CC BY
45
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И
Т о м IX 1 97 8 № 3
УДК 534.629.12
О ВОЗМОЖНОСТИ АВТОКОЛЕБАНИЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТЕЛ ВДОЛЬ ПОТОКА ЖИДКОСТИ ИЛИ ГАЗА ПРИ КРИЗИСЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ
М. А. Гусев
Делается попытка дать теоретическое объяснение и приближенную схему расчета автоколебаний цилиндрических тел вдоль потока жидкости или газа на основе падающей зависимости коэффициента сопротивления Сх по скорости при кризисе сопротивления.
При скоростях потока, соответствующих кризису обтекания, коэффициент лобового сопротивления Сх цилиндрических тел с плавными очертаниями уменьшается. Это приводит к появлению „падающего* участка на статической характеристике силы лобового сопротивления от скорости потока. При этом отрицательное аэродинамическое демпфирование может стать источником возбуждения автоколебаний тел вдоль потока, не связанных с отрывом вихрей Кармана, на что впервые указал С. П. Стрелков [1]. Однако до настоящего времени этот вопрос не получил достаточного теоретического объяснения.
Предположим, что обтекаемое тело имеет одну степень свободы и закреплено с помощью пружины. В потоке с постоянной скоростью оно займет положение, в котором сила лобового сопротивления уравновешивается упругой силой пружины
сх0 — 2 Р^х 3
здесь с — жесткость пружины, х0— статическое отклонение, р —массовая плотность среды потока, 5—площадь миделя, V — скорость потока.
Свободные колебания тела могут быть описаны уравнением
тх + с (лг0 + х) = -у- рСх 5 (V — хУ,
где т — масса тела; х — линейная скорость колебаний.
Однако в зоне кризиса Сх является функцией числа Ие (т. е. V и лг>. Разлагая Сх = /(V — х) по степеням х
Сх = Сх(У)-С,х(У)х+-^-С;(У)х^-~С; (К)*з
и аппроксимируя зависимость СХ(У) полиномом третьей степени
СХ(У) = аУз + ЬУ 2 + йУ + е, получаем уравнение колебаний обтекаемого тела в зоне кризиса:
х + №х — — (л [Ах — Вхг + Сх3 — Бх* + Ехь\, (1)
1 /-_______________________________
где (л = 2 т —малый параметр, k = у cjm — частота собственных колебаний.
А = 5aV* + lbV*-\-bdV*-\-2eV\
В = 10 aV3 4- 6 ЬУ* + 3 rfK + е\
С = 10яК2+4 6К+й; £> = 5eV + 6; £ = а.
Решение (1) ищется методом медленно меняющихся амплитуд в виде X = Р COS (kt — tp) = Р COS 0,
где амплитуда Р и фаза ер— медленно меняющиеся функции времени [2]. Укороченные уравнения Ван-дер-Поля для нашего случая имеют вид 2
J*
2
Р =
j* [АР sin2 6 — BP2 k sin3 0 + CP3 № sin4 b — DP* k3 sin5 0 -f-o
+ EPb k* sin6 0] db,
2 it
2.P 0
j" [A sin 0 cos 0 — BPk sin2 0 cos 0 + CP2 № sin3 0 cos 0 —
(2)
— DP3 k3 sin4 0 cos 0 + £P4 ki sin5 0 cos 0] db.
После выполнения квадратур получаем U.P
Р=—^ [А+ 0,75 Р*№ С+ 0,62 pik*E]-, 9 = 0. (3)
Равенство нулю правых частей (3) свидетельствует, как известно [2], о наличии предельных циклов или состояний равновесия на фазовой плоскости. Найдем корни выражения, стоящего в правой части (3)
Л — 0; Р2 — } 0 75 с- . (4)
При этом, мы пренебрегли последним членом в правой части (3), поскольку, как показывают оценки, его учет не сказывается на ширине зоны возбуждения автоколебаний, а лишь незначительно (на 2—3%) меняет расчетную амплитуду предельного цикла.
В (4) нулевой корень соответствует положению равновесия обтекаемого тела под воздействием статической нагрузки, а ненулевой — периодическому движению относительно этого положения. Для исследования на устойчивость вычислим производную от Р по Р. Имеем
При Р = Р] = 0
= — Ji- [А + 2,25 Р2 б2 С]. dP 2 J
dP _ рА_ dP-------2
(5)
dP
Согласно общей теории устойчивости движения [3], при ~^гр‘<0 состоя-
ЛР
ние равновесия устойчиво, а при — неустойчиво. Таким образом, в на-
шем случае устойчивость или неустойчивость положения равновесия тела в потоке определяется знаком полинома А(У).
При Р = Р2 = 0
йР Л /ЙЧ
~йР = ^ (6)
В данном случае [3] при dP|dP^> 0 предельный цикл неустойчив, а при йР^Р<С, 0 — устойчив, т. е. устойчивость или неустойчивость предельного цикла автоколебаний также определяется знаком полинома А(У).
Рассмотрим для примера три круглых цилиндра бесконечного удлинения с нулевой шероховатостью в ламинарном воздушном потоке. Диаметры цилиндров равны = 1 м, di — 0,Ь м, d3 — 0,2 м. Экспериментальные зависимости СХ(У)
0,2м
й=1м 0,5м
О 5 F(V)
10 15 20 25 30 Vm/c
a)
2
1
0
-1
-2
йЧм й=0,5м d=0,2M
б)
Фиг. 1
в зоне кризиса для этих цилиндров представлены на фиг. 1, а [4]. Они могут быть аппроксимированы выражениями
й1=1 м: Сх = 0,019 V3 — 0,26 V2 + 0,85 V + 0,56;
й2 = 0,5 м: Сх = 0,0055 V3 — 0,156 V2 -\- 1,28 V — 2; с13 = 0,2 м: Сх = 0,0004 V3 — 0,028 У2 + 0,577 V — 2,5.
Соответственно определяющие ПОЛИНОМЫ А(У)1У будут иметь вид ^=1м: А (V)/ V = 0,095 V3— 1,04 V2 + 2,55 V + 1,12; |
<*2 = 0,5 м: А(У)/У = 0,0275 V3 — 0,624 V2 3,84 V — 4; 1 (7)
й3 = 0,2 м: А(У))У = 0,002 V3 — 0,112 V2 + 1,73 V — 5. ]
Согласно (5), (6), для возбуждения автоколебаний цилиндров вдоль потока (неустойчивое положение равновесия, устойчивый предельный цикл) необходимо, чтобы полиномы (7) имели отрицательные значения. На фиг. 1, б сплошными линиями обозначены графики полиномов (7). Видно, что возбуждение автоколебаний цилиндра с?! = 1 м приходится на интервал скоростей потока от 4,5 до 6,8 м/с; цилиндра с12 = 0,5 м —от 9,4 до 13,8 м/с, цилиндра й3 = 0,2 м — от 22,5 до 29,5 м/с. При этом для возбуждения автоколебаний не требуется начального импульса (так называемое мягкое самовозбуждение).
Для вычисления времени достижения амплитуды предельного цикла необходимо решить дифференциальное уравнение
с начальным условием Pt=n = Ро- Решая (8) и подставляя решение в (7), получаем приближенное решение исходного уравнения (1):
Р0cos kt
Выражение (9) описывает весь процесс развития автоколебаний. При Ь -> оо уравнение (9) переходит в (4), которое определяет предельный цикл.
Необходимо отметить, что Ь решении не учтено влияние конструкционного демпфирования, которым обладают реальные конструкции. Учет последнего при-
-ц = + 0,75 Р3&С]
(8)
(9)
водит к следующему выражению, определяющему зоны возбуждения автоколебаний цилиндров вдоль потока:
А(У) 28
ПУ) = -^-+—, (10> в котором 8 —декремент, 7о — период собственных колебаний.
Определим зоны возбуждения автоколебаний для рассмотренных выше случаев с учетом конструкционного демпфирования, принимая следующие значения для величин, входящих в выражение (10)
^ = 1 м: 8 = 0,02; [л = 0,01; Т0 = 2 с.
й2 = 0,5 м: 8 = 0,025; (х = 0,01; Та= Г с.
4 = 0,2 м: 8 = 0,03; [а = 0,01; Т0 = 0,5 с.
Результаты расчета нанесены на фиг. 1, б штриховыми линиями. Видно, что учет конструкционного демпфирования сужает зоны возбуждения автоколебаний и уменьшает их амплитуду. Отсюда следует, что конструкции с существенным демпфированием (8 >0,05) в воздушном потоке не имеют зон возбуждения автоколебаний вдоль потока. Однако для конструкций, находящихся в потоке воды, влияние конструкционного демпфирования резко ослабевает, поскольку параметр р5
2 тп
входящий в выражение (10), сильно увеличивается.
гт
Рассчитаем также зоны возбуждения автоколебаний для цилиндров конечного удлинения с различной степенью шероховатости поверхности, а также для цилиндров в турбулентном потоке. Кроме того, определим возможность возбуждения автоколебаний вдоль потока для треугольных и ромбовидных цилиндров со скругленными гранями, а также для шара и эллипсоида вращения. Данные о зависимости СХ(У) в зоне кризиса для указанных тел взяты из работы [4].
Результаты расчета, выполненного по прежней схеме в безразмерном виде, представлены на фиг. 2. На фиг. 2, а кривая / соответствует круглому цилиндру с удлинением А = 5, а кривая 2 — круглому цилиндру с Ыоо в турбулентном потоке при степени турбулентности е> 1%.
На фиг. 2, б кривая 1 соответствует круглому цилиндру с шероховатостью поверхности £ = 0,2%, а кривая 2—цилиндру с шероховатостью к= 1 %. Как видно, в последнем случае полином А(У)1У не имеет отрицательных значений, т, е. автоколебания не возникают.
На фиг. 2, в кривая 1 соответствует цилиндру с поперечным сечением в виде ромба со скругленными ребрами (относительная величина радиуса скругле-ния /-0/6 = 0,167, где Ь — большая диагональ). Кривая 2 соответствует треугольному цилиндру со скругленными углами (относительная величина радиуса округления Го/*! = 0,25, где Ь1 — сторона треугольника).
На фиг. 2, г кривая 1 соответствует эллипсоиду вращения с отношением осей 1:1,33; а кривая 2—шару. Как видно, шар не имеет зоны возбуждения автоколебаний. Это согласуется с данными работы [1], в которой автор проводил опыты с шаровым маятником в потоке воздуха и не обнаружил колебаний вдоль потока в зоне кризиса.
В заключение необходимо отметить, что интенсивные колебания цилиндрических тел вдоль потока в зоне кризиса возникают весьма часто, как при проведении экспериментов [5], так и в процессе эксплуатации реальных конструкций [6, 7]. Столь интенсивные колебания не могут быть связаны с отрывом вихрей Кармана, поскольку изменения Сх при отрыве вихрей очень малы: АСХ = 0,1 и Су = 0,08 [4, 5]. В то же время наблюдаемые амплитуды колебаний вдоль потока бывают соизмеримы с амплитудами колебаний поперек потока [5].
Экспериментальное определение нагрузки, действующей на цилиндрическое тело в зоне кризиса, проводилось К. К. Федяевским [8]. Испытуемое тело несколько отличалось от круглого цилиндра, так что значения Сх до кризиса и после него составляли соответственно 0,75 и 0,15. В процессе эксперимента при неизменной скорости потока внутри зоны кризиса коэффициент Сх изменялся периодически в пределах от 0,15 до 0,75, что вызывало сильные колебания модели.
Расчет, выполненный по предлагаемой методике, дает для круглого цилиндра в зоне кризиса интервал изменений Сх от 0,4 до 1,2; т. е. абсолютные величины изменения Сх, полученные расчетным путем, согласуются с опытными данными. По-видимому, предлагаемая расчетная схема, основанная на использовании статической зависимости СХ(У), отражает в первом приближении действительно процессы, происходящие в пограничном слое на обтекаемых цилиндрах при скоростях потока, соответствующих кризису сопротивления.
В качестве примера на фиг. 3 представлены результаты расчета зоны возбуждения автоколебаний проводов линии электропередачи через р. Саверн [9]. Зависимость СХ(У) получена экспериментально в аэродинамической трубе [9]. Зона мягкого возбуждения автоколебания определяется из условия
И(У) = 0,25 V3 — 5,7 V2 + 39,5 V - 78,4 < 0.
Из фиг. 3 видно, что эта зона приходится на интервал скоростей ветра
от 9,6 до 10,9 м/с. В действительности, провода совершают интенсивные колеба-
ния вдоль и поперек потока в интервале скоростей от 10 до 13 м/с. Однако необходимо заметить, что в турбулентном ветровом потоке возможно жесткое возбуждение автоколебаний, расширяющее зону возбуждения и не учитываемое в предлагаемой модели.
Автор благодарит А. Г. Соколова и Ю. М. Романовского за обсуждение результатов работы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Стрелков С. П. Опыт с колебаниями шарового маятника в потоке воздуха. „Ж. технической физики", т. 9, вып. 19, 1939.
2. Андронов А. А., Витт А. А., X а й к и н С. Э. Теория колебаний. М., Физматгиз, 1959.
3. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. ОНТИ, 1935.
4. Д е в н и н С. И. Аэрогидродинамический расчет плохообтекаемых судовых конструкций. Л., „Судостроение”, 1967.
5. Д е в н и н С. И. Гидроупругость конструкций при отрывном обтекании. Л., „Судостроение", 1975.
6. Wootton L. R. The flow.induced oscillations of piles. NPL, Aero Spec. 5, Report 0,25, 1969.
7. Richards D. Survey of aerodynamic problems in the electrical power supply industry. „RAS“, vol. 70, N 665, 1966.
8. Федяевский К. К., Настюкова Г. К. Цилиндрическое тело с интенсивным кризисом сопротивления. „Ж. технической физики", т. 28, вып. 7, 1958.
9. Daves D. A. Investigation of conductor oscillation on the 275 kv crossing over the rivers Severn and Wye. „Proceedings J. E. E.“, vol. 110, N 1, 1963.
Рукопись поступила 16\IH 1976
