CC BY
88
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
УДК 532.5
О ВОЗМОЖНОМ МЕХАНИЗМЕ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
© 2009 г. А.А. Абрашкин
Нижегородский государственный педагогический университет abrash@hydro.appl.sci-nnov.ru
Поступила в радакцню 15.10.2008
Высказана гипотеза, что возникновение турбулентных пульсаций в жидкости или газе связано с существованием когерентных возмущений плотности на масштабе, существенно меньшем масштаба гидродинамического описания. Коллективным колебаниям молекул при таком сценарии ламинарнотурбулентного перехода соответствуют элементарные возбуждения (квазичастицы), названные турбу-лонами.
Ключавыа слова: турбулентность, число Рейнольдса, принцип неопределенности.
История вопроса
Еще в 1839 году Г. Хаген, изучая течения воды в прямых круглых трубах небольшого радиуса [1], обратил внимание на существование двух резко отличающихся типов движений жидкости. Один из них - ламинарный - характеризуется плавными (в масштабах течения) траекториями жидких частиц, второй же, наоборот, отличается их крайней запутанностью и нерегулярностью. Эта особенность движений жидкости была названа турбулентностью, а соответствующие течения - турбулентными.
Общий критерий возникновения турбулентности был установлен О. Рейнольдсом (1883), который на примере течения жидкости в круглой трубе изучил условия перехода ламинарного движения в турбулентное [2]. Турбулизация жидкости происходит всегда приблизительно при одном и том же значении безразмерного параметра (числа Рейнольдса), равного Re = иЬ/V , где и - средняя скорость течения, Ь - его характерный масштаб (например, диаметр трубы), а V - кинематическая вязкость. Этот результат согласуется с уравнением На-вье - Стокса для несжимаемой жидкости:
— + (иУ)й = -Ур + — Ай, (1)
дt Re
где число Рейнольдса - единственный параметр (входящие в (1) величины - скорость й, время t, давление р - обезразмерены).
В своих опытах Рейнольдс определил критическое число перехода Яес « 2300 . При значениях Яе < Яес течение оставалось ламинарным, а в случае Яе > Яес становилось турбулентным. Значение критического числа Рейнольдса существенно зависит от условий входа потока в трубу. Оно тем больше, чем меньше возмущения в жидкости, притекающей к входу. Путем особенно тщательного устранения возмущений при входе в трубу удалось достигнуть значения критического числа Рейнольдса около 50 000. Предельно ли оно - неизвестно, но зато самые разные эксперименты показали, что существует нижняя граница для Яес, лежащая приблизительно при 2000 [3]. При числах Рейнольдса, меньших этого значения, со временем затухают даже самые сильные возмущения.
Турбулентность изучается уже более века. Известно несколько попыток объяснить природу турбулентности.
а) Картина, предложенная Лере (1934). Поскольку теоремы существования и единственности трехмерных уравнений Навье - Стокса доказаны только для малых интервалов времени, то предполагается, что турбулентности от-
вечает разрушение решений этих уравнений по истечении некоторого времени [4]. Эта точка зрения не может претендовать на роль универсального сценария, так как для многих турбулентных течений решения уравнений Навье -Стокса не разрушаются.
б) Картина, предложенная Ландау (1944) и Хопфом (1948) (см. соответственно [5] и [6]). Происхождение турбулентности объясняется как процесс смены неустойчивых режимов течения, порождающих последовательно волновые возмущения с новыми частотами. В случае большого числа и несоизмеримости этих частот суммарное поле возмущений может быть достаточно сложным, чтобы претендовать на описание хаотического движения жидкости. Данный сценарий отвергнут специалистами, поскольку построенное таким образом решение уравнений Навье - Стокса является по существу квазипе-риодическим и, следовательно, обладает признаками, несовместимыми со свойствами реальной турбулентности.
в) Картина, предложенная Рюэлем и Такен-сом (1971), восходит к общей теории динамических систем [7]. В ней предполагается, что режим турбулизации течения связан с образованием в фазовом пространстве системы стохастического (странного) аттрактора. Природа турбулентности в рамках данного подхода, однако, не обсуждается. Кроме того, «классификация возможных типов странных аттракторов, которые могут встретиться в реальных гидродинамических задачах, в настоящее время неизвестна; неясны даже критерии, на которых должна была бы основываться такая классификация. Существующие знания о структуре странных аттракторов основаны в основном лишь на изучении примеров, возникающих при компьютерном решении модельных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, довольно далеких от реальных гидродинамических уравнений» [8]. Высказывалась даже точка зрения, что «обрезание» исходных уравнений «выкидывает» турбулентность [9]. Для полных же уравнений Навье - Стокса не только неизвестно ни одного турбулентного решения, но даже неизвестно, существует ли такое.
Один из классиков теории гидродинамической устойчивости Р. Бетчов признался: «Одной из наиболее сложных проблем в механике жидкости и, вероятно, во всей современной физике является проблема перехода. В результате попыток решения этой проблемы, имеющих столетнюю историю, достигнуто лишь поверхностное понимание явления перехода...» [10]. В этих словах предельно ясно отражено ны-
нешнее состояние проблемы: аттракторная гипотеза, даже если она и будет доказана, не дает никакого понимания относительно физического механизма перехода. И безуспешность многолетних попыток объяснить механизм турбули-зации жидкости наводит на мысль, что решение проблемы следует искать в принципиально ином направлении.
Неуниверсальность критического числа Рейнольдса
С.А. Новопашин из Института теплофизики СО РАН и А. Мюриел (2002) повторили в усовершенствованном варианте классические опыты Рейнольдса [11]. Явление ламинарнотурбулентного перехода исследовалось ими для жидкостей (Н2О,^О) , а также для ряда
инертных (Ие,№,Аг,Кг,Хе) и молекулярных (К2,ТО,ТО2^) газов. Движение жидкости и газов наблюдалось в стеклянной цилиндрической трубочке с внутренним диаметром 1.3 мм и длиной 30 мм и создавалось за счет перепада давления на ее концах. В зависимости от степени шероховатости входа в трубочку критическое число Рейнольдса меняется в довольно широких пределах. В данной серии экспериментов «качество» входа было выбрано таким, чтобы критическое число Рейнольдса для азота было около 3300.
Для несжимаемых жидкостей число Рейнольдса выступает единственным параметром, определяющим режим течения. Тем не менее критические числа перехода к турбулентности для обычной и тяжелой воды в экспериментах [11] оказались отличными друг от друга:
Яес (Н20)= 3020; Яес ф2О) = 3480, причем различие между ними, определяемое как [Яес ф2О)-Яес (Н20 )]/Яес ф2О), составило более 10 процентов.
Для исследовавшихся газов разброс в значениях критического числа Рейнольдса лежал в полосе 2500-3570 (см. табл.). На точку перехода в газах, помимо параметра Яе, влияет также и число Маха М = и/с, с - скорость звука. Но при уменьшении числа Маха, согласно традиционным представлениям, число Рейнольдса должно было бы стремиться к величине 3020, соответствующей ламинарно-турбулентному переходу для воды. Очевидно, что этого тоже не наблюдалось.
Авторы [11] установили также, что отличия в величине критического числа Рейнольдса нельзя объяснить различиями в значениях вто-
Таблица
Газ §Р6 Хе С02 Кг Аг N2 СО № Не
Яес 2500 2900 2950 3200 3300 3300 3570 3570 3450
М 0.04 0.05 0.08 0.08 0.1 0.11 0.12 0.17 0.19
рой вязкости, коэффициента теплопроводности, а также влиянием внешних шумов. Подытоживая результаты экспериментов, они сделали вывод: «Полученные данные показывают, что критическое число Рейнольдса не универсально и что на процесс ламинарно-турбулентного перехода оказывают влияние индивидуальные свойства молекул жидкости или газа. Мы заключаем, что строгая теория турбулентности должна основываться на синтезе гидродинамической, статистической и, возможно, квантовой теорий».
Это заключение ни в коей степени не следует рассматривать как попытку дискредитации проводившихся ранее исследований в рамках классической гидромеханики. Точно так же оно не подвергает сомнению и справедливость применения уравнения Навье - Стокса для описания процесса перехода. Турбулентные течения жидкости очень хорошо удовлетворяют гипотезам, используемым при выводе уравнений На-вье - Стокса из законов Ньютона. Масштаб самых маленьких вихрей, имеющихся в турбулентном течении, по крайней мере на три порядка больше длины среднего свободного пробега для жидкости, за исключением весьма специальных случаев [12]. В силу этого имеющиеся теории, согласно которым причина возникновения турбулентности связана с возможным нарушением уравнений Навье - Стокса, необоснованны. Другое дело, что микроскопические свойства среды влияют на условия перехода, а сам процесс рождения пульсаций зависит от конкретной жидкости или газа.
Концепция турбулонов
Запишем условие турбулизации течений в следующем виде:
иЬ = У Яес. (2)
Посмотрим на это соотношение с несколько необычной точки зрения. Будем следить в турбулентном течении за отдельной жидкой частицей массы т. Она, разумеется, движется хаотически, причем величина и служит мерой неопределенности ее скорости, а , - масштабом неопределенности ее местоположения. Но в таком случае для данной частицы справедлив принцип неопределенности Г ейзенберга:
иь
где Н = 1.055 -10-27
А
т
(3)
эрг • сек - постоянная Планка. Предположим, что турбулизация течения возникает как проявление квантовых эффектов в жидкости, так что одновременно выполняются равенства (2) и (3). Приравняв их правые части и выбирая значения кинематической вязкости и критического числа Рейнольдса соответствующими обычной воде (у = 10-2см2/с,
Яе с = 3 • 103), оценим массу частицы:
Н ............(4)
т = -
V Яес
= 0.35-10-28 г.
Эта величина меньше массы электрона, поэтому ясно, что никакой жидкий объем не может выступать в качестве такой частицы.
Ситуация, однако, принципиально изменится, если принять, что в качестве рассматриваемой частицы выступает микрополость или «дырка». Существование таких образований утверждается, в частности, в дырочной теории жидкостей. «Внешняя целостность жидкого тела является на самом деле кажущейся. <...> Оно пронизано множеством поверхностей разрыва, которые при отсутствии растягивающих внешних усилий не успевают развиться, но как бы «самозалечиваются», т.е. спонтанно закрываются в одном месте, возникая при этом в других и образуя в теле в каждый данный момент времени совокупность микрополостей, или «кавитаций» в виде трещин, дырок и т.д. Если это представление соответствует действительности, то свободный объем жидкости <...> не распределяется равномерно между всеми ее частицами <...>, но сосредотачивается в виде отдельных микрополостей, играющих роль своего рода атомов или «квантов» пустоты» [13]. Их можно также называть «кавитационными флуктуациями» (Я.И. Френкель).
Возникновение кавитационных флуктуаций в жидкости следует рассматривать как следствие неустойчивости правильного расположения частиц при слишком больших расстояниях между ними. Среднее значение радиуса дырок г*
не зависит от размера молекул и оценивается по формуле [13]: г = VКТ/ с , здесь К - посто-
янная Больцмана, Т - температура, а - коэффициент поверхностного натяжения. Для воды при комнатной температуре он равен приблизительно г « 2.3 -10-8см. Соответственно масса дырки при условии, что она заполнена воздухом с плотностью ра = 1.2 • 10-5 г/см3, равна
т* (Н20) = 4праг*3 « 6.4 •Ю-28 г.
Она лишь на порядок отличается от массы частицы т, для которой справедлив принцип неопределенности (см. (3)). На основании этого сформулируем следующую гипотезу: возникновение турбулентности в жидкости связано с образованием внутри нее устойчиво существующих микроразрывов сплошности («дырок») с характерным масштабом, равным межмолеку-
лярному расстоянию а ~ 10 8 см .
В обычном состоянии (при ламинарном течении) движение дырок, являющееся результатом перемещения обрамляющих их частиц, происходит в жидкостях примерно так же, как и в кристаллах, т.е. «рывками», обусловленными захлопыванием дырки в одном месте при одновременном возникновении новой дырки в соседнем месте. Время существования дырки в данном месте крайне мало. Она «схлопывается» за время т ~ ас, где с - тепловая скорость молекул жидкости. Принимая ее равной по порядку величине скорости звука с ~ 105 см/с , найдем, что т ~ 10-13с . Это время значительно меньше всех характерных времен, связанных с динамикой течений жидкости. В силу этого дырки не оказывают влияния на движение отдельной жидкой частицы, которое описывается уравнением (1). В турбулентном течении ситуация качественно меняется. Согласно нашей гипотезе, отдельные кавитационные флуктуации синхронизируются и дырка может существовать значительно дольше (формально - бесконечно). В турбулентности она представляет уже результат коллективного возбуждения всех молекул жидкости и путешествует сквозь жидкость плавно. Если поле течения при переходе к турбулентности стохастизуется, то поле кавитационных флуктуаций, наоборот, как бы упорядочивается. Дырка отвечает некоторому когерентному состоянию системы молекул жидкости. Такую «частицу» назовем турбулоном. Кавычки в данном случае отражают факт, что движущуюся дырку можно интерпретировать двумя способами: как обычную частицу, обладающую определенными массой и скоростью, и как квазича-
стицу (волну возмущения плотности), распространяющуюся сквозь жидкую среду.
В жидкости всегда присутствуют растворенные газы. Как бы ни была мала сжимаемость жидкости, но она существует. Объем газовых включений с ростом сжимаемости увеличивается, и логично считать, что именно на их основе формируются дырки. Во «френкелевских» дырках естественно видеть зародыши пузырьков, которые при определенных условиях могут возникать в жидкости. Во всяком случае, в нагретой жидкости близи точки кипения правомерность такой точки зрения не вызывает сомнений.
Заметим в связи с этим, что поверхностная энергия сферической капли чистой воды в воздухе при 14°С равна скрытой теплоте парообразования этой капли при той же температуре, если
радиус капли равен приблизительно 10-8 см [14]. Но это значит, что образование турбулона в жидкости можно интерпретировать как локальное (квазиточечное) вскипание жидкости, а сам процесс перехода как фазовый переход.
Для газов понятие «дырки» утрачивает смысл. «Дырки сливаются в пустоту, в которую вкраплены отдельные молекулы, так что пустота перестает играть роль дисперсной фазы и превращается в дисперсную среду» [13]. Кроме того, силы сцепления между частицами газа уже не могут обеспечить их компактного расположения. В отличие от жидкостей, газы даже на микроуровне представляют гомофазную среду. Обосновать предположение о возможности существования когерентного возбуждения в ансамбле движущихся молекул (или атомов) газа гораздо сложнее. Но, с другой стороны, переход к турбулентности в газах происходит при достаточно высоком уровне сжимаемости. В экспериментах [11] число Маха изменялось у разных газов в пределах от 0.04 до 0.19. В движущемся газе его частицы в среднем сближаются, силы их взаимного притяжения соответственно увеличиваются и как бы воссоздается ситуация, свойственная жидкостям. Отсюда, в свою очередь, вытекает, что точно так же, как и в жидкостях, в газе возможно образование долгоживущих (на временах порядка L / и >> т) турбулонов. В газах турбу-лоны - это всегда квазичастицы, но так же, как и в жидкости, им можно приписать некоторую эффективную массу т* , определяемую формулой
(4). По порядку величины она примерно такая же, как и для турбулонов в жидкости. Ее же отличия для разных жидкостей и газов как раз и объясняют разницу в величинах критического числа Рейнольдса.
В пользу данного предположения свидетельствуют результаты эксперимента [15], в котором показано существование квазичастиц в турбулентном слое смешения сверхзвуковой струи. Их характерный размер составляет порядка 103 мкм, что порядка масштаба усреднения гидродинамических величин или даже превышает его. Для несжимаемой среды, согласно нашей идее, размер квазичастиц существенно меньше.
Формализуем теперь нашу гипотезу так, чтобы она была приложима равно как к жидкостям, так и газам. Турбулентные пульсации в жидкости связаны с существованием когерентных возмущений плотности жидкости или газа. Коллективным колебаниям молекул соответствуют элементарные возбуждения (квазичастицы), названные нами турбулонами.
Турбулентные пульсации создаются ансамблем турбулонов, возникающих в жидкости (газе) при превышении критического числа Рейнольдса. Наш сценарий возникновения турбулентности до некоторой степени схож с картиной перехода Ландау - Хопфа. И там, и тут поле возмущений скорости представляет сумму большого (но конечного) набора элементарных волн. Отличие же состоит в том, что турбуло-ны - квантованные возмущения и результирующее поле скорости, индуцируемое ими, не квазипериодическое, а случайное.
Особо подчеркнем в связи с этим неприемлемость аттракторной (предполагающей малое число степеней свободы) гипотезы для объяснения турбулентности. Ситуация с возбуждением небольшого количества турбулонов, по-видимому, никогда не реализуется в действительности. Это, конечно же, не исключает возможности формирования аттрактора для турбу-лизованного движения, но как самостоятельный сценарий перехода к турбулентности вариант с аттрактором следует исключить.
Список литературы
1. Hagen G. Uber die Bewegung des Wassers in en-gen zylindrischen Rohren // Pogg. Ann., 46. Р. 423-442.
2. Reynolds O. On the experimental investigation of the circumstances which determine whether the motion of water shall be direct or sinuous, and the law of resistance in parallel channels // Phil. Trans. Roy. Soc. 1883. 174. Р. 935-982 (см. также Collected Papers II, 51).
3. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974.
4. Leray J. Sur le movement d’un liquide visgueux emplissant l’e space // Acta Math. 1934. 63. Р. 193-248.
5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М.: Гостехиздат, 1953.
6. Hopf E. A mathematical example displaying features of turbulence // Commun. Pure Appl. Math. 1948. 1. Р. 303-322.
7. Ruelle D., Takens F. On the Nature of Turbulence // Commun. Math. Phys. 1971. 20. Р. 167-192.
8. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.
9. Марсден Дж. Попытки установить соотношение между уравнениями Навье - Стокса и турбулентностью // Странные аттракторы / Пер. с англ. под ред. Я.Г. Синая и Л.П. Шильникова. М.: Мир, 1981.
С. 7-20.
10. Бетчов Р. Переход // Турбулентность. Принципы и применения / Под ред. У. Фроста, Т. Моул-дена. М.: Мир, 1980. С. 164-183.
11. Novopashin S., Muriel A. Is the Critical Reynolds Number Universal? // ЖЭТФ. 2002. Т. 122. Вып. 2 (8). С. 306-309.
12. Чорин А. Теории турбулентности // Странные аттракторы / Пер. с англ. под ред. Я.Г. Синая и Л.П. Шильникова. М.: Мир, 1981. С. 30-37.
13. Френкель Я.И. Кинетическая теория жидкостей. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004.
14. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973.
15. Новопашин С.А., Перепелкин А.Л., Яры-гин В.Н. Обнаружение квазичастиц в турбулентном слое смешения сверхзвуковой струи // Письма в ЖЭТФ. Т. 44. Вып. 7. С. 318-319.
ON A POSSIBLE MECHANISM OF TURBULENCE GENERATION
A.A. Abrashkin
A hypothesis has been proposed that the origin of turbulent pulsations in a liquid or gas is connected with the existence of coherent perturbations of the density on the scale much less than that of the hydrodynamic description. For such a scenario of laminar-turbulent transition, the collective oscillations of molecules are corresponded to elementary perturbations or quasiparticles named turbulons.
