О возникновении конвекции в узких полостях с границами разной теплопроводности Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2013 Серия: Физика Вып. 3 (25)

УДК 536.25

О возникновении конвекции в узких полостях с границами разной теплопроводности

А. Ф. Глухов

Пермский государственный национальный исследовательский университет 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 E-mail: glu@psu.ru

Теоретически и экспериментально найдены критические числа Релея для возникновения конвекции при нагреве снизу в узких ячейках и каналах с границами разной теплопроводности. Когда одна боковая граница - теплоизолированная, а другие - высокотеплопроводные.

Ключевые слова: тепловая конвекция; ячейка Хеле-Шоу; связанные каналы

1. Введение

В узких полостях - прямоугольных ячейках размерами 2а?х/х/г и каналах сечением 2с1*2с1 и высотой к, число Релея, определяющее интенсивность конвекции, разумно выражать через самый маленький размер полости - полутолщину ячейки или канала й. Это связано с тем, что на малом размере быстрее происходит потеря энергии конвективного течения за счет вязкого трения и теплопроводности. Другие геометрические параметры полости при этом тоже влияют на конвективные течения жидкостей, но в меньшей степени. В классической работе [1] получен спектр критических чисел Релея для возникновения конвекции жидкости в узкой прямоугольной ячейке, так называемой ячейке Хеле-Шоу, при подогреве снизу. Предполагалось, что широкие грани ячейки теплопроводны, но на них поддерживается постоянный вертикальный градиент температуры, а возмущения температуры затухают.

В описании экспериментов по конвекции в узкой вертикальной ячейке с широкими металлическими гранями [2] сообщается о том, что критическое число Релея оказалось близко к теоретическому значению. Однако в других опытах экспериментаторы часто заменяют одну металлическую стенку на стенку из стекла или плексигласа для визуальных наблюдений [1, 3]. Экспериментальное критическое число Релея Кас в этих опытах отличается от теории, поэтому результаты многочисленных экспериментов по конвекции бинарных смесей [4-6] и магнитных жидкостей [7] в каналах и ячейках представляются

обычно без использования чисел Релея На . Вместо этого применяют нормированное число Яа/Яас причем Кас берется из этого же эксперимента. Такой прием позволяет неплохо проводить сравнение с теорией, используя понятие «надкри-тичность». Однако для полноты картины роль сильно отличающихся тепловых условий на боковых границах вертикальной ячейки или вертикальных каналов требует прояснения, так как в конвективных течениях бинарных смесей и магнитных жидкостей ключевую роль играют поперечные профили температурного поля. Именно эти профили вызывают термодиффузионное разделение компонентов бинарной смеси в узких полостях, что приводит к весьма необычным эффектам, например, к периодической смене направления течения вблизи порога неустойчивости равновесия или к подкритическим течениям виде непериодических кратковременных конвективных всплесков.

2. Теория

2.1. Уравнения конвекции

Для решения задачи используем уравнения конвекции одно компонентной жидкости [8]:

= + + РёРТу ,

са дТ

— + 0УГ = уАТ + А-и ,

ы л

где р,г!^,/3,х - плотность, вязкость, ускорение свободного падения, коэффициент теплового расширения и температуропроводность соответственно, р - давление, V - скорость, Т - отклонение

©Глухов А. Ф., 2013

температуры от теплопроводного распределения, А - коэффициент в линейном распределении температуры (То-А-у) на боковых вертикальных стенках ячейки или канала.

2.2. Узкая вертикальная ячейка

Расчетная схема ячейки и оси координат показаны на рис. 1. В отличие от [1] предполагается, что одна широкая стенка является теплоизолированной, а другая - высокотеплопроводной. Это приводит к необходимости использовать иной профиль температуры поперек ячейки (фрагмент 2), в сравнении с прежним профилем (фрагмент 1). В остальных деталях схемы совпадают.

Система линейных уравнений конвекции для возмущений равновесия такова:

АГ + ^ = Рг-Г(5 где ц/ = цг{х, у, г) функция тока, определяющая компоненты V в плоскости широких граней:

ди/ дш

°х =-->°у =-'

ду дх

также использованы число Релея, Прандтля и другие обозначения:

Яа =

кг

V

Рг = —, со = -X

(Я

д2ц/ д2ц/л

- +

дх1 ду1

>т, .т, • ПК ■ тп 712 -Я!

т = т • бш—х-вт-у-сое--е ,

Ь Н 2

пп . тп я(г-1) _л,

Т = Т- сое—х-вт-у-сое--е .

Ь Н 4

(2.2)

Подставим возмущения (2.2) в уравнения (2.1) и осредним их поперек ячейки в соответствии с

методом Галеркина. Интегрируя первое из уравнений с весом соъ^жгИ), а второе - с весом со$(л(:-1)/4) получаем алгебраическую систему для амплитуд возмущений, решение которой дает спектр критических чисел Релея:

Я„„ =

4п 4 т

—^ +—^+1 I2 Н

4п 4т 1 + + 4

(2.3)

16

8л/2

V Зя-

V У

Н2

п I/ ■ т /:

При типичном отношении длины к высоте Ь/Н = 0.5 и /,, II » 1 имеем в ячейке с одной теплоизолированной широкой гранью критическое число для одно вихревого течения (п = 1, т = 1) меньше классического варианта почти в шесть раз:

Яас = (5тг4/б4) • (Зтг/16л/2)2 = 1.33, вместо прежнего значенияЯас = 5к '/64 = 7.61.

Возмущения температуры затухают на одной из широких граней: Т = 0, г = Другая широкая грань теплоизолирована и там обращается в нуль тепловой поток - именно это условие отличает настоящую постановку задачи от классического варианта:

дТ А

— = 0,г = +1.

дг

Остальные условия на границах остались без изменений:

ь = 0,г = ±\;

диу дТ

= 0,1^=0,— = о, х = 0,1;

' х ~ -л ~ ~~

ох ох

~~ = = 0,Т = 0,у = 0,Н.

ду

Структура пространственных возмущений функции тока и температуры, удовлетворяющих граничным условиям, отличается от прежней схемы только профилем температуры поперек ячейки:

Н

1Л|

-1 1

Рис. 1. Расчетная схема конвективной ячейки, 1 - поперечный профиль температуры с теплопроводными гранями [1], 2 - профиль, когда одна широкая грань теплоизолированная

2.3. Связанные вертикальные каналы конечной высоты

Задача о нелинейной конвекции в связанных вертикальных каналах квадратного сечения конечной высоты Н при подогреве снизу решена автором в [3]. Предполагалось, что все четыре боковые стенки каждого из каналов - высокотеплопроводные, т.е. возмущения температуры на стенке равны нулю, но вертикальный линейный температурный профиль, соответствующий подогреву снизу, поддерживается постоянным. При этом критическое число Релея для течения по замкнутому контуру (подъем жидкости вверх в одном канале и опускание ее вниз в другом) определяется выражением

(

Ка=Ка!

1-

V

Яа

2-72 , ( яН

Л

(2.4)

яН ^ = 4.

В экспериментальной части обсуждаемой работы три стенки канала были латунными, т.е. высокотеплопроводными Л « 100 Вт • м-1 К"1, а одна из стенок была изготовлена из плексигласа с низкой теплопроводностью 0.2 Вт-м^К"1. Для сравнения: теплопроводность воды 0.6 Вт • м-1 К"1.

Поэтому экспериментальное критическое число Релея оказалось ниже теоретического. Причины расхождения теории и эксперимента были названы, но количественных расчетов с целью устранить несоответствие не проводилось. Восполним этот пробел.

Расчетная схема каналов показана на рис. 2. Каналы узкие: Н =ЪШ » 1, поэтому используем приближение прямолинейных траекторий, т.е. полагаем, что скорость имеет только одну компоненту, направленную вдоль оси у. В одном канале скорость положительна (течение вверх), а в другом канале - отрицательна (течение вниз). Соединительные участки каналов предполагаем короткими, поэтому температура при переходе из одного канала в другой меняется непрерывно и гладко.

"А

н

. ЯХ Я 2

и = М-51П--СОв-

2 2

. ЯХ П(2-Х)

Т = 0(у) • БШ--сое-.

2 4

(2.5)

В соответствии с методом Галёркина подставим профили (2.5) в предварительно обезразме-ренные уравнения конвекции и осредним последние по сечению каналов с соответствующими весами. Уравнение для скорости проинтегрируем по замкнутому контуру. Получающиеся при этом одномерные нелинейные уравнения конвекции для и и ()(у) с точностью до коэффициентов совпадают с полученными в [3]. Уравнения имеют стационарное решение в виде неявной зависимости скорости от числа Релея. В пределе и —> 0 получаем критическое число Релея для возникновения конвективной циркуляции. При этом зависимость На от Н остается такой же, как в формуле (2.4). Линейные уравнения для амплитуд нейтральных возмущений

я2 Рг

2 Я 13л-

8 ^ Рг (5я2Л — —и - -

3я)Н [32 )

Яав = 0

<9 = 0

также позволяют получить критическое число На, справедливое для высоких каналов Н » 1

Дя. =

5я Г 3я 64

(2.6)

/г

Рис. 2. Расчетная схема связанных каналов конечной высоты Н

Три боковые стенки каждого канала предполагаются высокотеплопроводными, т.е., например, для правого канала возмущения затухают: Т = 0 при х = 0, х = 2иг = -1.Ана четвертой стенке, при 2=1, обращается в нуль тепловой поток ёТ 1сЬ = 0, что отличает настоящую схему от [3]. Профили температуры и скорости в горизонтальном сечении каналов можно записать в виде, удовлетворяющем этим граничным условиям, так:

В описываемой схеме получается Наг =10.9, а в каналах со всеми теплопроводными стенками было На = 24.5. Видно, что критическое число Релея для каналов квадратного сечения меняется примерно вдвое, тогда как замена одной стенки из двух у вертикальной прямоугольной ячейки меняет критическое число в шесть раз.

В описанных ниже экспериментах использовалась также каналы с прямоугольным горизонтальным сечением 2с/х/. т.е. каждый канал был вытянут вдоль оси г от размера 2с1 до размера /. Такая схема удобна для проведения оптических измерений тепловых и концентрационных полей путем просвечивания каналов вдоль г.

Возможны две реализации такой схемы: в одной встречные потоки разделены теплопроводной стенкой, расположенной прих = 0. Так как I» йи по причине того, что теперь боковые стенки (г = ±1) стали узкими и теплоизолированными, можно считать поля Тя и однородными вдоль г:

.ях . ях

и = М-51П —, Т = в(у)-вш—.

2 2

Критическое число Релея для этого случая Да

00 16

Во второй схеме разделительная стенка сделана теплоизолированной. При этом профиль скорости

останется прежним, а профиль температуры поперек узкой части сечения будет иным, чтобы удовлетворить граничным условиям. Например, профиль для правого канала

Т = в{у)- соэ^.

Критическое число Релея в этом случае

.4 / * л2

Зж

(2.7)

1б{\(ф) ' Для высоких каналов Н ■■> 1 критические числа отличаются примерно в шесть раз, Кат = 1.06 для теплоизолированной разделительной стенки и Кат =6.09, если стенка высокотеплопроводная.

3. Эксперимент

3.1. Конвекция в узкой ячейке с двумя металлическим широкими гранями

В данном параграфе описываются эксперименты с ячейкой, обе широкие грани которой изготовлены из металла с высокой теплопроводностью Л = 200 Вт -м^К"1.

сопротивлением 23 Ом. Резисторы прижаты к теплообменнику при помощи радиаторной площадки для улучшения теплового контакта. Разность температур поддерживается

терморегулятором 7 типа Термодат-16ЕЗ. Питание на нагреватель подается от источника постоянного тока 11. Использовались напряжения питания от 10 до 24 В. Входной сигнал для регулятора дает медь-константановая термопара 6 с диаметром проводов 0.1 мм. Спаи дифференциальной термопары помещены в сверления теплообменников глубиной 10 мм и диаметром 1 мм. Сверления перед помещением спая заполняются теплопроводной пастой для минимизации систематической ошибки из-за оттока тепла по проводам. Интенсивность конвекции определяется по показаниям манганин-константановой термопары 8 с диаметром манганинового провода 0.05 мм, которая подключается к микровольметру 3 типа Термодат-38ВI. В предварительных опытах использовалась медь-константановая термопара из проводов 0.1 мм. Приборы Термодат снабжены интерфейсом для обмена информацией с компьютером через и8В-порт. Подключение к и 8 [3-по рту происходит через конвертор 4 СК-201. Приборы Термодат и конвертор изготовлены предприятием «Системы контроля», г.Пермь. Опрос показаний датчиков производится при помощи авторских программ ТшшйаШей и Тегтос1а1Е1еас1ег. Последнее приложение используется также для настройки микровольтметра.

Рис. 3. Фотография ячейки с дюралюминиевыми широкими гранями.

Ячейка (рис. 3) образована двумя пластинами из дюралюминия толщиной 4 мм, высотой 30 мм и длиной 24 мм. В каждой из пластин выфрезерована канавка глубиной 1.1 мм, так, что при соединении пластин образуется щель шириной 2с1 = 2.2 мм. Каждая пластина сверху и снизу заканчивается массивным утолщением-теплообменником. Схема экспериментальной установки показана на рис. 4.

К верхнему теплообменнику прижат радиатор обдуваемый вентилятором 1. К нижнему теплообменнику прикреплены два резистора, выполняющие роль нагревателя 10 с

Рис. 4. Схема экспериментальной установки по изучению конвекции в узкой

С узких боковых сторон щелевая ячейка ограничена плексигласовыми вставками. Вставки входят в щель на глубину 4 мм. Посередине каждой плексигласовой вставки по горизонтали просверлено отверстие, через которое вводится спай термопары 8. Также имеются сверления, в которых закреплены штуцеры для заливочных трубок. На одной вставке такой штуцер

расположен снизу, а на другой сверху, т.е. заливочные отверстия расположены по диагонали ячейки. Это сделано для удобного удаления пузырьков воздуха при заливке жидкости.

Таким образом, объем ячейки для конвекции ограничен с широких боковых граней дюралюминиевыми стенками, с узких боковых граней - плексигласовыми вставками, а сверху и снизу ограничен дюралюминиевыми

теплообменниками. По тепловым свойствам границ ячейка максимально соответствует теоретической модели [1] и имеет размеры 2(1x1x11. равные 2.2x16*30мм3.

На рис. 5 показан график показаний сигнальной термопары в в зависимости от разности температур. Точки графика получены в опытах с водой как при постепенном уменынениии разности температур, так и при последующем увеличении этой разности. Поскольку температура верхнего теплообменника обычно принимала температуру комнаты, а нижний теплообменник был на —10 °С теплее, то средняя температура воды в ячейке была выше комнатной примерно на 5°. Конвективный параметр воды при средней температуре 25°С

равен ^ = 2.3 -1 (»" АГ 'см 1.

Ш

0.3 -л

0.2

0.1 -

О-1

о,°с

Д7,°С

8

16

3.2. Конвекция в узкой ячейке с разными теплопроводностями широких граней

На рис. 6 показан аналогичный график, полученный в ячейке, одна из широких граней которой сделана из плексигласа, а другая - из дюралюминия. Размеры ячейки 2(1= 1.5 мм, /? = 32 мм, / = 17 мм. Схема установки вполне аналогична рис. 3 и рис. 4. По вертикальной оси отложен безразмерный сигнал термопары С/АТ. Подобрана сглаживающая кривая Критическая разность в этих экспериментах АТС = 5.7°С, а критическое число Релея Кас = 1.4, т.е. примерно в шесть раз меньше, чем в описанной выше металлической ячейке. Так же в шесть раз отличается это число от теоретического значения [1], но изложенная выше теория с учетом разных теплопро-водностей границ дает по формуле (2.3) Кас = 1.43, т.е. имеет место очень хорошее совпадение с экспериментом.

0.1 п

0.05

в/АТ

Рис. 5. Возникновение конвекции в ячейке размерами 2йх1хЪ = 2.2x16x30 мм с широкими гранями аз металла

Малая толщина ячейки сильно затрудняет измерение конвективных разностей температур. Величина конвективных искажений поля состаляет десятые доли градуса, поэтому наблюдается значительный разброс точек. По этой причине критическая разность определена только с точностью до одной значащей цифры АТС = 8°С, и критическое число Релея равно Кас = 9. Тем не менее, близость к теоретическому значению Кас = 8.19 [1] следует признать хорошей. Методом визуальной минимизации отклонений

экспериментальных точек от сглаживающей линии подобраны параметры кривой

Рис. 6. Возникновение конвекции в ячейке размерами 2(1x1x11 = 1.5x17*32 мм с разными теплопроводностями широких граней. Фрагмент изображает

горизонтальное сечение ячейки (темным показан плексиглас, светлым - металл)

3.3. Конвекция в каналах квадратного сечения

На рис. 7(2) показан график, описывающий конвекцию в связанных вертикальных каналах квадратного сечения 3.2x3.2 мм2 высотой И = 50 мм.

Экспериментальная кювета изготовлена из латуни и подробно описана, например в [3]. В настоящее время в установке заменена система температурных измерений и метод управления разностью температур. Вместо жидкостных термостатов для поддержания разности температур применены электрический нагреватель с терморегулятором Термодат-16, а на верхнем теплообменнике установлен обдуваемый вентилятором радиатор. То есть схема практически аналогична показанной на рис. 4.

Критическая разность для воды оказалась равна ЛТс = 6.4°С, а Кас = 19. Теоретическое значение для каналов названной геометрии с одной плексигласовой стенкой получается равным Кас = 10.9 -формула (2.6) с учетом (2.4).

3.4. Каналы прямоугольного сечения

В настоящей работе был использован еще один вид связанных каналов с прямоугольным сечением. Сечение в горизонтальной плоскости было таким, что один из размеров заметно превышал другой: 2с! = 1.3 мм и I = 11 мм. Высота каналов А составляла 20 мм. Каналы с восходящим и нисходящим потоками были разделены плексигласовой низкотеплопроводной стенкой толщиной 1 мм. Предполагалось проведение оптических измерений температурных и концентрационных полей путем просвечивания каналов по горизонтали вдоль широкой стенки.

На рис. 7(1) показан график конвекции воды в таких каналах. Критическая разность равна 5.0 °С, а критическое число Рслся Нас = 1.0.

4 7 10

Рис. 7. Конвекция в связанных каналах. На фрагментах показаны горизонтальные сечения, темным выделены плексигласовые стенки, светлым металлические; 1 - каналы С прямоугольным сечением JJx/xi 1.3*11*20 мм3; 2 — каналы с квадратным еечением 2dx2d*h = 3.2x3.2*50 мм3

Видно, что критическое число Релея совсем не близко ни к Rac для каналов, ни к Rac для ячеек. Но формула (2.7) с учетом (2.4) дает Rac = 1.09, что удивительным образом практически совпадает с экспериментальным результатом.

Можно отметить также одну особенность результатов: на графике 1 не наблюдается корневого закона. Причина этого факта пока не выяснена.

4. Сравнение теории и экспериментов

Экспериментальные и теоретические результаты по определению критических параметров для возникновения конвекции при различных тепловых условиях на боковых границах ячеек или ка-

налов сведены в таблицы (табл. 1 и табл. 2). Совпадение теории и эксперимента в случае ячеек и каналов прямоугольного сечения следует признать очень хорошим, отклонение не превышает Прежде без учета соответствующих эксперименту условий на боковых границах разница доходила до шести раз.

Для каналов квадратного сечения различие эксперимента и новой теории составило почти два раза, - и это повод для анализа параметров установки и ее соответствия теоретической модели. На рис. 8 показаны вертикальные сечения ячеек и каналов в экспериментах. Обращает на себя внимание то, что температурный градиент в случае каналов квадратного сечения 3 создается только в части латунной сгонки высотой /?* = 40 мм, тогда как высота самих каналов /? равна 50 мм. То есть область, где действует подъемная сила 2*/?* = 80 мм, короче области с трением 2+ (2 = 120 мм (/* = 6

мм - расстояние между центрами каналов). В теоретической модели эти длины равны. Кроме того, теплоизолированная стенка П крепится так, что ожидать на ней линейного вертикального профиля температуры не приходится. В отличие, например, от ячейки 1 или каналов 2, где обеспечен хороший тепловой контакт плексигласа П с теплообменниками вверху и внизу. По-видимому, именно эти особенности кюветы 3 и привели к расхождению с теорией.

1 2 3

Рис. 8. Вертикальные сечения кювет в эксперименте; 1 - ячейка с одной стенкой из оргстекла П; 2 - каналы прямоугольного сечения, разделенные вертикальной стенкой из оргстекла; 3 - каналы квадратного сечения

5. Выводы

Безобидная, на первый взгляд, замена одной вертикальной металлической стенки на низкотеплопроводную из оргстекла приводит к существенному изменению температурных полей и критических условий для возникновения конвекции при подогреве жидкости снизу в узких вертикальных ячейках или каналах. В работе показано, что учет реальных тепловых условий на границах

позволяет согласовать результаты расчетов критических чисел Релея с экспериментом.

Таблица 1. Критические числа Релея в ячейках

Ячейка 2dx¡xh, мм Обе широкие грани металл 2.2x16x30 Одна грань -плексиглас, другая - металл 1.5x17x32

LxH 15x27 23x43

Теория, Rac 8.19 [1] 1.43

Эксп., Rac 9 7.9 [2] 1.4

Вода, А Тс, °C 8 5.7

Ra со 5 ж" 64 7.61 5л-4 Í Зж Y 64 J 1.33

Таблица 2. Критические числа Релея в каналах

Автор благодарит Демина В. А. за полезные

обсуждения и помощь в подготовке статьи.

Список литературы

1. Любимое Д. В., Путин Г. Ф, Чернатынский

B. Я. Конвекция в ячейке Хеле-Шоу при подогреве снизу // Гидродинамика. Вып. 10. Пермский педагогический институт. Пермь, 1977. С 3-14.

2. Катанова Т. Я, Путин Г. Ф. Надкритические движения в подогреваемом снизу вертикальном слое // Гидродинамика. Вып. 9. Пермский педагогический институт. Пермь, 1976. С. 28-38.

3. Глухое А. Ф., Зорин С. В., Путин Г. Ф., Петухо-ва Е. С. Тепловая конвекция в связанных вертикальных каналах конечной высоты // Конвективные течения. Пермский педагогический институт. Пермь, 1985. С. 24-31.

4. Demin V. A., Glukhov A. F. Thermal convection of binary mixes in thin channels // Lecture Notes of VIII International Meeting on Thermodiffusion. Jülich, Germany. 2008. P. 187-195.

5. Глухое А. Ф., Демин В. А., Путин Г. Ф. Разделение смесей и тепломассоперенос в связанных каналах // Письма в Журнал технической физики. 2008. Т. 34. Вып. 17. С. 45-51.

6. Глухое А. Ф., Демин В. А. Тепловая конвекция бинарных смесей в вертикальных слоях и каналах при подогреве снизу // Вестник Пермского университета. Серия: Физика. 2009. Вып. 1(27).

C. 16-25.

7. Глухое А. Ф., Демин В. А., Попов Е. А. Тепловая конвекция магнитной наносуспензии в узких каналах // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. 2013. № 1. С. 41-61.

8. Гершуни Г. 3., Жухоеицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.

Канал 2dxlxh, мм Квадрат в сечении, одна стенка -плексиглас 3.2x3.2x50 Прямоугольник в сечении, разделяет плексиглас 1.3x11x20

LxH Я=31 Я=31

Теория, Rac 10.9 1.09

Эксп., Rac 19 21 [3] 1.0

Вода, А Тс, °С 6.4 5.0

Ra со 5ж4ÍЗяЛ2 64 [ 8 J 10.6 пЧ Зж у 16 [164/2 J 1.06

On convection excitation in thin cavities with the boundaries of different thermal conductivity

A. F. Glukhov

Perm State University, Bukirev St. 15, 614990, Perm

Critical Rayleigh numbers characterizing convection excitation in thin cavities and channels which have been heated from below and have boundaries of different thermal conductivity are found experimentally and theoretically. The special case is considered when one vertical boundary is heat-insulated while other walls have high thermal conductivity.

Keywords: thermal convection; Hele-Shaw cell; connected channels