О возможности усиления неравенства Либа—Тирринга для систем функций специального вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 517.518.36

О ВОЗМОЖНОСТИ УСИЛЕНИЯ НЕРАВЕНСТВА ЛИБА-ТИРРИНГА ДЛЯ СИСТЕМ ФУНКЦИЙ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

Д. С. Барсегян1

В работе доказывается усиление неравенства Либа-Тирринга для систем функций специального типа методом стандартного аппарата Фурье.

Ключевые слова: неравенство Либа-Тирринга, система Радемахера, неравенство Литл-вуда-Пэли, преобразование Фурье, ортонормированные системы.

A strengthening of the Lieb-Thirring inequality for systems of functions of special type is proved by the standard Fourier technique.

Key words: Lieb-Thirring inequality, Rademacher's system, Littlewood-Paley's inequality, Fourier transform, orthonormal systems.

В связи с исследованием вопросов спектрального анализа в 1976 г. Либом и Тиррингом [1] была доказана следующая

Теорема. Для произвольной ортонормированной системы Ф = {^j}N=i С L2(R2) имеет м,ест,о

неравенство

N

j j2

j=1

N

/ РФ2dxdy < cV 112• (!)

Jr2

N

Здесь и ниже рф = 1р2(х,у), С — абсолютная постоянная и, как обычно, = ^щ)-3 = 1

Для функции f £ Ь2(Е2) определим преобразование Фурье

2п }в?

Тогда неравенство (1) может быть преобразовано к виду

N

/ p<2dxdy ^ С^ / (x2 + y2)\(pj\2dxdy• Jr2 j=[J R2

В дальнейшем серия неравенств типа Либа-Тирринга для ортонормированных систем была установлена многими авторами(см., в частности, [2-4]).

Б. С. Кашиным был поставлен следующий вопрос: верно ли, что для любой ортонормированной системы Ф справедлива оценка

N

/ рф dxdy ^ СУ2 \ху\\фэ|2(х,у) dxdy (2)

с некоторой абсолютной постоянной?

Автором (см. [5]) было доказано, что в общем случае такое усиление невозможно. Однако, как показано ниже, для систем специального вида неравенство (2) имеет место.

Теорема. Существует такая абсолютная постоянная С, что для произвольной системы действительнозначных функций Ф = (£)из(ц)3=1> где {^з^ ^2(Я) — ортонормированная система, а {из}^=1 — нормированная система, выполняется неравенство

N

lR2 j=[J R2

pldÇdn < С^ \Ы\Ф j и j \

1 Барсегян Диана Смбатовна — асп. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ; e-mail:

dianabar@bk.ru.

Для доказательства нам потребуются два известных утверждения из теории функций и одна лемма. 1) Пусть 1 ^ р< сю и фз е Ьр(Е2), 1 < 3 < N. Тогда [6]

„1 N

С^Р^Рф2\\1р(Д2) < / \\ Е Гз{г)фз\\РЬР(в2< с2(р^рЗ/2\\£р(Д2), 70 3=1

где {гз (^N=1 — система Радемахера, а С1(р) > 0.

2) Пусть 1 ^ р < ю и I е ЬР(Е2), 1 ^ з ^ N. Для V и в, отличных от нуля, введем обозначение

(3)

¿^(I) := Iе

г(^х+пу)

й£ йп,

где

А„в = {2^—1 < £ 8§п V < 2^} х {2|в|—1 < п в< 21в1}.

Если V = 0, но в = 0, будем считать, что

¿0,^ (I) = / Iе*х+Г1У й£йп

./[-1,0]х{21в1-1^п 13<2\Р\} Также, если в = 0, но V = 0, считаем

+

'[0,1]х{21<91-1^п /3<2Щ

Iе^х+пу й^йп

¿2,о(1)

'{2И-1 V<2И}х[-1 , 0]

Когда V = в = 0, т.е.

¿0,0(1) =

Iег5х+пу б^йп

+

1{2\в\-1^п^<21^1 }х [0,1]

Iег5х+пу й^йп

[ 1,1]2

I ег(5х+пу) й£ йп,

имеют место следующие неравенства Литлвуда-Пэли [7]:

СШ!Ь (Я2)

<

Е ^сш

1/2

<

ЬР(Я2)

с4(р) \ i\\ьр(Я2)

(4)

с некоторой постоянной Сз(р) > 0, не зависящей от I. Пусть I е Ь2(К). Тогда

¿V (I) := / ^^ где Аи = {21Vl—1 ^ £ 8§п V < 2^}, если V = 0 и

г(5х+пу)

й£ йп,

¿0(I)

'[—1,0]

I ег(5х+пу) й£

+

[0,1]

Iег(5х+пу) й£

Лемма. Для произвольной ортонормированной системы Ф = {^з С Ь2(К) имеет место нера-

венство

N

Е^ (ъ)

3=1

< 2И+1.

Ь™(Я)

Предположим сначала, что V = 0. Обозначим А := \\ £N=1¿2(Ъз)1\\ ь^(я). Существует последователь-

¿2 (ъз )х)

ность {хп}<^=1, такая, что ^(ъз)(хп)| = А — еп(хп), где последовательность {еп(хп)}<^=1 монотонно

2

2

2

2

2

2

Ы / " ~еп(хп

и того, что £^=1 \сзп\2 = 1, имеем

стремится к нулю. Пусть Суп = -^==2==. Следовательно, в силу ортонормированности системы

3 = 1 \ ^п I

N N

л/А-еп(хп) < || = || / Фзе^Х <

3=1 3=1

откуда с помощью предельного перехода получаем лемму. Аналогично лемма проверяется в случае, когда ^ = 0.

Мы можем предполагать, что

\ф3< / \т\Ч, [ \и 3\2dn < / \п\\щ\2dn. '[-1,1] .)в -'[-1,1] -'в

Если это не так, то перейдем к системе

ф (С) = 2*/2 (2к С), Ц (п) = 2к/\ (2к п), з = 1,...,М, для достаточно большого к. Для нее

/ \Ф\2dc = / \Ф]\2dc<¡ \2dc.

Также имеем

/ Ц\2dn = / и\2dп< [ \п\V\^п\.

Заметим, что при переходе к такой системе обе части исходного неравенства умножаются на одно и то же число Ак. Перед тем как приступить к доказательству теоремы, рассмотрим следующие системы:

Ф1 = {ф. и1. 3=^ ф2 = {ф1. и23 3=^ ф3 = {ф2, и, ^ ф4 = {ф2, и2.

где

ф1. = Ф3 ХВ\[-1,1], и1, = и3 Хв\[-1,1], ф2. = ф3 Х[-1,ф и2, = и3 Х[-1,1]. Докажем теорему для каждой системы отдельно, так как Ф3 = ф\. + ф2. + фз. + ф4.. Тогда

1] г 2] Г 3. ' 4.

N

+ РФ 2 + РФ3

У рф d£dп ^ 64 (рРФ1 + Рф2 + Рф3 + Рф^ d£dп

и \ ф, < \ ф3 \ для з = 1,...,К.

Итак, перейдем к рассмотрению первого случая. Ввиду (3) и (4) имеем

1 4 1 ^^ те N2

/ рф1 dСdп < С5 £^(Ь)ф1.и1. йь < Сб / / £ \ ¿2,в(Ь,С,п) \ dedndí

3=1

те /"1 г

^ Сб £ / / \ ¿2,в(Ь,С,п) \\ ¿21 А (Ь,С,п) \dСdпdь,

„ -'0 ./В2

и,/3,и1,/31 = -те'' 0

где

N ч N

\ N

£г3 (ь)ф1. и1Л = £ ^ (ь^ (ф1. Мв (и1.).

3=1 ' 3=1

3=1 ' 3=1

Учитывая, что интеграл / гзгдГьГ3йЬ равен нулю, если одно из чисел з, д, Н, в отлично от остальных,

0

единице в противном случае, получим

/ / Кв&£,п)1К,в1 (*,£,п)№йпМ =

■)0 .)к2 ,Т7_1 ^0 .¡к2

N N г

ЕЕ / ¿2к)||$к)нй (<Р1Н(^)|йейп+

'к2

з=1 й=1'

N N г

з=1 ^ к2

N N

з=1 к2

N . . N N

^ / ¿2К^^ К^ («1,)|й{йп < 3 Е^К^Е^ КК)|йейп.

з=^к2 •/к2 з=1 з=1

Следовательно,

те N N

р|х й^йп < 3С6 Е /2 Е ¿2 (<¿>1,) ¿2 К )| Е^ К) ¿91 К )| й(йп < К2 иДиЬ/31 = — те к2 з = 1 з = 1

< 6С6 Е Е / Е ¿2К(«1,)|Е^ К(«1,)№йп <

И,,в=—те И + ^КИ+И 7 К2 з=1 з=1

те N _ N

<6Сб Е Е /2¿2к)$(«■ )| Е Е^ к(«1,Мйп<

те N _ N

< 6С6 Е Е /2 ¿V2(<1,)|^2к)| Е Е^2(<1,2кмйп+

и,в=—те з = 1 К2 к,к1^о д=1

^И — к, |в1| = |в|—

те N .. N

+6С6 Е Е /2¿V2к)|^2(«1,)| Е Е^2(<1,2к)|й^йп+

И,в=—те з=1 К к^к^о, д=1

Ы = Н—к, |в1| = |в|+к1

те N N

+6Сб Е Е /2^2К)|^2(«1,)| Е Е^2(<1,2Км^

И,в=—те з=1 К2 к1^к^о, д=1

Ы = И+к, |в|1| = |в|—к1

= 6Сб(/1 + /2 + /з).

Оценим по отдельности /1, /2, /3. Ввиду леммы

те N . .

/1 < 16 Е Е 2И+|в|-2—к—к^1 ¿2 (<1,) $(«1, )| < 25^ 2 ЫКзЩ |2 й(йп.

и,/3=—те к,к1^0 з=1 К2 2

и

Перейдем к рассмотрению /2:

те N . N

/2 = £ £/2)|^2(«1,)| £ 2(<1,2ЮКйп =

И,в= — те з = 1 К 0^к1^к, д=1

Ы = Н—к, |в1| = |в|+к1

= £ £ / (/ |2 «11 ^ йп) ¿2 («13 ,в)|х

Ивв=—те ■/{2\V\ 1 ^sgn И<2И } ' У{2\в\-1^пsgn¡3<2\Р\} ' ) '

N

х £ £¿21 (<1,) ¿2(«1,)|й^йп,

о^к1^к, д=1

Ы = Н—к, |в1| = |в|+к1

где

11

= , ^.,0 = ^ и^.

у1{2\*\-Н£ sgn и<2И} |<1! |2 йС у/{2\в\-1^п sgn 0<2\в\} |2йп

Рассмотрим выражение

Я := / 2 ¿2 К V )6% («1, ,в)| £ £^1 (<1,) ¿^ («1, )| й(йп.

К 0^к1 <к, д=1

|и1| = |и| —к, |в1| = |в|+к1

Перейдем к системе

фд,к(0 = 2к/2<д (2к 0, ^ (п) = 2 —^ «д ^ '^ п) .

Проверяется, что

¿И1 (<1,)(£) = 2—к%| sgn(ф1,,к)(2—кО, ¿01 («1,)(п) = 2к1 /26т sgn01 (^1,,к1 )(2к1 п),

откуда в силу леммы имеем

Я КиХ^К в)(п)|х

к2

N

2 ) —к 2

,к

о^к1 ^к, д=1

|И1| = |И|— к, |01| = |0|+к1

£ ^—к+к1 l¿2v|sgn (ф1,,к )(2—к £¿2^ Д1 (^ )(2к1 п)тп

те к „

= £ £ £ /2 2к1—к^1 КVтН(«1,Жп)х

к=0 к1 =0 ^\ = И-к, К2 |в1| = |в|+к1

N

х £ | ¿2и| sgn (ф1,,к )(2—ко % sgn 01 ()(2к1 п) | йе йп =

д=1

те к N

£££ £ 12—к¿2(<1,,v)(e)¿2v|sgn** (Ф1,,к)(2—ке)|й£х

к

к=0 к1=0 д=1 ^1 = Н-к, |в1| = |в|+к1

х ^ 2к1(«1,,,Хп^sgn01 (^ )(2к1 пШ (5)

После замены переменных в (5) получим

оо к N

те

я < £ £ £2—^ £ / ¿2кVхо^** (Ф1,,к)(2—ко|й(х

к=0 к1=0 д=1 \ VI \ = \V\-к, "'К

к=0 к1=0 д=1 \ v1

X

х / \ 5}(и,,в)(2-к1 п)^ ^в1 (^ )(п)\^ <

-у В

тете к N л

< 2 | в |^ЕЕ Е2-к Е / \ ¿2 (ф1. V ХС^ |з§п ц (Ф1ч,к )(2-к С) \ dС х

к=0 к1=0 д=1 \у1\ = \у\-к, "'В

| в11 = | Й+к1

Х / \ 52в| sgп в1 )(П) \ ^ =

</ В

те к г N

= 2|*+1££ 2-к Е / \ ¿2 (ф1. ,*)(С) \ Е\ ¿2^п V! (Кк )(2-к С) \ dС Х

к=0 к1=0 \^\ = И-к, В <?=1

|01| = |0|+к1

Х \ 52в| sgп в1 (У1*М )(П) \ ^ <

< 2Н+|в|+2 ^ >Т 2-к Е ¿2(ф1.,, )(С) \ dС • \ ¿2в| sgп в1 (у1<м )(П) \ dп =

к=0 к1 =0 ^Н^-к

|в1| = |в|+к1

тек

2-к = 2|^| + |в|+2.

2|.|+|в|+^>р 2-к = 2|^" к=0 к1 =0

оо

к

где а = £ 2 (к + 1). к=0

Следовательно,

N те „ „

12 ^Е а V 2И+|в|+2/ \ ф, \ 2% \и, \2 dп <

3=1 ^в=-те J{2\v\-1 sgп и<2\"\} ^ {2\@\-1 sgn в<2\^\}

< 16а ЕЕ/ \ ф1. \ \и, \ 2 dп <

3=1 {2\^\ 1 sgп^<2И} ./{2\в\-1^пsgп@<2\Р\}

< 64а [ \Сп\ \ф, \2 \и^ \2dСdп. ш2

Рассмотрим, наконец, Ь3:

те N N

13 = Е Е /2 \ ¿2(ф1.)5вК) \ Е Е\ ¿2(ф1,)5в1 К) \dСdn =

и,@=-те 3 = 1 В 0^к^к1, д=1

И| = М+к, |в1| = |в|-к1 те N N

= Е Е/2\ ¿2(ф1.)$К) \ Е Е\ ¿21 (ф1,К) \dСdп+

и,@=-те 3=1 В2 к1^к^к1 /2, д=1

Ы = М+к, |в1| = |в|-к1

те N _ N

+ Е Е /2 \ ¿2 (ф1. МвК) \ Е Е\ ¿21 (ф1,) ¿21 К) \ dСdп <

и,@=-те 3=1 В2 к^к1/2, д=1

Ы = И+к, |в1| = |в|-к1

те N N

< Е Е Е/2\ ¿21 (ф?М/кю\Е\ ¿2(ф1.>¿2(и1.) \ dСdп+

И = М-к, |в| = |в1|+к1

те N .

+4 £ £ £ I (<1,(«1,)|2Н+|в|+2 2к—к1 й^йп <

к^к1/2 И,в=—те з = 1К2

те N

< £ £ £ I ^к(«1,)|х

и1,01 =—те к1^к^к1/2, д=1 К

| V | = | 71 | — к,| 0 | = 1011 +к1

N N .

х '¿2К)51 («1,)|й^ йп + 128«^ / «1, |2йе йп =

з=1 з=1 к2

те N г / г г

£ £ £ / (/ К|2% |«1,|2йп)х

И1,в=—те к^к-,/2, ]{2 \ -1 sgn И1<2 \ Vl\} У {2 \ в1\ sgn 01 <2 \ в1 \} 1

И=ы—к, |0|=|01|+к1

N N „

х|¿0l(<1,,И1 («1,,01 )|£^°(<1,)¿0К)М£йп + 128«^ / |еп||<1!«1,|2йейп,

з=1 з=1 к2

где

= /Г I- 12^' = /Г I- |2 г] и1«>

\! к\Vl \sgn И1<2 \Vl \ <1, | йе у ¿2\01 \ sgn 01 <2\в1 \ «1, | йп

«1 = Ете=0 2—к/2.

Рассмотрим выражение

N

я' := £ {¿2х (<1, ,И1 («1, ,01 )| £ l¿0 к- («1, )|йе йп. к1^к^к1/2 |И| = |И1|—к, |0| = |01|+к1

Аналогично предыдущим выкладкам получаем

к2

к1^к^к1/2 к з=1

Я' ^ 2И+|в1|+2 Е 2—к = 2|и1|+|^1|+^ 2—к(к + 1). к1^к^к1/2 к=0

Следовательно,

те N те

/з < 4^2—к(к + 1)£ V 2|и1|+|в1|+Ч |<1,«1, |2 йейп+

к=0 д=1 И1,в1=—те -П2 \V1 \ sgn И1<2 \V1 \}х{2\в1 \ sgn01 <2 \в1 \}

N , N

+128«^/ ЦпИФ^«1, |2 йейп < 128«^/ |еп||<1,«1,|2йейп, з=1-'к2 д=1 к2

где «2 = «1 + £те=0 2—к(к + 1).

Перейдем теперь к рассмотрению случая = <зХк\[—1;1], «2, = «зХ[—1;1]. Аналогично первому случаю

N N

•фйейп < 6Сб V I У3l¿0кМв(«2,)|£^ (<1,

р22йейп < 6С^ / Ё¿2(<1,К)|£Х(<1,(«2,)|йейп <

ИКИ7 к2 з=1 д=1

те N

<6С^ £ ^Ч ^¿2К^(«з)|йейп.

1

1

Отсюда ввиду (5) имеем

f р|2 d(dn < 2VI+2 / I % К 6 К) | d(dn <

N .. .. N „

/ I £ I I ^ijI 2dU 160(U2j) | dn < 48C6£ / | en I I 1 2||U0j.I 2d(dV. ~[J R JR j~jJ R2

Подобным образом можно рассмотреть остальные два случая:

Фз = W2j uij }N=i и Ф4 = W2j u2j }N=i.

Следовательно, теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Lieb E, Thirring W. Inequalities for the moments of the eigenvalues of the Schrodinger Hamiltonian and their relation to Sobolev inequalities // Stud. Math. Phys., Essays in Honor of Valentine Bargmann, Princeton: Princeton Univ. Press, 1976. 269-303.

2. Кашин Б.С. Об одном классе неравенств для ортонормированных систем // Матем. заметки. 2006 80, № 2. 204-208.

3. Асташкин О.В. Неравенство Либа-Тирринга для L^-норм // Матем. заметки. 2007. 82, № 4. 163-169.

4. Барсегян Д.С. О неравенствах типа Либа-Тирринга // Матем. заметки. 2007. 82, № 4. 504-514.

5. Барсегян Д.С. О возможности усиления неравенства Либа-Тирринга // Матем. заметки. 2009. 86, № 6. 803-818.

6. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. M.: АФЦ, 1999.

7. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977.

Поступила в редакцию 01.03.2010

УДК 510.649

О ДЛИНЕ СОВМЕЩАЮЩЕГО ТИПА В ИСЧИСЛЕНИИ ЛАМБЕКА

А. А. Сорокин1

В 1992 г. М. Р. Пентусом был установлен критерий существования такого типа C, что для данных типов A и B секвенции A ^ C и B ^ C являются выводимыми в исчислении Ламбека. В настоящей статье предлагается алгоритм построения типа C (в случае, если он существует) и доказывается квадратичная верхняя оценка его длины.

Ключевые слова: исчисление Ламбека, интерпретация в свободной группе, совместимость, совмещающий тип.

In 1992, M. Pentus established a criterion for the existence of a type C such that for given types A and B the sequents A ^ C and B ^ C are derivable in the Lambek calculus. In this paper we give an algorithm for construction of such a type C (provided it exists) and prove a quadratic upper bound for its length.

Key words: Lambek calculus, free group interpretation, conjoinability, join.

1. Исчисление Ламбека было введено в статье [1] для моделирования синтаксической структуры предложения. Типы исчисления Ламбека строятся следующим образом. Назовем примитивными типами элементы множества Pr = {pi,p2, ■■■}. Тогда множество Tp типов исчисления Ламбека есть наименьшее

1 Сорокин Алексей Андреевич — студ. каф. математической логики и теории алгоритмов мех.-мат. ф-та МГУ; e-mail: alexey.sorokin@list.ru.