CC BY
32
Вычислительные технологии
Том 11, часть 1, Специальный выпуск, 2006
О ЗАДАЧЕ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДВУХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ПОЛУЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ С УСЛОВИЯМИ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЯ, ЗАДАННЫМИ НА ГЛАДКОЙ КРИВОЙ
Ю.Я. Белов, И. В. Фроленков Красноярский государственный университет, Россия e-mail: [email protected], [email protected]
A problem of identification of two coefficients — in front of a nonlinear term and in the right hand side of the semi-linear parabolic equation with quite generic nonlinearity is studied. These coefficients depend on time only. Problem is supposed to be overdetermined, boundary conditions are defined on a smooth parametrieally defined curve.
Введение
Рассматривается задача идентификации двух коэффициентов, зависящих только от временной переменной, при нелинейном члене и правой части для полулинейного параболического уравнения с нелинейностью достаточно общего вида. Условия переопределения задаются на гладкой кривой, заданной в параметрическом виде.
При доказательстве разрешимости задачи Коши для вспомогательной нелинейной задачи, содержащей следы решения, к которой приводится исходная задача, используется метод расщепления на дифференциальном уровне, предложенный H.H. Яненко и названный им методом слабой аппроксимации [1]. Данный метод в настоящее время с успехом используется при исследовании задач идентификации коэффициентов дифференциальных уравнений [2-6].
В настоящей работе в случае задачи Коши доказана однозначная классическая разрешимость указанной задачи в "малом" интервале по времени в классе достаточно гладких функций, ограниченных вместе с соответствующими производными. Доказана также однозначная разрешимость первой краевой задачи. Задача, когда коэффициенты зависят от временной и пространственных переменных, а условия переопределения задаются на фиксированной гиперплоскости, рассмотрена в [6].
© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2006.
1. Задача Коши
Рассмотрим в области С[0,т] = {(^ х, г) | 0 < t < Т, х € Еп, г € Е} задачу Коши
г) = Ьж(и) + + Лl(t)M(t, Ц^х, г)) + Л2^)/(^ х, г); (1)
и(0,х,г) = и0(х,г). (2)
Обозначим
п к=1
где ск(t) € С[0, Т]; функции М(t, у) и0(х, г) /(t, х, г) действительнозначные и заданы соответственно в Е2, Еп+1 и С[0)т]■
Функции Л1 Л2(t) подлежат определению одновременно с решением х, г) задачи (1), (2), удовлетворяющим условиям переопределения
а^), 6ф) = щ(t, а^), 6ф) = ^2(t), (3)
где а^) = (а^), а2(^,ап(^)), и условиям согласования
д
ио(а(0), 6(°)) = VI(0)) 6(0)) = ^2(0). (4)
Относительно функции М(^ у) также предполагаем, что она достаточно гладкая, имеет все непрерывные производные, входящие в соотношение
дк
8?mV)
< M0(1 + |y|p), k = 0,1,..., 9, 0 < t < T, y e E1. (5)
д
Здесь М0 — постоянная; р — фиксированное натуральное число; =
дк ду
к > 1 _ целое; М(0) (t, у) = М(^ у).
Пусть при всех t € [0, Т] выполняется соотношение
|М(^1^))/а(^), - М(1) а(^), > 5 > 0, 5 - сопв! (6)
Приведем задачу (1)-(3) к некоторой вспомогательной задаче. Положив х = а^), г = 6^) в (1), получим
ut(t, a(t), b(t)) = J] ck(t)uxkxk(t, a(t), b(t)) + uzz(t, a(t), b(t))+ k=1
+Ai(t)M(t, ^i) + A2(t)/(t, a(t), b(t)).
Из (3) получим
d n
—u(t, a(t), 6(i)) = ut(t, a(t), b(t)) + uXh{t, a(t), b(t))a'k(t) + uz(t, a(t), b(t))b'(t)
k=1
n
= ut(t, a(t), b(t)) + £ uxk(t, a(t), 6(t))a'k(t) + ^(t)6'(t) = ^l(t), k=1
n
n
u,(t,a(t),b(t)) = ^l(t) -J] uxk (t,a(t),b(t))a/ (t) - ^(t)b' (t),
/=i
nn
^l(t) - J] uxk(t, a(t), b(t))a/(t) - ^(t)b'(t) = ^ c/(tK№(t, a(t), b(t))+ / =l / =l
(t, a(t), b(t)) + Ai(t)M(t, ^) + A2(t)/(t, a(t), b(t)). (7)
Продифференцируем (1) по z, положим x = a(t), z = b(t), учитывая (3), получим
utz(t, a(t), b(t)) = c/(t)uxkxkz(t, a(t), b(t))+ /=i
+uzzz(t, a(t), b(t)) + Ai(t)M(1)(t, ^1)^2 + A2(t, x)/z(t, a(t), b(t)). Из (3) получим d n
—a(t), 6(i)) = a(t), b(t)) + a(t), b(t))a'k(t) + a(t), b(t))b'(t) = <p'2(t),
/=i
n
utz(t, a(t), b(t)) = ^2(t) - J] uxkz(t, a(t), 6(t)K(t) - uzz(t, a(t), b(t))6'(t),
/ =i
n
- uzz(t, a(t), 0(t))b (t) = ^ c/(t)ux / =i / =i
^2(t) - ^ uxkz(t, a(t), b(t))a/(t) - uzz(t, a(t), b(t))b'(t) = J] cfc(t)uxfcXkz(t, a(t), b(t))+
+uzzz(t, a(t), b(t)) + Ai(t)M(i)(t, ^i(t))^2(t) + A2(t)/z(t, a(t), b(t)). (8)
Из (7), (8) находим
K(t) - ^(t)tf(t) - Ki(t) - Uzz(t, a(t), b(t))] /z(t, a(t), b(t))
Ai(t) =
D(t)
i^2(t) - K2(t) - Uzzz(t, a(t), b(t)) - Uzz(t, a(t), b(t))b(t)] /(t, a(t), b(t))
D(t)
(t) - K2(t) - u (t a(t)
A2(Î) =
(9)
[^2 (t) - K2(t) - Uzzz (t, a(t), b(t)) - Uzz (t, a(t), b(t))b (t)] M (t, ^ (t))
D(t)
[^i(t) - ^2(t)b'(t) - Ki(t) - uzz(t, a(t), b(t))] M(i) (t, ^i(t)Wt)
D(t)
Здесь
n
Ki (t) = ^ c/(t)uxkXk (t, a(t), b(t)) + Uxk (t, a(t), b(t))a/(t), / =i
(10)
K2(t) = Y, c/ (t)uxkXk z (t, a(t), b(t)) + Uxkz (t, a(t), b(t))a/ (t),
/ =i
D(t) = M (t, ^ (t))/z (t, a(t), b(t)) - M(i) (t, ^ (t))^(t)/(t, a(t), b(t));
n
n
Перепишем Ài(t), À2 (t) в следующем виде:
Ài(t) = Ai(t) + A2(t)Ki(t) + Aa(t) [K(t) + Uzzz(t, a(t), b(t))] + A4(t)uzz(t, a(t), b(t)),
À2(t) = Bi(t) + B2(t)Ki (t) + Ba(t) [K2(t) + Uzzz(t, a(t), b(t))] + B4(t)uzz(t, a(t), b(t)).
Здесь
Mt) Щ '
= -fz(t,a(t),b(t))^ Mf) = f(t,a(t),b(t))
D(t) ' ^ D(t) '
b'(t)f(t,a(t),b(t))-fz(t,a(t),b(t))
A4 (t) =
m
5i(i) =
=-щ-' Вз{ь) = —щ—'
т) =-Щ)-
— известные, непрерывные, достаточно гладкие функции.
Учитывая выражения для коэффициентов А^), А2(£), приходим к следующей прямой
3 9)^9)4 6 ■
и = ¿*(и) + и22 + (А^) + ^(г)*^) + Аз(*) [Кг(*) + и***(*, а(^), 6(*))] +
+А4(¿)и**(*, а(^), 6(*))) М(*, и)+ + (Ч (*) + Д^)*^) + Вз(^) [К2(¿) + и***(*, а(^), &(£))] +
+ Д^К*(*, а(*), 6(*))) /(*, х, г), (11)
и(0,ж,г) = и0(х,г). (12)
Ниже докажем классическую однозначную разрешимость задачи (1), (12), Для доказательства существования решения прямой задачи применим метод слабой
аппроксимации [1, 2], Расщепим задачу и линеаризуем ее сдвигом по времени на — — ^ на втором дробном шаге в нелинейных членах:
= 2Дс(ит(£, х, г)) + 2и1г(Ь, х, г), пт < Ь < ^п + -^ т; (13)
< = 2Ят1(г)М(г, ит(г - ж, г)) + 2Ят2(г)/(г, х,г), (п + ^ < г < (га + 1) т; (14)
ит^=0 = и0(х, г), х € г € Е1. (15)
Здесь n = 0,1,..., N — 1; tN = T; uT = uT(t) = uT(t, x, z),
R (t) = Ai(t) + A2(t)
+Aa(t)
J] Ck(t)uTXkXk (t - T-, a(t), b(tj) + uTXk (t - T-, a(t), 6(i)) a'fe(*) k=i
J] Ck(t)uTXkXkZ (t - a(t), 6(i)) + (t-^, a(t), 6(i)) a'fe(i)+ k=i
+ <4* (i " a(t), b(t)) + A4(î)«L (î " a(t), b(t)) ,
+
r (t) = Bi(t) + B2(t)
+
Ck(t)uTXkXk (t-^, a(t), 6(i)) + (t - I a(t), 6(i)) a'fe(t)
k=i
+B3(t) J2ck(.t)<Xkz (t-^,a(t),b(t)^j+uTXkZ (i-^fl(i),6(i)) k=i
+ <4* (i " "(t), b(t)) + B4(t)uTzz (t - T-, a(t), b(tj) .
Относительно входных данных предполагаем, что они достаточно гладкие, имеют все непрерывные производные, входящие в соотношения (16), (17), и удовлетворяют этим соотношениям:
|а'(*)| + |&'(£)| + К(Ь)| + |^)1< с; (16)
dz'
mD>o{x,z)
+
mD:.f(t,x,z)
dz'
(t, x, z) G G[0;T], C — постоянные
< C, |a| < 4, m = 0,1,..., 5,
(17)
Доказаны равномерные по t при (t, x, z) G G[0)i»j априорные оценки, гарантирующие компактность семейства решений {uT(t, x, z)} задачи (13)—(15) в классе непрерывных функций:
дк
~~ " < С при |а| = 0,1,..., 4, к = 0,1,..., 5; (18)
dzkD>T
д дк
—D*—uT(t,x,z)
dt xdzk
< C, где k = 0,1,2 , 3, |a| < 2.
(19)
Здесь Ь* - некоторая постоя иная (0 < Ь* < Т), зависящая от 8 и констант Стк из (16), (17) и не зависящая от т.
В силу теоремы Арцела [7] о компактности некоторая подпоследовательность иТк (Ь, х, г) последовательпости ит(Ь, х, г) решений задачи (13)—(15) сходится вместе с производными по хк до второго и по г до третьего порядка включительно к функции и(Ь, х, г) С
0 2 3 / \
СX X (^[0])■ По теореме метода слабой аппроксимации [2] данная функция является решением задачи (1), (12), причем и(Ь, х, г) € С^(^р ¿*]), где
СЦ3ЛС{0it.]) = ^ /(*, x, z) | /, /t, DZj^f E C(G[0;i*]), m = 0,1, 2, 3, M < 2
д
n
n
Используя все доказанные оценки, получим, что тройка функций и(£, х,г) А^) А2(£) принадлежит классу
X(Г) = (и(;,х,,г) А1 (¿), А2(¿) | и е СД3^-]), А1 (¿), А2(¿) е С([0,Г
и удовлетворяет неравенствам
3
ЕЕ
|а|<2 к=0
а дт
< С, (¿,х,г) е (20)
|А1(^)| + |А2(^)| < С, I е (21)
На основании этих оценок в работе доказано выполнение условий переопределения (3), Доказана также теорема единственности решения и(£, х,г) А1 (£) А2(£) Доказаны следующие теоремы.
Теорема 1. Пусть выполняются условия (4)-(6), (16) (17). Тогда существует решение и(£, х, г) А^) А2(£) задачи, (1)-(3) е классе X(£*) удовлетворяющее соотношениям (20) (21).
Теорема 2. Решение и(£, х, г) А1 (£) А2(£) задачи, (1)-(6) удовлетворяющее соотношениям (20) (21) единственно в классе X(£*).
(4) (6) (16) (17)
ственно решение и(£, х, г) А1(^) А2(£) задачи, (1)-(3) е классе X(£*) удовлетворяющее (20) (21)
2. Первая краевая задача
Рассмотрим в области С[о,т] = {(¿, х, г) | 0 < £ < Т, х = ..., х„) 0 < < 7г, к = 1, п, 0 < г < п} первую краевую задачу
и* (г, х, г) = Аи + и^ + А1(^)М(¿, и(г, х, г)) + А2(г)/(¿, х, г); (22)
и(0,х,г) = и0(х,г); (23)
и|хк=о = и|хк=п = 0, к = 1,..., п; (24)
и|^=о = = 0. (25)
Здесь
п
Аи(г,х,г) = ^ иХкХк(¿,х,г), к=1
функции М(£, у) и0(х,г) /(£, х, г) действительнозначные и заданы в Е2, Еп+1 и С[0)Т] соответственно.
Функции А1 (£) А2(£) подлежат определению одновременно с решением и(£, х, г) задачи (22)—(25), удовлетворяющим условиям переопределения (3) и условиям согласования (4). Относительно функции М(£, у) предполагаем выполнение условий (5).
Пусть при всех t G [0,T] выполняется соотношение (6), Относительно входных данных предполагаем, что выполнены условия (16), (17) и функции f (t, x, z) и u0(x,z) нечетным образом продолжаются по переменным xk, z на En+1:
те
u0(x, z) = ^^ ak sin kx1 sin kx2 ... sin kxn sin kz, ak — const; (26)
k=0
те
f (t, x, z) = ^^ ek(t)sin kx1 sin kx2 ... sin kxn sin kz, ek (t) G C [0,T]. (27)
k=0
Также предполагаем, что при (t, x,z) G G*0 T] справедливо условие
те
M(t, v(t, x)) = ^^ Mk(t) sin kx1 sin kx2 ... sin kxn sin kz (28)
k=0
для любых v(t,x), таких что
те
v(t, x) = ^^ vk (t) sin kx1 sin kx2 ... sin kxn sin kz. k=0
Здесь коэффициенты Mk (t) могут быть различны и, вообще говоря, зависят от выбора v(t, x)
Выражение неизвестных коэффициентов через решение u(t, x, z) имеет вид (9), (10), где cfe(t) = 1.
Рассмотрим в Gj0T] теперь прямую задачу Коши (1), (12), которая получается из (22), (23) подстановкой выражений для A1(t) A2(t) и заменой функций f (t, x, z) и u0(x, z) на их продолжения нечетным образом на все пространство по x1,..., xk, z (обозначения оставим прежними).
Расщепим прямую задачу и линеаризуем сдвигом по времени на (t — т/2) на втором дробном шаге в нелинейных членах (см. (13)—(15)). Для решения uT(t, x, z) доказаны равномерные по т оценки (18), (19) при (t, x, z) G G*0 t*y
Рассмотрим уравнение (13) с начальным условием (15). В силу (26) решение данной
задачи при te ( 0, ^
представимо в виде
uT
(t, x, z) = ^^ ake 2(n+1)k2f sin kx1 sin kx2 ... sin kxn sin kz,
k=0
следовательно,
uT|xk=0 = UT|xk=n = 0, k = 1,..., n, uT\z=o = UT\Z=7T = 0 при í G (o, ^ . Рассмотрим теперь уравнение (13) с начальным условием
те
ит(—,х, z) = ^^ a¡fce~(-"'+1')fc r sin кх\ sin кж2 ... sin кхп sin kz. k=0
Проинтегрируем уравнение (13) по временной переменной по отрезку (28) решение на временном отрезке £ Е ^—, т
, В силу (27),
представимо в виде
ит(£, х, г) =
те
Е
к=0
ак е
— (п+1)к2т
+ 2Д[(0)Мк(0) + 2Я2(0)вк^
х
Следовательно,
и
0, к
х вт кх1 вт кх2 ... вт кхп вт кг.
1.....п,
иТ к=0
ит|^=0 = ит= 0 при г € (0, т] . Аналогично рассуждая на следующем целом шаге по времени, получим, что
ит|хк=0 = ит |хк=п = 0, к = 1,..., п, ит|^=0 = ит = о при г € (0, 2т] .
Через конечное число шагов получим, что
ит |хк=0 = ит |хк=п = 0, к = 1,..., п, ит|^=0 = ит= 0 при г € (0, г*] .
(29)
В силу доказанных равномерных оценок и теоремы Арцела [7] о компактности некоторая подпоследовательность итк (г, х, г) последовательности ит(г, х, г) решений задачи (13)-(15) сходится вместе с производными по хк до второго и по г до третьего порядка включительно к функции и(г, х, г) € С0^^* 4»]) По теореме метода слабой аппроксимации [2] данная функция является решением прямой задачи (1), (12), причем и(£, х, г) € С,4»]) и справедливы соотношения (20) (21). В силу (29) для функции и(£, х, г) выполняется
и|хк=0 = и|хк=п = 0, к = 1,..., п, и 1^=0 = и|^=п = 0 при г € (0, г*] ,
и, следовательно, в качестве решения краевой задачи можно взять сужения на С[0^»] решения задачи Коши в С*0 4»] для уравнения (22) с начальными данными и правой частью, являющимися указанными в (26), (27) продолжениями функций и0(х, г) f (г, х, г) и условиями переопределения (3).
Единственность решения исходной краевой задачи следует из теоремы единственности, доказанной для задачи Коши. Доказаны следующие теоремы.
Теорема 4. Пусть выполняются условия (4)-(6) (16) (17) (26)-(28) Тогда существует решение и(г, х, г) А1 (г) А2(г) задачи, (22)-(25) (3) в классе X(£*) удовлетворяющее (20) (21)
Теорема 5. Решение и(г, х, г) А1(г) А2(г) задачи, (22)-(25) (3)-(6) удовлетворяющее соотношениям (20) (21) единственно в классе X(г*).
Теорема 6. Пусть выполняются условия (4)-(6) (16) (17) (26)-(28) Тогда существует и единственно решение и(г, х, г) А1 (г) А2(г) задачи, (22)-(25) (3) в клас се X (г*) удовлетворяющее соотношениям (20) (21).
4
2
Список литературы
[1] Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск, 1967.
[2] Белов Ю.Я., Кантор С.А. Метод слабой аппроксимации. Красноярск: Краснояр. гос. ун-т, 1999.
[3] Belov Yu.Ya. Inverse Problems for Partial Differential Equations. VSP, Utrecht, The Netherlands, 2002. 211 p.
[4] Полынцева С.В. О задаче идентификации двух старших коэффициентов параболического уравнения с условиями переопределения, заданными на различных гиперплоскостях // Вест. КрасГУ: физико-мат. науки. Красноярск, 2004. Вып. 3. С. 107-112.
[5] Баранов С.Н. О задаче идентификации трех коэффициентов с неоднородными условиями переопределения // Вычисл. технологии. 2003. Т. 8, ч. 4. С. 92-102.
[6] Белов Ю.Я., Фроленков И.В. О задаче идентификации двух коэффициентов параболического полулинейного уравнения // Вест. КрасГУ: физико-мат. науки. Красноярск: КрасГУ, 2004. Вып. 1. С. 140-149.
[7] Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. М., 1982.
Поступила в редакцию 4 апреля 2006 г.
