Максимизация первого собственного значения уравнения малых колебаний неоднородной мембраны Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1.Вып. 1.1995

УДК 517.972.5

Максимизация первого собственного значения уравнения малых колебаний неоднородной мембраны

А.Ю. Казаков

Рассматриваются собственные краевые задачи для самосопряженного эллиптического оператора с непрерывными коэффициентами в ограниченной связной области. Для I и III краевых задач ищется максимум первого собственного значения относительно ступенчатой функции р(х) с заданной ¿1—нормой, присутствующей множителем в правой части уравнения. Показано, что максимум достигается в этом классе, и максимизирующая функция описывается в терминах множества уровней соответствующей собственной функции.

Введение.

Рассмотрим равномерно эллиптический самосопряженный оператор с непрерывными коэффициентами в й, где О С — ограниченная связная область:

Ьи = = —А р(х)и.

ьз

Здесь р € Ь\(П). Пусть даны 2 числа: 0 < а < (3. Мембрану мы определяем выбором ш С О, где р принимает значение а, соответственно на О \ ш р = (3. Следовательно, допустимым множеством для р будет ай = {ахи + — Х«)> х 6 О}; причем будем рассматривать такие р(х), что \ш\ — 7 — фиксированное число:

р € айу = {ахш + /3(1 ~ Хы) ■ М = т}-

Например, для Ь = Д р(х) будет плотностью мембраны, айу — множество плотностей мембран, имеющих заданную массу. Задача Дирихле для такого уравнения рассматривалась в [1].

Нас интересует максимизация Х^р) — собственного значения I и III краевых задач — в классе функций ай7.

© А.Ю. Казаков, 1995.

145

1. Вспомогательные утверждения.

Приведенные в этом пункте сведения более подробно будут рас смотрены автором в другой статье ([2]), где решается задача мини мизации собственных значений. Поэтому соответствующие доказа тельства, либо ссылки, которые можно найти в [2] здесь опущены.

Сначала будем искать экстремум в более широком классе функ ций:

ре ас1*у = {ре £оо(0) : а<р<Р п.в. в $1,! р<1х = а7 + /?(|1)|-7)}

и затем (см.п.З) будет доказано, что р], на которой достигается эирЛ^уо), лежит в а(17. Для нас важно, что это ас?*, являющееся

ай*

■ш "-замыканием в множества ас1у, будет и>*-компактным и вы-

пуклым (ги* означает * - слабую сходимость).

Лемма 1. Множество экстремальных точек ай*у совпадаете ай-у.

Слабыми решениями краевых задач с однородными гранич-

n о

ными условиями на <90 (ад ,|ап= О и (]С ач(х)Шг.и] + аи) 0),

как обычно называем ад € ]¥, удовлетворяющее 1(и,у) = Л(ад,г-)| для Уь е №. (Здесь и далее обозначаем через (ад, г>)р скал, ное произведение в с весом р{х)\ Ш = Н1(£1), 1(и,ь)

= / aij(x)дíuдjvdx + / <тададс?£ — для третьей краевой задачи,

г^ П дП

для задачи Дирихле второе слагаемое отсутствует и IV =

Лемма 2. Для Vр е ас1* 3 дискретный спектр {Ад>(р)}, Л^ ■—* оо при к —► оо. Собственные значения выражаются ч> формулы:

1

где R(p,u) = — отношение Рэлея, а А(р,и) = ^/(ад,ад) — ||ад|| функционал Очмьюти, причем min достигается на 1-й собст* ной функции, нормализованной соответствующим образом (в следнем случае Лр1 (/>) = = 1(щ,щ)).

Лемма 3. щ е W П L^ü) П Hfoc(ti) ПС'^П) и удовлетво, уравненцю Lu + А/ж = 0 п.в. в Q. Если дй € С2, то щ € Я2(01

nC^fi). (Мы, предполагали здесь ограниченность коэффициентов aij в Q,.)

Лемма 4. Ai простое, а щ ф 0 в Q и может быть взята положительной.

Лемма 5. Для дП € С2, Vi ф О |«ГЧ01 = О. Лемма 6. Пусть (рп) р в Loo(Q). Тогда:

1) (Ai(/r))-+\i{p);

2) Зпо Vn > щ А](рп) простое и (щ(рп)) —mi(/?) в W. Следствие из последней леммы. Поскольку отображение

Р ^li/5) является и>* -непрерывной функцией на w*-компактном ad* (О), то для всякого 7 найдутся р\ £ ad* и и £ W, такие что

Ai = A1(pi)=supA1(p) =

Замечание. Результаты п.1 можно перенести и на случай II краевой задачи. Однако функционал Очмьюти А для задачи

Неймана имеет вид:

А{р,и) = ^1{и,и) + ^\\и\\2р-\\и\\р,

и не все условия теоремы из пункта 2 для него будут выполнены, поэтому этот случай здесь далее не рассматривается.

2. Седловая точка.

Целью этого пункта будет установление равенства:

sup Ы А{р,и) = A(pJ,uJ) - inf sup А(р,и).

Из [4.VI] имеем: sup^ inf^ F < infgsup^ F\ [р\,щ) £ Л x В называется седловой точкой F на Л х В, если для У и £ В Ур £ еЛ F(p, и\)< F(p\,u\) < F(p\,u).

Хотя на ad* х W не выполняются вогнутость А(р) и выпуклость А (и), можно воспользоваться более общей теоремой о седло-вой точке, требующей квазивогнутости (вогнутости на множествах уровней; это более слабое условие).

Определения. Действительнозначная функция F квазиво-гнута на выпуклом множестве V, если для Vc 6 R {у £ V \ F(v) > с} выпукло. F : V —► R полунепрерывна снизу на V, если она удовлетворяет одному из равносильных условий:

а. V« 6 Л {и 0.У : Г (и) < а} замкнуто, или

б. \fueV ИтшГЕ(и) > Г(й) .

и—>й

Полунепрерывностъ Г сверху эквивалентна полунепрерывности —Е снизу.

Утверждение 1. А(р) квазивогнута на ас1*. Доказательство. Пусть \/г е {1;2} А(р,и) > с. Тогда

1

1(и,и) — с> ||и|

Pi

A{tp\ + (1 - t)p2,u) = il(u,.u) - ||u|

>

> !/(«,«) - (t{h(u,u) - с)2 + (1 - t)-{±l(U;U) ~ С)

Принцип Очмыоти дает нам щ{р) : щ^у = inf А(р, и) = А(р, щ).

Т.к. Л].(/9,0) = 0 и Ai(p, ±ui) < 0, то Ai(u) не будет квазивыпуклой на W. Чтобы избежать эту трудность, рассмотрим выпуклое множество вне шара, содержащего -г^,?^. Таким множеством будет открытое 11р = {г/ € И' : Af(р)(щ,ь)р > 1}. Утверждение 2. А(и) выпукла на Пр . Доказательство.

(И v)

D2A(p,ü)v = 1(й, v) - тар ,

(D\A{p,u)v,v)

d ( и \ (u + ßV>V)p\

—-(/.¿/(n, l') - -rrz-—-

dpi У v ; M+HP

l(v,v)

Hß +

ML

1

«

1^=0 =

w

> (Ai(/?) - ттЛ-)||г.'

Щ

«

-1

p . Достаточно p > ||tii||p . Действи-

Нам остается доказать: и 6 =Ф- А\(р) > убедиться, что (щ,Ъ)р > А]"2(р) = Цг^Ц2 =Ф- \\Щ тельно, НйЦрЦихЦр > {иии)р > |(м||р > Ы,..

Теорема о седловой точке [3,11.3.7]. Пусть вещественно-значная функция Е полунепрерывна сверху/снизу, квази-вогнуто-выпуклая на Ах В. Если существует у о из В и с*о < ^уев ^РхеД

такие что {z € А : F(x,yo) > ао} компактного

sup inf F(x,y) = inf sup F(x, y). тел y£B yes xeA

Формулировка и доказательство теоремы от противного для нашего случая приведено ниже.

Для того, чтобы получить выпуклость по и на всем W , не зависящем от /?, в отличие от Пр, будем рассматривать вместо А А(р, и) + тг(р, и), где ж(р,и) — индикатор множества Пр, т.е.

, v (0, и е IL,; v' [ оо, иначе.

Утверждение 3. А(р) + ж(р) w*-полунепрерывна сверху на

ad*.

Доказательство. А «/-непрерывен на ad* (см. следствие в

п.1). Возьмем (рп) С ad*, (рп) р € ad*. Покажем, что для всех U из W limsup7г(р",ti) < 7г(р,и). Ясно, что надо рассматривать

лишь и 6 Пр. Из леммы б Af(рп) (щ(рп), и)р —> Х2(р)(щ(р),и). =»■ =► ЗщУп > щ Х\{рп)(щ{рп)

, и) >1 ir(pn, u) = 0. Полунепрерывность сверху конечно аддитивна.

Рассмотрим последовательность (ип) С Пр, ип = (1 + ^)щ(р).

Для нее

inf а(р,и) = inf(A(/>,«) + tt(p,il)) и, поскольку минимум достигается на Пр , то

sup inf А(р,и) = sup inf (А(р,и) + тт(р,и)) < inf sup А(р,и) . Ре ad; «e"' Pead;^w uew р€ ad*

Обозначим через А! и В' соответственно conv{xl,..., xm} и conv{yl,

...,уп], где convC = {Е A J с' | п € N, А, > 0, с1' £ С, £ А,- = 1}.

»=1 ¿=1 Определим на А' х 0' отображение

Ф(u,v) — {(w,s) е А' х В', F(w,v) > а или F(u,s) < a}

(F — функция из теоремы [3.II.3.7]).

Теорема о фиксированной точке [3.II.3.6]. Возьмем произвольное множество U в конечноразмерном линейном топологическом пространстве Е. Пусть для всех и из U Ф(и) С Е будет компактным множеством, таким что для всякого конечного

п

подмножества {«';...; «"} С U conv{ux \...; «"} С (J Ф(и'). Тогда

f| Ф(и) ф 0. иеи

Это доказано в [5].

Теорема, sup ad. iniw А - mfw sup ad. A. Доказательство. Пусть найдется такое с, что

sup inf (А(р,и) + тг(р,м)) < с < inf sup А(р,и) .

Положим

Аи = {р 6 ad* : А(р, и) + 7г(р, и) > с},

Вр = {и eW : А(р,и) < с} .

Имеем: f] Аи = П Вр =■ Согласно утверждению 3, Аи —

uew р£ ad*

«/-замкнутое подмножество ^"-компактного ad*.. Подобным образом (заметим, что с можно взять из R_), А(и) слабо полунепрерывен снизу. Это следует; из [б]: 1(и,и) непрерывна, следовательно, слабо полунепрерывна снизу по и, ЦмЦ^ ~ IMU2(ft)' которая слабо полунепрерывна на W (т.к. вложение W С £г(П) компактно). Отсюда получаем, что для всех р Вр будет слабо замкнутым подмножеством слабо компактного множества € W : ¡¡1(и,и) < .

(Здесь \i(p) — собственное заначение для р — const = (5. Очевидно, что \\{(3) < Ai(р) < Ai(a).) Равенство 0 пересечений влечет:

п т

afti1;.■.;«"} С W3{pl\...-,pm} с adр| л,.-= f| 5,-= 0.

i=i ¿=1

Приведем это к противоречию с теоремой о фиксированной точке. А! = conv{pl;...; р'"}, В' = conv{ux-...; un}; Ф : А' х В' -А' х В

Ф(Ф,у) = {(р,и) £ А' х В1 : A(p,v) + 7г(p,v) > с или А(ф,и) < с},

А! и В\ будучи конечно порожденными, компактны. Проверят*, что Ф удовлетворяет условиям теоремы о фиксированной точке. Ее множество значений непусто: (ф,ь) € Ф(ф,ь).. Компактность же образа следует из полунепрерывности А(р) + п(р) сверху и А(и) снизу. Пусть {(ф\ь1)-,...;{фР,у1>)} С А' х В', U G [0,+оо), = = 1, г 6 {1; • ■ • ;р}, но

з=1

р Р р

j=1 j=i i=1 Выпуклость a(u) + 7r(w) и квазивогнутость давали бы тогда: р р р р

с < t^, ]Г W) + мЦ ^ < с;

г=1 j'=l ¿=1

р . .

поэтому все-таки сопь{(ф\ г)1),..., (фр,ьр)} С (J Ф(ф\ и1) и, следо-

¿=1

вательно, Б(р, й) Е А' х В' V(p,u) е А' х В' (р,й) € Ф(/>,«) , т.е.

га m

«) + 7г(/5, и) > с, либо и) < с, =>■ р G «4„< или Ü е —

г=1 г=1

противоречие.

Таким образом, получили, что (р\, и]) = supad, infw А(р,и) — седловая точка функционала Очмьюти.

3. Максимизация А] в исходном классе ad7. Из последней теоремы следует:

для Мр Vи А(р, и]) < A(pJ, üj) < A(pJ, и) .

Второе неравенство просто утверждает, что üj — первая собственная функция, соответствующая р(х) — р\(х). Первое же неравенство намного интереснее, оно дает нам принцип минимума:

для\/р€ ad* \\u1Wfi < И|р .

Получили следующее: на ad*, в точке р = р] достигается минимум линейного непрерывного функционала f(p) = Цг^Ц^.

Теорема. Найдется I G R (его еще называют множителем Лагранжа), такое что в р = р] достигается и минимум функционала \\n]fp -l\\p\\Ll(Q).

Доказательство. Рассмотрим Ф : L^Q) —► R2, Ф непрерывно и задается формулой:

Пусть G = Ф(ad*) С R2. Из непрерывности Ф и замкнутости ad* получаем замкнутость G, а из выпуклости ad* (р1,р2 е ad* ав <

< р1в < /30, а<(1 - в) < р2( 1 - в) < /?(1 - в) су < р1в + р2(1 - 0) <

< ¡3 р19 + р2(1 - £ ас?*) и линейности Ф по р — выпуклость; кроме того, G ограничено в R2. Ф(р{) = (С?» ) е ^ причем = = min a m7 возьмем равным «7 = (3(\Щ — 7).

1«ТИ# = mm||Kjg= min

w

ill?

=Ф> (£j, € <9G и 31 (это l будет связано с углом наклона касательной к G в (^,^2)' если она существует), что \/(£ьЫ е G — <

Следствие:

3/ V/? € абГ J рПЮ2 - 7)dx < J р((Щ)2 - /)&;.

а а

Лемма. f(p) достигает на ad* соей верхней границы, по крайней мере, в одной точке ady.

Докажем это, используя лемму 1. Рассмотрим F — семейство 0 ф X С ad*y — замкнутых подмножеств, таких что всякий содержащийся в ad* интервал, имеющий точки в X, обязан лежать в X. Имеем:

Vp е ad* {р} е Р & ре ady. Кроме того, F обладает следующим свойством:

XeF Y = {хе X : f(x) = sup/} е F.

Действительно, как полунепрерывная сверху функция, / достигает на замкнутом X sup/(x) = а =>■ V ф 0; причем У замкнуто. Пусть

a, г G ad* а ф г,

р = Аа + (1 - А)г 6 У, А € (0; 1)

о,т е х,

из линейности: а — Xf(a) + (1 — А)/(r) < Ха + (1 — Х)а =>•

/(сг) = /(г) = а =>■ <7, т eY => У € F.

В качестве X можно взять ad*. Соответствующее Y € F. Из замкнутости ad*7 и из того, что ф ф X = f)Xa £ F (если Va Л'а € F) следует,

а

что F индуктивно в отношении операции Э . Поэтому Y содержит N — минимальный элемент F. Остается доказать, что N состоит из 1 точки р (это р тогда будет из ad*y.) Т.к. Loo(fi) хаусдорфово, локально выпуклое, то достаточно показать, что любая непрерывная линейная форма w на L^Q) будет const в N. Это следует из свойства:

М = {х £ N : w(x) = supw\ € F,

N

и, в силу минимальности, М = N.

Следствие из принципа минимума дает нам важную геометрическую информацию на искомую функцию р] :

(tij)2 > I =>• р{ = а, (uj)2 <1_ =Ф> р] = Р,

[у])2 = I — не можем ничего сказать о р{. На самом деле, как легко видеть, верно и обратное: из существова-

ни я I, для которого < )М2 у _ п следует принцип мини-

I \и\) < I ^ Pi — Pi мума для ad*. Поэтому принцип минимума для р € ad* эквивалентен

утверждению: '

( р]-Р и\{х)<1 31 > 0 Ух е ft I се <р\<Р t'cj(x) = /, [р]=/3 u|(x-) > i.

Здесь воспользовались леммой 4. Для всякого 7 6 (0; \Q\) й] не меняет знак =>• р] определяет uj с точностью до знака.

Утверждение 4. pj может быть выбрано из ady. Если дО, €

е С2,

то iij однозначно определяет р[. Доказательство. Принцип минимума дает: р] минимизирует непрерывный линейный функционал f(p) на выпуклом компактном множестве, и первая часть утверждения следует из доказанной выше леммы. Вторая часть следует из леммы 5.

Доказательство единственности р[ £ ad7 дословно совпадает с доказательством утверждения 7.10 из [1].

Литература

1. Сох S., McLaughlin J., Extremal Eigenvalue Problems for Composite Membranes, / / Appl.Math.Optim. 22, 1990, P.169-187.

2. Казаков А.Ю. Минимизация собственных значений уравнения малых колебаний составной мембраны//Вестник МГУ. 1995. В печати.

3. Bapbu V., Precupanu Т. Convexity and Optimization in Ba-nach Spaces. Reidel. Boston. 1986.

4. Экланд И., Темам P. Выпуклый анализ и вариационные

проблемы. М.: Мир, 1979.

5. Knaster В., Kuratowski С. and Mazurkiewicz S. Eine be-weis des fixpunksatzes fur n-dimensionale simplexe//Fund. Math. 14. 1929. P.132-137.

6. Auchmuty G. Dual variational principles for eigenvalue problems, in Nonlinear Functional Analysis and Its Applications, F. Browder, ed. American Mathematical Society. Providence. RI. 1986. P.55-71.

Summary

Kazakov A.Y. The maximazation of the first eigenvalue for the little displacement equation of a composite membrane.

Extremazing boundary eigenvalue problems for elliptic selfadjoint operators with continuous coefficients in a bounded connected set are solved in the class of functions of fixed L\— norm, being present in the right part of the equation. This article generalizes results of S.Cox and J.McLaughlin.

Сыктывкарский университет Поступила 8.02.95