О ВОЗМОЖНОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ АВТОКОЛЕБАНИЙ ПЕРЕВЕРНУТОГО ДВУХЗВЕННОГО МАЯТНИКА С ПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ ОПОРЫ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 72

www.mai.ru/science/trudy/

УДК 531.396

О возможности формирования автоколебаний перевернутого двухзвенного маятника с подвижной точкой опоры Александров В.В.*, Сидоренко Г.Ю.**

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Ленинские горыг, 1, Москва, 119991, Россия *e-mail: vladimiralexandrov366@hotmail.com **e-mail: gingrul@yandex.ru

Аннотация

Рассматривается движение перевернутого двухзвенного маятника с подвижной точкой опоры и ограниченными ресурсами по возмущению. Путем анализа задачи о максимальном отклонении центра масс маятника, обосновывается выбор ускорения нижнего подвижного основания в виде кусочно-постоянной функции от угловой скорости. Посредством построения точечного отображения на секущей плоскости в четырехмерном пространстве в системе четвертого порядка построен орбитально-устойчивый предельный цикл, которому соответствуют автоколебания. Полученный алгоритм движения нижнего основания маятника может быть использован в качестве тестирующего движения имитационного стенда для тестирования вестибулярных протезов.

Ключевые слова: перевернутый маятник, автоколебания, предельный цикл, наихудшие возмущения, вестибулярный протез

1. Введение.

Ранее был рассмотрен перевернутый однозвенный маятник, установленный на тележке с помощью мотора постоянного тока [1]. Было показано, что при внешнем ускорении тележки 81sign((р) удается организовать автоколебания маятника, которым соответствует асимптотически орбитально устойчивый предельный цикл. Данное возмущение является наихудшим, т.е. доставляет максимальный размах колебаний по углу р на каждом полупериоде. При действии этого возмущения автоколебания имеют место как в редуцированной системе второго порядка, так и в исходной системе третьего порядка с малым параметром [1,2].

Полученный алгоритм был предложен в качестве тестирующего движения имитационного динамического стенда для тестирования вестибулярных протезов [3,4].

В данной статье полученный алгоритм расширен на случай маятника с двумя степенями свободы, а именно показано, что при выборе ускорения нижнего основания в виде кусочно-постоянной функции от угловой скорости в системе четвертого порядка возможно организовать автоколебания.

2. Рассмотрим перевернутый двухзвенный маятник, установленный на подвижном основании с помощью мотора постоянного тока (Рис.1). Звенья маятника однородные и имеют массы т^ т2 и длины ОБ = ^, ВБ = ^ ,

соответственно. В узле маятника установлен электромотор массы т1т, на верхнем

звене маятника расположена платформа массы тр1. Тележка может перемещаться в сагиттальной плоскости с ограниченным ускорением А(г).

Рис.1. Перевернутый двухзвенный маятник на тележке.

Считая для простоты, что моторы идеальные, то есть их индуктивность мала, и, что параметры нижнего и верхнего моторов одинаковы, будем строить управление в виде обратной связи по показаниям потенциометров, считая их точными. Тогда уравнения движения перевернутого маятника вблизи положения равновесия примут вид:

Ар + ВРр - (К + 0)р = А(г) • Ат

(1)

где А(-) е А = {|| А(г) <¿1, % > 0}

Здесь рТ =[(1 (2 ] - вектор состояния системы, отвечающий углам между

звеньями и вертикалью (Рис.1),

А =

m]

~3

1 + m2 + ^ + mpl

lll2

l1l2

m

2 + m*

m

2

2 m

+ m

pl

2

3 + m*

- симметричная матрица кинетическои

энергии,

G = g

» г m i п

ll[— + m2 + "m + "pl ]

2

pl

0

0

m

I2 [ + mpl ]

2

симметричная матрица потенциальной

энергии силы тяжести,

B = CmC

R

2 -1 -1 1

- симметричная матрица диссипативных сил,

C

K = m

= R

K11 + K 22 - K 22 -K22 K22

- матрица коэффициентов обратной связи моторов,

m

» m 1

l1(y + m2 + mm + mpl )

,m

l2(1y + mpl)

вектор возмущающих сил инерции,

Я - омическое сопротивление мотора, С - коэффициент противоЭДС,

ст - коэффициент пропорциональности между активным электромагнитным

моментом мотора и током в цепи якоря.

Наличие матрицы K позволяет обеспечить колебательный характер поведения системы. Добавление сил диссипации B(p обеспечивает асимптотическую устойчивость нулевого положения равновесия ç = 0 . Таким

2

l1

2

l

2

образом, система (1) является колебательной, а ее нулевое положение равновесия -асимптотически устойчивым.

В качестве функционала, характеризующего поведение системы, рассмотрим отклонение центра масс маятника от положения равновесия в проекции на ось х, жестко связанную с подвижной тележкой:

» т 1 т2 .

11 ( ^ + тт + т2 + тр1) + тр1)

1 =-2-1-(1 +-2-(2. (2)

т1 + тт + т2 + тр1 т1 + тт + т2 + тр1

В рассматриваемом классе возмущений )| < ¿1 попытаемся найти

наихудшее, доставляющее максимальный размах колебаний центра масс на каждом полупериоде.

Перепишем систему (1) в новых координатах, которые являются нормальными для соответствующей ей консервативной системы:

Х2 + 6 х2 + Ь22 Х2 + Ь12 Х1 = ^2А0)

. (3)

Х1 + 6 Х1 + ¿>11 &1 + ¿12 &2 = А^)

Заметим, что при проделанной замене функционал 1 (2) с точностью до коэффициента (т1 + т1т + т2 + тр1 )-1 перешел в 1 = s2 х2 + ^ х1.

Далее ограничимся рассмотрением более узкого подкласса систем четвертого порядка (3) под воздействием внешнего возмущающего воздействия при следующих предположениях:

а) коэффициент перевязки мал так, что характеристические корни системы (3) и системы

x2 + ^ x2 + b22 x2 = s2 A(t) xi + a^xi + bn = Si A(t)

отличаются незначительно.

б) оба уравнения системы (4) имеют колебательный характер, причем собственные частоты системы являются кратными, то есть существует такое

9 9 9 9 9 9 b i

к е N, к > 1, что all = kau, где ß =a -р , all = ß - р2 , р Р2 = 2

_ b22

В) si > О, L/SJ > 1, р2 > рх.

3. Для системы (3) при выполнении предположений а)-в) поставим задачу о максимальном отклонении:

2

■ Х Х2 +^ = ^), *)е V = {||v(t)| < ¿1, $ > 0}

Xi + af xi + 2pi Xi = Siv(t)

x1(0) = a0, x2(0) = ß0, xi(0) = 0, X2(0) = 0

J = s9 x9(T) + s1 x1(T )-> min (5)

-Si <v (t )<$

M = {x(T) = 0}, T: x(t) * 0 при 0 < t < T,

sia0 + s2ß0 > 0 a0 >-^

ai2

Заметим, что в силу линейности минимизация функционала J означает минимизацию функционала J .

Применив к сформулированной задаче (5) принцип максимума Понтрягина

[5], получим, что наихудшее возмущение имеет вид v0(t) = Si • sign(s2Y4(t) + s^3(t)),

где Щ4, Щ3 - сопряженные к Х4 = ХХ2 , Х3 = Х1 переменные, являющиеся решением системы:

У&4 + 6Щ4 - 2Р2У&4 = 0

(6)

У&3 + 6У3 - 2Р\У&3 = 0 со следующими граничными условиями:

Щ(Г) =Л2, Щ(Г) = Л, Щ(Г) = ¿2 + 2рЛ ЫТ) = ¿1 + 2а4, (7)

где Л, Л - множители Лагранжа, связанные условием стационарности:

0 = -блЛ х2(Т) - б[2Д1х1(Т) + |Л ¿2 + ¿1.

Среди всех возможных значений Л1, Л2 рассмотрим простой случай:

Л = 0, Л2 = 0.

Введя функцию Р в обратном времени т = Т - г: Р(т) = s2щ4 (т) + щ3(т), можно показать, что наихудшее возмущение равняется V0(т) = 81 • sign(Р(т)) = -б1 при 0 < т < т1.

Выписав в явном виде решение краевой задачи (6-7), получим, что первый момент времени т1 > 0, в котором Р(т1) = 0, есть т1 = Пб_1, который соответствует Т = п/б1 . Далее выписав решение прямой системы при 0 < г <я/б\ , можно

убедиться, что v0(г) = 81 • sign(Р(г)) = 81 • sign(х1(г)),

Таким образом, V0 = ¿1 • sign(х1) может являться решением поставленной

задачи о максимальном отклонении (5). Для того, чтобы точно решить задачу о

максимальном отклонении, нужно перебрать все возможные пары Л1, Л2

множителей Лагранжа, что весьма сложно.

7

4. Теперь рассмотрим поведение системы (4) при действии найденного возмущения V0 . При рассматриваемом возмущении система является полусвязанной:

Х2 + 0> х2 + 2р2 Х2 = ^ • М§п( Х1) (8)

Х1 + О х1 + 2р1 Х1 = s1д1 • sign( Х1)

Система (8) легко интегрируется на интервалах знакопостоянства Х1 . Последовательно решая дифференциальные уравнения и согласуя значения координат и скоростей на границах интервалов, можно получить функцию последования на секущей двумерной полуплоскости М = {Х1 = 0, Х2 = 0, х1 > 0}:

г 2 ..2 , . П .

а1 =а • к11 + -Чт (к11 +1) , где к1 1 = ехр(-р1-) - для координаты х1;

О2 О

в = в0 • к122 + ~2~^(к12 + (-1)к+1)2, где к12 = ехр(-р2 ) - для координаты х2. О О1

Здесь (О),в0) - начальные условия, взятые на секущей поверхности М , а (а, в) - первая точка пересечения секущей полуплоскости фазовой траекторией при г > 0.

Так как |ки| < 1, |к12| < 1, то полученное точечное отображение (а0,в)) а (О,в) является сжимающим, а значит, у него существует единственная неподвижная точка (а*, в*):

О* = ^• ММ , (9)

О2 (1 - кп)

(1 + Ьг) (1 -^2)

в* =

, k - нечетное,

(10)

-231 (1 - k12) (2 (1 +

k-четное

Таким образом, в четырехмерном фазовом пространстве имеется замкнутая траектория, являющаяся предельным циклом, который асимптотически орбитально устойчив [6].

Параметрические уравнения предельного цикла в четырехмерном пространстве имеют вид:

- 3 -

хх(г) = ±[(а* • е р1 • (соб—^)+ ))

(Щ —Ц

±[-(а + ^ • е~Р1 — • ^—г)] (

—2

^Зу щ2

х1(г) —ь V—* ■ 2

П

х2(г) = ±[(в* + • е"Р2 • (со^(щ22г) + -Р^йп(щ22г))

2 Щ22 (Щ2

„ , где 0 < г <

-231 п —1

Х2 (г) = ±[-(в* + • е~р2г — • 81п(щ22г)]

Щ2

—22

Как видно, проекция предельного цикла на плоскость х1, х2 является симметричной относительно точки (х1 = 0, х2 = 0), а проекция предельного цикла на плоскость х3, х4 является симметричной относительно точки (х3 = 0, х4 = 0).

Достижимая прямая 10 , лежащая на двумерной секущей поверхности М ,

проходит через начало координат и имеет вид {х2 = Кх1, х3 = 0, х4 = 0} , где

коэффициент наклона К = — . Начав свое движение с 10 , система снова

а*

возвращается на нее за конечное время Т .

Заметим, что предельный цикл имеет место в системе четвертого порядка (8) даже, если ограничения к/s2| > 1,р2 >р1 не выполняются.

5. Ниже приведены результаты численного моделирования. В качестве значений параметров системы были взяты следующие значения:

ту = 0.35 кг, т2 = 0.15 кг, тт = 0.3 кг, тр1 = 0.1 кг, 11 = 0.4 м, 12 = 0.3 м,

Я = 2.5Ом, С = 0.52Н• м/А, ст = 0.052Н• м/А, д1 = 0.005 м/с2

Выбор коэффициентов обратной связи управляющих сигналов моторов, равными Кп =-250.72 В, =-102.34 В , позволяет получить в системе

собственные частоты: О = 0.47 Гц, О = 6*0.47 = 2.82 Гц.

Графики изменения «нормальных» координат Х1 и Х2 от времени приведены на Рис.2, Рис.3. На Рис.4 представлена проекция предельного цикла на плоскость {х1, х2}. На Рис.5 показано поведение исходных координат (рх, (р2 от времени.

Рис.2. График изменения координаты Х1 от времени.

Рис.3 График изменения координаты Х2 от времени.

1-'0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03

Рис.4. Проекция предельного цикла на плоскость {х1? х2 }.

Ф3

Рис.5. График изменения координат ^ , ^ (в градусах).

5. Заключение.

В статье показана потенциальная возможность организации автоколебаний двухзвенного маятника с использованием информации об угловой скорости. При

этом в системе четвертого порядка с использованием функции последования построен предельный цикл, который является асимптотически орбитально устойчивым. Полученный результат является весьма интересным, так как конкретных примеров построения предельных циклов в системах размерности больше два в литературе встречается мало [2].

Полученные в системе четвертого порядка автоколебания могут являться максимальными, то есть полученный предельный цикл может представлять собой границы множества достижимости для центра масс системы. Заметим, что использование принципа максимума в аналогичных задачах при ограниченных внешних возмущениях часто дает в качестве наихудшего возмущения кусочно-постоянную функцию от координат и позволяет построить в системе предельный цикл, как например, в классической задаче Булгакова для колебательной системы второго порядка [7].

Работы выполнена при поддержке гранта РФФИ 12-01-31285.

Библиографический список

1.Александров В.В., Рейес-Ромеро М., Сидоренко Г.Ю., Темолтзи-Ауила Р. Устойчивость управляемого перевернутого маятника при постоянно действующих горизонтальных возмущениях точки опоры// МТТ, №2, 2010, с. 41-48.

2.Сидоренко Г.Ю., Александров В.В. Робастная устойчивость управляемых систем// Труды X международной Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление". Том 2, 2012. с. 42-52.

3.Садовничий В.А., Александров В.В., Александрова Т.Б., Бугров Д.И., Сидоренко Г.Ю., Сото Э., Шуленина Н.Э., Вега Р., Санчез Г., Рейес Ромеро М. Патент РФ №2379007. Мобильный имитатор вертикальной позы для разработки и тестирования вестибулярных протезов. Дата публикации 20.01.2010.

4.Садовничий В.А., Александров В.В., Александрова Т.Б., Вега Р., Сидоренко Г.Ю., Сото Э., Шуленина Н.Э. Динамическая имитация стабилизации и потери вертикальной позы и тестирование прототипов вестибулярного протеза// Современные проблемы математики и механики. Т.1, прикладные исследования, вып. 1., 2009. с. 154-164.

5.Александров В.В., Болтянский В.Г., Лемак С.С., Парусников Н.А., Тихомиров В.М. Оптимизация динамики управляемых систем// М.: Изд-во МГУ, 2000, 304 с.

6.Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний// М: Наука, 1972, 472 с.

7.Жермоленко В.Н. К задаче Б.В.Булгакова о максимальном отклонении колебательной системы второго порядка// Вестн. Моск. ун-та., сер.1, математика, механика, № 2, 1980, с. 87-91.