Том II
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
_____ _ _
М /
УДК 533.6.011.55.011.6
О ВЯЗКОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ НА ПЛАСТИНЕ В ГИПЕРЗВУКОВОМ ПОТОКЕ НЕРАВНОВЕСНО ДИССОЦИИРУЮЩЕГО ГАЗА
В. П. Провоторов
Рассмотрено обтекание острой пластины под нулевым углом атаки неравновесно диссоциирующим двухатомным газом с учетом взаимодействия пограничного слоя и невязкого потока. Уравнения пограничного слоя решались конечно-разностным методом, а распределение давления на внешней границе слоя определялось по методу касательных клиньев.
Проведены расчеты обтекания с первой и второй космическими скоростями каталитической и некаталитической пластин. Кроме того, в предположении оптически тонкого пограничного слоя проведен расчет с учетом излучения газа.
При полете тонких тел на большой высоте со скоростью, превышающей первую космическую, помимо необходимости учитывать взаимодействие пограничного слоя с невязким потоком, становится необходимым учет реальных свойств воздуха: термодинамического несовершенства, существенной неравновесности протекания химических реакций, излучения и т. д.
Впервые приближенный теоретический анализ неравновесно диссоциирующего пограничного слоя на пластине с учетом вязкого взаимодействия был проведен в работе [1], причем рассматривалась область, близкая к замороженному течению. Кроме того, в этой работе дан интуитивный метод приближенного расчета областей,
' в которых отклонение от замороженного течения существенно.
Ниже предлагается более точное решение аналогичной задачи. При этом распределение давления на внешней границе пограничного слоя, как и в работе [1], находится по методу касательных клиньев, а уравнения пограничного слоя решаются численно методом конечных разностей [2]. Кроме того, в предположении оптически тонкого пограничного слоя проведен расчет с учетом излучения газа.
1. Рассмотрим ламинарный неравновесно диссоциирующий пограничный слой на острой пластине, обтекаемой под нулевым углом атаки гиперзвуковым потоком ‘ двухатомного газа. Предпо-
ложим, что поверхность пластины имеет постоянную температуру и обладает произвольной каталитической способностью по отношению к гетерогенной рекомбинации атомов на поверхности. Кроме того, предположим, что скачок уплотнения и внешняя граница пограничного слоя разделены тонким слоем невязкого возмущенного гиперзвукового течения химически не реагирующего газа. Последнее предположение нарушается достаточно близко к передней кромке, где весь сжатый слой становится полностью вязким и анализ в рамках теории пограничного слоя неправомерен. Однако будем считать, что это обстоятельство не оказывает существенного влияния на исследуемую область течения.
Уравнения пограничного слоя в двухатомном диссоциирующем газе запишем в виде (см., например, [3, 4, 5]):
Здесь и, V — соответственно компоненты скорости вдоль и по нормали к поверхности пластины; р —плотность; р — давление; Т—температура; а —массовая доля атомов (концентрация); ^ — вязкость; ср« — замороженная удельная теплоемкость смеси; срт — удельная теплоемкость, обусловленная диссоциацией; а„—число Прандтля, вычисленное по замороженной удельной теплоемкости; Ье—число Льюиса; — массовая скорость образования компоненты а; — универсальная газовая постоянная.
На основании феноменологических законов кинетики реакций имеем [3, 5]
где — средняя скорость реакций; Кр — константа равновесной диссоциации, ки— некоторые постоянные, которые зависят от свойств газа.
р = р$Т(\ +а).
^*11
1 -|- и 1 -(- а
Введем следующие безразмерные величины:
и
Мес
Р
V.
дг1 ’
2 с
р 00 ■
2
Моо
0; -^ = И
рСХ:
р;
Роо И,
'р 00
УИ ’
а —
^р а 00
Роэ ^оо -Я
Ро
СрТ — 1/
2с
2
Моо
Л/ =
У
| Рш <&■
Индексы ос, чю, 0 относятся соответственно к параметрам в невозмущенном потоке, на поверхности пластины и к параметрам, вычисленным при температуре торможения невозмущенного потока, а М обозначает молекулярный вес.
Уравнения пограничного слоя в безразмерном виде запишутся следующим образом:
~ СРТ щ) + Сра/ ^ + СРТ/ ~ +
<? (?7] (* д*/\ дУ?) +/2/ ^1дУ12
д ( N - де
д-ц \1Г Срл д-ц +
+ 2р (?)(! + «) 6 |£ + 2УУ^2
-Ъ®
д/ дЬ д/ дЬ '
"К "
д ( N да \ , да
I *'
Сра' д-ц д\ дг д-ч!+СрТ
д~п V о о ду1 ) дг1
+ А-
(д11 \дг?.
дf да дг] д\
Р(1)ъ№
\ 2
№
ехр
к
дI да \1 дЧ дц)\'
■Р(а) =
Здесь
Р (а) —
д/ да д/ да \
дг] дЧ д% дг]
Р = р/?0 (1 4- а).
1 —|-а
1 + а 2
-Л
у
(1 —а)—
4а2
% (1 + а) /Ср
к»
2
Рэо «00
(«)=
А =
/?7, (Е) ( йР Р
Р{1) £
2Сроо'\1 + Аз! *12
г&
Мс
р 00
Од —
Ье '
Решение приведенных выше уравнений должно удовлетворять следующим граничным условиям:
на внешней границе пограничного слоя
= 1, 9=0, а — ах;
на поверхности пластины
где
4сроо ^ _ т, (Е) _1_
'2(;
1/2 & . ^2Р(£) ’
■а и Ь — постоянные в зависимостях коэффициентов вязкости и бинарной диффузии от температуры (\>. = аТт, Ип = 67'1+ш/Р). При решении уравнений пограничного слоя давление определяем по методу касательных клиньев. Тогда в безразмерных величинах формула для давления будет иметь вид (ниже Моо обозначает число М в невозмущенном потоке):
х+1 / ^3_ ф _1_ ^ ___\—
2 \ 4 + 2 * & ] + ( )
где
' 00
ф (£) = Тг © | 6(1+з0 о
Используем простые выражения для коэффициентов переноса и термодинамических коэффициентов [3, 4]:
Сра = 8Я (1 + 0,25а); срТ = 2Я (с10 — &23 6);
___ (1+0,25*) (1+а) 1+0,25а
= °’70 \+ТЩ ~ ; ье = 0,70^ т^Ехё^Г:
N г - 1 ~ ' 1+а«
1+а
2 с Ь
Здесь й0 = —33 , й?! =----------=, а постоянные а, Ь и ш вычис-
Иоо 2Ср&э &Р.
ляем аналогично тому, как предложено в работе [6], с тем лишь отличием, что показатели степени в коэффициентах вязкости и бинарной диффузии подбираем одинаковыми.
Уравнения пограничного слоя решаем конечно-разностным методом, изложенным в 12]. При решении используем следующую итерационную процедуру: в первом приближении величину производной йР^/сй (индекс у Р означает номер итерации) полагаем
равной нулю, а Р0) (?) — равной Р(0), то есть давлению, соответствующему сильному взаимодействию в нереагирующем газе. Для последующих итераций давление определяем следующим образом:
р(й+1)(ю=4~[Р(-)+р<4>(|)]- (2>
Значение Р (?) вычисляем по формуле (1). Давление, найденное по формуле (2), аппроксимируем полиномом шестой степени и используем для вычисления соответствующих величин на следующей итерации. Итерации заканчиваем, когда модуль разности значений давления, вычисленных по формулам (1) и (2), станет меньше заданной величины.
2. Изложенным методом было рассчитано обтекание кислородом каталитической и некаталитической пластин при первой и второй космических скоростях, при 0100 = 0. В случае первой , космической скорости расчет был проведен в интервале 0< \ < 145, что, например, при высоте полета к = 45 км соответствует интервалу длин 1 0 </<0,5 м, а при /г =
= 90 км - 0</<300 м. Результаты расчета позволяют заключить, что в указанном диапазоне I аэродинамические характеристики, полученные с учетом неравновесной диссоциации, на 2—5% отличаются от соответствующих характеристик, полученных В случае замороженного течения, а влияние степени ката-литичности поверхности не превосходит 2%. Сравнение с результатами работы [1] показало, что приближенный метод, предложенный в [1], значительно завышает влияние неравновесной диссоциации. Так, например, при 1 = 7,64 м (А = 90 км) максимальная концентрация атомов атах поперек пограничного слоя согласно [1] равна 0,163, а расчет, проведенный предлагаемым здесь методом при тех же термодинамических свойствах газа, что и в [ 1], дает значение атах = 0,029 (при использовании приведенных выше термодинамических характеристик газа <хгаах = 0,012).
Так как в случае первой космической скорости влияние неравновесной диссоциации незначительно, то были проделаны две итерации. Сходимость итерационного процесса исследовалась при расчете обтекания пластины со второй космической скоростью. О сходимости итераций можно судить по фиг. 1, где представлены результаты расчета значений давления, соответствующих трем итерациям в случае обтекания холодной (0да = 0,02) идеально каталитической пластины (сплошная кривая соответствует первой итерации, пунктирная — второй, а крестики — третьей). Аналогичная скорость сходимости итераций была и в случае обтекания холодной пластины с некаталитической поверхностью. Расчет проводился
в интервале 0 < Е <. 67, что соответствует 0 < I< 0,3 м при /г=45 км и 0</< 130 при /г = 90 км. Как показали результаты расчета, в случае второй космической скорости неравновесная диссоциация существенно влияет на аэродинамические характеристики пластины как для некаталитической, так и для каталитической поверхности (отклонение величины теплового потока от его значения для замороженного течения достигает соответственно 30% и 18%). При этом степень каталитичности поверхности в большей мере сказывается на величинах теплового потока и концентраций, и в меньшей — на значениях давления и коэффициента трения. На фиг. 2 и 3 приведено распределение местного числа Стантона,
суммарного трения, давления и максимальной концентрации атомов вдоль пластины для случаев обтекания кислородом холодных (в® = 0,02) пластин с каталитической (пунктирная кривая) и некаталитической (штрихпунктирная кривая) поверхностями. Там же приведены соответствующие величины, относящиеся к замороженному пограничному слою (сплошная кривая). Местное число Стантона и суммарное трение определялись по формулам
Poo Moo V g
где
Роо Ц&>
Согласно оценкам излучение газа для скоростей полета, не превышающих вторую космическую, практически не влияет
на тепловые потоки к пластине (и тем более на другие аэродинамические характеристики). Для уточнения этих оценок был проведен расчет с учетом излучения в предположении оптически тонкого пограничного слоя. При этом значения соответствующих параметров излучающего газа взяты из работы [7]. Результаты расчета позволяют заключить, что влиянием излучения при второй космической скорости можно пренебречь с ошибкой, не превышающей 1%. Кроме того, был проведен анализ влияния высоты полета на аэродинамические характеристики пластины. При выбранных аргументах $ и т) это влияние на безразмерные характеристики течения оказалось незначительным (1—2%) в диапазоне высот к = 45-4-90 км. Полученный результат объясняется тем, что в рассмотренных режимах течения можно пренебречь противодавлением и рекомбинацией атомов, иначе говоря, при 0<Ие0<0,45-104 и скоростях, не превышающих вторую космическую, течение около пластины подчиняется закону бинарного подобия.
В заключение приведем значения постоянных, использованных в расчетах (постоянные, соответствующие скоростям реакций, брались согласно данным [5], а константа равновесной диссоциации Яр аппроксимировалась согласно данным работы [8]):
5
Фиг. 3
кп =0,2Ы016
м3 -{град)кп кмоль-сек
; /г12 = 3,6-1018
кмоль-сек '
£21 = 0,5; £22 == 1,5; &31 = &32 = 59380°К;
а = 0,452-10-6
кг-м
сек3 (град)1+ш
ЛИТЕРАТУРА
1. И н г е р. Неравновесный гиперзвуковой пограничный слой на плоской пластине при наличии поля давления, индуцированного в результате сильного взаимодействия. .Ракетная техника и космонавтика”, 1964, № 3.
2. П е т у х о в И. В. Численный расчет двумерных течений в пограничном слое. Сб. „Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы". М., .Наука”, 1964.
3. Людвиг Г., Хей ль'М. Теория пограничного слоя с диссоциацией и ионизацией. Сб. „Проблемы механики", М., Изд. иностр. лит , 1963.
4. Доррес У. X. Гиперзвуковые течения вязкого газа. М., „Мир", 1966.
5. Алексеев В. В. Пограничный слой с химическими реакциями. Вычислит. Центр АН СССР, 1967.
6. Анфимов Н. А. Ламинарный пограничный слой в многокомпонентной смеси газов. „Изв. АН СССР. Механ. и машиностр.", 1962, № 1.
7. Бай Ш и - и. Динамика излучающего газа. М., „Мир", 1968.
8. Гурвич Л. В. и др. Термодинамические свойства индивидуальных веществ. Т. I, М., Изд. АН СССР, 1962. г
Рукопись поступила 15ІХП 1969 г~