположные вершины прямоугольника находятся в точках O = (0;0) и A = (n - m; m). Путь представляет собой ломанную, состоящую из n - m горизонтальных и m вертикальных дуг.
Каждый путь будем кодировать n -разрядным двоичным числом, содержащим m единиц и n - m нолей. Единица, стоящая на i -м месте (нумерация мест слева направо), означает, что на i -м шаге путь проходит по вертикальной дуге, а ноль, стоящий на i -м месте, - по горизонтальной дуге.
Что означает утверждение, что путь удовлетворяет поставленному ограничению? Для этого дадим некоторые определения.
Определение 1. Начальным 1-фрагментом пути длины к будем называть его начальный отрезок, состоящий из k следующих подряд вертикальных дуг, такой что его кодировка имеет вид (1...10) (здесь за многоточием «спрятаны» единицы, «пробельная» зона заполнена произвольным набором нолей и единиц).
Определение 2. Внутренним 1-фрагментом пути длины к будем называть отрезок пути, состоящий из к следующих подряд вертикальных дуг, такой что его кодировка имеет вид (01.10).
Определение 3. Заключительным 1-фрагментом пути длины к будем называть его конечный отрезок, состоящий из к следующих подряд вертикальных дуг, такой что его кодировка имеет вид (01.1).
Определение 4. Путь на графе будем называть 2-путем, если его начальный и все внутренние 1-фрагменты имеют четную длину.
Пример 1. Кодировка (01100011110111) соответствует пути из вершины O в вершину (5; 9). Этот путь является 2-путем, поскольку 1-началь ный отрезок имеет длину 0, первый внутренний 1-фрагмент - 2, второй - 4, конечный - 3; (01100011111011) является кодировкой пути, ведущего из вершины O в вершину (5; 9). Этот путь не является 2-путем, поскольку в кодировке начальный 1 -фрагмент имеет длину, равную 0, пер-
NATURAL SCIENCE. 2017. No. 1
вый внутренний 1-фрагмент - 2, второй - 5, конечный - 2. Именно нечетная длина второго внутреннего 1-фрагмента не позволяет этот путь считать 2-путем.
Решим задачу о количестве 2-путей, ведущих из вершины O = (0;0) в вершину A = (n - m; m). Рассмотрим два случая: m = 2k и m = 2k + 1.
В первом случае в кодировке пути все его 1-фрагменты имеют четную длину. Преобразуем его двоичную кодировку следующим образом: каждые две рядом стоящие единицы (двигаясь по кодировке слева направо) заменим на одну единицу (например, кодировка (11001111011) заменится на (1001101)). Ясно, что такой переход является взаимно однозначным. В результате получим (n - k) -разрядное двоичное число, содержащее k единиц. Количество таких чисел равно Ci^-k . Таким образом, количество 2-путей, ведущих из вершины O = (0;0) в вершину A = (n - m; m), при m = 2k
равно Ck-k .
Во втором случае (m = 2k +1) любой 2-путь обязательно имеет конечный 1 -фрагмент нечетной длины. Это означает, что в кодировке любого 2-пути на последнем месте стоит единица, а остальные единицы образуют отрезки из четных количеств рядом стоящих единиц, разделенных отрезками из нулей. Преобразуем кодировку любого такого пути, заменяя слева направо каждые две соседние единицы одной единицей (не трогая последнюю). Например, кодировка (110011110111) преобразуется в (10011011). Ясно, что такой переход является взаимно однозначным. В результате получим (n - k) -разрядное двоичное число, содержащее k + 1 единицу, в каждом из этих чисел на последнем месте стоит единица. Количество таких
чисел равно C^k-k-1. Таким образом, количество 2-путей, ведущих из вершины O = (0;0) в вершину A = (n - m; m), при m = 2k +1 равно C^k-k-1.
Случайные блуждания по 2-путям
Будем считать, что на дугах графа-решётки заданы вероятности перехода, равные на каждой из них 12. Рассмотрим дискретный процесс случайного блуждания по вершинам графа-решётки частицы, находящейся в начальный момент в вершине O = (0 ;0). Считаем, что за один такт (временной отсчет) частица, находящаяся в вершине (s;t), переходит по одной из имеющихся дуг в вершину
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 1
(5 +1;/) или (я;/ + 1). При этом переходы равновероятны, если пройденный до этого 2-путь не накладывает ограничений на продвижение. В противном случае переход совершается только по вертикальной дуге. Рассматриваемый процесс в этом случае не является марковским [1, 2]. Ясно, что через п шагов частица окажется в одной из вершин вида (п - т; т), 0 < т < п . Эти вершины располагаются на гипотенузе равнобедренного треугольника с вершинами в точках (0;0), (п;0), (0; п). Найдем вероятность рп (О; (п - т; т)) попадания за п шагов из вершины О в вершину (п - т; т).
В случае, когда т четно, т.е. т = 2к, прохождение по каждой второй вертикальной дуге (слева направо, если смотреть на кодировку пути) является обязательным, поэтому
pn(O;(n - m;m)) =
Cn—к 2n - к
, m = 2k.
(1)
В случае, когда т нечетно, т.е. когда т = 2к +1, прохождение по каждой второй вертикальной дуге (слева направо, если смотреть на кодировку пути) является обязательным, поэтому
_ ,-ik
pn(O;(n - m;m)) = n-k-1
2
n - к
, m = 2к + 1.
(2)
Ясно, что попадания в такие точки являются независимыми событиями, и по формуле полной вероятности [3] получаем
m=n _
2 pn (O ,(n - m; m)) = 1.
m=0
(3)
Подставляя в (3) выражения для pn(O;(n - m;m)) из (1) и (2), будем иметь
С0к + Ск-1)- |1 ]2к + (с1к-1 + с2к-2 )■ (1 f-1 + -
+ Ш + Ск-1)( 1 ) + Ск {1 ) = 1, n = 2е , (4)
Ск+1 + С20к )-| 1]2к+1 +(с1к + С1к-1 )-| 1f + -
+(ск+1+ск){1 ]к=1,
к+1+ск )-| -1 =1' n =2ё +1.
(4')
Приводя (4) и (4) к целому виду, получим
(С20к + C2V1} +(с!к-1 + с2к-2 )■ (2) + -
+ Ск+1 + Ск -1)- (2^-1 + Ск ■ (2^ = (2)к, (5)
i+1+Ск-1)-(2^-1+Ск
(С20к+1 + С20к)+ С"2к + С\к-1)- (2) + - + + С+1 + Ск )-(2)*= (2)2к+1.
Посмотрим, как работают последние формулы для n = 6 и n = 7. Воспользуемся треугольником Паскаля, в котором выделены пары биномиальных коэффициентов, которые суммируются в скобках левой части формулы (5')) для n = 7 (рис. 1).
1
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1
Рис. 1. Восемь слоев треугольника Паскаля / Fig. 1. Eight layers of Pascal's triangle
(1+1) + (5 + 4) ■ 2 + (6 + 3) ■ 4 + 1- 8 =
= 2 +18 + 36 + 8 = 64 = 26.
(1+1) + (6 + 5) ■ 2 + (10 + 6) ■ 4 + (4 + 1) ■ 8 =
= 2 + 22 + 64 + 40 = 128 = 27.
В [2, 4] аналогичная задача рассмотрена для графа-решётки без ограничений на достижимость и для других ограничений на достижимость.
n „ ■
Замечание. Учитывая, что 2N = 2n , и тожде-
i=0
ство Паскаля N+1 = ^ + С^^1, (5) и (5') можно было бы доказать (?) и путем громоздких преобразований, использующих метод математической индукции.
Понятно, что можно рассматривать и задачу о случайных блужданиях по 2-путям, когда вероятности перехода по горизонтальным и вертикальным дугам не равны между собой. Можно получить и в этом случае тождества, являющиеся аналогами тождеств (5) и (5').
Общая схема рассмотрения процесса случайного блуждания на графах с ограничениями на достижимость рассмотрена в [1]. Она состоит в построении развертки графа и переносе процесса на развертку. В результате удается немарковский процесс на исходном графе заменить марковским на развертке. Однако развертка графа по размеру больше исходного графа. В нашем случае мы обошлись без такого переноса процесса на развертку. Это удалось сделать благодаря регулярной структуре графа-решётки.
Граф-решётка и 3-пути на нём
Определение 4. Путь на графе-решётке будем называть 3-путем, если длины его начального
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 1
1-фрагмента и всех его внутренних 1-фрагментов кратны 3.
Пример 2. Кодировка (0111000111111011) соответствует пути из вершины О в вершину (5; 11). Этот путь является 3-путем, поскольку начальный 1-фрагмент имеет длину, равную 0, первый внутренний 1-фрагмент - 3, второй - 6, конечный - 2. Кодировка (0110001111110111) является кодировкой пути, ведущего из вершины О в вершину (5;9). Этот путь не является 3-путем, поскольку в его кодировке начальный 1 -фрагмент имеет длину, равную 0, первый внутренний - 2, второй - 6, конечный - 3. Именно длина первого внутреннего 1 -фрагмента не позволяет этот путь считать 3-путем.
Решим задачу о количестве 3-путей, ведущих из вершины О = (0;0) в вершину А = (п - т; т). Рассмотрим два случая, когда т кратно 3, т.е. т = 3к, и когда т не кратно 3, т.е. т = 3к +1 или т = 3к + 2 .
В первом случае в кодировке пути все его 1-фрагменты имеют длину, кратную 3. Преобразуем его двоичную кодировку следующим образом: каждые три рядом стоящие единицы (двигаясь по кодировке слева направо) заменим на одну единицу (например, кодировка (111001111110111) заменится на (1001101)). Ясно, что такой переход является взаимно однозначным. В результате получим (п - 2к) -разрядное двоичное число, содержащее к
единиц. Количество таких чисел равно С^2к . Таким образом, количество 3-путей, ведущих из вершины О = (0;0) в вершину А = (п - т; т), при
т = 3к равно С^^к .
Во втором случае любой 3-путь обязательно имеет конечный 1 -фрагмент, длина которого не кратна 3. Преобразуем кодировку любого такого пути, заменяя слева направо каждые три соседние единицы одной. В случае т = 3к +1 получим (т - 2к) -разрядное двоичное число, в котором на последнем месте стоит единица. Например, кодировка (1110011111101111) преобразуется в (10011011) . Ясно, что такой переход является взаимно однозначным. В результате получим (п - 2к) -
разрядное двоичное число, содержащее к + 1 единицу; в каждом из этих чисел на последнем месте стоит единица. Количество таких чисел равно
С^к-2к-1. Таким образом, в этом случае количество
3-путей, ведущих из вершины О = (0;0) в вершину
А = (п - т; т), равно С^2к-1. Аналогично в случае
т = 3к + 2 получим, что количество 3-путей равно
у-1к
Сп-2к-2 .
Случайные блуждания по 3-путям
Будем считать, что на дугах графа-решётки заданы вероятности перехода, равные 12. Рассмотрим дискретный процесс случайного блуждания по вершинам графа-решётки частицы, находящейся в начальный момент в вершине О = (0;0), считая, что допустимыми являются только 3-пути. За один такт (временной отсчет) частица, находящаяся в вершине (5; /), переходит по одной из имеющихся дуг в вершину (5 + 1;/) или (5;/ + 1). При этом переходы равновероятны, если пройденный до этого 3-путь не накладывает ограничений на продвижение. В противном случае переход совершается только по вертикальной дуге. Рассматриваемый процесс в этом случае не является марковским [1, 2]. Ясно, что через п шагов частица окажется в одной из вершин вида (п - т; т), 0 < т < п . Эти вершины располагаются на гипотенузе равнобедренного треугольника с вершинами в точках (0;0), (п;0), (0; п).
Найдем вероятность рп (О; (п - т; т)) попадания за п шагов из вершины О в вершину (п - т; т) по 3-путям.
В случае т = 3к прохождение по каждой второй и третьей вертикальной дуге (слева направо, если смотреть на кодировку пути) является обязательным, поэтому
pn (O;(n - m; m)) = При m = 3k +1 pn(O;(n - m;m)) =
С'
- 2k
n-2k
2
где m = 3k .
,-ik
Cn - 2k-1
in - 2k
Если m = 3k + 2 , то
pn(O;(n -m;m)) =
Cn-2k-2
2
n-2k-1
(6)
(7)
(7')
Ясно, что попадания в такие точки являются независимыми событиями, и по формуле полной вероятности [3], получаем
m=n _
2 pn (O ,(n - m; m)) = 1.
m=0
(8)
Подставляя в (8) выражения для рп (О;(п - т; т)) из (6) и (7), (7') и приводя к целому виду, получим комбинаторное тождество, которое в правой части содержит 2п . Выпишем полученные тождества (п = 6,7,8):
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
(С + c0)+ Со • 2 + (#4 + #з) • 22 + N • 23 + N2 • 24 = = 2 + 2 + 7 • 4 + 2 • 8 +1-16 = 64 = 26 , n = 6 , (с0 + c00 )+ С50 • 2 + (N1 + N1) • 22 + N31 • 23 +
+ (N32 +-С22) ^24 =
= 2 + 2 + 9 • 4 + 3 • 8 + 4 46 = 128 = 2 -8
7
n = 7.
С0 + c70 )+ С0 • 2 + (N + N1) • 22 + N1 • 23 +
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 1
+ (N4 + с2) • 24 + с2 • 25 =
= 2 + 2 +11 • 4 + 4 • 8 + 9 • 16 +1 • 32 = 256 = 28, п = 8 .
На рис. 2 отмечены элементы треугольника Паскаля, которые нужно выбирать в формулу для п = 9 (снизу вверх):
(1 + 1) +1- 2 + (7 + 6) • 4 + 5 • 8 + (10 + 6)-16 + + 3 • 32 +1-64 = 512 = 29.
Рис. 2. Треугольник Паскаля / Fig. 2. The Pascal's triangle
Заключение
Ориентированные графы, сети и процессы на них в настоящее время широко используются в качестве математических моделей в различных науках и технике: физике, радиотехнике, телекоммуникациях, экономике, социологии, логистике и др. [2, 4-12]. В этой работе мы показали, как рассмотрение конкретной задачи о случайных блужданиях по вершинам графа-решётки позволяет получать комбинаторные тождества. Тем самым представлен пример использования графов в качестве рабочего инструмента чистой математики.
Литература
1. Ерусалимский Я.М., Скороходов В.А., Кузьми-нова М.В., Петросян А.Г. Графы с нестандартной достижимостью. Задачи, приложения. Ростов н/Д., 2009. 195 с.
2. Ерусалимский Я.М. Случайные блуждания по графу-решётке и комбинаторные тождества // Инженерный вестн. Дона. 2015. № 2, ч. 2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2p2y2015/2964 (дата обращения: 11.03.2016).
3. Владимирский Б.М., Горстко А.Б., Ерусалимский Я.М. Математика. Общий курс : учебник. 4-е изд., стер. СПб., 2008. 960 с.
4. Ерусалимский Я.М. Случайные блуждания по графу-решётке. Немарковский случай // Фундаментальные исследования. 2015. № 2. С. 6013-6017.
5. Ерусалимский Я.М., Скороходов В.А. Общий подход к нестандартной достижимости на ориентированных графах // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Ес-теств. науки. ^ец. выпуск «Псевдодифференциальные уравнения и некоторые проблемы математической физики». 2005. C. 64-67.
6. Ерусалимский Я.М., Петросян А.Г. Случайные процессы в сетях с биполярной магнитностью // Изв. вузов. Сев. Кавк. регион. Естеств. науки. 2005. Приложение. № 11. С. 10-16.
7. Ерусалимский Я.М. Графы с затуханием на дугах и усилением в вершинах и маршрутизация в информационных сетях // Инженерный вестн. Дона. 2015. № 1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2015/ 2782 (дата обращения: 11.03.2016).
8. Форд Л.Р., Фалкерсон Д.Р. Потоки в сетях. М., 1966. 276 с.
9. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. М., 1978. 432 с.
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
10. Боженюк А.В., Герасименко Е.М. Разработка алгоритма нахождения максимального потока минимальной стоимости в нечеткой динамической транспортной сети // Инженерный вестн. Дона. 2013. № 1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2013/1583 (дата обращения: 07.08.2014).
11. Grady L., Polimeni J. Discrete Calculus: Applied analysis on Graphs for Computational Science. N.Y., 2010. 366 p.
12. Жилякова Л.Ю. Графовые динамические модели и их свойства // Автоматика и телемеханика. 2015. № 8. С. 115-139.
References
1. Erusalimskii Ya.M., Skorokhodov V.A., Kuz'mi-nova M.V., Petrosyan A.G. Grafy s nestandartnoi dostizhimost'yu. Zadachi, prilozheniya [Graphs with nonstandard attainability. Tasks, applications]. Rostov-on-Don, 2009, 195 p.
2. Erusalimskii Ya.M. Sluchainye bluzhdaniya po grafu-reshetke i kombinatornye tozhdestva [Random walks along a graph-lattice and combinatorial identities]. Inzhenernyi vestn. Dona. 2015, No. 2, ch. 2. Available at: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2p2y2015/2964 (accessed 11.03.2016).
3. Vladimirskii B.M., Gorstko A.B., Erusalimskii Ya.M. Matematika. Obshchii kurs [Mathematics. General course]. Textbook. 4th ed. Saint Petersburg, 2008, 960 p.
4. Erusalimskii Ya.M. Sluchainye bluzhdaniya po grafu-reshetke. Nemarkovskii sluchai [Random walks along the grid-lattice. Nemarkov case]. Fundamental'nye issledovaniya. 2015, No. 2, pp. 6013-6017.
5. Erusalimckii Ya.M., Skorokhodov V.A. Obshchii podkhod k nestandartnoi dostizhimosti na orien-tirovannykh grafakh [A general approach to nonstandard
Поступила в редакцию /Received
NATURAL SCIENCE. 2017. No. 1
attainability on oriented graphs]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki. Special Issue "Pseudo differential equations and some problems of mathematical physics". 2005, pp. 64-67.
6. Erusalimskii Ya.M., Petrosyan A.G. Sluchainye protsessy v setyakh s bipolyarnoi magnitnost'yu [Random processes in networks with bipolar magnetism]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki. 2005, suppl. No. 11, pp. 10-16.
7. Erusalimskii Ya.M. Grafy s zatukhaniem na dugakh i usileniem v vershinakh i marshrutizatsiya v informatsionnykh setyakh [Graphs with fading on arcs and amplification in vertices and routing in information networks]. Inzhenernyi vestn. Dona. 2015, No. 1. Available at: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2015/ 2782 (accessed 11.03.2016).
8. Ford L.R., Falkerson D.R. Potoki v setyakh [Streams in networks]. Moscow, 1966, 276 p.
9. Kristofides N. Teoriya grafov. Algoritmicheskii podkhod [The theory of graphs. Algorithmic approach]. Moscow, 1978, 432 p.
10. Bozhenyuk A.V., Gerasimenko E.M. Razrabotka algoritma nakhozhdeniya maksimal'nogo potoka mini-mal'noi stoimosti v nechetkoi dinamicheskoi transportnoi seti [Development of an algorithm for finding the maximum flow of the minimum value in a fuzzy dynamic transport network]. Inzhenernyi vestn. Dona. 2013, No. 1. Available at: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2013/1583 (accessed 07.08.2014).
11. Grady L., Polimeni J. Discrete Calculus: Applied analysis on Graphs for Computational Science. New York, 2010, 366 p.
12. Zhilyakova L.Yu. Grafovye dinamicheskie modeli i ikh svoistva [Graph dynamic models and their properties]. Avtomatika i telemekhanika. 2015, No. 8, pp. 115-139.
6 сентября 2016 г. /September 6, 2016
