CC BY
28
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
То м IX 197 8 М3
УДК 533.6
О ВЫЧИСЛЕНИИ ЯДРА ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ГАРМОНИЧЕСКИ КОЛЕБЛЮЩЕГОСЯ КРЫЛА В ДОЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
И. /7. Гавва, В. В. Мозжилкин
При расчете Дср для гармонически колеблющегося крыла в дозвуковом потоке методами дипольной решетки или коллокации массовой операцией является вычисление ядра интегрального уравнения, которое представляет собой линейную комбинацию несобственных интегралов от быстро осциллирующих функций. Показывается, что при больших числах Струхаля общепринятая методика их вычислений дает значительную погрешность. Предлагается более точная процедура вычисления ядра, причем время счета не растет при переходе от известных методов расчета к предлагаемому.
Метод применим к вычислению несобственных интегралов от быстро осциллирующих функций, встречающихся и в других численных методах линейной теории крыла, совершающего гармонические колебания в дозвуковом потоке при ЖфО [1, 2].
В линейной теории обтеканйя крыла, совершающего гармонические колебания в дозвуковом потоке газа, интегральное уравнение для Дср имеет ядро, представляющее собой линейную комбинацию интегралов [2, 3]:
СО
/,(«,*)= Г------. V = 1,2; (1)
J (1 + и*У+Ч*
а
здесь Щг — число Струхаля (г—расстояние между точками приемника и излучателя).
При а = 0, /Дя, к) выражаются через специальные функции [2, 4]:
/, (0, к) = кК, (к) + I [/, (к) - {к)\■
/2 (0, *)=-*!*, (к) -1.2*1 [/, (к) - 2 (А)],
где /„, Кп, Ьп — модифицированные функции Бесселя, Ханкеля и Струве соответственно. Эти формулы используются для тестирования методов вычисле-
ния /,.
Наибольшее распространение для вычисления получили методы, описанные в работах [5, 6]. Интегралы /„' с помощью интегрирования по частям приводятся к линейной комбинации интегралов:
Г [ 1 - “ ml e~iku du, Г и 1 -------
J L (1 +«2)1/2 J j (1 + m2)1/2J
-ika
du.
(3)
В работе [5] применяется следующая аппроксимационная формула:
1-0,101 ехр ( - 0,329 и) - 0,899 ехр (- 1,4067 и) -
(1 + «2)1/2
— 0,09480933 ехр (— 2,90 и) sin ни.
В работе [6] эта функция аппроксимируется формулой вида:
и
и
(1 + «2)
1/2
— 8mexP (— 0,372 ти).
т= 0
Коэффициенты Ьт приведены в [6]. Постановка этих соотношений в интегралы (3) приводит к легко вычисляемым аналитически интегралам. Расчет по получаемым таким образом квадратурным формулам показал, что они дают приемлемую относительную погрешность при 0<!А^;3, а при увеличении к их погрешность растет (см. таблицу и фиг. 1, 2).
Предлагается следующий метод вычисления (а, к). Интервал интегрирования [а, оо] разбивается на две части:
{а, оо] =[ а, Ь] + [Ь, оо], Ь > 1.
Тогда
/, (а, к) = 1\ (а, Ь, к) + (Ь, к).
(4)
где
U
1\ (а, Ь, k) = J
„—ika
du
(1 -м2)
і2ЛЬ
(XJ
du
(1 + и*)'
v+1/2 •
Интеграл I] (а, Ь, К) вычисляется по квадратурной формуле Филона [7]. Рассмотрим 1^(Ь, А). Его можно представить в виде ряда:
Г e~ika
2-(-1V
І J=і
v +
(.+
+ J -
Л
f e-iku
J „2V+2/+1
du
(5)
Ряд (5) мажорируется геометрической прогрессией со знаменателем 1/62 и, следовательно, ряд (5) сходится абсолютно при 6>1.
30
% 7
і\ |\ \/ ! !
111 І\ І \ І / г
* 11 і) Т 1 і /1 ,/ V і /\ / /
м ц \ч ^ / s' Ь і/ V
1е%
Иег
г
Rti
It,
З ї 5 Фиг. 1
45
ЗО
15
/І І /
м п 1 /■ / / /
S , / / X \ \ /
М j и N \J V-/
Л%
Be,
1
Re2
Іе,
З 4 5
Фиг. 2
k Rh Rs2 Метод
0.1 0.28 1.05 0.46 1.22 [5]
0.25 0.36 0.45 1.61 [6]
0.00 0.06 0.01 0.35 (6)
0.5 0.22 0.62 1.34 0.66 [5]
0.59 0,69 0.05 2.77 [6]
0.00 0.00 0.00 0.00 (6)
1.0 0.00 0.39 1.90 0.14 [5]
1.85 0.38 0.51 0.92 [6]
0.00 0.00 0.00 0.00 (6)
1.5 63.51 0.28 4.16 1.56 [5]
37.79 0.73 10.09 0.37 [6]
0.03 0.00 0.00 0.00 (6)
2.0 0.21 l.!9 17.15 1.04 [5}
1.35 0.70 4.60 1.85 [6]
0.00 0.00 0.00 0.00 (6)
2.5 1.86 0.86 0.74 3.92 [5]
1.49 0.87 0.19 0.66 [6]
0.00 0.00 0.00 0.00 (6>
3.0 1.66 1.06 4.05 4.06 [51
1.28 3.04 3.48 1.30 [61
0.00 0.00 0,00 0.00 (6)
3.5 0.68 6.11 4.84 0.62 [51
0.36 9.97 4.29 3.32 ■ [61
0.00 0.02 0.00 0.01 (6)
4.0 0.39 23.56 3.12 21.26 [51
0.73 50.39 3.04 24.78 [61
0.01 0.06 0.01 0.07 (6)
4.5 1.20 2.70 0.51 27.93 [51
1.80 6.95 1.24 34.99 [6]
0.00 0.04 0.01 0.12 (6)
5.0 1.70 0.31 1.96 8.13 [5]
2.97 3.00 0.56 12.41 [6]
0.01 0.01 0.02 0.01 (6)
5.5 1.97 0.59 4.06 2.99 [5]
4.07 1.34 2.54 7.63 [61
0.09 0.02 0.13 0.03 (6)
6.0 2.22 0.96 6.28 0.58 [5]
8.27 0.23 5.74 5.64 [6]
0.44 0.13 0.64 0.29 (6)
6.5 3.73 1.14 11.09 1.65 [51
25.75 0.62 14.91 4.68 [61
0.65 0.47 0.61 1.03 (6)
7.0 0.07 1.24 84.50 1:07 [51
24.80 1.59 979.42 4.36 [6]
2.63 0.65 , 1.82 1.05 (6)
Можно построить квадратурную формулу для вычисления /v(a, к), основываясь на (4) и (5):
Iі (a, k), а>1;
(6)
l\{a, Ь, к) + l\(b, к), я< 1.
/v(a, k) =
00
Вычисление интегралов Ej = j e~lku /иJ du проводится по рекуррентной фор-
ft
муле:
ik
—ikb
Ej (іЬ, к) =---------2-----■ - -Z— Ej_x (b, к)- j ф 1;
О-і) 1 (7)
Ei (b, k) = — ci (bk) + isi (bk).
При к-* 0 формула для Е1 имеет особенность. Поэтому для малых частот вычисления по формуле (7) следует начинать с /= 3 и
ЕЛЬ, *) = х
1 + і I z In t — т I B0 + 1 — І-7Г
+ О (т2 In т),
2
г = bk, В0 = — 0,577215665.
Суммирование ряда (6) производилось с помощью 82-преобразования Эйтке-на [8].
Основываясь на формулах (2) и (4), можно получить еще одну квадратурную формулу для вычисления /,(а, к):
/, (а, к) = -1\ (О, Q, к) + /2 (0, к). (8)
'По формулам, приведенным выше, была проведена серия расчетов на ЭЦВМ
„Минск-32“. На фиг. 1 и 2 представлены графики относительных погрешностей методов Каннингема и Лашки соответственно. На фигурах через обозначена относительная погрешность вычисления действительной части /v, /е„ — относительная погрешность мнимой части /v. Легко видеть, что точность методов [5, 6] резко падает с увеличением к. Расчет по формулам (6) дает относительную погрешность на превосходящую 1% на отрезке 0-<£<;б,5. На интервале 6,5<&<;7 относительная погрешность достигает 10%. Затраты машинного времени во всех методах примерно одинаковы.
При аф 0 сравнивались результаты расчетов по формуле (8) с расчетами
по методам [5, 6], (6). Относительная погрешность методов при а = 0,5 приве-
дена в таблице. Легко видеть, что погрешность методов [5, 6] при аф 0 выше, чем при а = 0.
Авторы благодарят П. М. Гостева за ценные замечания при выполнении работы и В. Б. Черных за помощь в расчетах на ЭЦВМ.
ЛИТЕРАТУРА
1. Белоцерковский С. М., Скрипач Б. К. Аэродинамические производные летательного аппарата и крыла при дозвуковых скоростях. М., „Наука”, 1975.
2. Н а б и у л л и н Э. Н. Метод расчета нестационарных аэродинамических нагрузок на тонкое крыло конечного удлинения, совершающее упругие гармонические колебания в дозвуковом потоке. „Ученые записки ЦАГИ", т. 3, № 6, 1972.
3. Landal М. Т. Kernel function for nonplanar oscillating surfaces in a subsonic flow .AIAA J“, vol. 5, N 7, 1967.
4. Бейтмен Г., Эрдейн И. Высшие трансцендентные функции. М., „Наука”, т. 2, 1966.
5. Watkins С. Е., Ranyan Н. L., Cannlncham М. J. A systematic kernel function procedure for determining aerodynamic forces on oscillating or steady finitewings at subsonic speeds. NASA Pept., R-48, 1959.
6. Lashcka B. Interfering lifting surfaces in subsonic flow. „Z. Flug-wiss*. J. 18., H 9/10, 1970.
7. Бахвалов H. С. Численные методы, М., „Наука", 1973.
8. К р ы л о в В. И., Б о б к о в В. В., Монастырский П. И. Вычислительные методы высшей математики, т. 2, Минск, „Высшая школа", 1975.
Рукопись поступила 4jII 1977 г.
