О вычислении нейтральных подпространств квадратной матрицы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

Х. Д. Икрамов1

О ВЫЧИСЛЕНИИ НЕЙТРАЛЬНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ

Предлагается способ построения решений квадратичного матричного уравнения

гр пр

X ОХ + АХ + X В + С = 0. Он имеет сходство с хорошо известным методом Шура для решения матричных уравнений Риккати.

Ключевые слова: квадратичные матричные уравнения, конгруэнции, нейтральные подпространства, коквадрат.

1. Введение. Рассмотрим квадратичное матричное уравнение

X' !)Х + АХ + ХТВ + С = 0, (1)

в котором коэффициенты А, В, С, Б и искомое решение X суть п х п-матрицы. С уравнением (1) мы связываем матрицу

М=(к°в (2)

порядка 2п. Предположим, что уравнение (1) разрешимо, и пусть Ха — какое-либо решение этого уравнения:

Х^БХо + АХ о + Х^В + <7 = 0. (3)

Вводя матрицу

Za =

In

Хп

можем переписать (3) в виде

г£мго = о. (4)

Будем интерпретировать С1'" как комплексное евклидово пространство. Это означает, что скалярное произведение векторов х = (#1, жг, • • •, Х2п)Т и у = (у\,у2, ■ ■ ■, У2п)Т определяется правилом (х,у) = х,\у\ + Х2У2 + • • • + Х2пУ2п- Пусть £0 — подпространство в С1'". для которого ZQ является базисной матрицей. Из равенства (4) следует, что (Мх,у) = 0 для всех векторов ж, у € Со-Всякое подпространство с этим свойством будем называть нейтральным (или изотропным) подпространством матрицы М. Таким образом, разрешимость уравнения (1) означает, что ассоциированная с ним матрица (2) имеет п-мерное нейтральное подпространство. Соответственно, наличие нескольких решений влечет за собой существование для М нескольких различных нейтральных подпространств размерности п. Напротив, отсутствие таких подпространств указывает на неразрешимость уравнения (1).

Обратно, допустим, что С есть нейтральное подпространство размерности п для матрицы Л /.

а

г =(11) (5)

А.,

есть произвольная базисная матрица этого подпространства, разбитая на п х n-блоки Zim Z2. Если матрица Z\ невырожденна, то можно заменить Z другой базисной матрицей того же подпространства, а именно матрицей

X Z.JZl (6)

Нейтральность подпространства С означает, что WTMW = 0, откуда следует, что блок X является решением уравнения (1). Таким образом, всякое n-мерное нейтральное подпространство С

1 Факультет ВМК МГУ, проф., д.ф.-м.н, e-mail: ikramovQcs.msu.su

7 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 1

матрицы М порождает решение исходного квадратичного уравнения при дополнительном предположении о невырожденности верхнего блока в соответствующих базисных матрицах.

Это обсуждение естественным образом приводит к вопросу о том, как следует вычислять триерные нейтральные подпространства матрицы (2). В настоящей заметке мы даем частичный ответ на этот вопрос, а именно, указываем некоторые связи между нейтральными подпространствами матрицы М и инвариантными подпространствами коквадрата этой матрицы. При довольно слабых предположениях относительно М эти связи позволяют нам предложить метод вычисления ее нейтральных подпространств.

2. Нейтральные и инвариантные подпространства. Наше первое допущение о матрице М состоит в том, что она должна быть невырожденной. С этой невырожденной матрицей мы связываем матрицу

названную в [1, § 4.5] коквадратом матрицы М. Предположим, что М подвергается конгруэнции М -г М ХТМХ. Тогда М"1 М"1 = Х^М^Х'7 и

N = М~ТМ N = М ' М = (Х-1М~ТХ~Т)(ХТМХ) = Х^ЫХ.

Таким образом, коквадрат матрицы М претерпевает преобразование подобия, задаваемое той же матрицей X.

Будем рассматривать М как матричное представление некоторой билинейной формы / в базисе из координатных векторов е1,...,е2п- Выберем в С1'" другой базис так, чтобы первые его п векторов составляли базис какого-либо нейтрального подпространства С матрицы М. В этом новом базисе / имеет представление

где все четыре подматрицы имеют порядок п. Поскольку М — невырожденная матрица, блоки М\2 и М21 также невырожденны.

Рассмотрим аналогичные разбиения матрицы Л/ 1 и преобразованного коквадрата N = = /' 'Л;/\ Блок (2,2) в матрице М~т нулевой, и то же верно в отношении блока (2,1) в N. Это означает, что С есть инвариантное подпространство матрицы N. Тем самым доказано следующее

Утверждение 1. Всякое п-мерное нейтральное подпространство матрицы М является инвариантным подпространством ее коквадрата.

Обратное утверждение в общем случае неверно. Однако при определенных условиях некоторые инвариантные подпространства матрицы N действительно оказываются нейтральными подпространствами для М. Прежде чем формулировать эти условия, напомним некоторые факты о спектрах матриц, являющихся коквадратами.

Пусть /х ф ±1 есть собственное значение коквадрата N. Тогда число /х-1 также является собственным значением для N, и жорданова структура матрицы N одинакова для обоих этих чисел. (По поводу доказательства этих фактов снова см. [1, § 4.5].)

Утверждение 2. Пусть N есть коквадрат невырожденной матрицы (2). Предположим, что N имеет простой спектр и числа 1 и — 1 не являются для N собственными знамениями. Разобьем спектр а матрицы N на две половины а = о\ и 02 так, чтобы ни а 1, ни 02 не содержало пару вида (/х,/х-1). Пусть С есть п-мерное инвариантное подпространство для N, соответствующее подмножеству о\. Тогда С является нейтральным подпространством матрицы М.

Доказательство. Как и в доказательстве утверждения 1, будем рассматривать М как матричное представление некоторой билинейной формы / в базисе из координатных векторов 61,--.,62 п- Построим невырожденную 2 п х 2п-матрицу Р, первые п столбцов которой образуют базис в С. Преобразование подобия N = М~ТМ —> N = /' 1 /V /' приводит N к матрице

N = М'1 М.

т

(7)

где все четыре блока имеют порядок п. Сама матрица М изменяется по закону конгруэнции и в аналогичном разбиении имеет вид

М = РТМР=(М Н М12 \М21 М22

Перепишем определение коквадрата (см. (7)) как МтN М и приравняем в полученном соотношении блоки (1,1):

Мп - М^Йц = 0. (8)

Будем интерпретировать (8) как уравнение типа Сильвестра относительно блока Мц. Рассмотрим матричный пучок

In- AiV£, (9)

ассоциированный с этим уравнением. Согласно [2], уравнение (8) имеет только тривиальное решение, если:

а) 1 и — 1 не являются собственными значениями пучка (9);

б) в спектре пучка (9) нет ни одной пары взаимно обратных чисел.

Замена спектрального параметра А = 1//х превращает задачу на собственные значения для пучка (9) в стандартную спектральную задачу N^x = ßx. Условия утверждения 2 гарантируют, что предположения а и б выполнены. Отсюда следует, что Мц = 0 и С есть нейтральное подпространство матрицы М.

Известно, что квадратичные матричные уравнения типа Риккати, имеющие умеренный порядок, можно решать, используя так называемый метод Шура (см., например, [3]). Мы предлагаем аналогичный подход к поиску решений уравнения (1), а именно следующий алгоритм.

• Сформировать матрицу (2).

• Вычислить ее коквадрат N.

• Предположим, что N удовлетворяет условиям утверждения 2. Применяя метод Шура, найти ортонормированный базис Z такого n-мерного инвариантного подпространства матрицы N, которое одновременно является нейтральным подпространством для М.

• Проверить условие невырожденности для верхнего блока Z\ в Z (см. (5)).

• Если матрица Z\ невырожденна, то формула (6) дает решение уравнения (1).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Horn R. А., Johnson Ch. R. Matrix Analysis. Second Edition. Cambridge: Cambridge University Press, 2012.

2. Kressner D., SchroederG., WatkinsD.S. Implicit QR algorithms for palindromic and even eigenvalue problems // Numerical Algorithms. 2009. 51. N 2. P. 209-238.

3. Laub A. J. A Schur method for solving algebraic Riccati equations // IEEE Trans. Automat. Contr. 1979. 24. N 6. P. 913-921.

Поступила в редакцию 18.01.16

8 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 1