CC BY
28
МАТЕМАТИКА
УДК 512.64 22.143
46
Александрова И.Л.
Доцент кафедры математического анализа Армавирского государственного педагогического университета, тел. (8613) 74-76-49 Козлов В. А.
Кандидат физико-матаиатических наук, доцент, зав. кафедрой математического анализа Армавирского государственного педагогического университета, e-mail: shagin196@ yandex.ru Паланджянц Л.Ж.
- , , -давания .математики математического факультета Армавирского государственного педагогического университета, тел. (8772) 57-03-53
О мультипликативном интегрировании полиномиальных
матричных функций
(Рецензирована)
Аннотация
В статье предлагается алгебраический метод вычисления мультипликативного интеграла от полиномиальных матричных функций.
: , .
Aleksandrova I.L.
Assistant Professor of Mathematical Analysis Department of the Armavir State Pedagogical University, ph. (8613) 74-76-49 Kozlov V.A.
Candidate of Physics and Mathematic, Assistant Professor, Head of Mathematical Analysis Department of the Armavir State Pedagogical University, e-mail: shagin196@ yandex.ru
Palandzhyants L.Zh.
Candidate of Physics and Mathematics, Assistant Professor of Algebra, Geometry and Methodology of Teaching Mathematics Department at Mathematical Faculty of the Armavir State Pedagogical University, ph. (8772) 57-03-53
On multiplicative integration of polynomial matrix functions
Abstract
The paper proposes an algebraic method for calculating the multiplicative integral of the polynomial matrix functions.
Key words: multiplicative integral, polynomials.
Рассмотрим мультипликативный интеграл [1-3]
В работе [4] изучался вопрос о вычислении мультипликативного интеграла от произвольных полиномиальных матричных функций и полиномиальных матричных функ-
(l)
где А(ї) - гладкая матричная функция п -го порядка, ї є Я . Известно, что первообразная удовлетворяет уравнению
(2)
ций в алгебре Ли sl(n,R). Данная статья является продолжением исследований, начатых в работе [4], развитием алгебраических методов вычисления мультипликативного интеграла в конечном виде. Было замечено, что при вычислении мультипликативного интеграла на коэффициентах полиномиальных функций возникают алгебраические конструкции: некоторые из коэффициентов полиномиальной матричной функции являются базисными, а остальные выражаются через элементы базисных матриц.
1. Рассмотрим полином от действительной переменной t е R в группе SL(2, R)
квадратных матриц второго порядка с единичным определителем Y = E + at + fit2.
Имеем det Y (t) = 1. Воспользуемся формулой, справедливой для квадратных матриц второго порядка:
det(A1 + A2 + A3) = det A1 + det A2 + det A2 + (spA1spA2 -spA1 A2) +
+ (spA1spA3 - spA1 A3) + (spA2spA3 - spA2A2).
Тогда условие det Y (t) = 1 запишется в виде:
spa = 0, spfi + det a = 0, spafi = 0, det в = 0.
Учитывая, что 2 det a = spaspa - spa2, систему (3) можно переписать в виде:
spa = 0,
sp(e- 2a2) = a
(3)
spafi = 0, det в = 0.
Из первого и четвертого уравнений системы (4) имеем:
(a b \ _ (X U
(4)
a
V c - a j
в
V
■ uj
где а, ё, с,Я,ц - произвольные постоянные.
Подставляя значения матриц а и в во второе и третье уравнения системы (4), получаем:
(А(а + Ь) + ц(с - а) = 0,
[ Л + ц = а2 + Ьс.
Решая систему (5), получаем:
(5)
a - c a + b
(a2 + bc)(a + b) 2a - c + b
откуда следует, что
в =
,2 , fa - c a + b
a2 + bc
2a - c + b
a - c a + b
(6)
Итак, оказалось, что в алгебре матриц (а, в) базисной матрицей является а, а матрицу в удается выразить через элементы матрицы а .
Осталось найти А^) = У У _1.
Для этого предварительно вычислим У-1.
Положим (Е + а + в2)(Е + Сї + Бї2) = 1 и выразим С и В через а и в.
Вычисления показывают, что С = -а, Б = а2 - в . Кроме того, матрицы а и в связаны между собой следующими соотношениями:
ав + ва = а3, во1 = в2. (7)
Таким образом, с учетом условий (7), имеем: А(ї) = а + (2в - а2 )ї - ва2.
Следовательно, мультипликативный интеграл от полиномиальной функции А(ї) вычисляется в конечном виде:
JЕ + (а + (2в - а2 )ї -вей2 ~)Лі = Е + ол + вt2.
Заметим, что условия ёй У ^) = 1 и зрУ 'У1 = 0 совпадают.
В самом деле, условие зрУ У-1 = 0 равносильно системе уравнений:
зра = 0,
2эрв = эра2, эрав = 0, ва2 =в2.
(8)
Так как а =- ёйа, то зра = -2ёе!а. Тогда второе уравнение системы (8) запишется в виде: зрв + ёе! а = 0. Имеем ва2 = в2. Учитывая, что в2 = в^рв - ёе!в и а2 =- ёе!а, получаем ёе! в = 0.
2. Рассмотрим полином от действительной переменной ^ е Я в группе SL(2, Я) квадратных матриц второго порядка с единичным определителем У = Е + а + в^2 + А3.
Имеем ёе! У ^) = 1. Воспользуемся формулой, справедливой для квадратных матриц второго порядка:
Е А = Е А + Е (фАфА - ФАА).
(9)
г < 3
Тогда условие ёе! У (^) = 1 при п = 4 запишется в виде:
зра = 0, зрв + ёе! а = 0,
$ру+ зрарв- зрав = 0, зрару-зрау+ ёе! в = 0, эр вру-фвТ = 0, ёе! у = 0.
Из первого и шестого уравнений системы (10) имеем:
а
Г-
А и А и)
где а, Ь, с, А, и - произвольные постоянные.
п
п
п
п
г =1
г =1
Кроме того, предположим, что в
в11 А:
\в21 в22 J
Учитывая, что имеют места равенства
spOC/3 = ^11 + bв21 + cв 12 - aв22 , spay = —(a + b) + /n(c - a),
spA = А(віі + ві2) + и(в21 + в22) ,
spa2 = 2(a2 + bc), spA2 = А2 + 2ві2в2і + в22, систему (9) перепишем в виде:
віі +в22 = a 2 + bc,
А + и = aen + bв2і + cві2 - aA
22
Л(а + Ъ) + ц(с - а) + 22 - в12в21 = 0,
(ав11 + Ъ в21 + св12 - ав22)(А + Ц)-А(в11 +в12) + ц(в21 +в22) = 0. Запишем первое и второе уравнения системы (11) в виде системы:
[ в11 + в22 = а 2 + ЪC,
(11)
aA11 - aA22 = А + V- bв21 - cA
(12)
12-
Система (12) имеет решение:
1 3
в11 = — (-а - аЪс -Л-Ц + Ъ в21 + СД2Х
1 3
в22 = А (-а - аЪс + Л + Ц- Ъв21 - св 12 ) ,
А
где А = -2а.
Найденные значения ви и в22 подставим в третье и четвертое уравнения системы (11):
Л(а + Ъ) + ц(а - с) + —^ ((а3 + аЪс)2 - (Л + ц - Ъв21 - св12 )2) = 0,
с с Ъ Ъ
(-Л(с + — + 1) - ц(с + —))в12 + (-Л(Ъ + А) - Ц(Ъ +А - 1))в21 +
А А А А
ч2 (Л + ц)2 ча3 + аЪс п
+ (Л + Ц) + ---^— + (Л-Ц)------:--= 0.
(13)
А
А
Выразим в12 из второго уравнения системы (1З):
в,
(-A(b + А - u(b + А - 1)в21 +(А + и)2 + “—~~ + (А-и)
_________А___________А___________________________А_______________
- —(c + А +1) - u(c + А) АА
a3 + abc А
Подставим значение в12 в первое уравнение системы (13) и найдем в21. Для удобства вычислений представим в12 в виде:
в12 = ^в21 + 1 ,
где
, b. b 1Ч (Л + ц)2 ча3 + abc
(-Л(Ь + -) - ц(Ь + --1) + (Л-ц)------------- -----
k =_______ А А 7__ А А
c c c c
■Л(с + а +1) - ц(с + А) - Л(с + А +1) - ц(с + А
А А А А
Тогда
Л + ц- cl — А в21 =-----------------------------
Л(а + b) + ц(а - с) + 1(а2 + bc)
Ъ + ск
Таким образом, элементы матрицы в удалось выразить через элементы матриц а и у. Итак, оказалось, что в алгебре матриц (а, в, у) базисными матрицами являются а и у, а матрицу в удается выразить через элементы матрицы а и у.
Осталось найти А(*) = У У-1. Для этого предварительно вычислим У-1.
Положим (Е + а + в*2 + У* 3)(Е + С + Б*2 + П3) = 1 и выразим С, В и ¥ через а, в и у.
Вычисления показывают, что С = -а, В = а2 - в, ¥ = -а3 + ав + ва - 7. Кроме того, матрицы а, в и у связаны между собой следующими соотношениями:
в(-аъ +ав + ва-У) +у(а2 -в) = 0, у(-а3 + ав + ва-У) = 0. (14)
Соотношения (13) порождают некоторую алгебру. Интересно найти образующие этой алгебры.
Таким образом,
А(*) = а+(1в-а2')г + (а3 - ав- 2ва+3у)г2 + (а(-а3 +ав + ва-у) +
+ 2в(а2 - в)-3уа)г3 + (2в(-а3 +ав + ва-у) + 3у(а2 -в))*4 +
+ 3 у(-а3 +ав + ва - 7))*5.
Следовательно, мультипликативный интеграл от полиномиальной функции А(*) вычисляется в конечном виде:
I 1
JE + A(t)dt = E + at + fit2 + yt3.
3. Рассмотрим полином от действительной переменной t е R в группе SL(2, R) квадратных матриц второго порядка с единичным определителем Y = E + at + в2 + yt3 + St4.
Имеем det Y (t) = 1. Воспользуемся формулой (9).
Тогда условие det Y (t) = 1 при n = 5 запишется в виде:
spa = 0, spfi + det a = 0, spy+ spaspfi - spafi = 0, spS + spaspy-spay+ det в = 0. spaspS - spaS + spfispy= spfiy = 0, spfispS - spfiS + det у = 0, spY>pS - spYS = 0, detS = 0.
Из первого и восьмого уравнений системы (15) имеем:
a=
ab
a
S =
А м А м)
f Aii Al2 ^ Г Yii Y12s
vAi в22 у , Y = v Y21 А22 у
где a, b, c—,м - произвольные постоянные.
Кроме того, предположим, что
в=
Учитывая, что имеют места равенства
spa/3 = + bв2ї + c|i2 - ^22 ,
spaS = А(a + b) + ju(c - a),
spA§ = А(вїї + |i2) + М(в21 + в22) ,
spaY = aYii + bY2i + cYi2 - aY22
SpAy = в1їУїї + в12 Y21 + в21 Y12 + в 22 Y22 ,
SpYS = АОп + Yl2) + M(Y21 + Y22), систему (15) перепишем в виде:
вїї + в22 = a 2 + bc,
Y11 + Y22 = aв11 + bв21 + cA12 - aв22,
А + м- aYn - b Y2i - cYi2 + aY22 + в11в22 - Аі2А
0,
21 (Іб) + b) - M(c - a) + (в11 + в22 )(Y1 + Y22) - A11 Y11 - в12 Y21 - в21 Y12 - в22 Y22 = 0,
(в11 + в22 )(А + М) - А(в11 + в12 ) - м(в21 + в22 ) + Y11 Y22 - Y12 Y21 = 0,
(Yi i + Y22)(А'+ М) + А( Yi і + Yi2) + М( Y21 + Y22) = °.
Из первого и второго уравнений системы (16) находим:
в11 = —(a(a2 + bc) - b|21 - Cв 12 + Y11 + Y22) ,
2a
в22 = "Z (a(a + bc) + —А21 + Cв 12 - Y11 - Y22 ) . 2a
(17)
(18)
Из четвертого и пятого уравнений системы (16) находим Д2 и в21, предвари тельно исключив из этих уравнений в11 и в22, используя соотношения (17) и (18):
в =Т ’ в21 =В ’
А А
где
А B11B22 B12B21 + B12 Y11 Y22 Y12 (Y11 Y22 B21 ) + Y21 ( Y12 B12 Y12 ) B = C 11B21 - B11C21 - C11 Y11 Y22 - Y21 (B21 - Y11 Y22 ) - Y12 (C11 Y21 - Y^1 )
А = ~ (Y11 - Y22 - bM) + Y12 (А +------~~ C) - Y21(M +-----------tM b) ,
2a 2 2
c
о/- 74 / ч а + Ъс . . (у11 + 722)
Вп -Л(а + Ъ) + ^(с — а)-------— (уи + у22) +
2 2а
В12 - ~ (7и - 722)1 В21 ------------ --(А + М) + —(7п + Y22)(A + ^),
2а 2 2а
Ъ с с
В22 -~ (А + М) + М-. Си -— (Уи -Т'22)і С 21 -~ (А + М) + Л.
2а 2а 2а
Таким образом, получается, что элементы матрицы 0 выражаются через элементы матрицы у, поскольку 012 и 021 выражены через элементы матрицы у, а 011 и в22, как видно из соотношений (17) и (18), также будут выражены через элементы матрицы у после подстановки соотношений (19).
В третье уравнение системы (16) в выражение 011022 — 012021 подставим 0^, выраженные через элементы матрицы у. Тогда
1 ЪВ2 с2А2 т АВ
ёй0 - —— (а2(а2 + Ъс) — (—-—I-------------- —+ 2Ъс—— + (у11 + у22)2
и 4а 2 А2 А2 А2 11 22
В _ . А. АВ
---2с(Уи +У22)—)-----------~2
А А А2
-2Ъ(Уц +Уп)— — 2с(УП +722)~г)
Следовательно, оставшиеся уравнения системы, третье и шестое, будут соотношениями на элементы матрицы у, причем шестое уравнение будет линейным относительно элементов матрицы у, а третье - представляет собой уравнение квадрики относительно переменных у^, I,у = 1,2 со старшими членами уЦ, 722, 7п721 и 7^7^-
(7п + Г22)(А + &) + Л(7и + 712) + М(721 + 722) = 0
1 Ь2 В2 с2 А2 АВ
Л + ^-ауи -Ьу21 -сУ[2 + аУ22~—2(а2(а2 + Ьс)-( а2 + а2 + 2Ьс_АГ + (20)
ч2 ^В „ . .А.АВ„
+ (7и + 7-) — 2Ъ(7и + 7-)а-2с(7и + 7-)а) — ~аг - 0.
Система (20) представляет собой два уравнения с четырьмя неизвестными уу,
/', У = 1,2.
Пусть ёе§ Е(уь-) означает степень выражения Е относительно переменных у у. Вычисления показывают, что
^ А2 (У12) = ^ АА(уи) = 4, ^ В 2 (^21) = йе§ ВА (721) = 4,
и так как ^ В11 В12(7ц) = ^ В11 В12(Г22) = 3, то Йе§ А 2(7п) = А 2(722) = 6-
Следовательно, при решении системы (20) относительно переменных уу, I, у = 1,2, возникает уравнение шестой степени относительно уц, /, у = 1,2, из-за наличия членов
вида уЦ, 722, Г122 721 и у42 у21 во втором уравнении системы (20), что указывает, в общем случае, на неразрешимость системы (20).
Таким образом, получается, что матрица 0 выражаются через элементы матриц а, 8, у и элементы матрицы у связаны между собой соотношениями (20).
Осталось найти А(^) = У 'У-1. Для этого предварительно вычислим У-.
Положим (Е + а + 0г2 + у3 + 814)(Е + Сг + Вг2 + Ог3 + Нг4) = 1 и выразим матрицы С, В, О и Н через матрицы а, 0, 8 и у.
Вычисления показывают [4], что С = -а, В = а2 - 0, О = -а3 +а0 + 0а - у, Н = а4 + (уа + 02 + ау) - (0а2 + а0а + а20). Кроме того, матрицы а, 0, у и 8 связаны между собой следующими соотношениями:
аН + 00 + 8С = 0, 0Н + 0 + 8В = 0, Ш + 80 = 0, 8Н = 0. (21)
Таким образом,
А(г) = (а+20г + 3у2 + 48 3)(Е + а + т2 + Ог3 + Нг4),
где матрицы С, В, О и Н выражены через матрицы а, 0, 8 и у.
Следовательно, мультипликативный интеграл от полиномиальной функции А(г) вычисляется в конечном виде:
П
J Е + А(г уг = Е + са + 0г2 + у3 + 4.
Отметим, что соотношения (7), (14) и (21) порождают некоторые алгебры. Интересно найти образующие этих алгебр.
Примечания:
1. Гантмахер ФР. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 552 с.
2. Мантуров О.В. Мультипликативный интеграл // Проблемы геометрии. 1990. Т. 22. С. 167-215.
3. Паланджянц Л.Ж. Геометрия мультипликативного интеграла. Майкоп: Качество, 1997. 94 с.
4. Козлов В.А., Паланджянц Л.Ж. О вычислении мультипликативного интеграла от полиномиаль-
ных матричных функций // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. «Естественно-математические и технические науки». 2010. Вып. 1. С. 22-315. иЯЬ:
http://vestnik.adygnet.ru
