CC BY
60
_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том III 1972
№ 6
УДК 629.735.33.015.3.025.1.1.7
МЕТОД РАСЧЕТА НЕСТАЦИОНАРНЫХ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗОК НА ТОНКОЕ КРЫЛО КОНЕЧНОГО УДЛИНЕНИЯ, СОВЕРШАЮЩЕЕ УПРУГИЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В ДОЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
Э. Н. Набиуллин
Излагается метод определения аэродинамических сил для расчета крыльев на флаттер при конечных числах Струхаля в дозвуковом потоке. Система линейных уравнений для определения аэродинамических сил получена из интегрального уравнения, связывающего нормальные скорости на крыле с распределением давления. Применяется дискретизирующая сетка С. М. Белоцерковского [1], удобная при расчетах на флаттер крыла с органами управления. Показано, что выведенные уравнения при М = 811 = 0 совпадают с соответствующими уравнениями прямого метода дискретных вихрей [1].
Приближенное решение интегрального уравнения колебаний крыла. Если крыло совершает гармонические колебания в дозвуковом потоке, то распределение разности давления по поверхности крыла в линейном приближении будет также гармонически зависеть от времени, т. е. если нормальная скорость поверхности крыла УДх, 2, = г)егшЧ, то разность давлений р(х,2,<)=
= Не1/?(х, г)еы*). Здесь — круговая частота: / — время; х, г — координаты поверхности крыла (фиг. 1);/(х, г) и р(х, г)—комплексные амплитуды скорости и давления, связанные следующим интегральным уравнением:
= 4 1 у2 °Л Р (г') к(х~ 2 - г'’ м> ш)йх' аг'> О)*
о .
где V, р — соответственно скорость и плотность потока на бесконечности. Интегрирование производится по поверхности крыла. Выражение для ядра уравнения (1) для плоского крыла принимается, как в работах [4], [5]. Кроме уравнения (1), функция р{х,г)
* Знак 0 на внешнем интеграле показывает, что значение интеграла берется в смысле конечной части Адамара [7].
должна удовлетворять условию Чаплыгина — Жуковского р(х,г)=О на острой задней кромке.
Для решения уравнения (1) разобьем крыло на 'трапециевидные панели (фиг. 2) с боковыми кромками, параллельными корневой хорде крыла (считаем, что крыло движется без скольжения) так, как это принято в работе [1]. Следуя данным работы [1], только на линии в 1/4 текущей хорды от передней кромки панелей нагрузку будем считать постоянной и отличной от нуля. Уравнение (1) будем удовлетворять в точках, находящихся на средней линии панелей на расстоянии в 1/4 средней хорды от задней кромки. В дальнейшем панелям будем приписывать номер і, а контрольным точкам При такой схематизации интегральное уравнение (1) перейдет в систему линейных уравнений, которая может быть получена из (1) как^предел при е1 -» 0, где ег—ширина области около линии в 1/4 местной хорды, в которой р(х, г) ф О (на фиг. 3 заштрихованная область);
■ = ~^-2 2 Ига °| [ р(х', г') К(х; — х', гі — г', Мш)йх' сіг'. (2)
і-і і
Для получения предела удобно в (2) перейти в каждом интеграле к координатам хи zu связанным с линией 1/4 хорд:
•*' = .*!+*i cos yj + Zj sin z' = z\ — xtsln ъ + г! cos xi- (3)
Здесь x'., z\ — координаты центра линии нагрузки в i-й панели; % — угол стреловидности линии нагрузки.
Q,cos у•
Считая, что давление pt в области постоянно и pt=—,
* 4 /,ег
где ^ — длина полуразмаха панели, Q, — нагрузка на г-ю панель,
и переходя к пределу во внутреннем интеграле, получим:
/(*/. 2;)
l;lCOS Хг
1
-ltlCOS %i
§ / qujAK‘>dx\
dz{,
V 4tzPV2 fr[
i} — K(Xj — x’i — xt cos Xt — 2, sin '/j, Zj + Xi sin Xi—Zi cosy,, M, to). V
(4)
Фиг. 1
Фиг. 2
Фиг. З
Разлагая К1} в ряд Тейлора в окрестности лг, = 0 и сохраняя только член при нулевой степени X], интегрируя пол:! и переходя к пределу, получим:
1{!соа г1
/(Л;>2;)_ 1 V ° Г
V 4ир^2 ] 2/,
-»//С05/.г
X
X /С(*, — - «1 Sin X/, «у - — Z, COS Xi, м, ш) rfZj.
Вводя обозначения
(5)
Ео =
/«■
Zj cos Xt
h
Г;
/|
Q;
4 Р1/*/? М, ш); # =
<alt
■у*
получим окончательно:
= ^;£n7^(?0-ClgX/.'Co-C, <7, М)Л.
1
V 2*£-'
Функция ядра имеет следующий вид:
(6>
К
Г
(Со- V
СО
'= J
е- /<7(Е0-С tg х().
СО ■
£-<0|Со-С1
/ +
М/-'^Ко-С|
(1 4- и2)3'2
VI Со-С I
Я = У^о - С tg Хг)3 + Р* iCo - С)2; X =
RV&o-C)3-f>2J’ du\ р*=1— М2;
М/?-£„+С tgX/
(7)
Так как интеграл в (6) не берется в явном виде, то функцию ядра К заменим интерполяционным многочленом, выделяя особенность -г=—, где она есть. В данной работе применялась квадра-(Со V -
тичная интерполяция, причем линия нагрузки в панели' разбивалась на несколько равных интерполяционных отрезков. Расчеты показали, что три интерполяционных отрезка в панели достаточны для получения необходимой точности при числах Струхаля р* = шй/1/= 1 -ь 4 (Ь — корневая хорда). •
На фиг. 4 приведены графики вращательных производных Су, сау, т*г к т* в зависимости от числа Струхаля, полученных: автором излагаемым методом и по методу Б. Лашка [6] для крыла Х = 5, х = 45°, к)=1 и М = 0,1. Как видно из графиков фиг. 4, результаты, полученные по двум методам, согласуются достаточно, удовлетворительно.
ОС
$
е
*
г
с* У
—
млежемый метод ме/лад 6. Матяа
0 0,Ь Щ V 1 _ ! .! N
-V
-/
-12
Я?"
4 «■А г 1 6 р*
тК
1-6=
Фиг. 4
Покажем теперь, что при <7 -»0 и М = 0 величина интеграла в (6) совпадает с величинами безразмерных скосов потока, используемых в методе дискретных вихрей [1] для определения безразмерных интенсивностей Гг. Запишем интеграл (6) в следующем виде:
*1=
1
-1 -1 —1
сов у (|Со—С1И-Но - -/) ,
(Со —С)2 I (1+И2)3'2 аи’
1
К1=1Г ‘.ы Г 5ЫК»~Д^гС1е:х)^
<с. — о*
Х/|С0-?1
(1 + И2)3/2
Ео ~ С х
Обозначим
с0-с| •
1 1 01
! = Пт ° Г Кх Л; да2 = Ит— ГКгйС.
<7->0 4 д-*0 Ц ^
(8)
После предельного перехода интегралы для %о1 и 'т-1 становятся табличными:
1
1
ТО1' Со— 1 С
5о —С1ех
/(Со - С)2 + (Е-С1§х)2
—1
1 . 1
<К;
Ко— 1
- <*. - СП**) ^ + етт) + 11п|С+Т| +
У(С»'~-С)2 + {50-С1ёх)2
"К
I
(Со-С)2
Л.
(9)
Интегралы, входящие в (9), берутся в обычном смысле при |С0|>|С| и в смысле Адамара при |С0.|<|С|. ... .
7 Ученые записки ЦАГИ № 6
97
Опускаєм сложные выкладки и громоздкое выражение для и приводим только результат интегрирования для
Если в (10) заменим 0, на —С, то получим выражение для чюи совпадающее с выражением тю1 в работе [1]*. Тот же результат получается и для да2.
Матрицы коэффициентов обобщенных сил. При решении задач аэроупругости деформации крыла часто задаются в виде
N
Уравнение (6) запишем в матричном виде, разделив действительные и мнимые части:
Здесь индекс „1“ относится к действительности части, а „2“ — к мнимой части; 2, и 2г — квадратные матрицы порядка и, строчки которых составлены из интегралов, входящих в (6):
г),
(И)
где х — х/Ь] г = г/Ь; Ь — характерный размер. Тогда нормальная скорость
Є, Г(,) — 2, Г12) — 2кХі Л; Г(1) 4- 2і г42’= 2 «Х3А.
(12)
Решая матричное уравнение (12), получим:
Г(1) = 2тс(Фх Х1 — р* Ф2 Х2) Л; I г'^^ф^ + ф,*) А ) где Фі = (йі + йзйГ^з)-1; Ф2 = —Ф^г2”1-
* В статье ось г противоположна оси г в работе [1].
Комплексная амплитуда нагрузки будет: д = Р1/^[Г(1)+гГ(2)] Л,
где
I ==
ООО М\)
Умножая (14) слева на матрицу перехода к обобщенным координатам ик = Акеы и на временной множитель ем, получим матрицу обобщенных сил:
~Х3Ь^’и+ -ф-*31Г(2)н Л
Обозначив и— I
выражению для С?:
(3 = РУ2
где
,Ш. ; \еМг придем к следующему
\Afjj
1 -Х,1Тти + -^Хг1 Г(2>«|
ь " 1 Ур*
*ъ = {Л^«, 2г)} (/—1,2,..., я; £=1, 2,..., Ы).
(15)
Из выражения (15) получим матрицы коэффициентов аэродинамической жесткости В и аэродинамического демпфирования О, применяемые в задачах аэроупругости:
Ъ ХЪ1Т^:
2тер V2
ХМФіХх-р* Ф2Х,У,
1
р УХ3Ь Г = - 2 тгр УХгі ( ф, ^2 + ^5 Ф«^1) •
(16)
В качестве координатных функций ДО*, г) при расчете на флаттер методом многочленов принимаются степенные функции вида х7*. Для крыла Х = 1,33, ^ = 5 с прямой задней кромкой
и элероном (фиг. 5) были рассчитаны матрицы В я О при следующих функциях:
Номер функции /«
1 X
2 хг г
3 х3 г2
4 /э
Расчет проводился для М = 0, на полукрыле были взяты 64 панели, на элероне—16 панелей; /э означает поворот элерона около его передней кромки. На фиг. 5 приведены графики зависимостей Ьг k (p*)[bx k (0), где blk — элементы В; blk соответствует подъемной силе от k-Pi деформации. Матрица аэродинамического-демпфирования при изменении числа Струхаля от 1 до 2 меняется слабо (максимум на 7—8%). Из графиков фиг. 5 видно, что зависимость bx klbx А(0) от числа Струхаля с увеличением номера кривой (номер кривой соответствует номеру функции в таблице) ослабляется. Такое поведение кривых становится ясным, если учесть* что величина деформации быстрее убывает от концевой части крыла к корневой части при переходе к функции с большим номером. Отсюда ясно, что степень влияния числа Струхаля на флаттерные характеристики крыла малого удлинения будет разная для разных форм флаттера; для консольных форм флаттера слабее, чем для фюзеляжных.
ЛИТЕРАТУРА
1. БелоцерковскийС. М. Пространственное неустановив-шееся движение несущей поверхности. Изв. АН СССР, ПММ, т. XIX, вып. 4, 1955.
2. БелоцерковскийС. М., Колесников Г. А. Расчет воздействия порыва на крыло сложной формы в плане при дозвуковых скоростях. Изв. АН СССР, МЖГ, 1969, № 5.
3. Белоцерковский С. М., Скрипач Б. К., Табачников В. Г. Крыло в нестационарном потоке газа. М., „Наука*, 1971.
4. Alba no Е., Rodden W. P. Adoublet lattice method for calculating lift distributions on oscillating surfaces in subsonic flows. AIAA Paper,
No 68-73, 1969.
5. Landahl М. T. Kernel function for nonplanor oscillating surfaces in a subsonic flow. AIAA Journal, 5 May, 1967.
6. LaschkaBorls. Zur Theorie der harmonisch schwingenden tragen-den Flache bei Unterschahlanstromung. Zeitschrift fur Flugwiss, 1963, Heft 7.
7. Mangier K. W. Improper integrals in theoretical aerodynamics.
British A. R. C. RM 2424 (1951).
Рукопись поступила 22IX/I 1971 г.
