Моделирование условий возникновения гидродинамической кавитации в вихревых потоках жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

МОДЕЛИРОВАНИЕ УСЛОВИЙ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ КАВИТАЦИИ В ВИХРЕВЫХ ПОТОКАХ ЖИДКОСТИ

А.Я. Исаков (КамчатГТУ)

Рассмотрены особенности возникновения и моделирования гидродинамической кавитации в условиях вихревых потоков жидкости, образующихся при вращении в замкнутом цилиндрическом объеме системы лопастей в виде прямоугольных пластин с различными углами атаки. Показано, что, наряду с традиционными для гидродинамики критериями подобия: гомохронности, Фруда, Эйлера и Рейнольдса, - необходимо вводить в рассмотрение критерии, характеризующие количество и распределение по размерам зародышей конкурентной фазы.

Features of occurrence and modeling hydrodynamic capitation in the conditions of vortical streams of the liquid formed at rotation in the closed cylindrical volume of system of blades as rectangular plates with various angles of attack are considered. It is shown, that alongside with criteria of similarity traditional for hydrodynamics - homophonous, Frud, Euler and Reynolds, - it is necessary to consider the criteria, describing quantity and distribution on the sizes of germs of a competitive phase.

Гидродинамическая кавитация в неподготовленных жидкостях, как известно, представляет собой разрыв сплошности жидкости в зонах локального понижения давлений, обеспечивающих потерю устойчивости присутствующими в движущейся жидкости зародышами конкурентной фазы в виде микрополостей, заполненных газом. Определение режимов движения жидкости, соответствующих возникновению кавитации при обтекании тел, представляется весьма важным для оптимизации технологических режимов, когда используются разрушительные свойства кавитации: ударные волны, высокоскоростные микроструи, локальное повышение температуры и т. п.

Известно, что многие технологические процессы, протекающие в системах «жидкость - жидкость» и «жидкость - твердое тело», имеют пороговый характер. Так, например, процесс эмульгирования, т. е. разрушения капель несмешивающейся жидкости, возможен только при достижении в потоке определенных значений относительных скоростей и ускорений. В работе [1] показано, что в эмульсиях типа «масло - вода» для относительных ускорений а и скоростей v имеют место соотношения:

п 2о

a >

w/F

(pw р F )

v >

по

(р w + р F )

w/F VPw

w

> PwPF

(1)

где <г„> - начальный размер сферической частицы воды, находящейся в потоке масла (далее в судовом жидком топливе), с№/Р - коэффициент поверхностного натяжения на границе раздела вода -топливо, р№, Рр - плотность воды и топлива соответственно.

Результаты оценок по уравнениям (1) величин ускорения и скоростей для капель воды от <г

w(min)

>

= 1-10-'

м до

v3

<rw(max)> = Ь10

м

приведены на рис. 1. Так, например, капля размером

<г№> = 1-10" м, в соответствии с рассматриваемой моделью, теряет устойчивость при ускорении а = 470 м/с2 и скорости у = 0,28 м/с, капля радиусом <г№> = 1-10"6 м начинает терять устойчивость при величине

м/с

и

скорости

1№

ускорения а = 4,7-106

у = 2,7 м/с. На основании полученных данных можно прийти к следующему заключению.

Рассматриваемая модель потери устойчивости поверхности дает достаточно правдоподобные величины кинематических параметров движения жидкости в окрестностях капли. Большие величины ускорений говорят о том, что для разрушения капель воды в топливе изменения достаточно малых по модулю скоростей должны происходить за короткие промежутки времени. Например, для капель с <г№> =

1-10"5 м характерное время т ~ у/а ~ 5,7-10"7 с.

Источником кавитации при этом могут служить как высокоинтенсивные колебания твердых поверхностей (ультразвуковая или акустическая кавитация), так и особенности

гидродинамических течений при обтекании тел (гидродинамическая кавитация). Наиболее

распространено применение в технологических целях акустической кавитации, возбуждаемой

0

10 10 10 103 < % >м

Рис. 1. Критические значения ускорений и скоростей

2

< rw >

магнитострикционными преобразователями. При производстве эмульсий, диспергировании и растворении твердых тел было установлено [2], что дисперсность при прочих равных условиях определяется стадией развития кавитации.

На рис. 2 показана зависимость нормированной дисперсности водотопливной эмульсии от относительной мощности, развиваемой магнитострикционным преобразователем. Наличие оптимальных значений мощности Рор показывает необходимость количественного определения условий возникновения и протекания кавитации с целью выбора режимов, соответствующих пузырьковой форме кавитации. Особенности возникновения и протекания

0,2

0,6

1,0

1,4

Р ■ /Р

Ш1П /

акустической кавитации исследованы достаточно подробно. Промышленностью выпускаются специализированные

ультразвуковые устройства, оптимизированные под конкретные технологические процессы [3,

4].

Ультразвуковые устройства, несмотря на очевидные технологические достоинства, не могут использоваться при создании

аппаратов большой производительности и в качестве вспомогательных в существующих технологических схемах. Так, например, в условиях топливных систем судовых

вспомогательных котлов при производстве альтернативного топлива в виде водотопливной эмульсии ультразвуковая аппаратура интегрируется плохо, т. к., во-первых, требует для своего обслуживания достаточно квалифицированного персонала, во-вторых, необходимая производительность по проточной схеме (рис.

3) может достигаться только при использовании достаточно мощных ультразвуковых устройств, потребляющих из судовой сети порядка 20-25 кВТ.

Существенно проще в эксплуатации эмульгирующие устройства механического типа, когда необходимая для эмульгирования энергия

Рис. 2. Зависимость нормированной дисперсности

I

эмульсии от относительно

^^Еш

Рис. 3. Проточная схема получения эмульсии

_ _ ЗУ^ош/р ЬЕ = <>(1 -*)

(2)

вводится в обрабатываемые среды посредством вращающихся лопастей (рис. 4). В аппарате с перегородками, которые позволяют передавать жидкости большую энергию по сравнению с гладкостенными устройствами, можно выделить два циркуляционных контура, занятых макровихревым движением. Верхний тороидальный циркуляционный контур ограничен плоскостью вращения лопастей и поверхностью жидкости, нижний - плоскостью вращения и дном аппарата. Обтекание лопастей, расположенных перпендикулярно плоскости вращения, сопровождается возникновением в межлопастном пространстве цилиндрических вихрей в виде шнуров (рис. 5). Центры вихрей представляют собой зоны пониженного давления:

Рис. 4. Схема течений в механическом смесителе

аг,

(3)

где р - текущее значение давления в функции радиальной координаты г, отсчитываемой от центра вихря, V - линейная скорость жидкости в области вихревого движения, р0 - внешнее гидростатическое давление, рь - плотность жидкости. Для областей внутри вихревого движения, т. е. при г < г^ давление будет изменяться, стремясь к минимуму в центре вихрей:

Р = Ро

2 2

р ь * ;г; +

2

3 2 2

= Ро - 2 Р Ь * vгv :

(4)

где - угловая скорость жидкости в области вихревого движения. Газовые зародыши будут терять устойчивость в центре вихрей при понижении там давления до величины [5]

О

Х(г)

ЙШ

Рис. 5. Схема вихревой системы лопасти

Рис.6. Вихревая кавитация за тыльной стороной лопасти

Ркг = Р*

3>/3'

' 2а ^

V Я0 у

Р* +

2 а

ЯГ

= Р*

4 а

3Я кг

(5)

В последнем уравнении с - коэффициент поверхностного натяжения, р8 - давление насыщенных паров, Я^, Якг - начальное и критическое значение радиуса газонаполненного зародыша. Приравнивая далее уравнения (4) и (5), придем к следующему соотношению:

3 2 2 ^ 4°

Р0 --РL®vГv ^ Рв -^~ ,

2 3^кг

или

Ро - Рл +

4а

3Я

кг

где vkг - критическая линейная скорость движения жидкости в области вихря. Полагая внешнее давление и давление насыщенных паров жидкости постоянными величинами, введем обозначение (Ро - Рл) = Р1 и перепишем последнее уравнение, разрешив его относительно критической скорости:

2

3Р Ь

4 а

3 Я

- + Рі

кг

(6)

Скорость, при которой в центрах вихрей (рис. 6) будут появляться кавитационные события, определяется, таким образом, геометрией аппарата, в котором вращается система лопастей, геометрией самих лопастей и физическим состоянием жидкости, прежде всего количеством и распределением по размерам кавитационных зародышей.

Теория вихревых движений жидкости в настоящее время разработана только для относительно простых случаев обтекания тел симметричной формы [6, 7]. Вихревое движение также может возникать в свободном течении жидкости вследствие влияния вязкости: отдельные микрообъемы ламинарно движущейся жидкости, принадлежащие разным слоям, имеют неодинаковые значения количества движения, что приводит в конечном счете к возникновению градиентов давления, т. е.

_а_

г

Р Lv

2 Л

^0.

где а 1 - элементарное расстояние между слоями жидкости, движущейся по круговым траекториям, Р0 - гидростатическое давление в зоне возникновения кавитации, р ^2/2 - скоростной напор.

Наличие градиента давления приводит к искривлению траекторий движения, т. е. к беспорядочному разрушению поверхностей раздела. Возникновение вихрей наблюдается также и при обтекании тел произвольной формы, обладающих гидродинамическим сопротивлением. Вихри и в

2

Р

0

2

этом случае возникают потому, что есть поверхности раздела. Даже ламинарный поток на плохообтекаемых телах, таких как шар, цилиндр, пластина, расположенная перпендикулярно вектору скорости набегающей жидкости, имеет точку раздела. Набегающий на лопасть шириной Ьл поток разделяется на два, которые встречаются за тыльной стороной и образуют систему из двух вихревых шнуров. Скорость частицы жидкости представится как

уу = ух1 + уу) + V2к .

Вращение жидкости вокруг оси вихря становится возможным при условии

ГЭу2 дуу ^ ду дz

Как было показано в работе [8],

Уу = гу ©уСовю уг,

Vz = -ГуЮ у8ШЮу1,

Ух = с m, Г D,^),

(7)

где V V,,, vz - проекции скорости на оси координат, когда ось х совпадает с осью вихря. Частицы жидкости, составляющие вихрь, совершают сложное движение, в состав которого входит вращательное и поступательное движение, причем скорость поступательного движения V определится так [10]:

< Ух >« 4,35па

С г

Г Dp

(8)

где п - частота вращения мешалки, ёт - диаметр мешалки, £т - сопротивление лопастей, Г0 = БА^т - отношение диаметра корпуса аппарата к диаметру используемой мешалки, р = 8(НОа +1) - параметр заполнения аппарата.

Необходимо отметить, что все компоненты скорости вихревого движения являются функциями геометрических параметров аппарата и мешалки, а также режимов обтекания лопастей и реологических свойств жидкости:

^^у = f Ст,ГD,P,P, Ц) . (9)

Модуль и направление вектора скорости на основании уравнения (7) запишется так:

, 2 . 2 . 2 /22. 2 У = л/ Ух + Уу + уг = д/ Гу Юу + Ух

008

уШувтШу!

2 2 , 2 ГуЮу + Ух

008

(у; I) = *

у® у008Юу1

2 2 , 2 ГуЮу + Ух

008

(у; I)

4,35па„Уй/ГD

2 2 , 2 ГуЮу + Ух

Ускорение частицы, находящейся в зоне вихревого движения, будет нормальным, потому что

^х

&

ау

= 0,

у 2 1—1 2

= -Гу соеюу1, ^ а = ап = гю .

dvz 2 .

^ = — = -Гу81пю vt,

т

2

ах =

Из системы уравнений (10) следует, что тангенциальное ускорение частицы равно нулю, потому что развиваемая модель строится в предположении стационарности составляющей скорости ух = сош!;, однако, строго говоря, эта величина тоже зависима, и прежде всего от расстояния до оси вращения.

Так как линейная скорость набегающего потока уь = 2лпг! (рис. 5) зависит от гъ то д ух/ 51 ф 0, т. е. скорость частицы меняется в зависимости от ее положения на протяжении лопасти.

Нормальное ускорение позволяет определить радиус кривизны траектории исследуемой частицы жидкости Ям:

Р м

2 2 ГУ ШУ

Р м

^ рм = ГУ +"

(11)

Уравнение (11) указывает на постоянство радиуса кривизны частицы, которая при д ух/ д = 0 действительно имеет место как для всякой винтовой линии постоянного шага. Увеличение составляющих ух и уь при движении частицы в вихревом шнуре приводит к тому, что вихрь перестает быть цилиндрическим, параллельным плоскости лопасти и начинает отклоняться от ее поверхности, так что его центральная линия принимает криволинейную форму, близкую к параболе.

При моделировании гидродинамической обстановки в аппарате с отражательными перегородками и активным элементом в виде мешалки с лопастями, перпендикулярными плоскости вращения, возможно выполнение только геометрических и кинематических условий подобия, т. е. соблюдение пропорциональности линейных размеров модели и натуры, а также подобия поля скоростей. Другими словами, возможно выполнение линейного масштаба подобия и подобия поля скоростей. Для динамического подобия потоков, как известно [11], необходимо выполнение еще трех условий. Во-первых, в сходных точках потоков должны проявляться силы одной и той же природы. Во-вторых, соотношение между силами различной природы в сравниваемых точках потоков должны отличаться в одно и то же число раз. В-третьих, граничные и начальные условия для течений модели и натуры должны отличаться только масштабом задаваемых параметров. Третье условие, наиболее сложновыполнимое на практике, означает, в частности, что дифференциальные уравнения движения для модели и натуры должны отличаться только масштабными постоянными коэффициентами. Выполнение геометрических и динамических условий моделирования автоматически обеспечивает кинематическое подобие. Течения в любой точке аппарата, включая область вихревого движения, должны в модельном и натурном вариантах подчиняться уравнениям Эйлера-Стокса:

(

Р1

дух

-+ Ух

дух

ду

дх,

-+ у

у1

у1

Р1

у1

Р1

д11

дуи

д1.

+ Ух

дух

дх

- + у

у1

- + у

дух

у1

дх1

- + у

у1

ду 1

дуу1

дУ 2

дуу1

дУ1

+ у,

+ у,

+ у,

ду„

Л

д,

ду

1 У Л

дг.

ду

2 У Л

дг1

= Р1рх1 -^ + РlV1V дх1

= Р1ру1 -д1 + РlvlV 2уyl,

ду1

= Р^-^ + РlVlV 2у,1; дг1

(12)

Р2

дух

ч

( ду

- + ух

дух

ду

дх

- + у

у2

у2

Р2

у2

Р2

ду

+ ух

дух

дх

- + у

у2

г2

+ у

ду

у2

х2

дх

+ у

у2

ду2

дуу2

ду 2

дуу2

ду 2

+ у,

+ у,

ду,

д,.

ду

2 У Л

+ у

д,

ду

2У

Л

,2

,2

д,

2У

= Р2^х2 -“Г' + Р2V2V ух2,

дх1

= Р2Ру2 -^ + Р2V2V2уу2, ду1

= Р2^2 -~д + Р2V2V у,2.

д,п

(13)

Индексы 1, 2 относятся к натуре и модели, Б1, Б2 - силы, действующие в характерных точках модельного и натурного потоков, р - давление, ух, уу, у2 - проекции скорости частицы в исследуемых точках натуры и модели, V - оператор, р - плотность, V - коэффициент кинематической вязкости.

Системы уравнений (12), (13) позволяют при геометрическом и кинематическом подобии потоков записать следующие масштабные коэффициенты: линейный масштаб подобия

у2 2 107

2

у

у

ап =

ГуШ

подобие поля скоростей

"1 = = "1 = 11 = СУ5 (15)

V

у2

подобие временных масштабов

11 = с15 (16)

подобие действующих внешних сил

РХ1 = Ру1 = ^ = Л = с (-17)

Б Б Б Б ^ ()

х2 у2 хг2 12

подобие давлений, плотностей и кинематических вязкостей

|Е1 = ср, — = Ср , ^ = с. (18)

5Р2 Р 2 у2

Масштабные коэффициенты уравнений (14-18), определяющие, по сути, соотношения между

действующими силами, позволяют записать четыре стандартных, независимых и безразмерных

критерия: гомохронности Н, Фруда Бг, Эйлера Ей и Рейнольдса Яе:

Н = —, Бг = —, Ей = -%, Яе = —. (19)

1 рv2 V

Равенство соответствующих критериев обеспечивает подобие натурного и модельного потоков для вязкой несжимаемой жидкости, подчиняющейся уравнениям Эйлера-Стокса. При моделировании кавитационного обтекания лопастей указанные выше критерии являются необходимыми, но недостаточными. Критерий Эйлера применительно к кавитационным явлениям можно модернизировать, превратив его в так называемое кавитационное число:

X1 = ^Ц^, (20)

рv2

где ркг - критическое значение давления, при котором возникают единичные (как правило, один раз в секунду) кавитационные события. Как показали эксперименты, проведенные с перемешивающими устройствами, здесь имеет место явно выраженная зависимость кавитационного числа от центробежного критерия Рейнольдса. На рис. 7 приведены экспериментальные зависимости,

полученные при вращении в оребренном аппарате стержней (зависимости 1, 2) и пластин (зависимости 3, 4, 5). Зависимость 1 получена для стержня шириной Ь = 3 мм, зависимость 2 - шириной Ь = 6 мм. Вращающиеся стержни в плане масштабного эффекта можно охарактеризовать следующей эмпирической зависимостью:

X1 = 6,87ЬЯе0,365. (21)

Зависимость 3 получена для пластин, расположенных перпендикулярно плоскости вращения, с шириной Ь = 3,6 мм; зависимость 4 - для пластин с шириной Ь = 10 мм. Масштабный эффект в этом случае характеризовался уравнением вида:

X1 = 8,25ЬЯе0,469. (22)

Таким образом, два критерия из четырех не являются независимыми, что дает все основания считать их необходимыми, но недостаточными.

Как и во всяких замкнутых гидродинамических системах с циркуляционными контурами, физическое состояние жидкости в перемешивающих устройствах не может рассматриваться как стационарное, особенно при анализе кавитационных явлений, зависящих, прежде всего, от концентрации и размеров кавитационных ядер.

"х2

^2

"2

Для выяснения особенностей этого обстоятельства были проведены экспериментальные исследования начальных стадий кавитации акустическим методом. Возникновение кавитации фиксировалось по специфическим амплитудным и спектральным изменениям акустического излучения. Структурная схема аппаратурного комплекса приведена на рис. 8. Аппаратурный комплекс позволял проводить все типовые

100

10

1

-1, і

V

&

’А-'■"в” ’Уа" ' < I

пп

► II 1 а □ ) 00“0с о—

йп- о < —

□ 0^0 Л

1рО ► ► к

▲ ▲ А

СҐО д і ч • •

А А і Л ЛІ ■ й ес

гидроакустические измерения в полосе частот 5 - 500 кГц при использовании системы последовательного и параллельного спектрального анализа. Перемешивающее устройство 8 совместно с приводом 3 монтировалось на поворотном устройстве бассейна 9 и было помещено в звукоизоляционный кожух. Привод перемешивающего устройства 3 питался регулируемым напряжением, снимаемым с выпрямительного устройства 1. Система регулировки частоты вращения мешалки состояла из вращающегося диска с прорезями 4, осветителя 5, фотоприемника 6, электронного частотомера 7. Изменение частоты вращения мешалки 10 могло осуществляться вручную или автоматически системой протяжки бумаги самописца уровня 2. Измерительный тракт бассейна 9 был снабжен набором пьезокерамических калиброванных тонкостенных сферических

гидрофонов 11 диаметром 5, 3 и 1 см. Сигналы с гидрофонов, которые подключались поочередно в зависимости от диапазона исследуемых частот, подавались на усилитель 12, выходное напряжение которого одновременно поступало на последовательный 13 и на параллельный 14 анализаторы спектра. Широкополосный усилитель 15 служил для

10

10

10

Рис. 7. Зависимости кавитационного числа х для стержней и пластин

-/(Ке)

4

5 0000

ч 7 Н

согласования выходов анализаторов спектра с самописцем 16 и осциллографом 17.

На рис. 9 приведена уровнеграмма записи на ленту самописца интегрального уровня шума в полосе частот 10 - 100 кГц при использовании входного делителя на 50 дБ. В качестве источника кавитационного шума использовалась лопастная мешалка, фотографии которой показаны на рис. 6. Вертикальные метки на уровнеграмме соответствуют следующим значениям центробежного критерия Рейнольдса:

1 - Яес = 1105; 2 - Яес = 1,38 105;

3 - Яес = 1,68-105; 4 - Яес = 1,8-105; 5 - Яес =

2-105.

Как видно из данных рис. 9, на

зависимости Ь = :Т(Яес) можно выделить три характерных участка частот вращения: первый участок, соответствующий турбулентному режиму обтекания лопастей, простирается от малых значений критерия Рейнольдса до критического значения Яес(сг) = 8,7-104, когда кавитация наблюдается в виде единичных событий, протекающих в среднем один раз в секунду. Второй участок характеризуется резким возрастанием уровня шума и имеет место в диапазоне чисел Рейнольдса от Яес = 1-105. Суть

эксперимента заключалась в следующем: посредством ступенчатого увеличения частоты вращения мешалки достигался режим обтекания лопастей, при котором кавитационные события следовали с частотой в 1 Гц, затем на фиксированной частоте вращения осуществлялась запись акустического шума

Рис. 8. Структурная схема аппаратурного комплекса для исследований акустического излучения кавитационного перемешивания

при максимальной чувствительности приемного тракта и при постоянной скорости протяжки ленты

Рис. 9. Интегральный уровень кавитационного шума ЬА = /(Яе,)

самописца, снабженного входным делителем 25 дБ.

На ленте фиксировались выбросы, обусловленные единичными кавитационными событиями. На рис. 10 показана частота следования кавитационных событий в зависимости от времени циркуляции рабочей жидкости в аппарате. Кривая 2 соответствует водопроводной неотстоявшейся воде, а кривая 1 -дистиллированной, отфильтрованной воде. Зависимости N = А(т) дают основание полагать, что при перемешивании объема V = 0,05 м3 за счет циркуляции происходит изменение концентрации ядер, способных терять устойчивость при заданной температуре, т. е. их количество в единице объема воды составит:

пГЯ ) - Т 3а(т) аЯо

П(Яо) = •! 4п(( -Ятт)

(23)

текущее значение радиуса юо

10

где И -зародыша,

а - объемное газосодержание, зависящее в данном случае от времени перемешивания (циркуляции) жидкости, Итак, Ятт -максимальный и минимальный размер зародыша. В перемешивающих уст-ройствах гидродинамическая кавитация, таким образом, имеет свойство к самоподдерживанию, т. е. наблюдается процесс, подобный цепной реакции.

Проведенные наблюдения показали, что даже при исполнении строго всех условий (20) моделирование кавита-ционных

процессов в замкнутых объемах с

циркуляционными контурами является некорректным. При рассмотрении кавитационных явлений общепринятые критерии динамического подобия должны быть дополнены независимым безразмерным коэффициентом, учитывающим концентрацию и распределение по размерам зародышей конкурентной фазы:

т ,мин 4 М00

Рис.10. Зависимость частоты следования кавитационных событий от времени работы перемешивающего устройства

К -

аQ

ПуА

(24)

где Q - секундный объем жидкости, проходящий через поперечное сечение мешалки, п - частота вращения мешалки, VA - объем аппарата. Этот критерий подобия не лишен недостатков, потому что не учитывает динамику распределения зародышей по размерам.

Литература

1. Исаков А.Я. Утилизация нефтесодержащих вод в судовых условиях: - Петретропавловск-Камчатский: КамчатГТУ, 2002. - 253 с.

2. Физика мощного ультразвука. Физические основы ультразвуковой технологии / Под ред. Л.Д. Розенберга. - М.: Наука, 1970. - 687 с.

3. Фридман В.М. Ультразвуковая химическая аппаратура. - М.: Машиностроение, 1967. - 210 с.

4. Ультразвуковая технология / Под ред. Б.А. Аграната. - М.: Металлургия, 1974. - 594 с.

5. ПерникА.Д. Проблемы кавитации. 2-е изд. - Л.: Судостроение, 1966.- 439 с.

6. Турбулентность. Принципы и применения / Под ред. У. Фроста, Т. Моулдена; Пер. с англ. -М.: Мир, 1980. - 535 с.

7. СедовЛ.И. Механика сплошной среды. Т.2. Гидромеханика. - М.: Наука, 1973. - С.7 - 325.

8. БэтчелорДж. Введение в динамику жидкости / Пер. с англ. - М.: Мир, 1973. -758 с.

9. Исаков А.Я., Исакова В.В. Особенности вихреобразования при обтекании лопастей перемешивающих устройств // Материалы научно-технической конференции КамчатГТУ «Проблемы современного естествознания». - Петропавловск-Камчатский: КамчатГТУ, 2002. - С. 34 -47.

10. Аппараты с механическими перемешивающими устройствами вертикальные. Метод расчета. РТМ 26-01-90-76. СССР / Брагинский Л.Н., Васильцов Э.А., Исаков А.Я., Ушаков В.Г. и др. - М.: Всесоюзное промышленное объединение, 1976. -160 с.

11. Патрашев А.Н., Кивако Л.А., Гожий С.И. Прикладная гидромеханика. - М.: Воен. изд-во М-ва обороны СССР, 1970. - 605 с.