CC BY
37
УДК 621.391.1:519.27
О ВЫБОРЕ ЖИЗНЕННО ВАЖНЫХ ДАТЧИКОВ РЕЗЕРВИРОВАННЫХ СИСТЕМ
Л.И. Лузина
В статье рассматриваются вопросы выбора жизненно важных датчиков резервированных систем.
Введение
Для повышения надежности датчиков летательного аппарата (ЛА) применяют испытанный прием - резервирование. В [1, 2] рассматривалась возможность построения вместо традиционной схемы резервирования, когда каждый первичный датчик повторяется трижды, новой схемы резервирования датчиков. В [2] представлена методика получения новой схемы резервирования датчиков ЛА, которая основана на использовании высокоэффективного алгоритма локализации отказов датчиков.
Использование алгоритма локализации не накладывает ограничений на четность или нечетность резервированных датчиков. Имеется лишь ограничение на точность оценивания вектора состояния системы. Поэтому использование такого алгоритма позволяет получить новую схему резервирования датчиков ЛА. При этом общее количество датчиков уменьшается по сравнению с традиционной схемой, а оценивание вектора состояния системы осуществляется в рамках заданной точности. В связи с возможностью построения новой схемы резервирования датчиков для практики особый интерес представляет задача выделения жизненно важных датчиков. Такие датчики должны резервироваться с кратностью три или два, а менее важные датчики могут резервироваться с меньшей кратностью, т.е. два или один. В работе рассматривается методика выбора жизненно важных датчиков ЛА.
Точность оценивания для разной кратности резервирования
Линейная дискретная система описывается уравнением
х( к +1) = Ф (к +1, к) х(к) + О (к )ш( к) + В(к )и (к), к = 0, 1, ..., с каналом наблюдения вида
1{1](к) = Щ}(к)х(к) + ¥[1}(к) + 0(к)С,](к)/(к), к = 1, 2 , ...,
где х - п-мерный вектор состояния системы;
Ф - переходная матрица состояния размера п х п;
О - матрица передачи возмущений размера п х /;
ш - /-мерный вектор возмущения;
В - матрица передачи управления размера п х /';
и - /' -мерный вектор управления;
2ит - (г х да)-мерный вектор наблюдений;
И[г] - матрица наблюдений размера гт х п;
У[г] - (г х т)-мерный вектор ошибок наблюдений;
0 - скалярная переменная (0 =0 - нет отказов, 0 =1 - есть отказы); С[г] - булева матрица размера (г х т) х г;
/ - г-мерный вектор аномальных помех, вызывающих отказы датчиков; г - кратность резервирования; к - дискретные моменты времени. Вектор управления вычисляется по формуле
х - п-мерный вектор оценки фильтрации вектора состояния х(к) системы. Процессы (ю(к), к = 0,1,...} и {У[г-¡(к), к = 1,2,...} являются гауссовскими белыми последовательностями, для которых
где М {•} - математическое ожидание случайной величины;
Q - неотрицательно определенная ( 1х /)-матрица;
5кг - символ Кронекера (5к =0 при к Ф г, 5кг =1 при к = г);
Я ¡(к) - положительно определенная матрица размером гтхгт.
Процесс {/(к), к = 1,2,...} является г-мерной белой последовательностью с произвольным законом распределения, неизвестным математическим ожиданием / (к) и с корреляционной матрицей Г(к) . Помеха /(к) является аномальной помехой, так как для нее выполняется неравенство ^Г(к) >> ¡(к) , где & - символ следа матрицы.
Случайные процессы ш(к), У[г ¡(к) и / (к) взаимно независимы.
В [1] рассматривалась точность J(к) оценивания вектора состояния х(к), которая определялась как среднее значение квадратичной формы
Тогда имеем, что, чем меньше ошибка оценки х (к) = х( к) - х( к), тем меньше числовое значение J(к).
М{ш(к)} = 0 , М{ш(к)шг (г)} = Q(к)5И; Q > 0; М у ¡(к)} = 0, М у ¡(к ^(у)} = Я, ¡(к )5,, Я, ](к) > 0 ,
Простые преобразования позволяют получить точность оценивания в следующем виде: J(к) = tr[DP(k)],
где D - неотрицательно определенная (n х п)-матрица;
P(k) = M {(x(k) - x(k) )(x(k) - x(k) ) } - (n х п)-матрица.
Под набором измерительных датчиков (НИД) IZ[ г] будем понимать булев вектор размера i х m, в котором отказавшие датчики имеют нулевые компоненты. Здесь i - кратность резервирования датчиков. Соответствующую набору IZ[i] точность оценивания обозначим через J[Z .
В [1] доказана теорема, согласно которой точность оценивания для разной кратности i резервирования датчиков удовлетворяет неравенству JlZ-1] ^ JIZ . Другими словами, точность оценивания J (к) имеет меньшее числовое значение с возрастанием кратности резервирования датчиков.
Для вычисления оценки x(k) в случае безотказной работы датчиков использовались уравнения фильтра Калмана, а в случае отказов датчиков - уравнения адаптивного фильтра [1].
Результаты моделирования
Приведем результаты моделирования для продольного движения самолета ТУ-154 [1]. Если НИД состоит из одних единиц, то имеем случай безотказной работы датчиков и соответствующую точность оценивания J[11111] (для i = 1), а если имеем отказ, например по 2-му
первичному датчику, то точность оценивания обозначим J[10111].
Для систем с разной кратностью резервирования получены следующие результаты. Для кратности резервирования 1 (i = 1):
1) J[11101] = 0,4832235392 • 10-3;
2) J[11011] = 0,4663523842 • 10-3;
3) J[11110] = 0,4634747618 • 10-3;
4) J[10111] = 0,4634716755 • 10-3;
5) J[01111] = 0,4634716177 • 10-3;
6) J[11111] = 0,4634716082 • 10-3.
Учитывая в полученных результатах, что жизненно важным датчикам соответствует большее значение J (к), а менее важным датчикам - меньшее значение J (к), можно выделить группу жизненно важных датчиков (4-й, 3-й и 5-й датчики) и группу менее важных датчиков (2-й и 1-й датчики).
Для кратности резервирования 2 (г = 2) получены следующие результаты:
1) J[[ш01] = 0,4597677291 • 10-3;
2) ^п011] = 0,4578843717 • 10-3;
3) J[[шl0] = 0,4551795448•Ю-3;
4) J[[120]111] = 0,4551768179 • 10-3;
5) ^ошц = 0,4551767643 • 10-3;
6) ^пШ] = 0,4551767553 • 10-3.
Для кратности резервирования 3 (г = 3) получены следующие результаты:
1) J[[ш01] = 0,4531442609 • 10-3;
2) J[[п011] = 0,4516773018•Ю-3;
3) J[[131]110] = 0,4490977070 • 10-3;
4) J[[130]111] = 0,4490950612 • 10-3;
5) ^[031ш] = 0,4490950105 • 10-3;
6) J[[13ш1] = 0,4490950019 • 10-3.
Полученные результаты по точности оценивания подтверждают теорему, согласно которой значения точности оценивания уменьшаются с возрастанием кратности резервирования
датчиков. Действительно, имеем ^Ш11] > J[[121]111] > ^шп].
Аналогичные неравенства по точности оценивания выполняются и для соответствующих наборов отказавших датчиков, например ^11101] > ^ш01] > ^ш01].
Заключение
В полученных результатах моделирования для продольного движения самолета ТУ-154 и разной кратности резервирования датчиков имеется четкая тенденция выделения двух классов датчиков. Первый класс - класс жизненно важных датчиков (4-й, 3-й, 5-й) и второй - класс менее важных датчиков (2-й, 1-й). Жизненно важные датчики необходимо резервировать с кратностью три или два, а менее важные датчики - с кратностью два или один.
ЛИТЕРАТУРА
1. Демин Н.С. Оптимизация систем фильтрации стохастических сигналов / Н.С. Демин, Л .И. Лузина. - Томск: Изд-во Том. гос. ун-та, 1991. - 191 с.
2. Лузина Л.И. К проблеме резервирования датчиков // Труды междунар. конф. по использованию результатов конверсии науки в вузах Сибири для международного сотрудничества. Т. 2. - Томск, 1995. - С. 212-213.
