Научная статья на тему 'О мультипликативном интегрировании полиномиальных матричных функций'

О мультипликативном интегрировании полиномиальных матричных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
106
31
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЙ ИНТЕГРАЛ / ПОЛИНОМЫ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Александрова Ирина Леонидовна, Козлов Владимир Анатольевич, Паланджянц Левон Жирайрович

В статье предлагается алгебраический метод вычисления мультипликативного интеграла от полиномиальных матричных функций.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Александрова Ирина Леонидовна, Козлов Владимир Анатольевич, Паланджянц Левон Жирайрович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «О мультипликативном интегрировании полиномиальных матричных функций»

МАТЕМАТИКА

УДК 512.64 22.143

46

Александрова И.Л.

Доцент кафедры математического анализа Армавирского государственного педагогического университета, тел. (8613) 74-76-49 Козлов В. А.

Кандидат физико-матаиатических наук, доцент, зав. кафедрой математического анализа Армавирского государственного педагогического университета, e-mail: shagin196@ yandex.ru Паланджянц Л.Ж.

- , , -давания .математики математического факультета Армавирского государственного педагогического университета, тел. (8772) 57-03-53

О мультипликативном интегрировании полиномиальных

матричных функций

(Рецензирована)

Аннотация

В статье предлагается алгебраический метод вычисления мультипликативного интеграла от полиномиальных матричных функций.

: , .

Aleksandrova I.L.

Assistant Professor of Mathematical Analysis Department of the Armavir State Pedagogical University, ph. (8613) 74-76-49 Kozlov V.A.

Candidate of Physics and Mathematic, Assistant Professor, Head of Mathematical Analysis Department of the Armavir State Pedagogical University, e-mail: shagin196@ yandex.ru

Palandzhyants L.Zh.

Candidate of Physics and Mathematics, Assistant Professor of Algebra, Geometry and Methodology of Teaching Mathematics Department at Mathematical Faculty of the Armavir State Pedagogical University, ph. (8772) 57-03-53

On multiplicative integration of polynomial matrix functions

Abstract

The paper proposes an algebraic method for calculating the multiplicative integral of the polynomial matrix functions.

Key words: multiplicative integral, polynomials.

Рассмотрим мультипликативный интеграл [1-3]

В работе [4] изучался вопрос о вычислении мультипликативного интеграла от произвольных полиномиальных матричных функций и полиномиальных матричных функ-

(l)

где А(ї) - гладкая матричная функция п -го порядка, ї є Я . Известно, что первообразная удовлетворяет уравнению

(2)

ций в алгебре Ли sl(n,R). Данная статья является продолжением исследований, начатых в работе [4], развитием алгебраических методов вычисления мультипликативного интеграла в конечном виде. Было замечено, что при вычислении мультипликативного интеграла на коэффициентах полиномиальных функций возникают алгебраические конструкции: некоторые из коэффициентов полиномиальной матричной функции являются базисными, а остальные выражаются через элементы базисных матриц.

1. Рассмотрим полином от действительной переменной t е R в группе SL(2, R)

квадратных матриц второго порядка с единичным определителем Y = E + at + fit2.

Имеем det Y (t) = 1. Воспользуемся формулой, справедливой для квадратных матриц второго порядка:

det(A1 + A2 + A3) = det A1 + det A2 + det A2 + (spA1spA2 -spA1 A2) +

+ (spA1spA3 - spA1 A3) + (spA2spA3 - spA2A2).

Тогда условие det Y (t) = 1 запишется в виде:

spa = 0, spfi + det a = 0, spafi = 0, det в = 0.

Учитывая, что 2 det a = spaspa - spa2, систему (3) можно переписать в виде:

spa = 0,

sp(e- 2a2) = a

(3)

spafi = 0, det в = 0.

Из первого и четвертого уравнений системы (4) имеем:

(a b \ _ (X U

(4)

a

V c - a j

в

V

■ uj

где а, ё, с,Я,ц - произвольные постоянные.

Подставляя значения матриц а и в во второе и третье уравнения системы (4), получаем:

(А(а + Ь) + ц(с - а) = 0,

[ Л + ц = а2 + Ьс.

Решая систему (5), получаем:

(5)

a - c a + b

(a2 + bc)(a + b) 2a - c + b

откуда следует, что

в =

,2 , fa - c a + b

a2 + bc

2a - c + b

a - c a + b

(6)

Итак, оказалось, что в алгебре матриц (а, в) базисной матрицей является а, а матрицу в удается выразить через элементы матрицы а .

Осталось найти А^) = У У _1.

Для этого предварительно вычислим У-1.

Положим (Е + а + в2)(Е + Сї + Бї2) = 1 и выразим С и В через а и в.

Вычисления показывают, что С = -а, Б = а2 - в . Кроме того, матрицы а и в связаны между собой следующими соотношениями:

ав + ва = а3, во1 = в2. (7)

Таким образом, с учетом условий (7), имеем: А(ї) = а + (2в - а2 )ї - ва2.

Следовательно, мультипликативный интеграл от полиномиальной функции А(ї) вычисляется в конечном виде:

JЕ + (а + (2в - а2 )ї -вей2 ~)Лі = Е + ол + вt2.

Заметим, что условия ёй У ^) = 1 и зрУ 'У1 = 0 совпадают.

В самом деле, условие зрУ У-1 = 0 равносильно системе уравнений:

зра = 0,

2эрв = эра2, эрав = 0, ва2 =в2.

(8)

Так как а =- ёйа, то зра = -2ёе!а. Тогда второе уравнение системы (8) запишется в виде: зрв + ёе! а = 0. Имеем ва2 = в2. Учитывая, что в2 = в^рв - ёе!в и а2 =- ёе!а, получаем ёе! в = 0.

2. Рассмотрим полином от действительной переменной ^ е Я в группе SL(2, Я) квадратных матриц второго порядка с единичным определителем У = Е + а + в^2 + А3.

Имеем ёе! У ^) = 1. Воспользуемся формулой, справедливой для квадратных матриц второго порядка:

Е А = Е А + Е (фАфА - ФАА).

(9)

г < 3

Тогда условие ёе! У (^) = 1 при п = 4 запишется в виде:

зра = 0, зрв + ёе! а = 0,

$ру+ зрарв- зрав = 0, зрару-зрау+ ёе! в = 0, эр вру-фвТ = 0, ёе! у = 0.

Из первого и шестого уравнений системы (10) имеем:

а

Г-

А и А и)

где а, Ь, с, А, и - произвольные постоянные.

п

п

п

п

г =1

г =1

Кроме того, предположим, что в

в11 А:

\в21 в22 J

Учитывая, что имеют места равенства

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

spOC/3 = ^11 + bв21 + cв 12 - aв22 , spay = —(a + b) + /n(c - a),

spA = А(віі + ві2) + и(в21 + в22) ,

spa2 = 2(a2 + bc), spA2 = А2 + 2ві2в2і + в22, систему (9) перепишем в виде:

віі +в22 = a 2 + bc,

А + и = aen + bв2і + cві2 - aA

22

Л(а + Ъ) + ц(с - а) + 22 - в12в21 = 0,

(ав11 + Ъ в21 + св12 - ав22)(А + Ц)-А(в11 +в12) + ц(в21 +в22) = 0. Запишем первое и второе уравнения системы (11) в виде системы:

[ в11 + в22 = а 2 + ЪC,

(11)

aA11 - aA22 = А + V- bв21 - cA

(12)

12-

Система (12) имеет решение:

1 3

в11 = — (-а - аЪс -Л-Ц + Ъ в21 + СД2Х

1 3

в22 = А (-а - аЪс + Л + Ц- Ъв21 - св 12 ) ,

А

где А = -2а.

Найденные значения ви и в22 подставим в третье и четвертое уравнения системы (11):

Л(а + Ъ) + ц(а - с) + —^ ((а3 + аЪс)2 - (Л + ц - Ъв21 - св12 )2) = 0,

с с Ъ Ъ

(-Л(с + — + 1) - ц(с + —))в12 + (-Л(Ъ + А) - Ц(Ъ +А - 1))в21 +

А А А А

ч2 (Л + ц)2 ча3 + аЪс п

+ (Л + Ц) + ---^— + (Л-Ц)------:--= 0.

(13)

А

А

Выразим в12 из второго уравнения системы (1З):

в,

(-A(b + А - u(b + А - 1)в21 +(А + и)2 + “—~~ + (А-и)

_________А___________А___________________________А_______________

- —(c + А +1) - u(c + А) АА

a3 + abc А

Подставим значение в12 в первое уравнение системы (13) и найдем в21. Для удобства вычислений представим в12 в виде:

в12 = ^в21 + 1 ,

где

, b. b 1Ч (Л + ц)2 ча3 + abc

(-Л(Ь + -) - ц(Ь + --1) + (Л-ц)------------- -----

k =_______ А А 7__ А А

c c c c

■Л(с + а +1) - ц(с + А) - Л(с + А +1) - ц(с + А

А А А А

Тогда

Л + ц- cl — А в21 =-----------------------------

Л(а + b) + ц(а - с) + 1(а2 + bc)

Ъ + ск

Таким образом, элементы матрицы в удалось выразить через элементы матриц а и у. Итак, оказалось, что в алгебре матриц (а, в, у) базисными матрицами являются а и у, а матрицу в удается выразить через элементы матрицы а и у.

Осталось найти А(*) = У У-1. Для этого предварительно вычислим У-1.

Положим (Е + а + в*2 + У* 3)(Е + С + Б*2 + П3) = 1 и выразим С, В и ¥ через а, в и у.

Вычисления показывают, что С = -а, В = а2 - в, ¥ = -а3 + ав + ва - 7. Кроме того, матрицы а, в и у связаны между собой следующими соотношениями:

в(-аъ +ав + ва-У) +у(а2 -в) = 0, у(-а3 + ав + ва-У) = 0. (14)

Соотношения (13) порождают некоторую алгебру. Интересно найти образующие этой алгебры.

Таким образом,

А(*) = а+(1в-а2')г + (а3 - ав- 2ва+3у)г2 + (а(-а3 +ав + ва-у) +

+ 2в(а2 - в)-3уа)г3 + (2в(-а3 +ав + ва-у) + 3у(а2 -в))*4 +

+ 3 у(-а3 +ав + ва - 7))*5.

Следовательно, мультипликативный интеграл от полиномиальной функции А(*) вычисляется в конечном виде:

I 1

JE + A(t)dt = E + at + fit2 + yt3.

3. Рассмотрим полином от действительной переменной t е R в группе SL(2, R) квадратных матриц второго порядка с единичным определителем Y = E + at + в2 + yt3 + St4.

Имеем det Y (t) = 1. Воспользуемся формулой (9).

Тогда условие det Y (t) = 1 при n = 5 запишется в виде:

spa = 0, spfi + det a = 0, spy+ spaspfi - spafi = 0, spS + spaspy-spay+ det в = 0. spaspS - spaS + spfispy= spfiy = 0, spfispS - spfiS + det у = 0, spY>pS - spYS = 0, detS = 0.

Из первого и восьмого уравнений системы (15) имеем:

a=

ab

a

S =

А м А м)

f Aii Al2 ^ Г Yii Y12s

vAi в22 у , Y = v Y21 А22 у

где a, b, c—,м - произвольные постоянные.

Кроме того, предположим, что

в=

Учитывая, что имеют места равенства

spa/3 = + bв2ї + c|i2 - ^22 ,

spaS = А(a + b) + ju(c - a),

spA§ = А(вїї + |i2) + М(в21 + в22) ,

spaY = aYii + bY2i + cYi2 - aY22

SpAy = в1їУїї + в12 Y21 + в21 Y12 + в 22 Y22 ,

SpYS = АОп + Yl2) + M(Y21 + Y22), систему (15) перепишем в виде:

вїї + в22 = a 2 + bc,

Y11 + Y22 = aв11 + bв21 + cA12 - aв22,

А + м- aYn - b Y2i - cYi2 + aY22 + в11в22 - Аі2А

0,

21 (Іб) + b) - M(c - a) + (в11 + в22 )(Y1 + Y22) - A11 Y11 - в12 Y21 - в21 Y12 - в22 Y22 = 0,

(в11 + в22 )(А + М) - А(в11 + в12 ) - м(в21 + в22 ) + Y11 Y22 - Y12 Y21 = 0,

(Yi i + Y22)(А'+ М) + А( Yi і + Yi2) + М( Y21 + Y22) = °.

Из первого и второго уравнений системы (16) находим:

в11 = —(a(a2 + bc) - b|21 - Cв 12 + Y11 + Y22) ,

2a

в22 = "Z (a(a + bc) + —А21 + Cв 12 - Y11 - Y22 ) . 2a

(17)

(18)

Из четвертого и пятого уравнений системы (16) находим Д2 и в21, предвари тельно исключив из этих уравнений в11 и в22, используя соотношения (17) и (18):

в =Т ’ в21 =В ’

А А

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

где

А B11B22 B12B21 + B12 Y11 Y22 Y12 (Y11 Y22 B21 ) + Y21 ( Y12 B12 Y12 ) B = C 11B21 - B11C21 - C11 Y11 Y22 - Y21 (B21 - Y11 Y22 ) - Y12 (C11 Y21 - Y^1 )

А = ~ (Y11 - Y22 - bM) + Y12 (А +------~~ C) - Y21(M +-----------tM b) ,

2a 2 2

c

о/- 74 / ч а + Ъс . . (у11 + 722)

Вп -Л(а + Ъ) + ^(с — а)-------— (уи + у22) +

2 2а

В12 - ~ (7и - 722)1 В21 ------------ --(А + М) + —(7п + Y22)(A + ^),

2а 2 2а

Ъ с с

В22 -~ (А + М) + М-. Си -— (Уи -Т'22)і С 21 -~ (А + М) + Л.

2а 2а 2а

Таким образом, получается, что элементы матрицы 0 выражаются через элементы матрицы у, поскольку 012 и 021 выражены через элементы матрицы у, а 011 и в22, как видно из соотношений (17) и (18), также будут выражены через элементы матрицы у после подстановки соотношений (19).

В третье уравнение системы (16) в выражение 011022 — 012021 подставим 0^, выраженные через элементы матрицы у. Тогда

1 ЪВ2 с2А2 т АВ

ёй0 - —— (а2(а2 + Ъс) — (—-—I-------------- —+ 2Ъс—— + (у11 + у22)2

и 4а 2 А2 А2 А2 11 22

В _ . А. АВ

---2с(Уи +У22)—)-----------~2

А А А2

-2Ъ(Уц +Уп)— — 2с(УП +722)~г)

Следовательно, оставшиеся уравнения системы, третье и шестое, будут соотношениями на элементы матрицы у, причем шестое уравнение будет линейным относительно элементов матрицы у, а третье - представляет собой уравнение квадрики относительно переменных у^, I,у = 1,2 со старшими членами уЦ, 722, 7п721 и 7^7^-

(7п + Г22)(А + &) + Л(7и + 712) + М(721 + 722) = 0

1 Ь2 В2 с2 А2 АВ

Л + ^-ауи -Ьу21 -сУ[2 + аУ22~—2(а2(а2 + Ьс)-( а2 + а2 + 2Ьс_АГ + (20)

ч2 ^В „ . .А.АВ„

+ (7и + 7-) — 2Ъ(7и + 7-)а-2с(7и + 7-)а) — ~аг - 0.

Система (20) представляет собой два уравнения с четырьмя неизвестными уу,

/', У = 1,2.

Пусть ёе§ Е(уь-) означает степень выражения Е относительно переменных у у. Вычисления показывают, что

^ А2 (У12) = ^ АА(уи) = 4, ^ В 2 (^21) = йе§ ВА (721) = 4,

и так как ^ В11 В12(7ц) = ^ В11 В12(Г22) = 3, то Йе§ А 2(7п) = А 2(722) = 6-

Следовательно, при решении системы (20) относительно переменных уу, I, у = 1,2, возникает уравнение шестой степени относительно уц, /, у = 1,2, из-за наличия членов

вида уЦ, 722, Г122 721 и у42 у21 во втором уравнении системы (20), что указывает, в общем случае, на неразрешимость системы (20).

Таким образом, получается, что матрица 0 выражаются через элементы матриц а, 8, у и элементы матрицы у связаны между собой соотношениями (20).

Осталось найти А(^) = У 'У-1. Для этого предварительно вычислим У-.

Положим (Е + а + 0г2 + у3 + 814)(Е + Сг + Вг2 + Ог3 + Нг4) = 1 и выразим матрицы С, В, О и Н через матрицы а, 0, 8 и у.

Вычисления показывают [4], что С = -а, В = а2 - 0, О = -а3 +а0 + 0а - у, Н = а4 + (уа + 02 + ау) - (0а2 + а0а + а20). Кроме того, матрицы а, 0, у и 8 связаны между собой следующими соотношениями:

аН + 00 + 8С = 0, 0Н + 0 + 8В = 0, Ш + 80 = 0, 8Н = 0. (21)

Таким образом,

А(г) = (а+20г + 3у2 + 48 3)(Е + а + т2 + Ог3 + Нг4),

где матрицы С, В, О и Н выражены через матрицы а, 0, 8 и у.

Следовательно, мультипликативный интеграл от полиномиальной функции А(г) вычисляется в конечном виде:

П

J Е + А(г уг = Е + са + 0г2 + у3 + 4.

Отметим, что соотношения (7), (14) и (21) порождают некоторые алгебры. Интересно найти образующие этих алгебр.

Примечания:

1. Гантмахер ФР. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 552 с.

2. Мантуров О.В. Мультипликативный интеграл // Проблемы геометрии. 1990. Т. 22. С. 167-215.

3. Паланджянц Л.Ж. Геометрия мультипликативного интеграла. Майкоп: Качество, 1997. 94 с.

4. Козлов В.А., Паланджянц Л.Ж. О вычислении мультипликативного интеграла от полиномиаль-

ных матричных функций // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. «Естественно-математические и технические науки». 2010. Вып. 1. С. 22-315. иЯЬ:

http://vestnik.adygnet.ru

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.