О задаче коллокации для геостационарных спутников Земли Текст научной статьи по специальности «Математика»

Решетневские чтения. 2017

УДК 62.501

О ЗАДАЧЕ КОЛЛОКАЦИИ ДЛЯ ГЕОСТАЦИОНАРНЫХ СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ

А. Г. Куприн

АО «Информационные спутниковые системы» имени академика М. Ф. Решетнева» Российская Федерация, 662972, г. Железногорск Красноярского края, ул. Ленина, 52

E-mail: kprn@mail.ru

Рассмотрены задачи коллокации, то есть совместного удержания нескольких геостационарных космических аппаратов. В случае отсутствия взаимодействия между центрами управления полетов для осуществления коллокации необходимо использовать непараметрическую теорию управления

Ключевые слова: непараметрика, автоматическое управление, коллокация, баллистика.

TO GEOSTATIONARY COLLOCATION PROBLEM A. G. Kuprin

JSC Academician M. F. Reshetnev Information Satellite Systems 52, Lenin Str., Zheleznogorsk, Krasnoyarsk region, 662972, Russian Federation

E-mail: kprn@mail.ru

This report is about collocation problem, which means problem of cooperative station keeping of geostationary spacecraft. If there is no cooperation between control centers, nonparametric theory is used to solve the problem.

Keywords: nonparametric, automatic control, collocation, ballistics.

Задаче коллокации является задачей совместного удержания нескольких геостационарных космических аппаратов (КА). Под коллокацией понимается ситуация, когда границы удержания по долготе двух и более КА пересекаются, что приводит к возникновению риска их столкновения. КА, находящиеся в условиях коллокации, будем называть участниками коллокации. В настоящее время разработаны и описаны методы управления КА для этого случая, если все участники управляются из одного центра управления полетами (ЦУП), либо действия ЦУП скоординирова-ны[1], однако для тех случаев, когда это невозможно, задача перестает быть тривиальной.

Для управления КА необходимо найти такой план коррекций, т.е. последовательных включений двигателя коррекций, чтобы полученные при его закладке на КА кеплеровы элементы орбиты удовлетворяли как требованиям удержания, так и требованиям кол-локации:

Ж > дтп

е1 и 0

1 и 0

Т и т

где АЯ - геометрическое расстояние между спутниками; е1- эксцентриситет «нашего» КА; ¡1 - наклонение «нашего» КА; Т1 - сидерический период «нашего» КА; ТЗ - звездные сутки.

Для описания возмущенного движения КА используется принцип Лагранджа, согласно которому возмущенное движение спутника происходит по орбите, элементы которой меняются со временем. Это

означает, что в каждый момент времени возмущенная орбита совпадает с некоторой орбитой, имеющей с ней общие радиус-вектор и вектор скорости. Такие орбиты называют оскулирующими орбитами, а элементы орбиты - оскулирующими элементами[2].

В этом случае эволюция окулирующих элементов орбиты может быть описана следующей системой дифференциальных уравнений [3]

d Q

-ZAgj

j=0

4

dt Jfp

di r ^ л

— = -= cos u^AgjW,

dt Vhp j=0

di - 2r< ЁI Aj, dt \ f j"0

dq dt

dk dt

sin u^Ag

jS

j=0

r r

(1h—)cos u H— q

p P

lAg j=0

jT

—k sin(u)ctg(i')I Ag

jW

p j=0

(1)

-cosuIAgjS -

j=0

r r

(1 h—)sin u h— k

p p .

I AgjT-j=0

--q sin(u)ctg(i')I Ag

jW

p j=0

dJL = (1 -f. ctg (i) sin(u) I Agjw ), dt r fp j=0

где / - наклонение орбиты (угол между экваториальной плоскостью и плоскостью орбиты); и - аргумент

Математические методы моделирования, управления и анализа данных

широты КА (угол, отсчитываемый от плоскости орбиты от направления из центра Земли на восходящий узел до текущего радиус-вектора спутника в направлении его движения по орбите); p - фокальный параметр орбиты; e - эксцентриситет орбиты; ц - гравитационный параметр Земли, константа ц = 398600,440 км3/с2; ю - аргумент широты перигея (угловое расстояние перигея орбиты, отсчитываемое в плоскости орбиты от направления из центра Земли на восходящий узел в сторону движения спутника) q = ecosш

k = e sin ш

Р

1 + q cos u + k sin u

В качестве алгоритма для синтеза регулятора предполагается использовать алгоритмы из семейства непараметрических. Данный класс алгоритмов предназначен для работы в условиях непараметрической неопределенности [4], т. е. в условиях, когда отсутствуют знания о параметрической структуре закона, описывающего объект. Это соответствует рассматриваемому случаю, так как принцип, согласно которому выбирается один из множества возможных планов коррекций, остается неизвестным. Оценка производится исключительно на основании выборки входов и выходов объекта.

Для динамической системы алгоритм управления является модификацией непараметрической оценки регрессии типа Надарая-Ватсона (ядерного сглаживания) и имеет вид [5]

. Пф

1 j=1

(

u, =-

с;

Л

Пф

j=i

X - X' CX1

Пф

j=i

xj-xj Cj

Т П ф

í

j=i

C

л n

Пф

j=i

xt-i х Cj-1

Пф

j=i

xj-xj Cj

>(2)

где {ц,,и,у1} - выборка неуправляемых воздействий,

входов и выходов объекта соответственно; - размер выборки; к, п, т - размерность вектора неуправляемых воздействий д, управлений и и выхода объекта х

соответственно; Сх, C^, Cx-i - коэффициенты размытости; Ф - колоколообразная (ядерная) функция.

Использование приведенного выше закона позволяет синтезировать управление в условиях отсутствия обмена информации между ЦУП, так как требует лишь информацию о предыдущих положениях КА, которые могут быть получены, например, посредством астрономических наблюдений.

Библиографические ссылки

1. Soop E. M. Handbook of geostationary orbits. Norwell: Microcosm. Inc., 1994. 309 p.

2. Антонович К. М. Использование спутниковых радионавигационных систем в геодезии. М. : ФГУП «Картгеоцентр», 2005. 334 с: ил.

3. Чернявский Г. М., Бартенев В. А., Малышев В. А. Управление орбитой геостационарного спутника. М. : Машиностроение, 1984. 144 с.

4. Медведев А. В. Непараметрические системы адаптации. Новосибирск : Наука. 1983. 176 с

5. Медведев А. В. Основы теории адаптивных систем / Сиб гос. аэрокосмич ун-т. Красноярск, 2015. 526 с.

References

1. Soop E. M. Handbook of geostationary orbits. Norwell: Microcosm. Inc., 1994. 309 p.

2. Antonovich K. M. Ispolzovanie sputnokovyh radionavigatsionnyh sistem v geodezii [Spacecraft radionavigation system using for geodesy]. M. : FGUP «Kartgeotsenrt», 2005. 334 p

3. Chernyavsky G. M.,.Bartenev V. A, Malyshev V. A. Upravlenie orbitoy geostatsionarnogo sputnika [Geostationary spacecraft orbit control] M. : Mashinostroenie, 1984. 144 p (2)

4. Medvedev A. V. Neparametricheskie sistemy adaptatsii [Nonparametrical adaptation systems]. Novosibirsk : Nauka, 1983. 176 p

5. Medvedev A. V. Osnovi teorii adaptivnyh sistem [Basic principles of adaptive system theory] / Sib. gos. aerokosmich. un-t. Krasnoyarsk, 2015. 526 p.

© Куприн А. Г., 2017

. =1

. =1