О задаче максимизации полезности в случае неограниченного случайного вклада Текст научной статьи по специальности «Математика»

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 11-01-00321 и гранта программы "Ведущие научные школы РФ" НШ-979.2012.1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Burkill J.C. The Cesaro-Perron scale of integration // Proc. London Math. Soc. (2). 1935. 39, N 7. 541-552.

2. Cross G.E. The expression of trigonometrical series in Fourier Form // Can. J. Math. 1960. 12, N 4. 694-698.

3. Sargent W.L.C. On the Cesaro derivates of a function // Proc. London Math. Soc. (2). 1935. 40, N 3, 4. 235-254.

4. Скворцов В. А. Некоторые свойства CP-интеграла // Матем. сб. 1963. 60, № 3. 304-324.

5. Сакс С. Теория интеграла. М.: ИЛ, 1949.

6. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2 т. М.: Мир, 1965.

7. Hardy G.H. Weierstrass's nondifferentiable function // Trans. Amer. Math. Soc. 1916. 17, N 3. 301-325.

8. Sargent W.L.C. A descriptive definition of Cesaro-Perron integrals // Proc. London Math. Soc. (2). 1941. 47, N 3, 4. 212-247.

9. Verblunsky S. On a descriptive definition of Cesaro-Perron integrals //J. London Math. Soc. 1971. 7, N 3. 326-333.

Поступила в редакцию 02.11.2011

УДК 519.2

О ЗАДАЧЕ МАКСИМИЗАЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ В СЛУЧАЕ НЕОГРАНИЧЕННОГО СЛУЧАЙНОГО ВКЛАДА

Р. В. Хасанов1

Рассматривается задача максимизации ожидаемой полезности с неограниченным случайным вкладом в абстрактной модели финансового рынка в случае конечной на R+ функции полезности. Ставится двойственная задача, устанавливаются дуальные связи между ней и исходной, изучается вопрос необходимых условий существования решений в исходной задаче. Кроме того, двойственная задача приводится к форме, удобной для практических расчетов.

Ключевые слова: максимизация полезности, двойственная задача, случайный вклад, абстрактная модель рынка.

We consider a problem of maximizing expected utility with an utility function finite on R+ and with an unbounded random endowment in an abstract model of financial market. We formulate a dual problem to the primal one and prove duality relations between them. In addition, we study necessary conditions to the existence of solutions to the primal problem. Finally, we reduce the dual problem to a form more convenient for practice.

Key words: utility maximization, dual problem, random endowment, abstract model of market.

1. Введение. В данной работе задача максимизации ожидаемой полезности со случайным вкладом рассматривается в статической модели финансового рынка и понимается в смысле максимизации функционала

е ^ e и(x+е + в), е е a, (1)

по множеству A случайных величин, заданных на вероятностном пространстве (Q, F, P), где x е R — действительное число, B — случайная величина на (Q, F, P), функция U определена на R и принимает значения в RU {—те}, а также вогнута и не убывает. Всюду в работе математическое ожидание E по мере р считается равным —те, если оно не определено, т.е. En = E(n Л n). Описанные объекты имеют

следующую финансовую интерпретацию:

1 Хасанов Руслан Ваизович — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: rusl886Qmail.ru.

х — начальный капитал инвестора на финансовом рынке;

А — множество всевозможных допустимых капиталов инвестора в заключительный момент времени при нулевом начальном капитале. Допустимый капитал инвестора является результатом применения некоторой (допустимой) инвестиционной стратегии, поэтому мы будем использовать эти термины как синонимы;

В — платежное обязательство, исполняющееся в заключительный момент времени (случайный вклад);

и — функция, отражающая предпочтения инвестора в выборе инвестиционной стратегии на финансовом рынке (функция полезности).

х

результате применения стратегии £ £ А с учетом случайного вклада В определяется равенством х+£ + В. Цель инвестора — максимизировать ожидаемую полезность своего капитала в заключительный момент времени с учетом случайного вклада по множеству допустимых стратегий.

В задаче максимизации полезности, как правило, рассматривают отдельно два следующих случая:

1) функция полезности и конечна всюду на М;

2) функция полезности и конечна та полупрямой (а, +те) и равна —те на полупрямой (—те,а).

Мы будем иметь дело со вторым случаем, полагая без ограничения общности, что а = 0. В постановке (1) в случае, когда функция полезности конечна на полупрямой, выпуклый конус А состоит из ограниченных снизу случайных величин и случайный вклад ограничен; при достаточно сильных предположениях относительно арбитража на финансовом рынке данная задача изучалась в работах [1, 2], где можно найти ссылки на более ранние источники. Для полноты картины упомянем работы [3-5], в которых данная задача изучалась в случае, когда функция полезности конечна на всей прямой. Отметим также работу [6]. В ней авторы, преследуя некоторые цели, о которых будет сказано ниже, видоизменили задачу (1). В настоящей работе углубляются результаты работы [2], а именно:

1) рассматривается неограниченный случайный вклад при гораздо более слабых предположениях относительно арбитража;

2) множество А не обязательно состоит из ограниченных снизу случайных величин;

3) в поставленной двойственной задаче, в отличие от [2], отсутствуют конечно-аддитивные меры.

Всюду в работе предполагается заданным вероятностное пространство (О, &, Р). Обозначим через

Ь0 = Ь0(О, &, Р) пространство классов эквивалентности (относительно равенства Р-почти наверное (Р-п.н.)) ^-измеримых случайных величин с действительными значениями, наделенное топологией сходимости по вероятности. Неравенства между случайными величинами предполагаются выполненными Р-п.н. Банаховы пространства Ь1 = Ь1(О, &, Р) и Vх = &, Р) понимаются в обычном смысле.

Если множество А С Ь°°, то через А будет обозначаться замыкание данного множества по норме пространства Если £ £ е > 0, то Ве(£) есть обозначение открытого шара в том же пространстве с центром в точке £ и радиусом е. Обозначим через Ьа = Ьа(О, &, Р) пространство таких ограниченных конечно-аддитивных функций множества у: & ^ М, что

с нормой полной вариации. Хорошо известно, что Ьа является сопряженным к пространству причем двойственность задается соотношением

Обозначим через са подпространство Ьа, состоящее из всех счетно-аддитивных (знакопеременных) мер, а через Ьа+ са+ положительные конусы соответствующих пространств. Известно, что для у £ Ьа+ существует единственное разложение у = уг + у5, где уг £ са+ у5 £ Ьа+ у5 — так называемая чисто конечно-аддитивная мера (см. [7]). Обозначим через /* преобразование Фенхеля-Лежандра функции /, а через ¿^индикатор множества А (0 на А и гае А) (см. [8, § 2.6]).

2. Основные результаты. Для формулировки основных результатов работы сформулируем налагаемые нами предположения и введем необходимые объекты.

Предположение 1. Функция полезности и: М ^ М и{—те} — монотонно неубывающая, вогнутая функция, конечная на множестве (0, те) и непрерывная справа в нуле, и(х) = —те при х < 0.

А £ &, Р(А) = 0 ^ у(А) = 0,

(2)

Положим

V(у) = 8Ир [и(х) — ху], у £ М.

жек

Другими словами, V есть преобразование Фенхеля-Лежандра функции — U(—x). Поэтому V — собственная, полунепрерывная снизу, выпуклая функция, а по теореме Фенхеля-Моро [8, разд. 2.6.3]

inf [V (y) + xy] = U (x). v^o

Далее, согласно предположению 1, domV С R+ и V монотонно не возрастает (см. [9, предложение 3]).

Пусть B е L0 — случайный вклад. Об означим ф = 1 + |B |. Как уже отмечалось, в данной работе мы отказываемся от условия ограниченности случайного вклада. Тем не менее нам потребуется следующее предположение, связывающее случайный вклад и функцию полезности. Предположение 2. Выполнены условия:

E U(аф) < +те для некоторого а > 0, (3)

EV < для некоторой с.в. г? е Ll+. (4)

Как легко видеть, в случае B е Lусловия предположения 2 выполняются автоматически. Следующее предположение относительно множества A является вполне естественным и имеет место для основных динамических моделей финансовых рынков.

Предположение 3. Множество A является выпуклым конусом в L0.

Следующее предположение, задающее связь множества капиталов инвестора в заключительный момент времени и случайного вклада, также, очевидно, выполняется при B е L^.

Предположение 4. Случайная величина, |B| суперхеджируема, т.е. 3x е R, Зе е A : x + е ^ |B|. Далее определим множества, необходимые для формулировки основных результатов — теорем 1 и 2. Пусть

C^ = (A — L+) П По множеству C^ построим множество R:

R = |/х G Ъа+ : ц = 1, МО < 0 V£ G ^

Элементы множества R мы будем называть разделяющими мерами, как это принято в литературе для устроенных подобным образом множеств.

Предположение 5. Множество R непусто.

Под арбитражем в классическом смысле понимается существование такой случайной величины е е A, что е ^ 0 P-п.н. и Р(е > 0) > 0. Для нашей работы условие отсутствия арбитража в описанном смысле является избыточным. Предположение 5 эквивалентно отсутствию на финансовом рынке "сильного" арбитража (см. лемму 3 ниже).

Введем в рассмотрение функцию цены к прямой и двойственной задачам максимизации полезности со случайным вкладом:

u(x) = sup E U(x + е + B), x е R; (5)

feA

v(y) = inf < E yy' neRЛ

у I У W

ф dP

+ до ( | ) } , у e M. (6)

Пусть а = т1 (х € М : и(х) > -те}. Сформулируем еще одно предположение, состоящее в том, что рассматриваемая нами задача (1) не является тривиальной.

Предположение 6. Величина а < и существует зна,чение х0 > а, такое, что и(х0) < Напомним определение субдифференциала ди функции и в точке х ^ 0:

ди(х) := (г € М : и(¿) ^ и(х) + — х) для всех £ ^ 0}.

Хорошо известно, что для х, у ^ 0

и (х) = V (у) + ху ^ у € ди (х).

Примечание 1. Как легко видеть, соотношение (2) может быть распространено на множество случайных величин £ £ Ь0, ограниченных снизу: (у,£) = Ишга^те(у,£ Л и), при этом если у £ са+ то, используя теорему о монотонной сходимости, будем иметь

<М> = E

dfj, dP

Сформулируем теорему 1 (ср. с теоремой 3.1 в [2]). Пусть

М = {х £ М : 3£ £ А, е > 0: х + £ + В ^ еф}. Теорема 1. Пусть выполнены предположения 1-6. Тогда

(i) функция и не убывает, вогнута, конечна и непрерывна на, sup у ( —

(ii) для х е M

и(х) = min{v(y) + xy}, v^o

при этом инфимум в формуле (6) достигается]

(iii) если х е M, £* е L0 — решение задачи (1), то

(7)

0,

-ф dP

(8)

у* у*

у = у*, при этом второе и третье равенства системы (8) понимаются с учетом примечания 1.

Равенство (7) называют двойственными связями между функциями цены и«. Соотношения (8) позволяют выразить решение прямой задачи максимизации ожидаемой полезности в случае его существования через решение двойственной задачи. Для достаточных условий существования решений в задаче (1) требуются сильные дополнительные предположения относительно множества А и функции и, которые в данной работе не рассматриваются (см., например, [1, 2]).

Форма представления (6) функции цены V и система условий (8) неприемлемы для практических расчетов, так как в них используются конечно-аддитивные меры. Дальнейшей целью данной работы является преобразование формулы (6) и системы условий (8) к виду, не содержащему конечно-аддитивных мер. Перед тем как сформулировать соответствующий результат, обратим внимание на работу [6]. В ней авторы, преследуя ту же самую цель, вводили в основную и соответственно в двойственную задачи дополнительный параметр, что позволило избежать наличия конечно-аддитивных мер в определении двойственной функции.

Теорема 2. Пусть выполнены предположения 1, 3-5. Тогда (г) имеет место соотношение

v(y) = min ^ E

(R-ba+ )Пca+

V

y dy ipdP

+ ^ ( ^ ) + V9(B)

(9)

где

B) = sup { y(n) — inf( esssup(n — £)^ } ,

ч+feL?

^ ф

при этом

(Я - ba+) П ca+ = |/i e ca+ : y(£) ^ 1 для любой £ e ^ + П L+j

Ф V Ф

(гг) есл и у*(у) — мера, доставляющая минимум в формуле (6), то найдется мера у**(у); доставляющая минимум в формуле (9), такая, что

(ш) если также выполнены предположе ния 2 и 6 и £* — решение задачи (1) для не которого х € М, у* — значение, доставляющее минимум в формуле (7) при данном, х, а, ^**(у*) — м,ера, доставляющая минимум в формуле (9) при у = у*, то

'хНЛ _ - . N - (10)

и** = х + д(и**(у*),в)-

3. Вспомогательные результаты. Сформулируем ключевой для доказательства теорем 1 и 2 результат [10].

Теорема двойственности. Пусть X — локально выпуклое хаусдорфово топологическое пространство, X' — сопряженное к нему, , : X ^ М и — собственные выпуклые функции, причем найдется точка, в которой обе функции конечны, и хотя бы одна из них непрерывна. Тогда, для, любого х' € X'

+ Ы*(х') = и™ М(у') + (х' — у')}-

у'ех'

В частности,

— int (^1(х) + (х)} = тМ^* (у') + (—у')}-

Далее приводятся результаты, на которые опираются доказательства теорем 1 и 2. Лемма 1. Пусть выполнено предположение 3. Вассмотрим следующие условия: (г) выполнено предположение 4; (и) Эе>0: в- 1 е

(ггг) множеств о Я ограничено по норме в прост^нст ее Ьа;

О) ц > 0 для любой 0 Ф ц € Ж, где Ж = {// € Ъа+ : //(£) ^ 0 € .

Тогда, верны следующие импликации:

(г-и) (г) ^^ (гг) (ггг).

Доказательство. Как легко видеть,

Я = ^ ц^Ж : ц = 1

(и). Предположение 4 эквивалентно тому, что найдутся х € М+, £ € А, для которых выполнено неравенство £ ^ ф — х. Поэтому по определению множества С^ данное условие эквивалентно тому, что ф — х € СДалее, используя тот факт, что С^ — конус, получаем требуемую равносильность условий и (п).

(п)=>(гу). Пусть е > 0 таково, что е — ^ € Возьмем 0 ф /л € Ж. Тогда

что доказывает условие (¿у).

(и)=^(ш). В случае Я = 0 условие (Ш), очевидно, выполняется. В противном случае возьмем ^ € Я. Тогда с учетом предыдущей выкладки будем иметь

откуда получаем условие (Ш). Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Пусть выполнены, предположения 3 и 4. Тогда,

/ \ С Ф С ■ -г сс а С ■

(г) множество — является выпуклым, конусом, при этом если ( е —, г? € ь , с, ^ г], то г] е —; (гг) множество Я является выпуклым компактом в топологии а(Ьа, при этом справедливо

равенство

= {е е : < 0У/Х е (11)

Доказательство. Пункт следует из определения множества

(и) Выпуклость множества & следует из его определения, а компактность — из теоремы Банаха-Алаоглу с учетом условия (Ш) леммы 1. Равенство (11) справедливо в силу выпуклости множества условия (¿у) леммы 1 и теоремы Фенхеля-Моро [8, п. 2.6.3]. Лемма 2 доказана.

Следующая лемма устанавливает взаимосвязь условия наличия "сильного" арбитража на финансовом рынке и предположения 5.

Лемма 3. Пусть выполнены предположения 3 и 4. Следующие условия эквивалентны:

(г) существуют т,акие е > 0 и £ £ А, что £ ^ еф;

№ =

(¿V) & = 0.

Доказательство. Эквивалентность утверждений (Ш) и (¿у) вытекает из соотношения (11), тогда как остальные эквивалентности суть следствия предположения 3 и определения множества Лемма 3 доказана.

Леммы 4 и 5 совпадают в случае ф = 1 с леммами 1 и 2 из [11].

Лемма 4. Справедливо равенство [еззБир^^)]*^) = 1

Доказательство. 1) Если у £ Ьа+ то, взяв £п = — п1а, где у (А) = а < 0, получим у(£п) — езззир(£пф) ^ — па — +те,п — те.

2) Пусть ц, ^^ = а > 1. Тогда для £га = ^ имеем у(£га) — езБзир^^) = п{а — 1) —> +те, п —> те.

3) Пусть 0 < ¡л ^^ = ^ < 1. Тогда для £га = —^ имеем — в^Бир^^) =

4) Пусть /л е 6а+, у ^^ = 1. Тогда выполнено неравенство //(£) — еББзир^^) ^ 0, которое обращается в равенство при £ = 0

5) Пусть /л е 6а+, у ^^ = 0. Тогда для £га = —^ имеем у(£га) — еззБир^^) = п —> +оо,п —> те.

Лемма 4 доказана.

Лемма 5. Пусть выполнены предположения 3-5. Тогда

М езззир(п — £)ф = 5*я(п), П £ Ь~. (12)

Доказательство. Левую часть равенства (12) можно преобразовать к виду

(0).

esssup (v-Oi' + ^iO

ф

К паре функций = esssup(r? — £)ip и угШ = (£), определенных на пространстве Ь°°, применима

—

теорема двойственности. Действительно, ,^2 — собственные выпуклые функции. Осталось проверить, что найдутся £ £ L°°, 5 > 0, такие, что значение конечно и Д;(£) С Ц^-. Согласно условию (ii)

леммы 1, найдем е > 0, такое, что е — ^ £ Пусть ||?у|| = р. Тогда, так как ^ — конус, случайная величина р + 5 — ^ € где h = > о. Положим = P ~ ^ + §• Тогда <^i(£o) = esssup(r? —

)ф ^ h, а поскольку условие £ € Bs(£o) влечет неравенство £ ^ + §5 то указанная окрестность содержится во множестве что завершает проверку условий теоремы двойственности. Далее, используя лемму 4 и арифметические преобразования, имеем [(pi(0]*ii1) = viv) + i как "^f

выпуклый конус, содержащий выполнено равенство (£)]*(//) = В итоге, применяя теорему

—

двойственности, получаем требуемое равенство. Лемма 5 доказана. Следствие 1. В условиях леммы 5

inf {х е R : е A : х + £ ^ = max

Доказательство. Равенство следует из формулы (12) при п = 1, а достижимость максимума в правой части равенства — из используемой в доказательстве леммы 5 теоремы двойственности.

Следующая лемма является ключевой в доказательстве первой части утверждения (¿) теоремы 2. Лемма 6. Пусть выполнены, предположения 3-5. Тогда для, ц € Я — Ьа+

/ J11*1? , v ( §) = sup М^) ~ ■

ue{^-ti)nba+ \íp J n+BeL,

' ib

~ ф с +

-| *

Доказательство. Правую часть равенства можно преобразовать к виду +5ьоо_в(г}) (¡л).

Рассмотрим функции ^р\{г]) = 5^(г]), <£>2(л) = -¿.(л)- И3 условия (Ш) леммы 1 следует, что функция

+ -0

непрерывна на поэтому для данных функций снова применима теорема двойственности. Учитывая, что ЬЦ(V) = Ья(V), так как, согласно лемме 2, Я — выпуклый компакт в топологии а(Ьа, а также

'в

то, что 5*ьоо _b(v) = 5_ьа+(г/) — v (|П, получаем требуемое. Лемма 6 доказана.

+ -Ф ^ '

Лемма 7 есть по сути доказательство второй части утверждения (¿) теоремы 2. Лемма 7. Пусть выполнены, предположения 3-5, ц € Ьа. Следующие условия эквивалентны: (г) ц € Я — Ьа+;

(гг) МО < 1 для любой £ € = + П .

е <о\ - i ф -г у—j j i

Примечание 2. В случае ф = 1 данная лемма доказана А. А. Гущиным (частное сообщение), причем в этом случае знак замыкания можно опустить.

Доказательство, (г) => (и). Если ¡л = ¡л\ — г/, где ¡л\ G Я, v е 6а+, то для £ € ^ + (^¿f^j П

имеем — v(£) ^ ^i(C) ^ 1, где последнее неравенство следует из (11).

(ii) ^ (i). Положим ф(£) = 6^(£) + (£) и покажем, что для £ G

М£) < Ф(£), (13)

тогда как для £ G L+ неравенство, очевидно, имеет место. Пусть ф(£) = 0. Тогда ф(А£) = 0 для любого А > 0. В силу (11) имеем А£ € откУДа ^ + А£ € Из условия (и) получаем, что //(£) ^ 0. Пусть

теперь ф(£) > 0. Положим £' = ^у- Тогда </>(£') = 1 и z/(£' — = г/(£') — 1 ^ 0 для любого элемента

и <Е Я. Следовательно, £' — ^ € (l|r) в СИЛУ (И)> т-е- С S Ввиду условия (и) имеем //(£') ^ 1, откуда

М£) ^ ф(£), что завершает проверку данного неравенства для всех £ G К функции ф снова применима теорема двойственности, проверка выполнимости условий которой проходит так же, как в случае леммы 6. По упомянутой теореме ф*(^) = 6^-ьа+, но, с другой стороны, если для меры ^ выполнено неравенство (13), то ф*(М ^ 0. Лемма 7 доказана.

В лемме 8 изучаются качественные свойства функции и.

Лемма 8. Пусть выполнены, предположения 1 и 3. Функция и: R ^ R U {—те} U |+те} является возрастающей и вогнутой. Имеет место альтернатива: либо u(x) = +те для всex x > а, либо u(x) G R для, всех x > а. В последнем случае функция и непрерывна на (а, +те).

Доказательство. Возрастание функции и следует из возрастания функции U. Проверим вогнутость, что эквивалентно выпуклости множества {(x,z) G R2 : z ^ u(x)}. Достаточно проверить, что для любых a G (0,1) и xj, zj G R, zj < u(xj), i = 1,2, справедливо неравенство az1 + (1 — a)z2 ^ u(ax1 + (1 — a)x2). Пусть £j G A, i = 1, 2, таковы, что E U(xj + £j + B) ^ zj. Имеем

azi + (1 — a)z2 < aU(xi + £i + B) + (1 — a)U(x2 + £2 + B) <

^ U(axi + (1 — a)x2 + a£i + (1 — a)£2 + B) ^ u(axi + (1 — a)x2)

в силу вогнутости функции U и выпуклости множества A. Оставшаяся часть условия леммы 8 следует

и

Наиболее естественным топологическим пространством, в котором можно рассматривать задачу максимизации (1), является пространство L0 (с топологией сходимости по P-вероятности). Однако данное пространство не является локально выпуклым. Лемма 9 сводит функцию цены (5) задачи (1) к банахову пространству L^.

Лемма 9. При выполнении предположений 1, 3, 6 для х > а имеем и(х) = sup E U(х + £ + B).

gee *

Доказательство. Пусть и(х) = sup E U(х + £ + B). Неравенство и(х) ^ и(х) следует из определения

gee *

множества C^. Пусть теп ерь х > а. Возьмем е > 0 так, чтобы х — е > а. Если случайная величина £ е A такова, что х + £ + B ^ е, то, тол ожив £n = £ Л max{n,e — х — B}, получим £n е C^ и U (х + £n + B) ^ U (е), U(х + £n + B) f U(х + £ + B). По теореме о монотонной сходимости EU(х + £n + B) f EU(х + £ + B), поэтому, учитывая неубывание функции U, а также то, что U(х) = —го при х < 0 , имеем

и(х — е) = sup E U(х — е + £ + B) ^ sup E U(х + £ + B) ^ и(х). SeA: geA:

и

х > а. Лемма 9 доказана.

В следующей лемме вычисляются значения начальных капиталов инвестора, при которых ожидаемая полезность его капитала в терминальный момент времени с учетом случайного вклада больше —го. Лемма 10. При выполнении предположений 1, 3-6

int^ е R : и(х) > —го} = (х1, +го),

где

( В

Х\ = sup ц —-

V Ф

Доказательство. Условие принадлежности х е R к левой части доказываемого равенства эквивалентно существованию е > 0,£ £ для которых х + + В ^ е, что в свою очередь эквивалентно условию

х — е^ inf esssup ( — — £ ) ф.

\ Ф J

ъ *

Далее применяем лемму 5. Лемма 10 доказана. 4. Доказательства теорем 1 и 2.

Доказательство теоремы 1. Утверждение (i) напрямую следует из лемм 8 и 10. Запишем цепочку равенств, второе из которых верно при х > а по лемме 9, а третье в связи с тем, что с учетом условия (3) предположения 2 имеем E U(£) < +го для £ е ^L^:

и(х) = sup E U(х + £ + B) = sup E U(х + £ + B) = geA gee*

= sup {EU(£) — ¿x+e* +b(£)} = sup {eU(£^) — S

__, уф , в

ф' Ф Ф

(£) =

= - inf■ Е -и(-СФ) + 5 ^ф А-0 • (14)

( ф^ ф "гф

Определим функции ^1,^2 : L^ ^ R U {+го} :

ф+ ф +,/,

Выпуклость функции ^>1 проверяется непосредственно. То, что функция является собственной, следует из предположений 1 и 2. Выпуклость функции <¿>2 вытекает из выпуклости множества а ее собствен-

ность очевидна. Вычислим сопряженные функции , Функция /(Ь, ш) = —и(—Ь ■ ф(ш)) ^ ® измерима и при фиксированном ш полунепрерывна снизу по переменной Ь, поэтому она является нормальным выпуклым интегрантом [12, следствие 14.34]. Вычислим преобразование Фенхеля-Лежандра функции /(Ь, ш) при фиксированном ш, учитывая, что ф = 0:

г (у, и) = вир {уЬ + и{-1 • Ф{Ш))} = V

\ф(ш)

Условие (4) предположения 2 гарантирует выполнение условий теоремы 1 из [13] для функции /(¿, ш). Имеем

<р\(ц) = Е Ы //(£).

ф ^Р

Далее,

Е и

^(/х) = _ вир в К-0 = вир К-0 - X» - /х (|) = - ^ - /X

ф

г

где множество ^ введено в доказательстве леммы 1. Докажем, что для х £ Ж найдутся г/ £ ^ + Щ- +

е > 0, такие, что Е С/(г?ф) > — оо, Ве(г)) С ^ + + Итак, пусть ж € Обозначим г?о = , г?о

где £ € А> 0 — величины из определения множества М. Можно считать, что £ € в противном случае заменим £ на £ = £ Л тах{п,еф — х — В}. Остается показать, что — §) С ^ + ^ +

Действительно, условие г? € — |) влечет неравенство г? ^ г?о — §, откуда следует, что г? € ^ +

"^/Г + 110 свойствам множества Применим второе равенство теоремы двойственности для банахова пространства X = и функций <1 и <25 определенных выше. Имеем

- Ы Е - и(-СФ) +6Х ^ф в(-0 > = " +

I ф+~ф г— I ц£Ьа

С учетом (14) и выражений для <1 <2> найденных выше, получаем для ж € М

и(ж) = ш1п

деЬа

Е V

1

ф ^Р

- /АО + ( ^ ) +/Х ( ^ ) }> =

Еи

ф

ф

= Ш1П

дек

МШЧ^ЬШ}-

> (¿Р у 1 \Ф) ' 1 ' '

Слагаемое с ц5 исчезает, так как множество К состоит из неотрицательных мер. Используя условие (¿у леммы 1, имеем К = иу>0 уЯ, поэтому (15) можно переписать в виде

и(ж) = ш1п{-и(у) + жу},

у>0

где

■и(у) = 1п1 уу' деЯ

Е

V

у <1цг

фЦр

, в

Докажем, что инфимум в данной формуле достигается. Схема доказательства этого факта повторяет доказательство леммы 4.1 из [2] с незначительными изменениями. При у ^ 0 утверждение, очевидно, верно. Пусть у > 0, & цп € Я — минимизирующая последовательность для -и(у). По теореме Комлоша (см., например, лемму 3.1 из [1]), используя также выпуклость множества Я, можно считать, что —> / Р-п.н.

для некоторой конечной случайной величины / ^ 0. Так как множество \цп[ -у ] ^ ограничено, счита-

I ч^/^ем

ем, что последовательность цп сходится. Пусть /1 — предельная точка последовательности {цп}пе^ в топологии а(Ьа, ). Так как Я — компакт в данной топологии, то /1 € Я. Согласно предложению А.1 из [2], ^р- = /. Определим непрерывное в данной топологии отображение Т: Ъа —> Ъа следующим образом: ТД£) = ц , £ € Ь°°. Далее, обозначим через г/2) У-дивергенцию конечно-аддитивных мер

v1,v2 € Ьа (см. [9]). Тогда Е

V I

у 1 ф ар

^(уТд, Р) (см. теорему 1 из [9]). Используя полунепрерывность

снизу V-дивергенции в топологии а(Ьа, ), имеем

у ^ц!

11ш Ы (уТДп, Р) = 11ш 1п1 Е

V

ф ^Р

> / (уТд, Р) = Е

V

у

В итоге

Е

V

у

фЦр

+ уу

^ Иш1пП Е

V

Ф (1?

+ ууп

= «(у),

т.е. мера у доставляет минимум в формуле (6). Утверждение (и) теоремы 1 доказано. Выведем теперь соотношения (8). Из определения функции V следует, что и (¿) ^ V (у) + ¿у для всех г, у £ М. Положив г = х + + В, у = ^^рг, будем иметь

и (х + £* + В) < V

у* ^у* \ у* ф*

ф ^Р

+ (х + £* + В)

ф ^Р

Заметим, что из условия г ^ 0 следует, что случайная величина ^ ограничена снизу. Согласно примечанию 1, /х* ^^ ^ 0, так как для любого п величины ^^ Ал € Щ-. Поэтому значения и /4 конечны. Далее, взяв математическое ожидание от обеих частей неравенства, получим

/£*\ ( х + £* + В\

и{х) = Е и(х + + В) ^ у(у*) + жу* + у*/х* ( ^ ) - у*/4 (-^-) ^ -и(у*) + жу*.

По определению у* левая часть данного неравенства равна его правой части, что эквивалентно выполнению системы условий (8). Это доказывает утверждение (Ш) теоремы 1. Теорема 1 доказана.

Доказательство теоремы 2. Отметим сначала, что доказательство из теоремы 1 достижимости инфимума в формуле (6) опирается только на предположения теоремы 2. Далее, учитывая невозрастание функции V, правую часть равенства (6) можно привести к виду

«(у) = шт

Е

V

у ^у

Для доказательства первой части утверждения теоремы последовательно применяем леммы 6 и 5. Доказательство второй части утверждения содержится в лемме 7. Утверждение (и) следует из написанного выше равенства для «(у). В случае, когда мера у**(у*) такова, что выполнены равенства утверждения (и) теоремы 2 для некоторой меры у*(у*), доставляющей равенство в формуле (6), утверждение (ш) следует из системы условий (8). Докажем (10) в произвольном случае. Как и в доказательстве системы условий (8), имеем

и(х + £* + В) < V

у* ¿у **

+ (х + £* + В)

у* ¿у ** ~ф~дР

Тогда

«(х) ^ «(у*) + ху* + у* у**

^+ 6

Ф

— х — #(у** , В) .

Докажем, что /х** (^"¡/Г1) х + 9(^**7 В), откуда будет следовать выполнение системы условий (10). Положим £п = £* Л шах{п, —х — В}, и £ N. Тогда, учитывая, что х + £* + В ^ 0, будем иметь £п £ С^, £п Т £*, х + £п + В ^ 0. Значит, для любого и £ N

$(у**,В)= вир [у**(п) + essinf(£ — пф)] ^ вир

х + £п

/X** [ —) - х + еБэт^ - £„)

. I Ж Ста

^ /X** | ^ I Ж.

Далее, применяя теорему о монотонной сходимости, получаем требуемое. Теорема 2 доказана.

5. Пример модели финансового рынка. Построим модель финансового рынка, удовлетворяющую

и

образом:

и(х) = | х х ^ 0;

I —то, х < 0.

Пусть случайный вклад B ~ N(0,1) — гауссовская случайная величина. Положим A = {a(|B| — c)|a G R+}, где c = E|B|. Задача (1) в данном случае имеет следующий вид:

u(x) = sup E U(ж + a(|B| — c) — B) = < Ж' X ^ С

a€R+ X < С.

Ясно, что данная модель удовлетворяет предположениям 1-6, при этом M = (с, Вычислим, исполь-

зуя теорему 2, значения функции цены v(у). Функция V задается следующим образом:

V (у) = (+ у (16)

у < 1.

Несложно понять, что в данном случае C^ = {—в^ ^ С ^ a(|B| — c^a, в G R+}, и в соответствии со второй частью утверждения (i) теоремы 2

_ , . . i'a(|B | — с) + 1',

(ж — оа+) П са+ = <j /л G са+ : /л ( -—- ) ^ 1 для любого a G

1

о, -

с

(17)

Поэтому на основании первой части утверждения теоремы 2 с учетом (16) и арифметических преобразований получим

v(y) =

y • min < sup [Mn) + essinf(£ — ^П + B)] >, y ^ 1;

„гГ^ ^ I

dP^y

+TO, y < 1.

Из равенства (17) следует, что при у ^ 1 мера /л, такая, что ^р = ^, принадлежит множеству («^ — 6а+) П са+. Поэтому при у ^ 1 имеем f(y) = у ■ sup [^E^r? + essinf({ — фг] + Б)]. Тривиальными

рассуждениями можно доказать, что v(y) ^ c(1 — у), при этом максимум достигается в случае п = £ = \В\ - с. Итак,

, ч ic(1 — у)) у ^ 1;

v(y) = 1 , / 1

[+ТО, у < 1.

Проверка показывает, что функции u(x) и -у(у) связаны равенством (7), о чем и утверждает теорема 1. В данном случае в терминах утверждения (ii) теоремы 2 для ж > c имеем у* = 1, С* = a*(|B| — с), где а* £ [l)§]> a также = -ф_ Нетрудно убедиться, что утверждение (iii) теоремы 2 в данном случае

также выполняется. Необходимо отметить, что вычисление функции -у(у) по формуле (6) и проверка выполнения системы условий (8) представляются весьма затруднительными.

Автор приносит благодарность научному руководителю доктору физ.-мат. наук А. А. Гущину за полезные предложения и идеи, а также за ценные замечания, высказанные в процессе работы над статьей.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Kramkov D.O., Schachermayer W. The asymptotic elasticity of utility functions and optimal investment in incomplete markets // Ann. Appl. Probab. 1999. 9, N 3. 904-950.

2. Cvitanic J., Schachermayer W., Wang H. Utility maximization in incomplete markets with random endowment // Finance and Stochastics. 2001. 5, N 2. 259-272.

3. Schachermayer W. Optimal investment in incomplete markets when wealth may become negative // Ann. Appl. Probab. 2001. 11, N 3. 694-734.

4. Owen M.P., Zitkovic G. Optimal investment with an unbounded random endowment and utility-based pricing // Math. Finance. 2009. 19, N 1. 129-159.

5. Biagini S., Frittelli M., Grasselli M. Indifference price with general semimartingales // Math. Finance. 2011. 21, N 3. 423-446.

6. Hugonnier J., Kramkov D.O. Optimal investment with random endowments in incomplete markets // Ann. Appl. Probab. 2004. 14, N 2. 845-864.

7. Yosida K., Hewitt E. Finitely additive measures // Trans. Amer. Math. Soc. 1952. 72, N 1. 46-66.

8. Алексеев B.M., Тихомиров B.M., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Физматлит, 2005.

9. Гущин А.А. О расширении понятия /-дивергенции // Теория вероятн. и ее примен. 2007. 52, № 3. 468-489.

10. Rockafellar R. Т. Extension of Fenchel's duality theorem for convex functions // Duke Math. J. 1966. 33, N 1. 81-89.

11. Хасанов P.В. Максимизация полезности со случайным вкладом: новая постановка двойственной задачи // Обозрение прикл. и промышл. матем. 2011. 18, № 1. 96-97.

12. Rockafellar R.T., Wets R.J.-В. Variational analysis // Grundlehren Math. Wiss. 1997. 317.

13. Rockafellar R.T. Integrals which are convex junctionals II // Pacif. J. Math. 1971. 39, N 2. 439-469.

Поступила в редакцию 11.11.2011

УДК 515.164.8, 512.542, 515.122.55

ЛЮБАЯ КОНЕЧНАЯ ГРУППА ЯВЛЯЕТСЯ ГРУППОЙ СИММЕТРИЙ НЕКОТОРОЙ КАРТЫ ("АТОМА'-БИФУРКАЦИИ)

Е. А. Кудрявцева1, А. Т. Фоменко2

Изучаются карты, т.е. клеточные разбиения замкнутых двумерных поверхностей, или двумерные атомы, с помощью которых кодируются бифуркации слоений Лиувилля невырожденных интегрируемых гамильтоновых систем. Доказано, что любая конечная группа G является группой симметрий некоторой ориентируемой карты (атома), причем одна такая карта X(G) строится конструктивно, алгоритмически. Получены верхние оценки для минимального рода Mg(G) ориентируемой карты с данной группой симметрий G, а также для минимального числа вершин, ребер и граней таких карт.

Ключевые слова: конечная группа, ориентируемая карта, группа симметрий карты, действие группы на замкнутой поверхности.

Maps are studied, i.e. cell decompositions of closed two-dimensional surfaces, or two-dimensional atoms, which encode bifurcations of Liouville fibrations of nondegenerate integrable

G

map (of an atom). Moreover one such a map X(G) is constructed algorithmically. Upper bounds are obtained for the minimal genus Mg(G) of an orientable map with the given symmetry group G, and for the minimal number of vertices, edges and sides of such maps.

Key words: finite group, orientable map, symmetry group of a map, group action on a closed surface.

1. Введение. А. Т. Фоменко в fl, 2] было введено понятие "атом". Атомы кодируют типичные перестройки (бифуркации) торов Лиувилля в невырожденных интегрируемых гамильтоновых системах. К настоящему времени в терминах двумерных атомов и "молекул" описаны многие известные интегрируемые системы с двумя степенями свободы и их классы относительно различных отношений эквивалентности. В частности, оказалось, что многомерные бифуркации торов Лиувилля представляются в виде полупрямых произведений двумерных атомов (см. [3]), что делает актуальным изучение групп симметрий двумерных атомов. Двумерные седловые атомы можно эквивалентным образом задавать при помощи либо так называемых /-графов [4], либо карт (т.е. абстрактных многогранников, см. ниже).

Карта (или абстрактный многогранник) — это клеточное разбиение замкнутой двумерной поверхности, рассматриваемое с точностью до клеточных гомеоморфизмов. Гомеоморфизмы поверхности на себя, сохраняющие такое разбиение и рассматриваемые с точностью до гомеоморфизмов, переводящих каждую

1 Кудрявцева Елена Александровна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: eakudrQmech.math.msu.su.

2 Фоменко Анатолий Тимофеевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: fomenkoQmech.math.msu.su.