О вычислении мультипликативного интеграла от полиномиальных матричных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.81 ББК 22.148 К 59

Козлов В. А.

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры, геометрии и методики преподавания .математики .математического факультета Армавирского государственного педагогического университета, e-mail: [email protected] Паланджянц Л.Ж.

- , , -ки преподавания .математики .математического факультета Армавирского государственного педагогического университета, тел. (8772) 57-03-53

О вычислении мультипликативного интеграла от полиномиальных матричных функций

(Рецензирована)

Аннотация

В статье рассматриваются методы вычисления мультипликативного интеграла от произвольных полиномиальных матричных функций и полиномиальных матричных функций в алгебре Ли sl(n,R).

Ключевые слова: мультипликативный интеграл, алгебра Ли, полиномиальные матричные функции.

Kozlov V.A.

Candidate of Physics and Mathematics, Assistant Professor of Department of Algebra, Geometry and Methodology of Teaching Mathematics at Mathematical Faculty of the Armavir State Pedagogical University, e-mail: [email protected]

Palandjyants L.Zh.

Candidate of Physics and Mathematics, Assistant Professor of Department of Algebra, Geometry and Methodology of Teaching Mathematics at Mathematical Faculty of the Armavir State Pedagogical University, ph. (8772)57-03-53

On the evaluation of the multiplicative integral of polynomial matrix functions

Abstract

In the paper the methods of evaluation of the multiplicative integral of polynomial matrix functions in the Lie algebra sl(n,R) are considered.

Key words: multiplicative integral, Lie algebra, polynomial matrix functions.

1. Полиномиальные мультипликативные интегралы

Рассмотрим мультипликативный интеграл [1-3]

П

Y(t)= JE + A(t)dt, (1.1)

где A(t) - гладкая матричная функция n -го порядка.

Известно, что первообразная Y (t) удовлетворяет уравнению

Y' = A(t) . (1.2)

Постоянное внимание к вопросу о вычислении мультипликативного интеграла в конечном виде связано с приложениями теории мультипликативного интеграла к дифференциальной геометрии, теории линейных дифференциальных уравнений и теории узлов [4, с. 239].

Одним из наиболее простых случаев является задача, когда мультипликативный интеграл представляет собой многочлен от независимой переменной.

Эта задача была впервые сформулирована и решена для квадратных матричных многочленов второго порядка в статьях [5, 6].

Тем не менее задача остается актуальной и в настоящее время в связи с общей постановкой вопроса о вычислении мультипликативного интеграла от матричного многочлена произвольного порядка.

п п

Теорема 1. Пусть У (,) = , У-'(г) = , где а и в - постоянные мат-

' =0

рицы п -го порядка, а0 = Е, в = Е .

Тогда подынтегральный матричный многочлен имеет вид:

ґ \

к =0

і+' =к Xіав.в

1<і < п

V0<'<п

,к.

(1.3)

Доказательство. Найдем матрицы в из соотношения У ■ У 1 = Е то есть,

п

Т.акРп-к = °.

к=1

В матричном виде для вычисления в получаем уравнение

Е 0 0

а1 Е 0

а2 а1 Е

а3 а2 а1

ак ак-1 ак -

... о 0 ^ ' Е ^ ' Е '

... 0 0 в 0

.0 0 в 0

.0 0 в 0

• •• а Е) в ) V 0 )

(1.4)

или Т • в = е, откуда следует, что в = Т 1 • е.

Представим матрицу Т в виде: Т = Ек +Г, где Ек = diag (Е, Е,..., Е), Г - сумма

косых поддиагоналей от 1 до к. Г - нильпотентная матрица, то есть Гк = 0, где к -порядок матрицы Г.

Обратная матрица Т-1 вычисляется по формуле (см., например, [7], с. 62):

Т- = Ек-Г + Г2-Г3 +... + (-1)к-1 Гк-1.

Отметим, что из равенства в = Т-1 • е и вида столбца е следует, что решение матричного уравнения представляет собой первый столбец матрицы Т-1 • е . Вычисления показывают, что:

А = -а1,

в2 = -а2 + а ,

вз = -&з + аа + а2^1 - а,

в4 = -а4 + (а3а1 + а22 + а1а3) - (а2а12 + а1а2а1 + а12а2) + а4, в5 = -а5 + (а4а1 + а3а2 + а2а3 + а1а4) - (а3а12 + а1а3а1 + а12а3 +

+ а22 а + а2а1а2 + а1а22) - (а2а13 + а1а2а12 + а12а2а1 + а3а2) - а15.

г=0

Для установления общей зависимости Д от а1,а2,...,ак предложим алгоритм, с

помощью которого образуются слагаемые в правой части. В каждом из слагаемых число сомножителей увеличивается на единицу, а индексы сомножителей этих произведений образуют циклы длины к, где под длиной цикла понимается сумма индексов. Эти обстоятельства позволяют в явном виде выписать зависимость 0к от а1,а2,...,ак. Таким образом,

вк = -ак + (ак-1а1 +ак-2а2 + ... + а2ак-2 + а1ак-1) - (ак-2а12 +

+ а1ак-1а1 +... + а12ак-2) -... + (а2а1к-2 + а1а2а1к-3 +... + а1к-2а2) + (-1)к О.. Справедливость формулы (3) следует из умножения многочленов А(^) = У '■ У_1,

п

где У' = ^ а/-1.

г=1

Замечание. При вычислении мультипликативного интеграла естественно предположить, что известной является подынтегральная функция, а сам мультипликативный интеграл выражается через подынтегральную функцию. Поэтому возникает необходимость выразить коэффициенты подынтегральной матричной функции через коэффициенты многочлена У (^).

2п-1

Предположим, что подынтегральная матричная функция имеет вид А(1) = ^ ак ■ 1к,

к=0

где а. - постоянные матрицы.

Вначале выразим матрицы а через матрицы ак.

Поскольку I < 2п -1, то возникают соотношения между коэффициентами ак .

Эти соотношения определяют некоторую алгебру Р(а0, а1,..., а2п-1) .

Число образующих этой алгебры равно п.

Число соотношений между элементами алгебры Р(а0, а1,..., а2 п-1) определяется 2п-п = п соотношениями между матрицами вида аг-, Iе (0,1,2,...,п,...,2п -1).

Имеют место уравнения:

1+]=к

ак = X , к є (0,1,2,..., п,...,2п -1).

1<г<п 0< j<n

С учетом известной зависимости вк от а1,а2,...,ак можно выразить матрицы аг через матрицы ак.

В частности, при п = 2 имеем:

К 2,

а1 = а0, а2 = — (а1 + а0);

1/3 ч 1/4 22 2\

а2 =-—(а0 + а0а1 -а1а0), а3 = — (а0 + а1а0 -а0а1 -а1 ).

Таким образом, в алгебре Р(а0, а1, а2, а3) образующими являются матрицы а0 и а1, а матрицы а2 и а3 выражаются через а0 и а1.

Следовательно, имеет место равенство:

П

| Е + (а0 + а1г + а2г2 + а3г3 )Сг = Е + а0г + (а1 + а%)-При п = 3 имеем:

а1 = а0, а2

> аз =-

3 3 3

—а0 + — а1а0 + а0а1 + а2

4 3 12

-а0с 30

— / I — -

1 2 1 — а а0 —

3 1 0 3

12

а1

2 1 '

1 5 3 4 2 125 3 2 3 3

а4 — — а0 — а0 — а0 а1а0 — — 010^01 — а^2 — а0 а1 — а0 а2 +— +

13122 1 2 1 1 2,1 2

+— а +— а а0 — а0а-, — +—а0а^0,

2 1 2 2 0 1 2 2 1 2 2 0 2

3 3 3

—а0 + — а1а0 + а0а1 + а2

V

\

1 3 1 1 —а +— аа — а9

2 0 6 0 1 3 2 у

Следовательно, имеет место равенство:

п ^ 2

[Е + (а0 + а1г + а2г2 + а3г3 + а4г4 + а5г5 ) = Е + а0г + ( + а2)—

9

+

+

Г 3 2 3 ^ г3

-а0 +- а1а0 + а0а1 + а2 —

V 22 у 3

Общий случай интегрирования представляется трудоемким, но вполне реализуется данным методом, который позволяет интегрировать полиномиальные матричные функции.

Таким образом, предъявляется метод мультипликативного интегрирования полиномиальных матричных функций.

2. Полиномиальные мультипликативные интегралы в группе Ли Ж(п, К)

2

2

а5 =

Рассмотрим мультипликативный интеграл вида

г

)Е + А(т—Ст = У (г )У -1 (0), (2.1)

г0

где А(г — я! (п, К), У (г — Ж(п, К).

Структура подынтегральной функции А(г), когда первообразная У (г) также является полиномиальной функцией, впервые была рассмотрена О. В. Мантуровым [5] и исследовалась в работах [5, 6].

Согласно формуле Лиувилля,

г

ёй У (г ) = ехр |ярА(т—Ст. (2.2)

г0

При этом А(г), ярА(г), | ярА(г )г, ёе! У (г)- полиномиальные функции.

В этом случае равенство (2.2) возможно лишь тогда, когда

spA{t) = 0, IspA{t) = const, detY(t) = const.

Будем полагать, что Y (t0 ) = E. Это предположение не ограничивает общности, поскольку в качестве первообразной можно взять Y (t )Y- (t0), что легко проверяется.

В самом деле,

(y tt )Y-■ ttо))' (y tt )Y-■ tt„) = Y '{t ) -■ tt о )Y tt о )-1{t) = Y '(t )Y- {t) = A (t).

Строение полиномиальной матричной функции описывается известной теоремой о Л - матрицах [1]: всякая полиномиальная матрица n-го порядка может быть приведена к каноническому виду с помощью элементарных преобразований.

В нашем случае канонический вид матрицы Y (t) представляет собой единичную матрицу.

Элементарные преобразования матрицы состоят в умножении этой матрицы на полиномиальную матрицу вида

p. (t )=

1 P.- - -

1

(2.3)

V * У

слева или справа, а также в перестановке строк и столбцов, к є (1,2... п).

Таким образом, исследуемая матричная функция У (і) приводится к виду:

в-р-в-рк-і •...-0-рі • В,

где в є (в1,...,вп), в - матрицы перестановок из п элементов, т.е. элементы симметрической группы 8п, і є (1,2...п), В - постоянная матрица.

Заметим, что умножение справа на постоянную матрицу несущественно в силу формулы Ньютона-Лейбница (2.1).

Итак, матрица У имеет вид:

в• рк в-рк-і- .. в-р,

где многочлен рк находится в і -ой строке и в І -ом столбце.

Представим матричную функцию Р() в виде мультипликативного интеграла от матричной функции Гк (і):

і

Рк (I )= ІЕ+Гк (т)сіт,

где

Г. (t ) =

Тогда первообразная Y (t) имеет вид:

0

• Рк

0

II II

У{і) = в- ]Е+Гк(і)йі---в- \е+Г1 (і)і.

(2.4)

Вычисление подынтегральной матричной функции Л(/), соответствующей первообразной У (), проведем в три этапа.

1 этап. Представление матричных функций Рк () в виде мультипликативного интеграла по формуле (2.4).

2 этап. Внесение постоянных матриц в под знак мультипликативного интеграла по формуле

П П

в • +гкж • в-1 = ]Е +в •г -вЧг.

3 этап. Использование формулы умножения мультипликативных интегралов

+ А

йі,

ІЕ + А1йі - ІЕ + А2йі = ІЕ + < ІЕ + А1йі А2 |Е - А1йі

IV ) V

справедливой для непрерывных функций А1, А2.

Тогда подынтегральная матричная функция вычисляется по формуле:

А(і ) = в'

-в-Г - -в

-1

|Е - Гкйі

в- +в-Гк в"1.

Пример 1.

В качестве примера рассмотрим случай п = 3 . Пусть

' 1 0 0 ^ " 1 0 0 ^ "0 1 0 ^ 0 0 1 ^ "0 1 0Л

в = 0 1 0 , в2 = 0 0 1 , вз = 1 0 0 , вА = 1 0 0 , в5 = 0 0 1

0 0 1; V0 1 1; 0 0 1; V0 1 0; V1 0 0,

в6 =

г0 0 1Л 0 1 0

V1 0 °/

матричное представление группы £3; Р(і) =

Ґ1 Ь а 0 1 Ь

V

0 0 1

;

где а = а(^), Ь = Ь(^) - многочлены п -ой степени от ^.

Таблица Кэли в группе £3 имеет вид, представленный в таблице.

Таблица Кэли

П

в1 в2 вз в4 в5 вб

в в в2 вз в4 в5 вб

в2 в2 в в5 вб вз в4

вз вз в4 в в2 вб в5

в4 в4 вз вб в5 в в2

в5 в5 вб в2 в в4 вз

вб вб в5 в4 вз в2 в

Ввиду некоммутативности умножения в группе £3 первыми сомножителями являются элементы, находящиеся по вертикали в первом столбце таблицы.

Отметим еще одно обстоятельство, связанное с последующим интегрированием. При данных обозначениях элементы в1, в4, в5 имеют определитель, равный единице, а

элементы в2, в3, в6 имеют определитель, равный минус единице. Для того чтобы произведение вида вкР имело определитель, равный единице, необходимо в случае элементов в2, в3, в6 представить произведение вкР в виде вкРвк-1.

Сформулируем задачу: найти полиномиальную матрицу А^ (г) такую, чтобы

П

IЕ+А. (г )йг = (вгР(г )в})к, к е N.

Вычисления показывают, что имеет место равенство

(врв. )к = в (Рвв) Ч1.

Учитывая свойство мультипликативного интеграла,

t

с -1,

JE + СА()С~ldt = С JE + А()dt

t0 ^ t0 у

где С - постоянная матрица, А(t) - непрерывная матричная функция, получаем

П

jE + в-‘А}(1 в = (P(t в)k.

Таким образом, задача свелась к вычислению мультипликативного интеграла

п

IE + А} (t )dt = (P(t в)k,

где А = вг Агв .

Согласно таблице умножения в группе £3 полагаем, что вв. = вт. Возможны следующие т случаев (Рвт )к, т = 1,2,3,4,5,6 .

Для случая т = 1 имеем:

Имеем:

Pk (t):

' I Ъ \ a k Ґ I k (k -1) ,2 , Ї — -Ъ + ka

2

0 I Ъ = 0 I kb

0 0 I У 0 V 0 I У

А = (Pk )'(Pk)-I или А =

0 kh' ka' + r (k - 2)ЪЪ

Л

V

00

00

Таким образом, матрица Аг = вгА в1', в1 е £3 есть решение исходной задачи.

Для случая т = 2 имеем: Имеем:

((Р в 2 ) 4

1 73 О

1 П3к+2 П3к+1

0 В3к+3 В3к

V0 В3к В3к-2 У

где многочлены В* образуют следующую последовательность:

В* : 0, 0, 1, 1, а, Ь, а + Ь, а + Ь + аЬ, Ь2 +1, а + 2Ь + аЬ, 2а + Ь + аЬ + аЬ2 + Ь2,

Ь3 + 2Ь, ... ^ = 0,1,2,...

Между членами данной последовательности существуют рекуррентные соотношения:

а + ЬВ3к+2 + В3к+1 = В3к +5 ,

ЬВ3к+2 + В3к = В3к+6 ,

ЬВ3к + В3к-3 = В3к +3 ,

ЬВ3к+2 + аВ3к+3 + ЬВ3к = В3к+5 ,

В3к+1 + аВ3к + ЬВ3к-3 = В3к+4 .

Из первого и четвертого равенств следует, что

В3к+1 + аВ3к + ЬВ3к-3 = В3к+4 .

Учитывая, что В3к-3 = В3к+3 - ЬВ3к, получаем

В3к+1 + (а - Ь 2)В3к + ЬВ

3 к+3 = В3 к+4 .

Запишем характеристическое уравнение, соответствующее разностному:

У4 = Ьу3 + у + а - Ь2,

где у" = В3к+*, * = °,1,2А4.

Общее решение уравнения (2.6) имеет вид

Вп = С1Д + С2Д + С3Д + С4Д ,

где Д - корни уравнения (2.6) при начальных условиях

В1 = 0, В2 = 0, В3 = 1, В4 = 1.

Используя начальные условия, можно выразить сг через Д.

Пусть с г ~ (Д, Д, Д, Д4). Тогда

Вп = ~1ДП + С~2Д2 + ~3Д + С4ДП4.

(2.5)

(2.6)

(2.7)

Следовательно, А = ((Рв2)к)'(Рв2) к,

А =

/0 В3кВ3к-2

0 В3к-3 В3к+3

В3кВ3к+1 В3кВ3к

В3к+3 В3к+1

в В л

В3кВ3к+2

В3к+3В3к - В3кВ3к+3

0 В3к-3В3к - В3кВ3к-1 В3к+3В3к-1 - В3кВ3к

где В* вычисляются по формуле (2.7).

Таким образом, матрица Д = вЛ в1 есть решение исходной задачи.

Аналогично исследуются остальные случаи.

Приведем значения матриц (Рвт )к, т = 3,4,5,6, соотношения между элементами

матрицы (Рвт)к и соответствующие уравнения типа (2.6). Значения матриц Л опускаем ввиду их громоздкости.

Для случая т = 3 имеем:

(Рвз)к =

в В3к+3 к 3 сц В3к+2

к 3 сц В3к-3 В3к+1

0 0 1

В5 : 0, 0, 1, Ь, а, Ь, а + Ь, а + Ь + аЬ, Ь2 +1, а + 2Ь + аЬ, 2а + Ь + аЬ + а2 + Ь2

Ъъ + 2Ь, ... ^ = 0,1,2,...

Соотношения между элементами матрицы (Рв3)к:

аВ3к+3 + ЬВ3к + В3к+2 = В3к+3 , аВ3к + ЬВ3к-3 + В3к+1 = В3к+4 ,

ЬВ3к+3 + В3к = В3к+6 , ЬВ3к + В3к-3 = В3к+3 .

Уравнение: у4 = Ьу3 + у + а - Ь2.

Для случая т = 4 имеем:

В В3к+3 В3к+2 к 3 В3

(Рв4)к = В3к+1 В3к+3 В3к-2

2 - к 3 03 к 3 В3 В3к-5 у

В!1 : 0,0,1,1, а,Ь,2Ь,2аЬ +1,Ь2 + а,3Ь2 + а,3аЬ2 + а2 + 2аЬ, Ь3 + 3аЬ + 1,4Ь2 + 4аЬ +1,... ^ = 0,1, 2,... Соотношения между элементами матрицы (Рв4)к:

аВ3к+3 + ЬВ3к+2 + В3к = В3к+5 , аВ3к+1 + ЬВ3к+3 + В3к-2 = В3к+6 , аВ3к-2 + ЬВ3к + В3к-5 = В3к+3 ,

ЬВ3к+3 + В3к+2

В3к+6 , ЬВ3к+1 + В3к+3

' В3к+4 , ЬВ3к-2 + В3к В3к+1

Уравнение: у2 = (аЬ +1)у -1. Для случая т = 5 имеем:

В В3к +3 к 3 В3 В В3к+2

(Рв*)к = В3к+2 В3к -1 В3к+1

V В3к В3к-3 В3к-1 у

Ь, а, Ь2, аЬ +1, а2 + 2Ь, а 2 +

а3 + 4аЬ +1, ... ^ = 0,1,2,...

2

2

Соотношения между элементами матрицы (Рв5)k:

aB3k+3 + bB3k + B3k+2

B

3k+6

aB3k+2 + bB3k-1 + B3k+1 B3k+5 ■

aB3k + bB3k-3 + B3k-1 bB3k+3 + B3k = B3k+5 ,

B3k+3 , bB3k+2 + B3k-1 = B3k+1 :

bB3k + B3k-3 B3k+2 •

Уравнение: by3 = (a - b2) y2 + (b + 1)y -1. Для случая m = 6 имеем:

B B3k+3 B3k+2 k 3 B3

(Pe6)k = B3k+2 B3k+1 B3k-1

v B3k B3k-1 B3k-3 у

a, b2 +1, ab +1, ab + b, a2 +b

a b + b + ab + 2b, a + 2ab + 2a + b , ... s — 0, 1, 2, ... Соотношения между элементами матрицы (Рв6)к:

aB3k+3 + bB3k+2 + B3k = B3k+6 , aB3k+2 + bB3k+1 + B3k-1 = B

3k+5

aB3k + bB3k-1 + B3k-3 = B3k+3 :

bB3k+3 + B3k+2

B

3 k +5 32

bB3k+2 + B3k+1

: B3k+4 , bB3k + B3k-1 = B

3k+2

Уравнение: Ьу = ау + Ьу + Ь .

Таким образом, предлагаемый алгоритм позволяет вычислять мультипликативные интегралы от полиномиальных функций в алгебре Ли 81 (п, К).

Примечания:

1. Гантмахер ФР. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 552 с.

2. Мантуров О.В. Мультипликативный интеграл // Проблемы геометрии. 1990. Т. 22. С. 167-215.

3. Паланджянц Л.Ж. Геометрия мультипликативного интеграла. Майкоп: Качество, 1997. 94 с.

4. Мантуров В.О. Теория узлов. М.: Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2005. 512 с.

5. Мантуров О.В. Об одной задаче теории мультипликативного интеграла. Дифференциальная геометрия и приложения. М., 1982. С. 3-17. Деп. в ВИНИТИ 22.03.83, № 1442-83Деп.

6. Мантуров О.В., Мартынюк АЛ. О формуле Архимеда для мультипликативного интеграла. // . . -вах. М., 1987. С. 25-33. Деп. в ВИНИТИ 25.05.87, № 3843- В87.

7. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

References:

1. Gantmakher F.R. The theory of matrixes. M.: Nauka, 1988. 552 p.

2. Manturov O.V. Multiplicative integral // Geometry Problems. 1990. Vol. 22. P. 167-215.

3. Palandjyants L.Zh. Geometry of multiplicative integral. Maikop: Kachestvo, 1997. 94 p.

4. Manturov V.O. The theory of knots. M.: Izhevsk: Regular and chaotic dynamics, 2005. 512 p.

5. Manturov O.V. On one problem of the theory of multiplicative integral. Differential geometry and appendices. M., 1982. P. 3-17. Dep. in VINITI. 22.03.83, No. 1442-83 Dep.

6. Manturov O.V, Martynyuk A.N. On Archimedes formula for multiplicative integral // Invariant. tensors in heterogeneous spaces. M., 1987. P. 25-33. Dep. in VINITI 25.05.87, No. 3843 B87.

7. Demidovich B.P. Lectures on the mathematical theory of stability. M.: Nauka, 1967. 472 p.

2

2

2

s