Спектр коммутаторного гамильтониана водородоподобен Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №6

71

Пример 3. Пусть полукольцо S = R+ — множество неотрицательных действительных чисел,

(m n \

i=1 j=1 J

для любой матрицы A = (aij) Е Mmn(S).

Непосредственная проверка показывает, что приведенное отображение, будучи биективным, не является линейным и сохраняет множество P.

Пользуясь случаем, автор приносит благодарность А. Э. Гутерману за постановку задачи и полезные обсуждения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Glazek K. A guide to the literature on semirings and their applications in mathematics and information sciences. Kluwer: Kluwer Academic Publishers, 2002.

2. A survey of linear preserver problems // Linear and Multilinear Algebra / Ed. by C.-K. Li, S. Pierce, N.-K. Tsing. 1992. 33.

3. Сачков В.Н., Тараканов В.Е. Комбинаторика неотрицательных матриц // Прогресс теоретической и прикладной дискретной математики. Т. 2. М.: ТВП, 2000.

4. Konig D. Theorie der endlichen und enendlichen eraphen. Leipzig: Kombinatorische Topologie der Streckenkomplexe. Akad. Verlag M.B.H., 1936.

5. Beasley L.B., Guterman A.E. Linear preservers of extremes of rank inequalities over semirings: factor rank //J. Math. Sci. (N.Y.). 2005. 131, N 5. 5919-5938.

Поступила в редакцию 24.10.2007

УДК 512.543.7; 512.544.33; 512.815.8; 517.984.5; 514.84

СПЕКТР КОММУТАТОРНОГО ГАМИЛЬТОНИАНА ВОДОРОДОПОДОБЕН

О. В. Герасимова

Теорема 1. Пусть |С| — порядок конечной группы С и

H[G,G\ = T77U2^^[g,h] ([g, h]=g lh lgh) 1 1 gechec

— элемент групповой алгебры К [С], где К = С — поле комплексных чисел. Тогда для любого представления р : С — ЕпёкУ в произвольном пространстве V линейное преобразование р(Н[с,о]) диагонализируемо и его спектр имеет вид где п пробегает сИткУ;, Уг — неприводимые компоненты в пространстве V относительно действия группы С.

Теорема 2. Пусть мера Хаара ц на компактной группе С такова, что ¡л(С) = 1, а р : С — ЕпёкУ — непрерывное представление С в банаховом пространстве V над полем комплексных чисел К и линейный оператор Н^ С] определяется формулой

H{C, Су= f\ [P(9),P(h)]d^g d^h-

c

Тогда для любого п-мерного подпространства Ш, на котором р(С) действует неприводимо, имеем

Н\с, = (/ Р(д-1) / Р^^Р^Р^^ ^

cc

72

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №6

^ р(д 1)р{Н ■ IV = • ги (из пробегает ]¥).

о о

Замечание. Пусть БП(2, К) — группа унитарных (2 х 2)-матриц над комплексным полем К с детерминантом, равным едининице, V — линейное пространство всех функций / : О — К, для которых

\\/\\2 = /\/(д)\2д-Ц-д < ж, и представление р : О — ЕпёкУ группы О реализуется правыми сдвигами о

р(Н) х /(д) =/(Нд). Хорошо известно (см. [1-3]), что

а) в V с точностью до эквивалентности функций реализуется гильбертово пространство относительно

полуторалинейной формы (/(#), Ь(д))6= / ¡{д)Н{д)й1лд\

о

б) для любого натурального п единственное с точностью до изоморфизма п-мерное представление группы О реализуется в V и имеет в V кратность, равную п;

в) сумма всех конечномерных неприводимых подпространств из V плотна в V.

Из теоремы 2 заключаем, что в гильбертовом пространстве V имеется полный ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов оператора Д[0о]. В частности, для любого натурального п

кратность собственного значения \ равна п2. (См. для сравнения в книге [4] спектр оператора Шредин-гера для атома водорода.)

Доказательство теоремы 1. Пусть Ь : А ®к А — К — невырожденная билинейная симметрическая ассоциативная форма на конечномерной ассоциативной алгебре А (над алгебраически замкнутым полем К); в1,в2,---, ет — базис в А; в*,в*,...,вт — дуальный базис относительно Ь. Предложение 1. Элементы

т т т т

в* ве ,^2вгв* ,^2вгав*(а е А)

г=1 ]=1 г=1 г=1

не зависят от выбора базиса в А, лежат в центре и

У^ вгаЬв* = £ вгЬав*(а, Ь е А).

г=1 г=1

Доказательство, которое можно найти в книгах [5, 6], следует из формул вг = ^т=1 с(к^вк, в*к =

с(к^в'г*, Ьа = Яа, где Ьа, Яа — линейные операторы левого и правого умножения на элемент а е А, а через Н* мы обозначаем сопряженный оператор к Н относительно формы Ь, для которой Ь(х * а, у) = Ь(х,а * у) (свойство ассоциативности).

Пример 1. Пусть А = Мп(К) — полная матричная алгебра порядка п над полем К, Ь(а1, а2)= 1х(а1 * а2). Очевидно, что билинейная форма Ь невырождена, симметрична и ассоциативна. Непосредственная проверка показывает, что для стандартного базиса {Е^\1,] = 1, 2,...,п} матричных единиц в Мп(К) {Е* = Е^г\1,] = 1, 2,...,п} — дуальный базис и указанные в предложении 1 элементы равны 1, п • 1, ^(а) • 1 соответственно. (Здесь 1 обозначает единичную матрицу.)

Пример 2. Пусть хгеё : А — К — регулярный характер на т-мерной ассоциативной алгебре А. Хорошо известно (см. [6]), что в случае поля нулевой характеристики билинейная форма Ьгеё(х, у)"==Хг^(х * у) невырождена на А тогда и только тогда, когда А полупроста (не содержит нильпотентных двусторонних идеалов). Если поле К алгебраически замкнуто, то в случае невырожденности Ьгеё алгебра А раскладывается в прямую сумму минимальных двусторонних идеалов, каждый из которых изоморфен полной матричной алгебре. Следовательно,

А = Мщ (К) ф Мп2 (К) Мп3 (К),

т в

Хге§ = £ пг • Хг, т= С^А = £ п? = ^(1),

г=1 г=1

где Хг\мп (К) = 0 при г = ], Хг\мп.(К) = — неприводимые характеры алгебры А. Пусть теперь е\, в2,..., ет и е\, е^,..., е^ — произвольные дуальные базисы относительно билинейной формы ^ • Ьгеё.

Тогда, переходя к базису матричных единиц в каждом прямом слагаемом, из примера 1 (и предложения 1) заключаем, что

1 m m 11 1

i=1 j=1 12 s

1 m 1 1 1 1 m

— • Vet< = — -Xi(a) • li + — -x2(a) • 12 + • • • + — • Xs(a) ' h, ~ • У^е? = 1 e A,

m ^ n1 n2 ns m ^

i=i i=1

где 1i — центральные идемпотенты в Mni (K).

Утверждение теоремы 1 теперь непосредственно вытекает из примера 2, если заметить, что для групповой алгебры K [G]

1 ( 1, если g = 1 в G;

Щ ' Xieg{9) = [о, если д ^ 1 в G,

и для стандартного базиса {д\д Е G} в дуальном базисе {д*\д Е G} относительно формы щ- • 6reg :

K[G] K[G] — K справедливо равенство g* = g-1.

Доказательство теоремы 2. Для любого (конечного) покрытия группы G измеримыми подможе-ствами Ai выберем произвольно gi G Ai. Тогда для покрытия Ai = g * Ai и представителей g * gi G Ai в силу левой инвариантности меры ц выполняется равенство

J2p((g * gi) 1) * p(h) * p(g * gi) • n(Ai) = ^ P((9i) 1) * P(g 1 *h * g) * P(9i) • KAi),

i=1 i=1

из которого следует

Предложение 2. Для любого непрерывного представления р : G — EndxV компактной группы G в банаховом пространстве V над полем комплексных чисел K и любых t,h G G в пространстве непрерывных операторов E(V) имеет место равенство

J p(g-1) * p(t-1 *h *t) * p(gWg = J p(g-1) * p(h) * p(g)dv>g.

G G

Обозначим через Xp(h) правую часть этого равенства и продолжим по линейности отображения р : G — E(V), Xp : G — E(V) на любые формальные конечные линейные комбинации групповой алгебры K[G]. Тогда Xp(a1 * a2) = Xp(a2 * a1) для всех a1,a2 G K[G]. Ограничим операторы XP(K[G]) на любое конечномерное инвариантное подпространство W, не содержащее нетривиальных инвариатных подпространств относительно действия K[G]. Тогда в силу непрерывности р и того, что интеграл является пределом конечных частичных сумм, имеем

Xp(h)\w = j p(g-1 )\w * p(h)\w * p(g)\wd^g = J pw(g-1) * PW(h) * pw(g)dpg = Xpw(h),

GG

где непрерывное представление рщ : G ^ Епёк^ группы G в банаховом подпространстве Ш таково, что

рщр(Ь)\щ, и Хрш(а для любого а Е EndкW

pw{h) = p{h)\w, и Xpw(ai * a2) = Xpw(a2 * ai)- Определим отображение Xpw '■ EndxW —EndxW, полагая

Xpw (a)<= J Pw(g 1) *a * pw(g)dVg ■

G

Следствие 1. Для любого элемента а Е EndкW

Хрш(а) = ~ ' Ма) ' (п = ёппк\¥, 1 ~ единица EndкW). (1)

Доказательство. Ясно, что Хрш(^) = Хрш(р(^))- Так как рщ : К[С] —Епёк^ — неприводимое представление в конечномерном пространстве Ш и поле К алгебраически замкнуто, то по теореме плотности рцг{К[С\) = Епс1к^ и Хрш№ * ^з) = Хрш№ * dl). Хорошо известно, что в конечномерном случае

линейное подпространство линейных операторов с нулевым следом в Епёк^ порождается коммутаторами а\ * (12 — (12 * сц (оъ а2 пробегают Епс1к^). Но Хрш на этом подпространстве коразмерности 1 принимает нулевое значение. Следовательно, образ \рш Должен лежать в каком-то одномерном подпространстве. Прямое вычисление дает

) = J(рw((д)-1) * 1ш * рш(д))Лу,д = J(pw((д)-1) * рш(д) * 1ш)Лу,д = ^ 1шл^д = 1ш■

ООО

Следовательно, правая и левая части (1) принимают на EndкW одинаковые значения.

Следствие 2. Для произвольного базиса матричных единиц{Е¿з= = dimкW} и любого

а е EndKW

1 п п

хрш = - • Е Е ^ *а *(2) п ¿=1 ¿=1

Доказательство вытекает из примера 1 и равенства (1). Прямое вычисление с использованием (2) показывает, что

р(д 1) ^У р(Л 1 )р(д)р(Ь)йц.н^ йц.д^ X w = ^у рш(д 1) ^У рш(Л 1 )рш(д)рш(Ь)й^ь.^ Лц.д^ X w =

У Рш(д ( ^ Е Е Ец * Р?г(д) * еЛ <1цд | XV)

кО \ ¿=13

1 п п

10 10 1Л 1

п Е Е ( / Рж{д~1) * Еч * руу(д№д \ *Ец\ хи)

3=1 \О

1 п п 1 п п

¿=1¿=1 V р=1д=1

1 п п п п 1 1 ^ Е Е Е Е ерч ** еЧР * Еа)х = ^ • ^х = ^ •

¿=1¿=1р=1д=1

Эти аргументы справедливы и при другом порядке интегрирования и приводят к тому же ответу. Теорема 2 полностью доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1984.

2. Желобенко Д.П. Компактные группы Ли и их представления. М.: Наука, 1976.

3. Наймарк М.А. Нормированные кольца. М.: Наука, 1968.

4. Вейль Г. Теория групп и квантовая механика. М.: Наука, 1974.

5. Вейль Г. Классические группы. Их инварианты и представления. М.: ИЛ, 1947.

6. Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. М.: Наука, 1969.

Поступила в редакцию 07.04.2008