CC BY
7
2017
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика и механика
№ 50
МАТЕМАТИКА
УДК 515.12
Б01 10.17223/19988621/50/1
С.П. Гулько, А.В. Иванов
О ВПОЛНЕ ЗАМКНУТЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ КОМПАКТОВ ФЕДОРЧУКА1
Е-компактом или компактом Федорчука называется компактное хаусдорфо-во топологическое пространство, допускающее разложение в специальный вполне упорядоченный обратный спектр с вполне замкнутыми соседними проекциями. Е-компакты спектральной высоты 3 - это в точности неметри-зуемые компакты, допускающие вполне замкнутое отображение на метрический компакт с метризуемыми слоями. Доказано, что такое вполне замкнутое отображение для Е-компакта X спектральной высоты 3 определено почти однозначно. А именно, нетривиальные слои любых двух вполне замкнутых отображений X в метрические компакты с метризуемыми прообразами точек совпадают всюду, за исключением, может быть, счетного семейства элементов.
Ключевые слова: компакт Федорчука, обратный спектр, вполне замкнутое отображение.
Компактом Федорчука или Е-компактом называется компактное хаусдорфово топологическое пространство, допускающее разложение в специальный вполне упорядоченный обратный спектр (Е-спектр) с вполне замкнутыми соседними проекциями (см. [1]). Наименьшая длина такого спектра, дающего в пределе данный компакт X, называется спектральной высотой бЬ(Х) Е-компакта X. Спектральная высота любого неметризуемого Е-компакта больше либо равна 3. При этом бИ(Х) = 3 тогда и только тогда, когда существует вполне замкнутое отображение /: X ^ К на метрический компакт К с метризуемыми слоями /(/), t е К . (Такое вполне замкнутое отображение мы будем называть для краткости допустимым.) Таким образом, всякий Е-компакт спектральной высоты 3 изначально связан с некоторым допустимым вполне замкнутым отображением. В работе доказано, что такое отображение для любого Е-компакта X является почти единственным. А именно, если имеются два допустимых вполне замкнутых отображения / : X ^ К{,
I = 1,2 , компакта X в метрические компакты К{, то множество несовпадающих нетривиальных слоев этих отображений не более чем счетно:
|{ЛТ1 (0 :1 /Г1 С) 1> 1,' е К} Д {/-1 (/) :| /-1 (/) |> 1,г е К2)| < ^
(через Д обозначена симметрическая разность множеств).
1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 17-5118051
Примерами Е -компактов спектральной высоты 3 являются, например, «две стрелки» Б и лексикографический квадрат отрезка [О,]]. Из основного результата данной статьи следует, что почти все нетривиальные слои любого допустимого вполне замкнутого отображения /: Б ^ К являются двоеточиями, которые склеиваются при стандартном проектировании Б на отрезок. Аналогично, почти все нетривиальные слои любого допустимого вполне замкнутого отображения / :[0,1]2 ^ К обязательно совпадают с «вертикальными отрезками» лексикографического квадрата [0,1]2.
В дальнейшем рассматриваются только компактные хаусдорфовы топологические пространства. Непрерывное сюръективное отображение /: X ^ К является вполне замкнутым тогда и только тогда, когда для любых двух непересекающихся замкнутых подмножеств Е1 и Е2 в X пересечение /(Е1) п /(Е2) конечно (см. [2],
предложение 1.6, с. 124). Это характеристическое свойство примем здесь за определение вполне замкнутости.
Теорема. Пусть / : X ^ К{, г = 1,2 , - вполне замкнутые отображения компакта X на метрические компакты Кг с метризуемыми слоями /), t е К{. Тогда
> 1,t е К2}<ю0.
|{(t) :| Л!-1 (t) |> 1, t е К} Д {/-1 (t) :| (t) |> 1, t е К2)|
Доказательство. Рассмотрим множество А = { : |/2 (/ 1 (t))| > 1} и докажем,
что оно не более чем счетно. Предположим противное. Тогда в К2 получим несчетное индексированное семейство неоднототечных замкнутых подмножеств {Б( = /2()): t е А}. Для этого семейства найдутся п е N и несчетное подмножество А1 с А , такие, что ШатБг >1 при t е А1. Множество Т = {Б( : t е А1}
п
имеет в ехр К2 предельную точку Б (здесь через ехр К2 обозначено пространство всех непустых замкнутых подмножеств в К2 с метрикой Хаусдорфа). Ясно, что
ШатБ >1. Возьмем в Б две различные точки р1, р2 и их окрестности Ор1, Ор2 в п
К2 с непересекающимися замыканиями. Поскольку Б - предельная точка Т , то, согласно определению метрики Хаусдорфа в ехр К2, множество
А2 =^е А1;Б( пОр1 Б( пОр2 Ф0] бесконечно. Рассмотрим в X два непересекающихся замкнутых подмножества Е = /2-1 (С1 (Ор^)), г = 1,2, где С1 (Орг) - замыкание множества Opi. По построению имеем: А2 с /¡(Е^ п /1(Е2), что противоречит вполне замкнутости отображения /1.
Итак доказано, что почти все слои отображения / содержатся в слоях отображения /2. Аналогично, почти все слои/2 содержатся в слоях/.
Покажем теперь, что любой слой /2 содержит не более чем счетное множество нетривиальных слоев /1. Предположим, что это не так и некоторый слой
/2-1 (5), 5 е К2, содержит несчетное множество слоев /1-1 ^), где | /1-1 ^) |> 1,
О вполне замкнутых отображениях компактов Федорчука
7
(е Е с К1,| Е |> ю0. Рассмотрим отображение
/1 I/2-1(4): /2-1(*) ^ /1(/2-1(*)).
Это отображение вполне замкнуто (см. [2], предложение 1.14, с.128), и все его слои Л-1 (0 нетривиальны при t е Е с /х(/2-1(^)),| Е |>ю0, откуда следует ([2], предложение 3.10, с. 137) неметризуемость /2-1(^). Получено противоречие. Таким образом, доказано, что:
1) множество слоев отображения /, которые не содержатся в слоях /2, не более чем счетно;
2) множество слоев отображения /2, не содержащихся в слоях /, также не более чем счетно, и каждый такой слой содержит не более чем счетное множество нетривиальных слоев /1 .
Следовательно, объединенное множество нетривиальных слоев /, упомянутых в 1) и 2), не более чем счетно. Остальные нетривиальные слои / содержатся в слоях /2, которые, в свою очередь, содержатся в слоях /. Таким образом, все эти слои / совпадают со слоями /2. Поменяв местами / и /2, получим аналогичное утверждение о нетривиальных слоях /2 . Теорема доказана.
Замечание. В формулировке теоремы речь идет только о нетривиальных слоях отображений, и это ограничение принципиально. Пусть / : X ^ К - допустимое вполне замкнутое отображение Е -компакта X спектральной высоты 3, и пусть
— 1 К
точка ^ е К такова, что | / (^) |= 2 0. Рассмотрим следующее разбиение компакта X:
Я = {/^): t е К,t фи{{х}: хе /"Ч^)}.
Фактор-пространство X / Я по этому разбиению является метрическим компактом, а факторное проектирование п: X ^ X / Я есть допустимое вполне замкнутое отображение (см. [2], с. 124). Но при этом все (тривиальные) слои п—1 ({х}), х е /—1 ), отличны от слоев отображения/
В заключение приведем пример двух допустимых вполне замкнутых отображений / : X ^ К{, / = 1,2 , Е -компакта X спектральной высоты 3, для которых
|{/1—1 ^): | /1—1« |> 1, t е К} Д {/—1 ^): | /—1 ^) |> 1, t е К2 )| = ^
В качестве X возьмем компакт «две стрелки» Б, и пусть /1: Б ^ I - стандартное
проектирование Б на отрезок. Возьмем любое счетное замкнутое подмножество Е с I и определим g : I ^ К как факторное отображение отрезка I, единственным нетривиальным слоем которого является Е. Легко проверить, что композиция /2 = g ° / является вполне замкнутым отображением, все слои которого метри-
зуемы. При этом для отображений /1 и /2 выполняется равенство (1).
В связи с доказанной теоремой можно сформулировать общий вопрос о «степени однозначности» разложения Е-компакта спектральной высоты а в Е-спектр длины а.
ЛИТЕРАТУРА
1. Иванов А.В. О наследственной нормальности F-бикомпактов // Математические заметки. 1986. Т. 39. Вып. 4. С. 606-611.
2. Федорчук В.В. Вполне замкнутые отображения и их приложения // Фундаментальная и прикладная математика. 2003. Т. 9. Вып. 4. С. 105-235.
Статья поступила 20.11.2017 г.
Gul'ko S.P., Ivanov A.V. (2017) ON FULLY CLOSED MAPPINGS OF FEDORCHUK COMPACTA. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika [Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics]. 50. pp. 5-8
DOI 10.17223/19988621/50/1
An F-compactum or a Fedorchuk compactum is a compact Hausdorff topological space that admits a decomposition into a special fully ordered inverse spectrum with fully closed neighboring projections. F-compacta of spectral height 3 are exactly nonmetrizable compacta that admit a fully closed mapping onto a metric compactum with metrizable fibers.
In this paper, it is proved that such a fully closed mapping for an F-compactum X of spectral height 3 is defined almost uniquely. Namely, nontrivial fibers of any two fully closed mapping of X into metric compacts with metrizable inverse images of points coincide everywhere, with a possible exception of a countable family of elements.
Examples of F-compacta of spectral height 3 are, for example, Aleksandrov's "two arrows" and the lexicographic square of the segment. It follows from the main result of this paper that almost all non-trivial layers of any admissible fully closed mapping are colons that are glued together under the standard projection of D onto the segment. Similarly, almost all nontrivial fibers of any admissible fully closed mapping necessarily coincide with the "vertical segments" of the lexicographic square.
Keywords: Fedorchuk compactum, inverse spectra, fully closed mapping.
GUL 'KO Sergey Porfiryevich (Doctor of Physics and Mathematics, Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation) E-mail: [email protected]
IVANOV Aleksandr Bladimirovich (Doctor of Physics and Mathematics, Institute of Applied Mathematics of Karelian Scientific Center of Russian Academy of Sciences, Petrozavodsk, Russian Federation) E-mail: [email protected]
REFERENCES
1. Ivanov A.V. (1986) Hereditary normality of F-bicompacta. Mathematical Notes. 39(4). pp. 332-334.
2. Fedorchuk V.V. (2006) Fully closed mappings and their applications. Journal of Mathematical Sciences. 136(5). pp. 4201-4292.
