О возможном алгоритме численного решения задачи многих тел в небесной механике. Иерархия интегральных уравнений задачи многих тел Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

УДК 51

О ВОЗМОЖНОМ АЛГОРИТМЕ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ В НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКЕ. ИЕРАРХИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ

В. Г». Сурнен

В статье предложен метод решети основной задачи небесной механики об •»иолнтм» еметсми п чатернальимх точек. озанмолегествуюишх между cooonпо ЗДОну иссчнпного тяготенияНьютона Метод основан нп сведении задлчн Кош к для смет омы дифференциальных уравнений данженнх системы п мате-рилщ.ныч точен, слсдукмпих го »»тороготакспо диилмихн. к ?капаюснтж>П системе интегральных уравнении Волкгсрр,». При номошн мудьтнполыю о разложения напряженности i рзвнтанноннот пол л получена иерархия интегральных >раннеинй Волмерри с различным !степенными нелниейностнми

Каючмые с7 гам: небе сим механика; задача многих тел; замой исемириот тяготения; интегральные vp.iuiieinm начальная задача.

The rtialioT$ug^e$rs п method of living of the main problem of celestial mechanics about evolution of the system rn matcuul points. mteructino between themselves according to New ton's law of gravity. The method js b.wco on Cauchy problem convergence for «he system of differential equations ol' ihe system movement н material points, follow ing from the second law of dynamics to the equivalent system of integral Volterra equations Whit iho help ofmulii-pcvlt; expansion o! yravvaticnnl field doniity a hierarchy of integral Volterra equaiioiu has been received with various exptroculial nnnlinroriiy

Key >t itrds: celestial mechanics: many-body problem: the lawof gravity, integral equation*. initial problem

Иреюирн | сльнме >амечяини к Г» ос-ношшн чоде.1н и осиовион задиче небес-ной механики В твестной работе ( ] сказано, тго изучить движение какого-либо небесного тепа - это значит, с одной стороны, у ста копить общие -законы. характеризующие движение тела в целом, о с другой—получить возможность определять для всякою момента времени положение и скорость рассматриваемого гсла ПО отношению к другим гелям Вселенной. Отмечено, что первая из названных частей исследования относится ь качественному, а вторая к количественному анализу движения, и обе части не могут быть иТдслены яруг от друг.» Очевидно, что как качественный, так и количественный анализ ¡¡пижонив небесных тел в рамкам классической механики /щажен осноиываться ни неко-трой матемитнчеекой модели

Напомним основные упрощающие пред* положат», которые принимаются для посгро-ення основной математической модели небесной механики

Первое упрощающее предположение со-стозтг «ограничении количества небесных тел таким числом тел. чтобы совместное лвиже-ннс их можно было описать в рамках модели классической механики

Второе упрощающее предположение иь стоит в том. что рассматривается тачько движение гел нашей Солнечной системы Это предположение обусловлено тем, что расчеты. проводимые в рамках используемой мотели. Должны быть проверены экспериментально или путйм наблюдений, которые и в илетоящее нремя могут быть уверенно про-ьелены только над телами Солнечной системы. В рамках такого предположения Солнечна« система должна считаться июлнровзнной.

что может быть обосновано тем. что рассеяния между любыми шедшими системами настолько велики. что нх влияниецр>I надр> -• а на интересующем исследователей промежутке врсмсан мало, л им моЖт пренебречь Грстье уирошшошоо предположение состоит и гом. 'по к модели небесной механики !3 основные силы принимаются силы притяжении С или. действующие на нвбеспыетсла, весьма mhoi очислснны и ло сих пор не изучены полностью. Поэтому модель движения небесных тел .шпжи» fimi. копклепгтирована нугем .мбора известных сил оказывающих наиболее существенное влияние на движение системы Гакимн силами, несомненно, являют* силы протяжения, описываемые законом всемирного тяготении Ньютона

Движение всякого тела можно разложил» на поступательное движение центра масс, на «решительное движение вокруг центра \iacc и ни изменения формы и структуры самого ■ ела. Понятно, что исследование движения небесных тел. пюночаюшее в себя псе три нпзвинные части, является слишком сложным н мряд ли может быть проведено в полном объеме. Поэтому из начальном лапе исследования целесообразно принять четвертое упрошаюшес предположение, состоящее о том. чти исследуемые тело ечктяюгея ябсо-.ПОЛЮ гвердымн. го ее Я/ изменением ИХ структуры и размеров н процессе движения можно пренебречь.

Пятое упрошаюшес предположение со CToifT и том. «по при изучении движения системы небесны* тел можно пренебречь их линейными размерами. )то предположение мо жег быть обосновано результатами теории притяжения [ IJ. которые покатывают, что если тяготеющие тела произвольной формы и сложною внутреннего строения имеют линейные размеры весьма малые по сравнению с расстояниями между их центрами масс, то эти тела взаимно пршигнваютсн с силой, приближенно обратно пропорциональной квнлрат> расстояния между нх центрами масс Гак. например, Земля при своем лвижеинн feoxpvi Солнца может рассматривания как матери-лльнав гочкд, однако рассматр икать Землю как материальную ючку и зал:.чах о шиже-нни искусственных снутннкрв уже нельзя

Ни основе сделанных уп|>0ши10шп\ прел-положспиЙ гам же сформулирована основная модель небесной механики - яиол»оппонирующая во времени в абсолютно пустом пространстве изолированная система материальных ючек постоянной массы. йзанмодейству-юишх между собой по ¿актг> всемирного тяготения Ньютона

Оснопняя задача небесной механики состоит в исследовании эволюции этой модели и может быть сформужропииа следующим образом 111: исследовать аонсжсннс изолиро-ванной системы конечною числа свободных материальных ючек.обладающих иосюяпны ми массами и взаимодействующих между собой по закону всемирного тяготения Ньютона. в абсолютно пустом пространстве Дальше. как зто принято, основную задачу небесной механики будем называть задачей Л1 гел (многих тел).

Несмотря на сделанные упрощающие прел положения, основные результаты в решении задачи Л' тел сводятся в основном к десяти известным интегралам движения [7] Различные частые анад|гтнческие решения *а-дачи j\ тел. полученные о период с XVIII и до начала XX веков [4.7]. представляют п основном научный шгтерес и вряд тн могут внести существенный вклад в приложения небесной механики Численные методы основаны, по большей части, на теории возмущений [4, 7] и представляют собой достаточно трудоемкие процедуры даже для современных вычислительных систем.

11лстоящая работа носит постановочный характер и является первой аз предполагаемой серии работ, посвященных применению для численною решения задали А'тел хорошо зарекомендовавшего себя в теории динамических систем метода нптегральных уравнений |5), В дайной работе рмссмщрнаиегся подход к решению задачи V гел, Основанный на замене задачи Кошн лля системы обыкнонеи-Ш.1Х дифференциальных уравнений эквивалентной системой щггегральных уравнений Воль-терр» (3. IOJ При построении формализма в данной роботе мы намеренно избегаем нс-потлиюння криволинейных систем координат все выкладки проводятся а ииерпилльной системе отсчёта с фиксированным орггонорми-

рованным репером. Другие, усовершенспю-ванные варианты метода, а также некоторые результаты численного моделирования реалистичных задач будут публиковаться по мере их развития.

Постановка задачи /V тел. Итак, пусть рассматривается движение системы .V материальных точек относительно инерниальной системы отсчёта, взаимодействующих между собой в соответствии с законом всемирного тяготения. Предположим, что система (чечъпа являсчся неподвижной Учитывая упрощающее предположение о не с/таким большом Числе тел в системе, проявлением стохастических закономерностей в et поведении можно пренебречь н рассматривать эволюцию системы как чисто детермин^юван-ную. С учётом принятых допущений математическая модель системы представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (второго закона Ньютона), а основная задача небесной механики (задача .V тел) может быть сформулирована как начальная задача (задача Коши) с соответствующими начальными условиями:

w—-=/>—--г*

dt ..л г • t'J

t**

ihi -¡и, У и*Ц

_ (2)

где /. j = 1. /V. а_/ - гравитационная иостчть

ная. В системе уравнений (I) суммирование распространяется на значения ] - /. и тем самым самовоздействие материальных тел не учитывается - тела рассматриваются как материальные точки. Отметим, что взаимные радиус-векторы материальных точек, обозначенные

г. = О)

направлены от точки к точке т, и, следовательно. справедливы соотношения

=-rt (/../= 1,2.3)- <4>

Задача трёх тел. Если понимать основную задачу небесной механики так. как это сформулировано выше, становится очевидным. что даже численное решение лой задачи вряд ли осуществимо для достаточно большою числа V материальных точек. Поэтому-большое внимание уделялось и уделяется в настоящее время решению частой задачи при Л'" — 3, которая намного ближе к практике, нежели более простая задача двух тел |7]

Система (1) для случая гр*х гея в развёрнутой форме имеет вид-

d'K, = / w,/w2 r\>-f 9 г.. .

dr 't K)

R, ■'1 WjW, m.Hj rjj

dr L <■;

d3R. •Ф Г i|t- r«

dr •1 ri

Система уравнений (5) представляет собой систему девяти квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнении и описывает эволюцию системы тр£> неизменяемых тел - материальных точек взаимодействующих в соответствии с законом всемирного тяготения. Гак как гели считаются неизменяемыми. то система является идеальной или непараметрической, следовательно, каждое уравнение системы можно умножить,

соответственно, ни т,'1 Считая базис

6'»• * • с • декартовой системы координат

постоянным во времени, перепишем систему уравнений (5) в некторно-матричном виде

^МН-Кг-ИДО, («

где вектор-столбец искомых величин координат взаимодействующих тел. имеет вид

|.У(/)) = (л1| г} х} х1 х? х1 .т! 4 41

(7)

/ - единичная матрица, Л') - зависящая от времени н координат искомого вектора-стол-биа 9x9 блочная функциональная матрнца

a¡ ei bí)

Bt

B¡ В>3 ti}

B¡ B¡

Матрица (8) составлена из 3 x ? блоков А, следующего вида:

К

Oi

и:

в;

Г^-х'

V'

О

-Ьл}',

о:

'а

О

f^l

'и

J ,

•it

О

О

ri О

/ЧЧ'

Г»

/3W

ги

о

о

fJh-x'-

г>| О

/ > *i

•и

о

О

ïïm

/ЗМ

О

f^-A

Г»

О О

/

ги

О О

'il

В развёрнутой форме система уравнении (6) имеет вид:

dlx\ dr '

иг

d\> (Ir

dr

d'x; dr =

d'x;

dr '

¿íL dtz

dr

u r¿.

w,"

и

/л,

'u

m, ш I , m, , rnu j

f,n\ s л m>. w> L, v'

lrj» ruJ ru

r2l L 2« it J

-3 . ^ J Jw, W.l J

'»I 12 L 1« J

f-^x, f f

d_ iU

r"l, i rmi i À m, ,П-

p-f-fb+f-ftl-n

" ri» ru L rn rv.

(9)

Систему (9) целесообразно переписать u компактом виде:

Sx! у

Y »«i

(10)

Здесь индекс * ® 1.2.3 нумерует координаты материальной точки, индексы / и / нумеруют сами материальные точки, а символ

IO.f-7

исключает наличие в сумме слагаемого с / - у. то ecib унптывпет факт локальности теории -отсутствие воздействии материальной точки самой на ссбя.

К описываемому системой уравнений ( 10) случаю системы трех взаимодействующих по икону всемирного тяготении Ньютона материальных точек мы вернемся в последующих работах л сейчас перепишем систему уравнений (10) тля случая системы N материальных точек;

( 11 ))по принятой классификации может быть отнесена к нелинейным системам, так как дифференциальный оператор згой системы не имеет стандартного для линейных систем вида

а* <// 4

где А. В и С - в общем случае зависящие от времени ¡ матрицы. Несмотря на кажущийся простой общий внд. система обыкновенных дифференциальных уравнений (12) достаточно сложна по своим свойствам

Вектор-функция в правой части (12) по своему физическому смыслу является напряжённостью ньютоновского гравитационного поля, создаваемого в месте расположения точки с номером i остальными точками системы. Введём обозначение для напряжённости ньютоновскою i рави«анионного поля

if,-fi, >УЯ; Rj-Ri

dr "m

(13)

Тогда система уравнений (12) переписывается в формально более простом виде.

ц-ит.*.*). о*)

(II)

В векторной форме система (II) имеет

вид

<llR'=f JKm. R'-R

<!2>

При записи основной системы уравнений задачи трёх тел (10) или задачи /V тел {11) мы намеренно не использовали, как это обычно 'И'лается. понятие силовой функции, имея в виду другую форму записи основной системы, которую приведём ниже.

Система нелинейных интегральных уравнений Волысрра задачи А' тел Сис-гема дифференциальных уравнений (: 2) (или

Интегрируя систему (14) по времени в промежутке [/„, /1 с (а, Ь) и учитывая второе начальное условие (2), получим

Интегрируя получившееся тождество но промежутку (/„, /] с (а. Ь) еще раз и используя первое из начальных условий (2). получим

Я, (/) --*Лт] jF,[Й.. Л,,i \itdi

(15)

Применяя в выражении (15) формулу Дирихле [3], получаем

где ¿¡¿.7?..С|

определяется согласно вы-

ражению (13).

Система соотношений (16) представляет собой записанную в векторном виде систему нелинейных шпегральныхуравиешй Вольтер-ра. эквивалентную задаче Коши {I). (2). Доказательство эквивалентности получается непосредственной проверкой, которая осуществляется дифференцированием обеих частей векторного соотношения (15)

Мулътлполыюс разложение напряжённости. Несмотря на кажущуюся простого. система уравнений Вольтерра Г16) является достаточно сложной системой сильно нелинейных интегральных уравнений. Поэтому имеет смысл попробовать подучить из выражения (! 6) более простые приближённые системы уравнений. Для этого рассмотрим подынтегральную вектор-функцию в (16) -напряженность ньютоновского ррогнтпциопно-ю поля, которая определена формулой (13)

Всктор-функпия напряжённости (13):мви-с|п, очевидно, от координат все* точек системы. например, для случая трйх тел - от девяти координат взаимодействующих материальных точек

г,\ к = г.х.1.*;.*:.*;.*;,*;.*.1).

В репере ^ •• с»|. связанном с тигр-

цнальной системой отсчета, вектор-функция (13) имеет разложение по базису

(17)

где ;•(/ = = + - х' +

/./-Ц? я -

Имея и виду решение задачи Коши (I). (2), разложим вектор функцию (17)в ряд Тейлора в окрестности произвольно выбранного дошль-ногосостоянии. Для этого воспользуемся формулами из работ 111.12], несколько их усовершенствовав

В рассматриваемой области пространства конфигураций /^зададим произвольным

А

образом движение \V.J~pR и соответствующий парцчегрюошшиый пул- И'(У) таким образом, чтобы путь проходил через

точку А/(>| хи ), где дч. - радиус-вектор в пространстве конфигураций, имеющий коорднна-

« II К и ък V (I * V

ТЫ х1.х!у,.х1:.х:ух].....Х^.Ху.Х,! Под-

ставяяя скалярную параметризацию пути

*; = *;(/)• ей

где и = <,2, ... ЗА', щ - 1.2,3 в формулу (1 Я),

получим ?

<•*« (19)

Теперь вектор-функция F превращается я сложную функцию одного действительного переменного;

/и

щ*

(20)

Всчстор-функиня Ь дальше считается гладкой функцией, то есть дифференцируемой нужное число раз функцией в некоторой окре-

стное ги точки

Полому функция (20)

ортного переменного г е ./также является гладкой функцией в некоторой окрестности

точки

е Атакой, что {(V) = ]

-1

В силу наложенных условий функция Г как

функция одного переменного ( может бьггь и окрестности разложена в ряд Тейлора. Для этою сначала разложим в ряд Тейлора каждую координатную функцию:

V J J

Подстановка в формулу (1*>) привалит к разложению векгор-функцнм (17) в ряд Тейлора f 111 в окрестности произвольно выбран-

Ного начального состояния г.. =.г(/ ):

F,| Го];

•ч -

г»

+ 1 t-t

(22)

Формула (22) является аналогом ыультн-нольного разложения, которое широко применяется о задачах электродинамики для представления электростатического потенциала (16]. записанным, однако. ДЛЯ вектор-функции напряжённости гравитационного ноля.

Иерархии приближенных систем пи-тральпмх уравнений Вои.терра задача Л/ тел. Подставляя разложение (22! в (16) и учитывая (2). перепишем систему уравнений Польтеррл в виде

у (Н

у| у v^-j

+ I t-t

I < i a3/-/

1 >—

n .

(23)

Учитывая, что dx' = . где вве-

е

дено обозначение д£ = *7(/0), получим

dt

+

f(,-i)| if'(;.);,.

e* +

J

♦ I t<i

I .v .V i 3 a-r« /-»

P)

- <|-< J j e1*...jjL (24)

Проектируя па оси системы итсчбта, перепишем векторное интегральное уравнение (24)гак:

dt

I V V ^ f? )

»в«««

(25)

или, обозначая >,'(/)= х'(/)-**, онончатель-по получим

I v ^ „-iwrita,, V /

где А • 1.2.3:/ = 1.2.....-V.

Удерживая в разложении под знаком интеграла п уравнении (26) число слагаемых последовательно 0.!. 2... и придавая мультн-индемсу «• - (и. р) значения в пределах 1.2,....

получим специальную запись системы интегральных уравнений Вольтерра в различных приближениях и для различного числа материальных ючек в системе Приведём первые приближении основной системы уравнений Ограничиваясь в правой части уравнения

(26) всеми зависящими от переменных у"'

членами получаем систему соот ношений да» юшу ю решение задачи Коши нулевого приближения:

(27)

Ограничиваясь в правой части уравнения 126) только линейными членами, получаем систему первою приближенна:

«г,-■])(<

(28)

Оставляя о выражении (26) слагаемые второго порядка, получаем систему второго приближения:

N з Д/т' /-« \ иИмМСЯ« V / I ' N .V 3 Э ЙгР* /•♦ \

(29)

Продолжая процесс получения приближённых систем ишггрдльных уравнений Вольтерра, получим иерархию таких систем, раз-шчиюшихся ПО сложи ост и.

Отметим существенное различие системы интегральных уравнений (16) и полученных из нес приближённых систем (28). (29) и систем последующих приближений В то В|>е-мя как система интегральных уравнений (16) является точной и даст решение задачи Коши (1). (2) ив всём промежутке времени •>волю-пин изучаемой системы, системы уравнений

(28), (29).... являясь приближёнными, дают решение задачи Коши (I), (2 > лишь в некоторой окрестности начального состоянии *->, радиус которой очевидш»рас и'т с ростом приближения медленно Тем не менее следует отметить, что приближенная система (28) в силу линейности имеет более простую структуру и может быть решена численно, например, простым разностным методом (2, 9]. В то же время нелинейные системы - точная система уравнений (16) и приближённые системы более высокою порядка начиная с системы

(29), реально могут быть решены только метолом последовательных приближений или методом осреднения функциональных поправок [8. 9],

Заключение В статье предложен возможный вариант метода чиспениогорешения задачи многих «ел в небесной механике на основе интегральных уравнений Вольтерра Задача многих тел рассматривается как задача Юли и для системы обыкновенных дифференциальных уравнений от-юентслыь м о движении системы материальных точек, взаимодействующих по закону всемирною тяготения Ньютона. Получена точная система нелинейных интегральных уравнений, эквивалентная задаче Коши. На основе точной системы уравнений с использованием мулыипольиого разложения напряжённости ньютоновского грани-Iанионного поля, являющегося аналогом и »вестного мультипольною разложения »лек-тр< »статического потенциала, получена иерархия приближённых систем интегральных уравнений задачи многих тел.

Дальнейшее развитие метода интеграл ь-ны.ч уравнений для решения задачи многих тел н результаты ею численной реализации предполагается изложить и последующих публикациях.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Дупоишц, Г Н Небесная механика V кновныс задачи и методы / Г. Н. Дубошлн. -М Наука. 1975.-800 с.

2 Кшчткгш Н И Численные методы / II R Калипсин - М.. Наука 1978 -512 с.

}..'/шипт. У В. Линейные интегральные уравнения' У. В. Ловил. -М.. ГИФМП. 1957.-266 с.

-1 Маркие* .1 П Задача трех гел и ее точимо решении ' А. П. Марксев//Соросов.;« кий обратоватсльный журила - 1999. -J&9.-С. 112» Li 7.

5 Математическое моделирование неиде.т.нон линейной штамической системы с сосредоточенными параметрами/В. Б. Сур-нев, В. В. Пяткой, А А Гречнц. А. И. Пятков ft Груды четвёртой Всероссийский ночной конференции с международным участием. Ч Л Самара. 2007. С. 142-145.

6 Новожилов. Ю. В. Электродинамика / 10, В Новожилов, Ю А Яппа - М Наука. 1078 -352 с

7.1'ой. А Движение по орбитам / А. Рои М.: Мир, 1981 -544 с.

Н, Смирнов. //. С. Введение в теорию нспнн^йтыхингсграпьных уравнения.'I I.C Смирнов,—Л.- М.: ГИФМЛ. 1936. 124 с

9. Сакаюа, Ю. Д. Метод осреднения функциональных поправок I Ю. Д. Соколов. -Киев.: Наукова думка. 1967 - 332 с

10. Степанов, В. В Курс дифференциальных уравнений / В В. Степанов. - М.. ГИФМЛ. 1958.-468 с

И. Сурке», U И. Дифференциальная геометрия ' В. Б. Сурнев. - Ека.еринбург Пдд-мо УГГУ, 2007 - 186 с

12. Сурпеп, В Н Основы высшей математики. Ч. 3. Анализ функций нескольких действительных переменных / В. Б. Сурнев. -Екатеринбург: Иэд-по УГГУ. 2008 - 223 с.

13 lUuioo. Г t\ Математический анализ. Функции нескольких вещее пленных переменных / Г. Ь. Шилов. - М.: Наука, 1972. -622 с.

УДК 552.5

СТРОЕНИЕ. ТЕКСТУРНЫЕ ОСОБЕННОСТ И II УСЛОВИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ОТЛОЖЕНИЙ ВЕРХНИХ УРОВНЕЙ С ЫЛВИЦКОЙ СЕРИИ В БАССЕЙНЕ р. УСЬВА (СРЕДНИЙ УРАЛ)

Л. В. Масдов

В era г и: рассмотрены строение и условия образовали* отложений верхней части верхнего нендп в бэсссИнс р Усьва (правый приток р ЧусовоП). Дано описание тежотурио-струитурных особенностей герршенных пород и сделаны выводы об обствиовках накопления осалил* Коочваыестмга: Средний Урал, верхний венл

Snocture and conditions of formation -if the uppermost Upper Ve«dt.ui deposits in Hit: l»'v; River basin fright tributary of Chusovaya River) jre discussed Result! of structuTal-textiirnl Invtsrigjtficmj o' terrigenous rncki and conclusions concerning deposttr.-nal conditions an: given Keyword*: Middle Urals. Upper Vendiin