О задаче Коши движения эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

А.Г. Петрова

О задаче Коши движения эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил

A.G. Petrova

On the Cauchy Problem for an Emulsion Moving under the Action of Microacceleration and Thermocapillary Forces

Данная работа посвящена исследованию задачи Коши для модели эмульсии, линеаризованной на простейших решениях, о которых шла речь выше. Используя преобразование Фурье по времени и пространственным переменным, удается доказать существование и единственность решения задачи в классе функций, суммируемых в квадрате вместе с квадратами производных, входящих в уравнения на множестве х [О, Т] при условии, что начальные функции также суммируемы в квадрате вместе с квадратами соответствующих производных по всему пространству.

Ключевые слова: термокапиллярное движение, эмульсия, задача Коши, существование и единственность решения.

The paper is devoted to the study on Cauchy problem for emulsion model linearized on a simple solution mentioned above. Using Fourier transformation with respect to time and space variables the author proves the existence and uniqueness of solving the problem in the class of function summing up in squared with the appropriate derivatives raised to the second power in the set R3 [0, T] under the conditions that the initial functions are also summing up in squared with the appropriate derivatives raised to the second power over all space.

Key words: thermocapillary motion, Cauchy problem, existence and uniqueness of solution.

Математическая модель термокапиллярного движения эмульсии, предложенная В.В. Пухна-чевым и О.В. Воиновым в 1995 г. [1], представляет собой систему неопределенного типа, состоящую из девяти уравнений для определения концентрации дисперсной фазы, температуры смеси, векторов скоростей несущей и дисперсной фаз и общего давления. Простейшие решения, соответствующие однородному распределению дисперсных включений, исследовались на устойчивость в [2-4]. В случае одномерного движения эмульсии с плоскими волнами корректность постановки простейшей начально-краевой задачи рассматривалась в [5, 6]. Особенностью многомерного случая является, в частности, то, что не удается свести модель к классу систем, рассмотренных Вольпертом и Худяевым [7].

Данная работа посвящена исследованию задачи Коши для модели эмульсии, линеаризованной на простейших решениях, о которых речь шла выше. Используя преобразование Фурье по времени и пространственным переменным, удается доказать существование и единственность

решения задачи в классе функций, суммируемых в квадрате вместе с квадратами производных, входящих в уравнения на множестве х [0, Т °РИ условии, что начальные функции также суммируемы в квадрате вместе с квадратами соответствующих производных по всему пространству.

1. Уравнения модели и линеаризованные задачи.

Определяющими уравнениями модели являются [1]:

дс

—+ ^(си) = 0; (1.1)

С + ~ с)у) = °; (1-2)

+ (у)Уу) =

-Vp + div\^m(l + cN) (Vv + (Vv)*)J +

Pdcg~\~ (l- c)g; (1.3)

* Работа выполнена при поддержке аналитической ведомственной целевой программы ” Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)’5, (проект № 2.2.2.4/4278).

дв

дв

PdAdc[ дЦ + u Vi ) +PmAm( 1 _ c) ( YVe

ді

divl k(c)Ve

Kg + LVe.

.

.

Здесь с, где 0 < с < 1 - концентрация дисперсной фазы; в - общая температура; и и V - осред-ненные скорости дисперсной и несущей фаз соответственно; р - давление. Индекс будем использовать для обозначения параметров дисперсной фазы; ”ш” - несущей; р - плотность; р - динамическая вязкость; Л - удельная теплоемкость; к - удельная теплопроводность; Д - радиус сферических включений; ав - производная с обратным знаком поверхностного натяжения по температуре;

N

Pm “И ^>pd/2 Pm “И Pd

K

R Pd - Pm Pm Pd

P m P m Pd

L

‘2Rkm&9

(2р + 3pd)( 2к

m + kd)

Нелинейный коэффициент теплопроводности k(c) имеет производную по своему аргументу, ограничен снизу и сверху соответственно min(kd, km и max(kd, km) и пусть \к'(с) \ < q, где q - положительная константа.

В данной работе исследуется линеаризованная на простейших решениях многомерная модель. Рассматриваются две линейные системы. Первая является частным случаем второй, однако для упрощения громоздких выкладок вначале сосредоточим внимание именно на ней как более простой, затем отметим сложности и отличия, возникающие при рассмотрении второй системы. Сформулируем эти задачи.

Линейная задача 1.

Рассмотрим простейшее решение с нулевыми

c

постоянным градиентом температуры, уравновешивающим силы плавучести: LV9q + Kg = 0.

с = с0, и = 0, v = 0, p = po = Vpo • х,

0о = V0o • x + const,

где g = (g, 0,0), c0, VOo = -Kg/L, Vp0 = [pdc0 + Pm(l - c0)]g = const.

Отметим, что условия устойчивости такого решения исследовались в [3]. Линеаризуя систему (1.1)—(1.5) на этом решении, получим систему

c, , , O, p

ct c div

.

д(1 _ c) ді

_c

.

дд Pdc0^~+Pm(l _ co)^T = _Vp + Pm(l + ON Av_ д~і д~і

_coPm(l + oN А(LVe) + (Pd - Pmcg; (1.8) дв

PdAdc0 I + U • Veo I +

PmAm(1 _ co) I ді + V • Veo

= k(c0)AO + k'(c0)V0o •Vc; (1.9)

u - v = LVO. (1.10)

Линейная задача 2.

Линеаризуем теперь нашу задачу на пространственно-однородном решении с ненулевыми скоростями. Это решение выглядит так

И:

c c , , , p p Vp • ,

0 = Oo = VOo •х + Ootty (1.11)

где c0, V0o = const, Vp0 = [pdc0 + pni(l - c0)]g =

const.

В силу галиллеевой инвариантности системы .

в

t

PdAdcp(Kgl + LVe0) • VeQ PdAdc Pm Am

_c

u0 = Kg + LVe0.

Выберем систему координат так, чтобы

Veo = (G,0,0), g=(gi,g2,0),

тогда

в

t

PdAdco(Kgl + LG)G PdAdc Pm Am

_c

и0 = (Кдх + ЬС,Кд2,0). (1-12)

Линеаризованная на этом решении система выглядит следующим образом:

дс

— + с^жи + и0 • Ус = 0; (1-13)

дЬ

д(1 _ c) ді

_ c div

.

дд Pd^[ ді + U0 • VU\ + Pm(l _

- _VpJcPm(1 + cqN)/\v_c0pm(l + c0N)LAVв_ _Pm(l + c0N)(uo • V)Vc+ (Pd _ Pmcg; (1.15)

u — V

I дв \

Ра^а^ + цо • Ув + и • Ув0 І +

дв

+РтАт(1 — со) ( У • УвО I +

і I дв® \ . дв0

Рамс\ -д^ + и0 • Ув0 1 - рт\тс—

= к(с0)Ав + к'(с0)Ув0 • Ус; и — V = Ьув.

(1.16)

(1.17)

И. = Ус + У в • ^о, и = ЬУв,

.

где

йт\ = —с0сИу~и; Г(с0)к'( с0)К раАасо + рт^т

-с

(^•У)П'.

рыку(^)+к<^ у(^и);

ра^йс0 рт^т(1 со)

(дV № \ ду

Расо[т+Ж)+ рт(ї - со)т^ -Ур+

+Мт(1 + с0Ж)Ау - с0^т(1 + с0М) У<ІІУи+

- Рт)сЕ',

д

РаАасо\ д^ + у(ут — сои) • Уво I +

д

'I*

+ РтАт(1 — со) ( ~7Г~ + УУ • уво

= к(с0)Л1Т + к' (с0) Уво • (В. - Пс0)1Т). Введем еоленоидальное поле скоростей

\У

V + соЬУв

.

Будем рассматривать задачу Коши для системы (1.6)—(1.10) и (1.13)—(1.17) во всем пространстве К.

2. Единственности решения задачи Коши для линейной системы 1.

Так же, как и при исследовании одномерной задачи [5, 6], для того чтобы ’’развязать” систему в главных членах, введем вспомогательные функции

Р(со) = с0(1 - с0)(раЛас0 + рт Лт (1 - с0))/к(с0).

Для 11 функций с, р, и, II, V путем взятия градиента скалярных уравнений (1.6), (1.8) с учетом равенства смешанных производных, из которого следуют соотношения

тоЬ^ = 0, тоШ = 0,

следовательно,

^ (е ■ У)11, = ли,

получим следующую систему уравнений: сг = —сд(1 — ^)йтХ5;

и примем во внимание, что в выбранной системе координат g = (дьО,0),Уво = (—Кдх,0,0). В итоге получим следующую систему уравнений для определения функций с, р, и, II, :

^ = —со(1 — с0)^ьи; (2.3)

divw = 0; (2.4)

н Р(с0)к'(с с0)К Ш =

Ра Ласй + ртЛт

(1 — со) дх\

= РОКдгУ'шг + Е(со)Кдг ■

I (раЛа ртЛт)со(1 со) ^ у раЛасо + ртЛт (1 — со)

к'(со)со(1 — со)^Ш ,0 сЧ

+------НЫ--------увТ’ Ш1

(ра^+ Рт(1 — с0)) ^ = —У (р+

~>г(ра — рт со(1 — со)^в^ %сорт(1 + соМ)Л'о~и)+ +рт(1 + с0Ж)Д\¥ — р — рт) с& (2 - 6)

(раЛйс0 + РтЛт(1 — со)) (~0Ь----Ут^Кд'^)~'г

+ Кд1к'( со)Ь 1 УД — Уи^^[{раЛа — ртЛт) ■

■с0(1 — со) + к'{с0)Г(с0)Ь-1) = к(с0)&и. (2.7)

В уравнении (2.6)

Щ = Кд1т1 + Кд1и1 ■

(раЛа — РтЛт со(1 — с0) + к' (с0)^(с0)

+

{раАасо + рт ^т

-с

кс

+

рт^т

-с

(И/и\3—

к'( с^Кдх

(раАасо + рт^т

-с

К

.'

Доказательство единственности решения задачи Коши для этой линейной системы проведем аналогично тому, как это делалось в одномерной начально-краевой задаче [5, 6]. Предполагая, что с е ^2д(Пт),р € ’°(Пт),И- €

ЧУ2Д(ПТ)^ е W^(П^^, где Пе = Д МО,Ц

и все функции равны нулю в начальный момент f

• / 2_^/jVUif dxdt

времени, введем

t

Z(t) = f (||U||2 (t)+ ||w||2(t)+ ||R||2 (t)+||c||2 (t)W = 2 (ipdXd - pm^m)Ml - co) + k'(co)F(co)L-1) K “ pdAdc0 + pmAm(l - co)

me • f VUt • и dxdt -2—--------k'^ **\Kn-------Г •

||U||2 (t)= (U'i + Ul + U'i)dx. pdXd^ + pmXml - co)

R3

Умножим уравнение (2.3) на 2c(x,t) и проин- • gi J VRi^dxdt + 2Kgi J Vwi • Udxdt. (2.11)

тегрируем no nt,t e (0,Т]. Получим: щ Щ

/г г Складывая уравнения (2.8)—(2.11) и прини-

c (t)dx = 2 j div(cU)dxdt - 2 j R • Udxdt+ мая в0 внимание равенство

R nt nt

// VRi •Udx = - Hj divUdx,

\U\2 dxdt. R R3

t

получим

В рассматриваемых классах функций ин-

теграл по всему пространству от дивергенции dZ 2^—1 + [

обращается в силу теоремы Остроградского- (рас0-\- р—(1 — со)) / $3|Ут|^х^Ь+

Гаусса в ноль, следовательно, имеем: п* *=1

/ с2(Ь)&х= —2 И ■Udxd^ + 2F(co) / |и|2 йхйЬ. 2к(М [ ^ ,^ТТ ,

.] .] .] +---------т—Т!-\^1УигГdxdt =

ПЯ ГГ ГГ Г'о Л> л А л — Лп п А I < *

я п* п* с0раЛа + (1 — ^р—Л.,,, „

(2.8) п*

Теперь умножим почленно скалярно уравне- г г

ние (2.5) для И на 211 и проинтегрируем по П4. -2/11 ■ + 2^(со) / |и|

Получим п* п*

ъъж+тм* ^ЫК/+ ■

\pdAd _ PmAm) c0(l _ c0) k (c0)c0(l _ c0) — .( {pdAd _ P—A— co(1 _ ^ + k'{ co)co(l _ co) V

PdAdco + PmAm(l _ c0) k(c0) V PdAdc° + PmAm(l _ co) Mco) У

Ji^txdxdt. (2.9) • f VUi •Udxdt H----gi ( cwidxdt+

J PdcO + Pm(l _ co) J

• J VUi • Udxdt.

ПГТ IT

t “t Alt

Проделаем то же самое с уравнением (2.6) , ^((раХа - рт\т)с0(1 - с0) + к'(с0)Е(с0)Ь-1)

ДЛЯ ™ +2 рАас0+РтАт(1 - М

(і)с1х + 2 Рт(1 + . С V |У^|2 d^ • Кдг [ Уи • \Jdxdt -2 —----+ЫК п , •

,/ Рас® + Рт(1 - со) ^ * раХас§Л- ртіАті(1 со)

^ Пі ^ П*

=___2р - ртді [ (2^ • ^ / ^^vUdxd^2K^ [ yw•Udxd^^2Л2)

Ра^ + Р т (! - М 1 ' щ п*

п*

Наконец, уравнение (2.7) умножим скалярно Правая часть (2.12) оценивается при помощи на и: неравенства Коши следующим образом:

/ -U2(t)dx + 2--------кЫ------------ -2 [ и • ис!хЖ + 2^(М / dxdt+

3 соРаАа + (1 - ^)Р тАт ^ ^

Н* п* п*

2giF(c0)Ky Vwi • Rdxdt + 2F(c0)Kgr +Kdpdcou + Kmpm(l - Mv)dt, (2.14)

(fid^d - pm^-m)Ml - M + k'(MMl - co)

pdAdc0 + pm^m

-c

kc

• ( VUi •RdxdtH-p—p^g%—- [ cwxdxdt+

pdc pm - c

tt

^((pd^d - pm^m)Ml - co) + k'(c0)F(c0)L-1)

pdAdc0 + pm ^m

-c

k'( *>)K

• Kgi / VUi • Udxdt - 2

pdAdc0 + pm m

-c

• gi / RdivUdxdt + 2Kgi / Vw •Udxdt <

t

t

< ,/ * + */

О о

где N(^,£2) -положительная величина, зависящая, помимо своих аргументов, от констант задачи. Выбирая £х,£2 так, чтобы выполнялись неравенства

kc

£2 <

cQpdAd + (1 - co)fJmAn 2pm(l + c0N)

pdc pm

-c

и учитывая оценки левой и правой частей равенства (2.12), получаем

dZ

~dt < A • Z(t), Z(0) = 0, A = const >0.

Следовательно, Z = 0, а значит, для решения задачи Коши с однородными начальными усло-

c , , ,

в Пт.

Восстановим скорости u v по формулам

-c , -c , .

температуру - по формуле

0(x,t) = L Udr + 0o(xo)-

x0

- (L(Kdpdc0 + Kmpm(l - M )-1^

t

k c - K k' c - F c

х

.

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Утверждение 2.1. Решение задачи Коши для линейной системы (2.3)-(2.7) единственно в классе функций

с е ЖД(пт), Р е Ж’°(Пт), П е ЖД(пт),

w е ЖД(Пт) и е ЖД(Пт)

таких, что тоЬи = 0, тotR = 0, следовательно, решение задачи Коши для системы (1.1)—(1.6) единственно в классе функций

с е ЖД(пт), Р е Ж’°(Пг), и е ЖД(пт),

V е ЖД(Пт), в е ЖД(Пт) вххх е Ь2(Пт).

3. Существование решения задачи Коши для линейной системы 1.

Для доказательства существования решения задачи Коши можно обойтись без введения

,

моздкими. В уравнениях (2.4)-(2.6), в которых и нужно заменить на ЬУв, и в уравнении (2.7’) перейдем к новым функциям с однородными начальными данными

сд(х,Ь) = с(х,Ь) —с0(х); Ы.3(х,Ь) = R(x,t) —И-о(х);

\¥3(х,Ь) = w(x,^ — (Г (х));

вд( х,Ь) = в(х,Ь) — во (х),

где

с х с х,

11о(х) = И(х^ = У^(^^ ЬУв0(х)Г(с0);

\у0(х) = w(x, 0) = у0(х)+ Ц}ЬУв0(х);

Т(х,Ь) - фундаментальное решение уравнения теплопроводности.

Опуская индексы и сохраняя прежние обозначения для искомых функций, получим задачу Коши с однородными начальными данными для неоднородной системы

сг — М1 — М^Ав = fc( х);

t

div

F(c0)k'(c ^)K

дП

pdAdc0 + pm^m

(1 - м g1 dx

FMKg, Vw - (KpX dZ + ^ - С

pd dc pm m - c

V д0 _

91 дщ pd\dc0 + pm^m(l - M^ dxi

FOk' OK dR0

gi——н

t

x

F c Kg VW x, f K(pdAdc0 + k'( c0)F(c0)) _ c ' PdAdcO + pm Am

_c

i~7 дво . .

g V агг =

(PdcO+Pm(l _^))Wt + V(p+(,Pd_Pm)co( l_Co)Lвt + +2q)pm(l + Ci^^ivLV^ _ p—(l + c0N)Aw_

_(pd _ Pm) cg = _V(p + (pd _ Pm)Ml _ Co)Lвt +

+ 2coPm(l + cON)divU )jt=0 + Pm(l + cON)Aw o_ _

_ (Pd _ Pm) c0g = fw(x ), дв f

вt_WlL +KglL \^PdAd PmA— co(l_co) +

+k'(c0)F(c0)) _ ММАв _ k'OKgL1 R = дв

+ KglL 1 ~K~ {(.PdAd _ PmAm)Ml _ co) +

+k' (c0)F(c0)} + H^A^{x)_

c x, t

x, t x, t в x, t g x, t

1

(2n)2

1

ЩЇ

1

1

Щї

1

(2^

c , a i x ia d da

, a i x ia d da

, a i x ia d da

в , a i x ia d da

q , a i x ia d da ,

где a = a, a-2, a$), da = d^d^d^, ak{k = , , a

в пределах _ж К ak К + ж, k = 0,1, 2, 3.

В результате получим

(т-1 + ia0)c _ Mi _ = Fc

т- ia

i

F(c0)k' (c0)K PdAdc Pm Am

_c

F c Kg

.

.

g ia _

-mw _ F(co)Kgi ■

+

PdAdc PmAm

_c

(PdAd _ Pm A— Ml _ M + k' (MMl _ Co) \

PdAdc pmAm (1 _ M Mco) у

■ = Fr (3.3)

Pdc Pm _ c т- ia i q

+p(l + c0N)a2w _ (pd _ Pm)cg = FV; (3.4)

т- ia в _ W L- Kg

Kgi((pdAd _ PmAm) Ml _ M + k' OF(co))

L PdAdc Pm Am _c

-k (^)K^L R,0(x) - w,0(x)L = fe.

Введем обозначение q для комбинации, стоящей под знаком градиента в уравнении для модифицированной скорости w :

q = p + (pd- pm Ml - co)L@t+

+2c0pm(l + c0N)divLW. (3.0)

Для решения задачи применим преобразо-x t.

разд. 6, продолжим решение нулем при t < 0 и сделаем, не меняя обозначений, замену неизвестных функций на новые, представляющие собой произведение продолженных функций на ехр(-^т), где константа т имеет размерность времени.

Положим

ia в

kc

PdAdc Pm Am _c

k'( ^)KgxL-1

в

/ Л Л п = Ре. (3.5)

\раЛасв + р— Л—(1 — со))

Здесь новые правые части, обозначенные большими буквами, связаны со старыми следующим соотношением: Г^(х,Ь) =

Гд( х)ехр (—Ь/т), Ь>0и Гд( х,Ь)=0, t < 0,

F x, t

1

(2п)

F , a i x ia d da .

Нашей целью является доказательство разрешимости линейной системы (3.1)—(3.5) относ, , , в, р

с,

(3.1), К - используя (3.2) и умножая (3.4) скалярно на га и принимая во внимание (3.2).

В результате, опуская тильды, получим следующую систему двух скалярных уравнений для в и :

(г-1 + іа0 + а2к(с0)/к + Кд1^іа1 -

HQKg

т- i a a HKg

в

_K^/L—

т- ia

W

т- i a a HKg

(fid^ + Pm(l _ М)(т -1 + ia0 + а2 V ) W _

.

(pd p—мі c^Lg±a\ _a2^ = fa, (3.7)

-

ia

Здесь новые буквенные обозначения имеют следующий смысл:

п — (\— \ ( рЛ — рт Лт ______ к' (с0М,

0 0 урйЛасо + р—Лт(1 — с0) к(с0)

к' (со)

Н = с0(1 — со)

кс

Для определителя Б системы двух скалярных уравнений (3.6), (3.7) имеем следующее выражение:

Б = т-1 + iao + а2кО/к + КдхП'ьЩ —

НПКдгв?

т 1 + ^а0 + ахНКдх)

(раса + рт (1 — со) )■

вместе с квадратами нужных производных, искомые функции можно восстановить по следующим формулам:

расо + р—(1 — со)’ с(х,Ь)

1

11(х, Ь)

w(x, Ь)

в(х, Ь)

д(х,Ь)

(2п)

(2п)2

(2п)2

(2п)2

(2п)

с(а, ао) ехр(*ах + iao)dadao-|-сх

Й.(а, ао) ехр^ах + iao)dadao-|-

х

\у(а, а0) ехр^ах + iao)dadao-|-

х

в(а, ао) ехр^ах + iao)dadao+ вх

д(а, ао) ехр^ах + iao)dadao+

т 1 + iao + а2у ) —

КдЦра — р— с0(1 — ^){а\ — а'2)

т— + '1(а0 + а1НКд1) ’

из которого следует оценка

\Б\ > (т+ а2(к(с0)/к — НПКдх \т)^оЬ

■(расо + р—(1 — со)) ■ (т + а2у) —

— 1Кд1(ра — р— |с0(1 — с0)а2т. т>

Цс0)/к — тНПКдх I > О,

\к(с0)/(кт) — НПКдх | + у/т) — тд|с0(1 — с0)■

\К(ра — р— \ < т—

(расо + рт

—с

мы гарантируем отличие от нуля определителя Б при всех аз, &•

в

из системы (3.7), (3.8), умножая слева вектор правых частей на обратную матрицу коэффи-

,а .

восстановить исключенные на предыдущем этапе функции с, д,Л, Ш1, при помощи уравне-

ний (3.1)-(3.4).

Таким образом, мы нашли ’’образы” искомых функций относительно преобразования Фурье,

,а

(для них были использованы прежние обозначения). Предполагая, что начальные данные для искомых функций суммируемы в квадрате по Е3

+Яо(х).

Сходимость полученных интегралов, а также принадлежность функций с,И, в,тлг, д вместе с производными первого порядка по времени и производными первого порядка по пространственным переменным от р и второго от

У в,\у, классу Ьг(Пт), Пг = Е х [О,Т] проверяется так же, как и в [8], гл.1У, разд. 6. Отметим, что найденное решение удовлетворяет условиям тоЖ. = 0, поскольку правые части уравнений для К системы с нулевыми начальными данными подчинялись этому условию. Итак, доказано следующее утверждение. р

(3.0).

Утверждение 3.1. Если

со(х) е ^2 (Е3), Ио(х), ^(х), Ув0(х) е ^^2(Е3'

то задача Коши для линейной системы

с, , , в, р

такое, что тоШ = 0 и функции

вх, вхх, в ххх

вг, \¥, wх, ^хх, wг, 11,Нх, Нг, с, сг , р, рх т .

Итогом рассмотрения задачи Коши для системы уравнений (1.6) (1.10) является

Теорема 3.1. Если начальные дан-с х, , х, , х, ментами \^(Е), а в0(х) е Щ(Е), то задача Коши для линейной системы (1.6)-(1.10) имеет единственное решение такое, что

с1 сг, cx, cxx, в, в х , вxx, вxxx, вг,р,рх,и,и х,И хх , Ч г,

, х, хх, г т .

Замечание 3.1. Здесь, как и в задачах для вязкой несжимаемой жидкости, единственность

для давления понимается с точностью до произвольного слагаемого, не зависящего от пространственных переменных.

4. Существование и единственность решения задачи Коши для линейной системы 2.

Вводя вспомогательные функции по формулам (2.1), а модифицированное соленоидальное поле скоростей - по формуле

= V + сои + Ото,

с, , , р

щую систему уравнений:

сг = — со(1 — с0)ЬАв — (1 — с0)и0( И. — и Р(с0));

.

.

г

divw = 0;

( г(с0)к'(с0)ьа

ураЛасо + рт Лт

—с

+

+(1— со)(Кд1 + ЬО)^ — (1 — со)Кд2 УЕ2 —

= ((1—со)(Кд1+ЬО)+со( ]-—со)(раЛа—рт Л— ЬО+

дв

+ (Кд1 + ЬО)раЛасо)К 1 р(со) V —---

8x1

дв

условий и доказательство возможности выбора т,

теля матрицы системы, не столь очевидно.

Прежде всего перейдем, не меняя обозначений к новым функциям с нулевыми начальными данными. Получим линейную систему уравнений, отличающуюся от системы (4.1)-(4.5) наличием ненулевых правых частей, включающих начальные функции и их производные соответствующих порядков. Все правые части будем обозначать одной буквой /. Оставим для новых уравнений системы прежние обозначения. Далее сделаем преобразование Фурье по формулам п. 3, оставляя прежние обозначения для функций и правых частей. Получим следующую систему:

(т 1 + iao)c = с0(1 — с0)Ьа2в — (1 — с0)и0^

■(Ы — iaЬвF(co)) = /;

(т 1 + iao)R —

iaw = 0;

Р(с0)к'(с с0)ЬО

.

.

^ураЛасо + рт Лт

—с

+

— (РКд2{( 1—с0)+раЛас0/к) V--------ЬОГ(с0) —

дх

—Р(Кд1 + Ь°)ЬО(ра Лар—Л—/К + 1)11+ +Р2(Кд1 + Ь°)ЬО(раЛартЛт/К2 + 1)ув; (4.3)

(рас0 + р—(1 — с0))wг =

—Уд + ^—(1 + с0Ж)А

— Рт(1 + Ч)Ю)(ио ■ У)(К- — Р(со)и) +

+ {ра — р— сё; (4.4)

вг = ——-Ав — (ЬОсо(1 — со)(раЛа — р—Л—)+ к

дв

-\-раЛасо(К(д1 + ЬО) + к' с)^^)Ь°к 1 —-------

дх

— рЛ^К^дв + ЬО^ — с(Кдг + ЬО) ■ к дх

■ЬО(раЛтртЛа + 1) + к^ЬОЕ1. (45).

кк Доказательство единственности решения задачи Коши для системы (4.1)-(4.5) принципиально не отличается от случая задачи 1.

Доказательство существования проводится по той же схеме, что и в п. 3, однако имеется ряд трудностей технического характера. Имен-т

+ (1 — со)(Кд1 + ЬО)^ тЕ1 — (1 — со)■

■Кд2'1аЕ2 = ((1 — со)(Кд1 + ЬО) + со(1 — со)■

■(раЛа + р—Л—)ЬО + (Кд1 + ЬО)раЛасо^ ■ ■к-Щ^а^Ьв — (ГКд2(( 1 — М + раЛао/К ■

■Ьаа2в — ЬОГОтш —

—Р(Кд1+ ЬО)ЬО(раЛар—ЛтК 2 + 1)11+ +р2(Кд1 + ЬОЬОраЛар— Л—К 2 + 1 )■

■Ьшв + Г; (4.8)

(т -1 + iao)рw = —тд — рт(1 + соЖ)а2\¥—

—М—(1 + с)Ж)(и0 ■ — тЬвГ)+

ра — рт с .

(т_1 + ia0)в Н—^^а2в = к

= (Осо( 1—со)(раЛа — р—Л—) + раЛасо(Кд1->сЬО)—

—к'(со)Р(со)О)к-1 '1а\в — ра а 0 Кд-^а^в

к

+ОШ1Ш1 + с(Кд1~\- ЬО)ЬО(ра —рт а -|- 1) —

к' с

ЬОЕ1 + /.

..

к

При получении уравнения (4.9) в слагаемое Уд, как и прежде, были собраны все слагаемые градиентного вида.

Как и ранее, исключим из системы с^ид. Уравнение (4.9) с учетом (4.7) приобретает вид

(т—1 + iao + у(рас0 + р—(1 — с0))а2)\¥ =

= (ра — р— с(Еа2 — а^а) )а-2+

+р(1 + со^^(иоа) (а2 (И — iаЬF(co)в) —

— ((11 — iаЬF(co)в)а)а) а-. (4.11)

с

со(1 — со)а2 — (1 — со)ио(К- — тЬвР(со))

+ -

т 1 + iao /

+

.

т 1 + iao Из (4.8) выражаем Е^ ,] = 1,2,3.

Е3 = (((1 — со)(Кд1 + ЬО) +

+со(1— со)(раЛа — р—Л— ЬО+(Кд1 +ЬО)раЛасо) ■ ■ к-Щ^)Ыа^ ia^в — (РКд2(1 — со) + раЛао/К ■

■ Ьiajia^2в — ЬОF(co)iajР2 (Кд^ ЬО) ■

■ ЬО(раЛартЛт/к 1)Ьajв) ■

т 1 + ia) —

Р(с0)к' (с0)ЬО

-+

раЛас ртЛт

—с

+ (1 — со)(Кд1 + Ь^^i^l + (1 — со)Кд2° +

\ —1

+р(Кдх + ЬО)ЬО(раЛар—Лтк 2 + 1) ) +

/(г 1 + iao — (-

Р(с0)к' (с0)ЬО

- +

раЛас рт Лт

—с

+ (1 — со)(Кд1 + Ь^^i^l + (1 — со)Кд2° +

-\-F(Kgl-\-Ь°)ЬО(раЛаРmЛmК 2 + 1)) ^ (4.13)

Для того чтобы обеспечить отличие от нуля

знаменателя

!,(о,о, ах, а2) = т 1 + ia) — Р(ъ)к'( с0)ЬО

правой части (4.13) и получить для его модуля оценку снизу, потребуем, чтобы выполнялось неравенство

0.5т 1 + р(Кд1 + ЬО)ЬО(раЛартЛтк 2 + 1) > 0,

.

гарантирующее оценку

Щаа,а1,а2) \ > 0.5т—1.

Перепишем (4.13) в виде А1

И

ав

!(°ь а1,а2)

— - Аз

+

^^, аъ °)

А4

ав

!(°ь а1,а2)

тв +

!(°ь а1,а2) {

^^, аъ °2) ’

И№1

.

А

И. — iаF(co)Ьв ав

А2

d(a0,al,a2) ^а0,а1,а2)

А

ав

+

^^, аъ аг)

ИШ1 +

+

А

— РО^тв. (4.16)

'-^^, аъ °)

Здесь и далее заглавными буквами А, В и т.д. будем обозначать комбинации известных величин (коэффициентов модели).

С учетом (4.12), (4.15) и (4.16) уравнение (4.10) может быть записано в виде

т—1 + ( Ч^) _ {КЛ + ЬОЬО{ра>'тртХа + 1) ■

т 1 + iao

ра Лтр—Ла

+ !)•

—с А а А а

+

~1^ао — к (со)к ЬО

(т 1 + оо)!

А а А а а

d

— (Кд1 + ЬО)ЬО{раЛтр2тЛа +1)( 1 — с0) ■

раЛас рт Лт

—с

+ (1 — со)Кд2"*-а2 + Р(Кд1 + ЬО)ЬО

■ {раЛартЛ—к -2 +1)

+ (1 со)(Кд1+ЬО)^'1-а1 ■ (—^ — Р(со)Ь^(а^и о)— к' (со)к 1 ЬО ■

А4

с!

РОЬ^а,^в+

с

к

+ ^G _ k'1 LG~d (Kgl + LG)

PdAmPmAd _ c A

■ LG------5-----hi)-----1----- iaiWi

т такого, что коэффициент В и при в в уравнении (4.17) больше по абсолютной величине коэффициента В12 при ш в этом же уравнении:

jBiij > jBl2 j.

.

f

‘- + іу

т- ia d

(4.17)

Уравнение (4.11) с использованием равенств (4.12), (4.15) и (4.16) переписывается как

(г 1 + ш0 + ^а2 + (ра — Pm)(l — со)^

+

^ц0 ■ a)Aga + a|) _ g2aia2) V

(Pdc0 + Pm(l _ М)(т-1 + ia0)da2 J

W_

—

I — р— ср(1 — со)(д1(а2 + аз) — д2а1а2)

\ т —1 + iаo

(ра — р—)(1 — М/ \А1 а1 + А2 а2

— р^Тр^—М 1и0 ■ d +

+ (— — РЬ^(иска)^в =

= ^ + т^й^ + ^. ^4Л8^

Для того чтобы обеспечить диагональное

в

и ш в уравнениях (4.17), (4.18), сначала выбе-т

^ — (Кд1 + ЬО)ЬО(раЛтртЛа + 1) ■

Ml _ co)L _ 2 _ n

----—j------:--- > а > 0.

т- ia

.

Наличие знаменателей, содержащих т—1 в слагаемых уравнения (4.18), содержащих вели-

В

Ш в этом уравнении, позволяют выбрать доста-т

ство

|В | > |В |, .

Вв

т

лости (4.12), (4.19)—(4.21), получаем диагональное преобладание в матрице, соответствующей системе линейных относительно N уравнений (4.17) и (4.18). Следовательно, система (4.17), (4.18) однозначно разрешима относительно в и ш. Далее функции Е^ находятся из (4.13), функция с - из (4.12), ш и ®з - из (4.7) и (4.11).

с х е

^(Е3), 11о(х), ^о(х), Ув0(х) е W^(Е), то задача Коши для линейной системы (4.1) - (4.5) имеет решение такое, что

Ув, Увх, Увхх, Увг, \у, wx^ wxx, у^г, II,

х, г, с, сг , р, рх т

то^ = 0.

В итоге получаем следующий результат для задачи Коши для линеаризованной задачи (1.13)—(1.17):

Теорема 4.1. Если начальные данные с х, , х, , х,

ми

Возможность такого выбора очевидна, и он в свою очередь гарантирует возможность выбора

W2(Е3), а Ув$(х) е ^^(Е), то задача Коши для линейной системы (1.13)— (1.17) имеет единственное решение такое, что

c, сг-> ^, cxx, в,вх, вxx, вxxx, вг, 1^ рх,и,и х^ хх, и г,

, х, хх, г т .

Библиографический список

1. Pukhnachov V. V., Voinov O.V. Mathematical model of motion of emulsion under effect of thermocapillary forces and microacceleration // Abstracts of Ninth European Symposium on Gravity Dependent Phenomena in Phisical Sciences

- Berlin, 1995.

2. Pukhnachov V. V., Voinov O. V., Petrova A. G., Zhuravleva E. N., Gudz O. A. Dynamics, stability and solidification of emulsion under the action of thermocapillary forces and microacceleration Interfacial Fluid Dynamics and Transport

Processes. Lecture Notes on Physics - Springer, 2003.

3. Миронова О.А., Петрова А.Г. Исследование устойчивости равновесия однородной эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил // Известия АлтГУ - Барнаул, 2005. - № 1.

4. Petrova A.G., Pukhnachev V.V. Thermocapillary motion in an emulsion. Microgravity science and technology, 21, s227-s 232 - Springer, 2009.

5. Петрова А.Г. Задача непротекания для одномерного движения эмульсии // СибЖим. -2007. - Т. X, 3(31).

6. Петрова А. Г. О начально-краевой задаче для одномерного движения эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил / / СибЖим. - 2009,- Т. XII, №2(38).

7. Вольперт А.П., Худяев А.И. О задаче Коши для составных систем нелинейных диффе-

ренциальных уравнений // Мат. сб. - 1972. -Т. 87, Ш.

8. Ладыженская О.К.Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. -М., 1970.