Использование точности оценивания при резервировании датчиков Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 658.310.8: 519.876.2

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТОЧНОСТИ ОЦЕНИВАНИЯ ПРИ РЕЗЕРВИРОВАНИИ ДАТЧИКОВ

Л.И. Лузина

В статье рассматривается возможный подход для получения новой схемы резервирования датчиков.

Традиционная схема резервирования датчиков летательного аппарата (ЛА) предполагает, что каждый первичный датчик повторяется только трижды [1]. В работах [2, 3] предлагалось использовать высокоэффективный алгоритм локализации отказов датчиков, позволяющий не накладывать ограничений на четность или нечетность резервирования датчиков. Имея такой алгоритм локализации отказов датчиков и методику выбора жизненно важных датчиков резервированных систем, а также используя точность оценивания вектора состояния резервированной системы, можно получить новую схему резервирования датчиков ЛА. Методика выбора жизненно важных датчиков позволяет выделить жизненно важные датчики, которые резервируются трижды или дважды, и менее важные датчики, которые имеют меньшую кратность резервирования. При этом получим новую схему резервирования датчиков, у которой общее количество датчиков уменьшается в рамках заданной точности оценивания по сравнению с традиционной схемой резервирования датчиков. Уменьшение количества датчиков особенно ценно на практике, так как приводит к экономии средств и уменьшению веса ЛА.

Задача заключается в получении новой схемы резервирования датчиков.

Возможный подход к решению задачи

Пусть линейная дискретная система описывается уравнением

х( к +1) = Ф (к +1, к) х(к) + О (к )ш( к) + В(к )и (к), к = 0, 1, ...

Канал измерения с резервированием датчиков при нормальном функционировании принимает вид

^](к) = Я,](к)х(к) + У[г](к), к = 1, 2 , ...,

а при аномальном функционировании, возникающем при внезапных отказах датчиков, описывается соотношением

^ ](к ) = Я [г ](к ) х( к ) + У{1 ](к ) + С [г ](к ) / (к ) , где х - п-мерный вектор состояния системы;

Ф - переходная матрица системы размера п х п;

О - матрица передачи возмущений размера п х /;

ш - /-мерный вектор возмущения;

В - матрица передачи управления размера п х /';

и - I' -мерный вектор управления;

2[г] - (г х т)-мерный вектор измерений;

И[г] - матрица измерений размера гт х п; ] - (г х т)-мерный вектор ошибок наблюдений;

С[г] - булева матрица размера т х т;

г - кратность резервирования;

/ - т-мерный вектор аномальных помех, вызывающих отказы датчиков;

к - дискретные моменты времени.

Процессы ш(к), ¥[г](к) и /(к) распределены по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и ковариационными матрицами Q, ] и Г соответственно, т.е. ш : Г {0,Q|, ¥[г] : Г {0,^]}, / : Г {0,Г} . В системе без резервирования (г = 1) векторы 2(к) и V(к) имеют размерность т, а при кратности резервирования г (г > 1) векторы 2[г ](к) и ](к) становятся гт-мерными векторами. Матрицы И[г ](к) и Я[г ](к) размеров гт х п и гт х гт соответственно имеют в блочном представлении вид

" И (к ) - " Я1(к) 0 ь 0

И (к ) м , Я ](к) = 0 м Я2(к ) м ь О 0 м

[ И (к) _ 0 0 ь Я ( к )

В работе [4] рассматривалась точность оценивания вектора состояния резервированной системы

3[г ](к) = гт [ Бр ](к)],

где 3[г ](к) - точность оценивания; гт - символ следа матрицы;

Б - неотрицательно определенная (п х п)-матрица; Р ](к) = М {(х(к) - х( к) )(х(к) - х(к) )Т } - (п х n)-матрица.

Точность оценивания при кратности резервирования г для заданного набора измерительных датчиков (НИД) 12^] обозначим через .

При нормальном функционировании системы для вычисления оценки фильтрации х(к) использовались уравнения фильтра Калмана, а при аномальном функционировании - уравнения адаптивного фильтра [4]:

x(k) = Ф(к, к -1)x(k |к -1) + КХ (k) [Z{i](к) - И[г](к)x(k |к -1)]; x(к |к -1) = Ф(к, к -1)Х(к -1) + BK*Х(к -1) , x(0) = x0; K1(к) = рi](к |к -1)H[T](к)ET(к)(E(к)S,](к)ET(к)E(к) ; S[i](к) = H[i ](к)р ](к |к -1)H£](к) + Я,](к);

р] (к |к -1) = Ф(к, к -1)Р[г] (к -1)Фт (к, к -1) + G(к - 1)Q(к -1)GT (к -1) , P(0) = P0; р ](к ) = [ In - K¿к ) H[i ](к )] р ](к|к -1),

где Кх(к) - (n х im )-матрица передачи адаптивного фильтра; Z[i](к) - (г х т)-мерный вектор измерений;

K* - оптимальная матрица обратных связей размера l'х n;

P[i](к |к -1) - априорная ковариационная матрица ошибок оценивания размера n х n

(Р(к |к -1) = M {x(к |к -1)xxT(к |к -1)}, а xx(к |к -1) = х(к) - х(к |к -1)); E^) - булева (im - r) х im -матрица преобразований; S[i](к) - неотрицательно определенная матрица размера im х im;

P[i](к) - априорная ковариационная матрица ошибок оценивания размера n х n.

Для получения новой схемы резервирования необходимо прежде всего использовать методику выбора жизненно важных датчиков. По этой методике получим два класса датчиков: жизненно важных датчиков и менее важных датчиков. Затем при выбранной схеме резервирования для каждого НИД вычисляется точность оценивания J[i ](к) и сравнивается с заданной

точностью оценивания J*, которая представляет собой граничное значение точности оценивания [2]. Если для некоторой схемы резервирования для всех НИД выполняется неравенство

J[i](к) < J*, то данная схема резервирования может быть использована для ЛА. Если хотя бы

для одного НИД выбранной схемы резервирования имеет место неравенство J[i](к) > J*, то данную схему резервирования нельзя использовать для ЛА.

Анализ результатов моделирования

Полученные результаты моделирования для продольного движения самолета ТУ-154 показали, что 1-й и 2-й первичные датчики можно резервировать с кратностью i < 2, а 3-й, 4-й и 5-й первичные датчики необходимо резервировать трижды или дважды [4]. Исходя из этого рассматривались различные схемы резервирования датчиков. Для каждой предполагаемой схемы резервирования датчиков и для всевозможных наборов отказавших датчиков по этой схеме вычислялась точность оценивания J[i](к) , которая сравнивалась с заданной точностью оценива-

ния J = 0,0004558116212 [2]. Приведем результаты моделирования для представленных на рисунке традиционной (схема 1) и предполагаемых (схема 2 и схема 3) схем резервирования.

Для каждой схемы резервирования рассматривались все возможные отказы датчиков (31 вариант). В таблице приведены результаты моделирования для 4-х вариантов.

I ~1-► I ~1-► I ~1-►

>-

Схема 1

Схема 2

Схема 3

НИД Точность оценивания

Jl У2 Jз

11111 0,0004490977983 0,0004514464991 0,0004502432058

01110 0,0004491005236 0,0004514459537 0,0004504411325

11001 0,0004558115521 0,0004582827046 0,0004558115893

10101 0,0004531471728 0,0004555670999 0,0004542562875

Из приведенных результатов видно, что схема 2 не может быть использована для ЛА, так как для НИД 12 = 11001 J2 > J*. Для схемы 3 (для 31 варианта) по точности оценивания выполнялось неравенство J3 < J*. Следовательно, схему 3 можно использовать в качестве новой схемы резервирования датчиков.

ЛИТЕРАТУРА

1. Браславский Д.А. Приборы и датчики летательных аппаратов. - М.: Машиностроение, 1970. - 392 с.

2. Ротина В.Ю. Частные оценки роста эффективности бортовых информационно-управляющих комплексов при повышении степени их информационной интеграции / В.Ю. Ротина, Н.С. Демин, Л.И. Лузина // Алгоритмическое обеспечение интегрированных бортовых комплексов. - М.: Изд-во ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1987. - С. 4-14.

3. Лузина Л.И. К проблеме резервирования датчиков // Труды междунар. конф. по использованию результатов конверсии науки в вузах Сибири для международного сотрудничества. Т. 2. - Томск, 1995. - С. 212-213.

4. Демин Н.С. Оптимизация систем фильтрации стохастических сигналов / Н.С. Демин, Л.И. Лузина. - Томск: Изд-во Том. гос. ун-та, 1991. - 191 с.