CC BY
16Решетневские чтения. 2013
УДК 517.9
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ИДЕНТИФИКАЦИИ КОЭФФИЦИЕНТА СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА ПРИ НЕЛИНЕЙНОМ ЧЛЕНЕ В ПОЛУЛИНЕЙНОМ УРАВНЕНИИ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ*
Е. Н. Кригер1, 2, И. В. Фроленков2
1 Сибирский федеральный университет Россия, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79 2ОАО «Информационные спутниковые системы» имени академика М. Ф. Решетнева» Россия, 662972, г. Железногорск Красноярского края, ул. Ленина, 52 Е-mail: [email protected], [email protected]
Исследована задача идентификации коэффициента при нелинейном члене в двумерном полулинейном уравнении теплопроводности в предположении, что неизвестный коэффициент представим в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит от временной и только одной пространственной переменной. В классах гладких ограниченных функций для рассмотренной задачи доказано существование решения в малом временном интервале.
Ключевые слова: полулинейное уравнение теплопроводности, обратная задача, метод слабой аппроксимации, задача Коши.
AN IDENTIFICATION PROBLEM OF THE SPECIAL FORM COEFFICIENT AT NONLINEAR TERM FOR SEMILINEAR HEAT EQUATION
E. N. Kriger1 2, I. V. Frolenkov2
1 Siberian Federal University 79, Svobodny prosp., Krasnoyarsk, 660041, Russia 2JSC "Academician M. F. Reshetnev "Information Satellite Systems" 52, Lenin str., Zheleznogorsk, Krasnoyarsk region, 662972, Russia E-mail: [email protected], [email protected]
The identification problem of the coefficient of the special form at nonlinear term for two-dimensional semilinear heat equation in the case of Cauchy's data has been researched. It is assumed unknown coefficient has form ofproduct of two functions, each of which depends on time and a partial variable. Existence of the problem solution has been proved in the classes of smooth bounded functions.
Keywords: semilinear heat equation, inverse problem, method of weak approximation, Cauchy problem.
В области Предполагаем, что функция u (t, x, z) удовлетворя-
G[0 T3 = {(t, x, z) |0 < t < T, (x, z) e R2 }
ет следующим, так называемым условиям переопределения:
рассматривается задача Коши для уравнения тепло- u(t,х, ^О) =Ф(^ х), и(^Ь(0, = (4)
проводности где а^), Ь^) - гладкие кривые, удовлетворяющие
и1 = ихх + и22 + их + и2 + ир-Х^, х,-) + f(t, х,-), соотношению |а(/)| + |Ь(/)| < С, Vt е [0, Т ].
t е (0 Т) (х -) е Я2 (1) Считаем, что входные данные согласованы, функ-
ции f ^, х, -), и0 (х, -), ф^, х), у(^ -) и их производные
где степень р > 1 - целая постоянная с начальным
г нужных порядков являются гладкими и ограничен-
условием ными. Полагаем также, что имеют место следующие
и(0, х, -) = и0(х, -), (х, -) е Я2. (2) ограничения:
Наряду с функцией и (^ х, -) неизвестной является функция Ху, х, -), относительно которой известно,
Фt (t, b(t)) - ф„ (t, b(t)) - у zz (t, a(t)) -- фх (t,b(t)) - уz (t, a(t)) - f (t, b(t), a(t))
>5j >0,
что она имеет вид ^(t, x)| > S2 > 0, |у(t, z)| > 53 > 0, 8j, S2,53 = const, (5)
X(t, x, z) = X1 (t, x) -X2(t, z). (3) V(t, x, z) e G[0 T
*Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 12-01-31033).
Прикладная математика и механика
При помощи условий (4), (5) из уравнения (1) выражаем коэффициент Ху, х, z) в виде
Х= Ao(t) ■
A1(t, x) --
A2(t, z) --
. (t, x, a(t)) + uz (t, x, a(t)) ф p (t, x) .(t, b(t), z)+ ux (t, b(t), z) V p (t, z) .
(6)
где функции A0 (t), A1 ^, x), A2 (t, z) известны и выражаются через входные данные.
Подставляя выражение (6) в уравнение (1), приходим к прямой задаче для уравнения
ut ^, x, z) = uxx ^, x, z) + uzz ^, x, z) + ux ^, x, z) +
uz ^, x, z) + f (t, x, z) + up (t, x, z) • A0 ^) х
^ uzz (t,x, a(t)) + uz (t, x, a(t))
A1(t, x) —' ^ ;
(
Mt, z) —
ф p (t, x) ,
.(t,b(t), z)+ ux (t,b(t), z) V p (t, z)
Л
с начальным условием (2). В полученной прямой задаче неизвестной является только функция u ^, x, z).
Разрешимость прямой задачи исследуется методом слабой аппроксимации [1; 2]. Доказано, что существует константа I*, 0 < и < T , зависящая от входных данных, такая, что существует достаточно гладкое решение u ^, x, z) вспомогательной прямой задачи, удовлетворяющее условию
4
X Т^Г^^, x, z) < C, (t, x, z) е ^
k,,k2 =0
5xkl dzk2
[0,t*]
Доказано, что найденная пара функций u (t, x, z), Х(t, x, z) удовлетворяет уравнению (1). При этом доказано, что для функции u ^, x, z) выполняются условия переопределения (4), а функция x, z) является достаточно гладкой и удовлетворяет соотношению:
X
k,,k2 =0
dkl +k2
dxkl dzk2
X(t, x, z)
< C, (t, x, z) e G[0,t*].
Ранее в работе [3] были рассмотрены задачи идентификации коэффициентов в полулинейном уравнении теплопроводности, в которых неизвестный коэффициент зависит от переменных, количество которых меньше, чем размерность уравнения. В [4] для полулинейного уравнения теплопроводности исследована задача идентификации коэффициента при нелинейном члене в предположении, что коэффициент представим в виде суммы двух функций. В работах [5; 6] исследованы задачи идентификации коэффициента специального вида при функции источника в линейном уравнении теплопроводности.
Библиографические ссылки
1. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск, 1967. 195 с.
2. Belov Yu. Ya. Inverse Problems for Partial Differential Equation. Utrecht, VSP, 2002.
3. Belov Yu. Ya., Frolenkov I. V. Coefficient Identification Problems for Semilinear Parabolic Equations // Doclady Mathematics. 2005. Vol. 72, № 2. P. 737-739.
4. Кригер Е. Н., Фроленков И. В. Задача идентификации коэффициента специального вида при нелинейном члене в двумерном параболическом уравнении // Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений : Междунар. конф., посвященная 105-летию со дня рождения С. Л. Соболева (18-24 августа 2013, г Новосибирск) / Ин-т математики СО РАН. Новосибирск, 2013. С. 176.
5. Кригер Е. Н., Фроленков И. В. О двух обратных задачах идентификации функции источника специального вида в двумерном уравнении теплопроводности // Материалы XVI Междунар. науч. конф., посвя-щённой памяти академика М. Ф. Решетнева (7-9 ноября 2012, г. Красноярск) : в 2 ч. / под общ. ред. Ю. Ю. Логинова ; Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2012. Ч. 1. С. 111-112.
6. Фроленков И. В., Кригер Е. Н. О существовании решения задачи идентификации коэффициента специального вида при функции источника // Вестн. НГУ. Сер. Матем., мех., информ. 2013. № 13(1). С. 120-134.
References
1. Yanenko N. N. Metod drobnykh shagov resheniya mnogomernyh zadach matematicheskoy fiziki (The method of fractional steps for solving multi-dimensional problems of mathematical physics). Novosibirsk,1967.
2. Belov Yu. Ya. Inverse Problems for Partial Differential Equation, Utrecht, VSP. 2002.
3. Belov Yu. Ya., Frolenkov I. V. Coefficient Identification Problems for Semilinear Parabolic Equations // Doclady Mathematics. 2005. Vol. 72. № 2. pp. 737-739.
4. Kriger E. N., Frolenkov I.V. Zadacha identifikatsii koeffitsienta spetsial'nogo vida pri nelineinom chlene v dvumernom parabolicheskom uravnenii (An Identification Problem of the Special Form Coefficient at a nonlinear term for a two-dimensional parabolic equation) // Differential equations. Function spaces. Approximation theory. Intern. conf. dedicated to the 105th anniversary of the birthday of S. L. Sobolev: abstracts (Novosibirsk, August 18-24), 2013. pp. 176.
5. Kriger E. N., Frolenkov I. V. O dvukh obratnykh zadachakh identifikatsii funktsii istochnika spetsial'nogo vida v dvumernom uravnenii teploprovodnosti (The identification Problems of the Source Function of the Special Form for Two-Dimensional Heat Equation). Materialy XVI mezhdunarodnoy nauchnoy konferentsii, posvyashchennoy pamyati general 'nogo konstruktora raketno-kosmicheskikh sistem akademika M. F. Reshetneva / SibGAU, Krasnoyarsk, 2012. Part 1. pp. 111-112.
6. Frolenkov I. V., Kriger E. N. O sushchestvovanii resheniya zadachi identifikatsii koeffitsienta spetsial'nogo vida pri funktsii istochnika (An Existence of the Solution for Identification Problem of Coefficient in Special Form at Source Function). Vestnik NGU. 2013. 13(1). pp. 120-134.
© Кригер Е. Н., Фроленков И. В., 2013
