О двух обратных задачах идентификации функции источника специального вида в двумерном уравнении теплопроводности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ракетно-космические двигатели, энергетические установки и системы терморегулирования летательных аппаратов

УДК 517.9

Е. Н. Кригер ОАО «Информационные спутниковые системы» имени академика М. Ф. Решетнева», Россия, Железногорск

И. В. Фроленков Сибирский федеральный университет, Россия, Красноярск

О ДВУХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ИДЕНТИФИКАЦИИ ФУНКЦИИ ИСТОЧНИКА СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА В ДВУМЕРНОМ УРАВНЕНИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Исследована задача идентификации функции источника специального вида в линейном двумерном уравнении теплопроводности с данными Коши.

В случае, когда неизвестный коэффициент представим в виде суммы двух функций (далее - задача I), в классах гладких ограниченных функций доказана однозначная разрешимость задачи, получена оценка устойчивости решения по входным данным и исследовано поведение решения на бесконечности. Для второй задачи, когда неизвестный коэффициент представим в виде произведения функций (далее - задача II), получены достаточные условия существования решения в малом временном интервале.

В области G[0 T] = {(t, х, z) |0 < t < T, (x, z) e R2} рассмотрим уравнение ut = uxx + uzz + a(t) • u + + f (t, x, z) • 1(t, x, z), t e (0, T), (x, z) e R2, с начальным условием u(0,x,z) = u0(x,z).

Неизвестными в задаче являются функции u (t, x, z), 1(t, x, z). Коэффициент при функции источника имеет вид 1(t, x, z) = l (t, x) +12 (t, z) или 1(t, x, z) = 13 (t, x) • 14 (t, z). Заданы условия переопределения на функцию u (t, x, z):

u(t, x, a) = j(t, x), u(t, b, z) = y(t, z),

где a, b - некоторые константы.

Считаем, что входные данные достаточно гладкие, согласованные и удовлетворяющие следующим условиям:

- для задач I, II:

u0(x, a) = j(0, x), u0(b, z) = y(0, z), j(t, b) = y(t, a), |f (t,b, z)| >8j > 0, |f (t, x,a) >S2 > 0, "t e [0, T],"(x, z) e R2,8j, S2 = const;

- для задачи II: jt (t, b) -jxx (t, b) -yzz (t, a) Ф 0.

Доказано существование единственного решения

u (t, x, z), 1(t, x, z) = 1j(t, x) + 12(t, z) обратной задачи I в классе

Z(T) = {u(t,x,z), 1(t,x,z)|u e Ck4;4(G[0,T■,),

1(t, x, z) e Cxz (G[0,t])} , удовлетворяющего соотношению:

4

XX

k,,k2 =0

5kl dk

dxki dzk2

u (t, x, z)

4

+ X

kj,k2 =0

дk д

дxkl dzk2

■1(t, x, z)

< C.

В работе [1] получена оценка устойчивости решения и (/, х, z), 1(/, х, г) обратной задачи I по входным данным. Исследовано поведение решения и(/, х, г), 1(4 х, г) при стремлении временной переменной к бесконечности [2]. При выполнении дополнительных условий на входные данные решение и (/, х, г), 1(4 х, г) задачи I существует, ограничено в О[0+¥) и удовлетворяет соотношению

lim sup

t®+¥ (x, z)eR2

dk1 + k2

dxkl dzk2

u (t, x, z)

-|l(t, x, z)|

= 0, k

k2 = 0,1,..., 4, (t, x, z) e G[

[0;+¥)-

В работе [3] доказана теорема существования решения и (/, х, г), 1(4 х, г) обратной задачи II в классе

г (4) = {и (/, х, г), Х(/, х, г) |и е С;4'4 (^0Л ]),

1(/,х,г) е С?£(О[0л])}, 0 < 4 < Т, удовлетворяющего соотношению:

4

XX

k,,k2 =0

д ki д k

dxkl dzk2

u (t, x, z)

4

+ XX

k1,k2 =0

д ki д k

dxkl дzk2

1(t, x, z)

< C.

Для доказательства используется метод слабой аппроксимации, который был впервые предложен в работах Н. Н. Яненко и А. А. Самарского и получил развитие в работах их учеников и последователей [4; 5].

Рассмотренная задача может описывать процесс распространения тепла в бесконечной тонкой пластине, когда неизвестно не только распределение тепла в каждый момент времени в каждой точке, но и некоторые данные о структуре источника.

Библиографические ссылки

1. Фроленков И. В., Кригер Е. Н. О задаче идентификации функции источника специального вида в двумерном параболическом уравнении // Mathematics & Physics: j. of Siberian Federal University. 2010. № 3 (4). C. 556-564.

Решетневскце чтения

2. Кригер Е. Н., Фроленков И. В. О стабилизации решения одной обратной задачи для двумерного параболического уравнения // Обратные и некорректные задачи математической физики : тез. докл. Междунар. конф., посвящ. 80-летию со дня рождения акад. М. М. Лаврентьева (5-12 августа 2012, г. Новосибирск). Новосибирск : Сиб. науч. изд-во, 2012. С. 87-88.

3. Кригер Е. Н., Фроленков И. В. Задача идентификации функции источника специального вида в дву-

мерном параболическом уравнении // Студент и научно-технический прогресс : материалы ХЫХ Между-нар. науч. студ. конф. / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2011. С. 50.

4. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск, 1967.

5. Белов Ю. Я., Кантор С. А. Метод слабой аппроксимации. Красноярск : Изд-во КГУ, 1999.

E. N. Kriger

JSC «Academician M. F. Reshetnev «Information Satellite Systems», Russia, Zheleznogorsk

I. V. Frolenkov Siberian Federal University, Russia, Krasnoyarsk

THE IDENTIFICATION PROBLEMS OF THE SOURCE FUNCTION OF THE SPECIAL FORM FOR TWO-DIMENSIONAL HEAT EQUATION

The identification problems of source function of the special form for linear two-dimensional heat equation in the case of Cauchy's data have been researched.

© Kpurep E. H., OpojiemoB H. B., 2012

УДК 539.374.

Г. Г. Крушенко

Институт вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наук, Россия, Красноярск

ВЛИЯНИЕ ПЛОТНОСТИ АЛЮМИНИЕВЫХ СПЛАВОВ НА КАЧЕСТВО ЛИТЫХ ДЕТАЛЕЙ ДВИГАТЕЛЯ

Показано влияние плотности алюминиевых сплавов на механические свойства отливок двигателей, а также способы предупреждения появления пористости и повышения плотности отливок.

Алюминиевые сплавы широко применяются для получения отливок машиностроительного профиля, включая корпусные детали силовых агрегатов космической техники, вследствие того, что эти сплавы характеризуются высокими технологическими и механическими свойствами, что гарантирует надежность их работы в сложнонагруженных условиях, например, в составе топливонасосных агрегатов жидкостных ракетных двигателей [1]. Однако известно, что алюминиевые сплавы в процессе их приготовления в той или иной степени растворяют водород, содержание которого зависит от температурно-временных режимов плавки и обработки расплава средствами, препятствующими насыщению его водородом [2]. Растворенный в жидком металле водород в процессе кристаллизации отливок, получаемых из алюминиевых сплавов с узким интервалом кристаллизации, к которым относятся сплавы системы Al-Si (например, сплавы АК9ч, АК7ч и др.), образует в их объеме рассеянную пористость.

Влияние пористости алюминиевых сплавов на меха -нические свойства была изучена сотрудниками ВИАМ при испытании образцов, вырезанных из картера авиационного двигателя жидкостного охлаждения [3].

Нами также установлено, что присутствующие в алюминиевых отливках поры уменьшают плотность

металла, что приводит к снижению их механических свойств [4]. Например, на сплаве АК9ч нами установлено [5], что при плотности отливок (определяли методом гидростатического взвешивания) р = 2 564 кг/м3 временное сопротивление ств = 235 МПа, относительное удлинение 5 = 5,0 %, тогда как при р = 2 575 кг/м3 ств повысилось до 260 МПа (на 10,4 %), а 5 - до 5,6 °% (на 12,0 %), а при р = 2 658 кг/м3 ств повысилось до 275 МПа (на 17,0 %), а 5 - до 8,2 % (на 64,0 %).

Полученные в работе [3] данные легли в основу пятибалльной шкалы пористости, которая используется в промышленности и в настоящее время. В производственных условиях качественно оценить пористость можно с помощью экспресс-метода, разработанного А. Г. Спасским [6], при котором порция сплава заливается в сухую песчаную форму, и при его кристаллизации газы выделяются на поверхность металла, оставляя следы в виде микрополостей. В случае работы со сплавами, содержащими элементы, образующие на поверхности пробы твердую окисную пленку, например ВеО в сплаве АМг10ч, для выявления следов выделения газов поверхность проб стравливается. Более точная оценка пористости производится при изучении рентгеновских пленок, экспонированных с помощью рентгеновского просвечивания