Научная статья на тему 'О вполне замкнутых отображениях компактов Федорчука'

О вполне замкнутых отображениях компактов Федорчука Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
55
7
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
КОМПАКТ ФЕДОРЧУКА / ОБРАТНЫЙ СПЕКТР / ВПОЛНЕ ЗАМКНУТОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ / FEDORCHUK COMPACTUM / INVERSE SPECTRA / FULLY CLOSED MAPPING

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Гулько Сергей Порфирьевич, Иванов Александр Владимирович

F-компактом или компактом Федорчука называется компактное хаусдорфо-во топологическое пространство, допускающее разложение в специальный вполне упорядоченный обратный спектр с вполне замкнутыми соседними проекциями. F-компакты спектральной высоты 3 это в точности неметри-зуемые компакты, допускающие вполне замкнутое отображение на метрический компакт с метризуемыми слоями. Доказано, что такое вполне замкнутое отображение для F-компакта X спектральной высоты 3 определено почти однозначно. А именно, нетривиальные слои любых двух вполне замкнутых отображений X в метрические компакты с метризуемыми прообразами точек совпадают всюду, за исключением, может быть, счетного семейства элементов.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

On fully closed mappings of Fedorchuk compacta

An F-compactum or a Fedorchuk compactum is a compact Hausdorff topological space that admits a decomposition into a special fully ordered inverse spectrum with fully closed neighboring projections. F-compacta of spectral height 3 are exactly nonmetrizable compacta that admit a fully closed mapping onto a metric compactum with metrizable fibers. In this paper, it is proved that such a fully closed mapping for an F-compactum X of spectral height 3 is defined almost uniquely. Namely, nontrivial fibers of any two fully closed mapping of X into metric compacts with metrizable inverse images of points coincide everywhere, with a possible exception of a countable family of elements. Examples of F-compacta of spectral height 3 are, for example, Aleksandrov’s "two arrows" and the lexicographic square of the segment. It follows from the main result of this paper that almost all non-trivial layers of any admissible fully closed mapping are colons that are glued together under the standard projection of D onto the segment. Similarly, almost all nontrivial fibers of any admissible fully closed mapping necessarily coincide with the "vertical segments" of the lexicographic square.

Текст научной работы на тему «О вполне замкнутых отображениях компактов Федорчука»

2017

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика и механика

№ 50

МАТЕМАТИКА

УДК 515.12

Б01 10.17223/19988621/50/1

С.П. Гулько, А.В. Иванов

О ВПОЛНЕ ЗАМКНУТЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ КОМПАКТОВ ФЕДОРЧУКА1

Е-компактом или компактом Федорчука называется компактное хаусдорфо-во топологическое пространство, допускающее разложение в специальный вполне упорядоченный обратный спектр с вполне замкнутыми соседними проекциями. Е-компакты спектральной высоты 3 - это в точности неметри-зуемые компакты, допускающие вполне замкнутое отображение на метрический компакт с метризуемыми слоями. Доказано, что такое вполне замкнутое отображение для Е-компакта X спектральной высоты 3 определено почти однозначно. А именно, нетривиальные слои любых двух вполне замкнутых отображений X в метрические компакты с метризуемыми прообразами точек совпадают всюду, за исключением, может быть, счетного семейства элементов.

Ключевые слова: компакт Федорчука, обратный спектр, вполне замкнутое отображение.

Компактом Федорчука или Е-компактом называется компактное хаусдорфово топологическое пространство, допускающее разложение в специальный вполне упорядоченный обратный спектр (Е-спектр) с вполне замкнутыми соседними проекциями (см. [1]). Наименьшая длина такого спектра, дающего в пределе данный компакт X, называется спектральной высотой бЬ(Х) Е-компакта X. Спектральная высота любого неметризуемого Е-компакта больше либо равна 3. При этом бИ(Х) = 3 тогда и только тогда, когда существует вполне замкнутое отображение /: X ^ К на метрический компакт К с метризуемыми слоями /(/), t е К . (Такое вполне замкнутое отображение мы будем называть для краткости допустимым.) Таким образом, всякий Е-компакт спектральной высоты 3 изначально связан с некоторым допустимым вполне замкнутым отображением. В работе доказано, что такое отображение для любого Е-компакта X является почти единственным. А именно, если имеются два допустимых вполне замкнутых отображения / : X ^ К{,

I = 1,2 , компакта X в метрические компакты К{, то множество несовпадающих нетривиальных слоев этих отображений не более чем счетно:

|{ЛТ1 (0 :1 /Г1 С) 1> 1,' е К} Д {/-1 (/) :| /-1 (/) |> 1,г е К2)| < ^

(через Д обозначена симметрическая разность множеств).

1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 17-5118051

Примерами Е -компактов спектральной высоты 3 являются, например, «две стрелки» Б и лексикографический квадрат отрезка [О,]]. Из основного результата данной статьи следует, что почти все нетривиальные слои любого допустимого вполне замкнутого отображения /: Б ^ К являются двоеточиями, которые склеиваются при стандартном проектировании Б на отрезок. Аналогично, почти все нетривиальные слои любого допустимого вполне замкнутого отображения / :[0,1]2 ^ К обязательно совпадают с «вертикальными отрезками» лексикографического квадрата [0,1]2.

В дальнейшем рассматриваются только компактные хаусдорфовы топологические пространства. Непрерывное сюръективное отображение /: X ^ К является вполне замкнутым тогда и только тогда, когда для любых двух непересекающихся замкнутых подмножеств Е1 и Е2 в X пересечение /(Е1) п /(Е2) конечно (см. [2],

предложение 1.6, с. 124). Это характеристическое свойство примем здесь за определение вполне замкнутости.

Теорема. Пусть / : X ^ К{, г = 1,2 , - вполне замкнутые отображения компакта X на метрические компакты Кг с метризуемыми слоями /), t е К{. Тогда

> 1,t е К2}<ю0.

|{(t) :| Л!-1 (t) |> 1, t е К} Д {/-1 (t) :| (t) |> 1, t е К2)|

Доказательство. Рассмотрим множество А = { : |/2 (/ 1 (t))| > 1} и докажем,

что оно не более чем счетно. Предположим противное. Тогда в К2 получим несчетное индексированное семейство неоднототечных замкнутых подмножеств {Б( = /2()): t е А}. Для этого семейства найдутся п е N и несчетное подмножество А1 с А , такие, что ШатБг >1 при t е А1. Множество Т = {Б( : t е А1}

п

имеет в ехр К2 предельную точку Б (здесь через ехр К2 обозначено пространство всех непустых замкнутых подмножеств в К2 с метрикой Хаусдорфа). Ясно, что

ШатБ >1. Возьмем в Б две различные точки р1, р2 и их окрестности Ор1, Ор2 в п

К2 с непересекающимися замыканиями. Поскольку Б - предельная точка Т , то, согласно определению метрики Хаусдорфа в ехр К2, множество

А2 =^е А1;Б( пОр1 Б( пОр2 Ф0] бесконечно. Рассмотрим в X два непересекающихся замкнутых подмножества Е = /2-1 (С1 (Ор^)), г = 1,2, где С1 (Орг) - замыкание множества Opi. По построению имеем: А2 с /¡(Е^ п /1(Е2), что противоречит вполне замкнутости отображения /1.

Итак доказано, что почти все слои отображения / содержатся в слоях отображения /2. Аналогично, почти все слои/2 содержатся в слоях/.

Покажем теперь, что любой слой /2 содержит не более чем счетное множество нетривиальных слоев /1. Предположим, что это не так и некоторый слой

/2-1 (5), 5 е К2, содержит несчетное множество слоев /1-1 ^), где | /1-1 ^) |> 1,

О вполне замкнутых отображениях компактов Федорчука

7

(е Е с К1,| Е |> ю0. Рассмотрим отображение

/1 I/2-1(4): /2-1(*) ^ /1(/2-1(*)).

Это отображение вполне замкнуто (см. [2], предложение 1.14, с.128), и все его слои Л-1 (0 нетривиальны при t е Е с /х(/2-1(^)),| Е |>ю0, откуда следует ([2], предложение 3.10, с. 137) неметризуемость /2-1(^). Получено противоречие. Таким образом, доказано, что:

1) множество слоев отображения /, которые не содержатся в слоях /2, не более чем счетно;

2) множество слоев отображения /2, не содержащихся в слоях /, также не более чем счетно, и каждый такой слой содержит не более чем счетное множество нетривиальных слоев /1 .

Следовательно, объединенное множество нетривиальных слоев /, упомянутых в 1) и 2), не более чем счетно. Остальные нетривиальные слои / содержатся в слоях /2, которые, в свою очередь, содержатся в слоях /. Таким образом, все эти слои / совпадают со слоями /2. Поменяв местами / и /2, получим аналогичное утверждение о нетривиальных слоях /2 . Теорема доказана.

Замечание. В формулировке теоремы речь идет только о нетривиальных слоях отображений, и это ограничение принципиально. Пусть / : X ^ К - допустимое вполне замкнутое отображение Е -компакта X спектральной высоты 3, и пусть

— 1 К

точка ^ е К такова, что | / (^) |= 2 0. Рассмотрим следующее разбиение компакта X:

Я = {/^): t е К,t фи{{х}: хе /"Ч^)}.

Фактор-пространство X / Я по этому разбиению является метрическим компактом, а факторное проектирование п: X ^ X / Я есть допустимое вполне замкнутое отображение (см. [2], с. 124). Но при этом все (тривиальные) слои п—1 ({х}), х е /—1 ), отличны от слоев отображения/

В заключение приведем пример двух допустимых вполне замкнутых отображений / : X ^ К{, / = 1,2 , Е -компакта X спектральной высоты 3, для которых

|{/1—1 ^): | /1—1« |> 1, t е К} Д {/—1 ^): | /—1 ^) |> 1, t е К2 )| = ^

В качестве X возьмем компакт «две стрелки» Б, и пусть /1: Б ^ I - стандартное

проектирование Б на отрезок. Возьмем любое счетное замкнутое подмножество Е с I и определим g : I ^ К как факторное отображение отрезка I, единственным нетривиальным слоем которого является Е. Легко проверить, что композиция /2 = g ° / является вполне замкнутым отображением, все слои которого метри-

зуемы. При этом для отображений /1 и /2 выполняется равенство (1).

В связи с доказанной теоремой можно сформулировать общий вопрос о «степени однозначности» разложения Е-компакта спектральной высоты а в Е-спектр длины а.

ЛИТЕРАТУРА

1. Иванов А.В. О наследственной нормальности F-бикомпактов // Математические заметки. 1986. Т. 39. Вып. 4. С. 606-611.

2. Федорчук В.В. Вполне замкнутые отображения и их приложения // Фундаментальная и прикладная математика. 2003. Т. 9. Вып. 4. С. 105-235.

Статья поступила 20.11.2017 г.

Gul'ko S.P., Ivanov A.V. (2017) ON FULLY CLOSED MAPPINGS OF FEDORCHUK COMPACTA. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika [Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics]. 50. pp. 5-8

DOI 10.17223/19988621/50/1

An F-compactum or a Fedorchuk compactum is a compact Hausdorff topological space that admits a decomposition into a special fully ordered inverse spectrum with fully closed neighboring projections. F-compacta of spectral height 3 are exactly nonmetrizable compacta that admit a fully closed mapping onto a metric compactum with metrizable fibers.

In this paper, it is proved that such a fully closed mapping for an F-compactum X of spectral height 3 is defined almost uniquely. Namely, nontrivial fibers of any two fully closed mapping of X into metric compacts with metrizable inverse images of points coincide everywhere, with a possible exception of a countable family of elements.

Examples of F-compacta of spectral height 3 are, for example, Aleksandrov's "two arrows" and the lexicographic square of the segment. It follows from the main result of this paper that almost all non-trivial layers of any admissible fully closed mapping are colons that are glued together under the standard projection of D onto the segment. Similarly, almost all nontrivial fibers of any admissible fully closed mapping necessarily coincide with the "vertical segments" of the lexicographic square.

Keywords: Fedorchuk compactum, inverse spectra, fully closed mapping.

GUL 'KO Sergey Porfiryevich (Doctor of Physics and Mathematics, Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation) E-mail: gulko@math.tsu.ru

IVANOV Aleksandr Bladimirovich (Doctor of Physics and Mathematics, Institute of Applied Mathematics of Karelian Scientific Center of Russian Academy of Sciences, Petrozavodsk, Russian Federation) E-mail: alvlivanov@krc.karelia.ru

REFERENCES

1. Ivanov A.V. (1986) Hereditary normality of F-bicompacta. Mathematical Notes. 39(4). pp. 332-334.

2. Fedorchuk V.V. (2006) Fully closed mappings and their applications. Journal of Mathematical Sciences. 136(5). pp. 4201-4292.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.