О температурной нестабильности индуктивного измерительного преобразователя Текст научной статьи по специальности «Математика»

7. Кимшшпейн J1 Я Геохимические индикаторы условий древнего торфоиаконления // Химия твердого тоттва. 1973. №4. С. 42-49,

8. Коапин Ю. В., Вчтовтина В. М, UJapoea ИХ Современное германиевое орудеиснис торфяники», образующихся в районе разиития 1ермадышх вод // Металлогения осадочных и осадочно-метаморфк-тоски* пород М; Наука, 1973. С, 195-200.

9. Ми/юноп К. В. Поиска и разведка угольных месторождений. м.: Недра, 1966. С. 304.

10. Олешхая И. М.. Шаврина И. И. Оценка точности определения качесгвешшй характеристики торфов // Сборник научных грудой f ВНИИТП. ]}., 1986. Bun. 56. С. 43-55.

11. Сырьевом ваш и перспективы создания в Томской области производства торного воска В. К. Бернвяжнс (и ¿ip.J // Актуальные вопросы геологии >1 географии Сибири: магериалы научной конференции. Томск: ТГУ, 1998. Т. 4. С. 153-155

12. Торф п народном хозяйстве! оод общ. ред В. Н.Соксловя. М. I Icipa. 1988.268 с.

13. Торфяные ресурсы мира: справочник t В. Д. Марков. А. С. Оленип, Л. Л. ОсиештКОна [н др.]; гюя обш. рея. А. С. Оленина. М.: Недра, 19X8. 383 с.

14. Юоовии Я. Э. Геохимия ископаемых углей (Нсорпштссхиемомпонагты), Л.: Наука, 1978.2б2с

15. F'aser DC A svngcnetic copper deposit of recent age,'/ Ecoii. Geol. 1961. V. 56. Nv 5 P. 951 -4X>2

УДК 550.38. 550.380 + 519.6

О ТЕМПЕРАТУРНОЙ НЕСТАБИЛЬНОСТИ ИНДУКТИВНОГО ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ

В. Б. Сурнсп, В. Б. Пятк'ова, А. И. Человечков

В статье предложено рассматривать нидукниониый измерительный преобразователь (ШИТ) как параметрическую подсистему измерительной системы, находящуюся под экзогенным воздействием окружающей среды. Динамиуа ИИП описывается решением задачи Коти лая системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, зависящими от температуры окружающей среды и. как следствие, от астроном» месил о времени. В рамках метода вторичных источников задзчз Коши соедсиа к системе линейных юпегральныя урваненнй Вошлеррз второго рода, решение «порой может быть найдено легко реализуемым числен»: о мел илом последовательных приближений

/Опорныесяова: Индукционные зопдировачии, жюгенные воздействия, параметрическая система, температурная нестабильность, задача Коши. уравнении Вальгсррз, метол последовательных приближении.

In «he article ii »s suggested ro consider inductive measuring transformer (IMT) as a parametric subsystem of a measuring system, being under exogenous alieci of the environment. Dynamics of IMT is described by solution of the Koshi problem for a system of ordinary differential equations with variable coefficients, depending on temperature of the environment and as n resul: on astronomical time. Within the frames of a method of secondary sources the Cauchy problem is brought to a system of linear integral Voltcrr equations of tbe secondary type, the solution of which may be found by easily realized numerical method of successive approximations.

Key worth: induction probing, exogenous affects, parametric system, temperature instability, Couehy problem, Voltcrr equations, method of successive approximations.

Введение

Индуктвная электроразведка объединяет методы с источниками первичного поля и и ид»? шгмземлешшк кот-урон, р которых протекает переменный ток низкой частоты (1-10' Гц). Так как геологическая срсда ==.40-------

является проводящей, первичное поле наводит в пей индукционные токи, возбуждающие вторичное элекгромаппгтное поде, которое, я свою очередь, наводит токи н приёмной рамке, расположенной на поверхности Земли или и иных областях пространства, например на вертолёте (аэроварнаш метода). Эти токи

регистрируются и обрабатываются измерительной аппаратурой (регистратором).

Методы индуктивной электроразведки ¿..асснфшшруются но способу возбуждения первичного поля, методике измерения магнит-<ого поля и по характеру изменения этого ноля ©и времени. Такую классификацию можно найти. например, и работах [1-3], и мы ее «."юсужлагь не будем, гак как анализ методов индуктивной электроразведки не является задачей данной статьи. Отметим только, »по ¿рели методов индуктивной электроразведки <>с*>бое место занимает метол переходных (фоцессов. В методе переходных процессов шучаогся нестационарное электромагнитное РП1С» возбужденное в изучаемой неоднородной теологической среде при помощи незаземлёи-ььгх контуров с током, го есть посрелством •л 'СИПЯ индукции

В работе 111 отмечено, что метод пере-ждлных процессов выгодно отличается От «*г»олов, основанных на изучении втори'шою юлл. Генерируемого в пространстве гармони-. :кими токами, следующими лвумя особе« -■остями,

I. Вторичное магнитное иоле измеряется оос.че того, как исчезнет первичное ноле «операторной рамки, Тем самым решается

проолема разделения первичного поля, не нссуитего информации о строении геоло« ичес-юй среды, и вторичного поля, несущею в себе полезную информацию об исследуемой среде.

2. Время затухания наведенных в среде токов зависит от проводимости и размеров, находящихся в ней рудных тел, что позволяет разделить наблюдаемое иоле во времени на ноля, обусловленные переходными процессами р различных областях изучаемой геологической среды.

Недостатком метода переходных процессов является объективная трудность измерения нестационарного поля. Эта трудность впечёт конструктивное усложнение аппаратуры дня измерения нестационарного поля по сравнению с аналогичной аппаратурой для измерения гармонического поля, что приводи г к снижению помехоустойчивости измерительной аппаратуры в целом. В частности, результаты измерений достаточно сильно зависят от экзогенных (внешних) воздействий на измерительную систему (комплекс измерительной аппаратуры). В качестве олной из таких причин выступает экзогенное тепловое воздействие на измерительную систему со стороны окружающей среды (рис. 1 >. Так как это воздействие не слишком сильное, в каждый

Рве. I.

момент времени измерительная система оста-сгеялннейной, но ее параметры опосредованно через температуру зависят от астрономического времени - измерительная система является параметрической.

Идеальная модель и иду »пивного

измерительного нреобразона ими

Измеряемые в эксперименте вторичные мотни гные поля, как правило, являются слабыми, и провести их измерение без предварительного усиления невозможно. На входе измерительной аппаратуры (регистратора) должно быть устройство, преобразующее напряжённость магнитного поля в электрическое напряжение. Преобразование напряжённости магнитного поля в тпектрн-ческое напряжение (ЭДС) осуществляется при помощи 1ак называемых индуктивных измерительных преобразователей - НИЛ (второе название - индукционныемагтиггоприсчикки -ИМГГ) [4.5] На рис. 2 показана электрическая схема индуктивного измерительного преобразователя. который является по существу электрическим колебательным контуром. Индуктивные измерительные преобразователи широко используются в индуктивной геофизической электроразведке при поисках месторождений рудных полезных ископаемых (индукционное электромагнитное зондирование. методы переходных процессом [6. 7), в инженерной геофизике для контроля за

состоянием различных коммуникаций [8], пр поисках металлических предметов « ралли* иых системах безопасности (металлодете! горы) [9]. в дефектоскопии [10].

В электроразведке применяются ИИ цвух типов: многовипсовыс кольцевые рам» без сердечника и рамки с разомкнуты сердечником стержневого типа, выполнение в виде многослойных катушек. Введение конструкцию ИНН ферромагнитного ссрдс ннка вытянутой формы, не изменяя прнннш действия преобразователя, существенно ув лпчиваег магнитный поток, иронизывакинг рамку, и тем самым существенно увелнчнва« чувствительность преобразователя при огр ниченных его габартггах, что весьма важно л практики полевых работ. Теория илсальни индукционных измерительных ирсобразоват лей подробно изложена в упомянутых выи работах [4, 5]. Для дальнейшего полезь напомнить основные результаты этой тсори

Пусть возбудитель тока (генератор) пр. пускает через генераторную катушку пмпу.-и тока, который индуцирует в среде первично магнитное поле (см, рис. I) Взанмоденствь первичного ноля с проводящими объекта* возбуждает в среде вторичное магнитное иол которое иаподит в рамке приемника ток регистрируемые посредством ипдукиионно! измерительного преобразователя.

Согласно работе 111 ], можно рассмотри эквивалентную электрическую схему, котор« приведена на рис. 3. На эквивалентной схе*

Рис.2.

Б

ф

Рис. 3,

НДС, наводимая в приёмной кагушкс МИП коричным магнитным полем, заменена "ДЦС •• вивален того источники напряжения.

Из -законов Кирхюфа следует обыкновение лнф<1>ерешшал1.иое уравнение, опнсываю-переходный ироцесс в идеальном индуктивном измерительном преобразователе, птгорое имеет вид (4]

<*2«с >

</г

л <*"с 2 г г 2а-А-+ о)-|/г = («„£,

т

(1)

гле «I = — 2

= со5| 1 --I. Если рассматривать

V. гЛ)

применение к методу переходных процессов, то, выбирая дтгтельность импульса гак, чтобы переходиые процессы, обусловленные перед-ним фронюм импульса, к моменту выключения поля полностью закончились, приходим к задаче Кошн для уравнения (1> с нулевыми начальными условиями:

В работах (4. 5) решение задачи Коши найдено операторным методом, что возможно в силу независимости параметров системы от времени - система идеальная Решение задачи Кошн (I), (2» можно также легко найти методом функции Грина, если найти функцию Грина для дифференциального оператора

</2 (I -> I = —^ + 2а — 4- (о" и з уравнения Ш и вое-(И2 Ж

.¿/о?

<о0 =

1С

пользоиаз1.ся прпншптом Дюамеля. согласно которому

о

Тогда решение задачи Кошн (I), (2) запишется в виде

о

где 0(1. С) - функция Грина, вид которой зависим от соотношения параметров среды и исследуемого тела, то есть в конечном итого от вида корней характеристическою уравнетшя.

Функционирование шитуктнвиого измерительного нреобразовате.« может быть описано также системой дифференциальных уравнений первого порядка. Действительно, для эквивалентной схемы индуктивною измерительного преобразователя, изображённой на рис. 3, но второму закону Кирхгофа имеем

Е(г), где «</.(') = I— -ш

падение напряжения на индуктивности

= г{г) иаДенне нанряженин на сопротивлении г, ис(/) - падение напряжения на ёмкости - выходе схемы; П(1) - эквивалентная ЭДС. которая является причиной возникновения тока в индуктивности после коммутации. Г1о первому закону Кирхгофа ток / в неразветвлённой части цепи равен сумме I г(. +г, оттскаюшнх от узла Л гоков. причём

/г = С ^'У ■ /д = Подставляя вмр.чжс-

<и

ния для падений напряжений и токов в уравнения законов Кирхгофа и опуская индекс у падения напряжения на ёмкости, получим:

I — + п + и = Е{(), Ж

. „ Ми и 1 = С —+—. Л И

(3)

(4)

Объединяя уравнения (3) и (4) в систему, имеем:

¿—+г/ + м = £(/), Ж

(и Я

(5)

Деля обе части уравнений системы (5) на индуктивность I и емкость С соответственно, приводим систему уравнений к нормальной форме:

(И г . 1 I _,м

¿111. I Ли__. _и_ _ 0

(б)

Систему (6) можно переписать в матричной форме

с :)>>

г I

С

I ВС)

А<)НЛ<)).

пс

<[т

О

Задача отыскания решения 1 у(1)) системы дифференциальных уравнении (7), удовлетворяющего начальному условию

(9)

явдйсгся задачей Коши и описывает эволюцию во времени идеальной модели исследуемой системы - нндук!ннного измерительного преобразователя.

Находя матричную функцию Грина дифференциального оператора

1

О I Л 1

{ г 1

Т 1

1

, с ВС

...) (10)

(7)

(8)

для указанных начальных уаюний (?) и для конкретных значений параметров системы г, К, I и С (для идеальной модели параметры постоянны) методом, изложенные ниже, решение задачи Коши (7). (9). в соответствии с принципом Дюамсдя. представим в следующем виде:

о»

'й

Формула (II) описывает эволюцию во времени идеальной модели индуктивного измерительного преобразователя.

Температурная нестабильность элементов электрических пеней. Электрическая цепь, как и всякая система с сосредоточенными параметрами, состоит из элементарных объектов (элобов), в качестве которых фигурируют резисторы, конденсаторы и катушки индуктивности. Из физических соображений следует, что численные значения параметров элобов электрической цепи (солротив-лепия, ёмкости и индуктивности соответственно) зависят от темпера гуры окружающей среды, то есть имеют место функциональные -зависимости

/?=Д(Г). ¡--ЦТ), С=С(П

(12]

Температурная нестабильность как раз и является следствием указанных функциональных зависимостей.

Для описания температурной нестабильности разложим функции (12) в ряд Тейлора в окрестности Г- 7'п:

+ {члены, начиная со второго порядка}.

(13)

{члены, начиная со второго порнОка [,

<141

+ {члены, начиная со второго поряока].

(151

Ограничиваясь в приведённых разложениях только линейными членами, можем запи сать следующие линеаризованные соотно-(Кения:

(i6i ilTi

I , 1 JC(T)\ (r rll

Ctr> = C(7o)

CiГо) dT

(18)

Вводя в формулах (16) (18) по опреде-icHino средние температурные коэффициенты ео1гротивления, индуктивности и ёмкости

def

км =

rfRfr),

Л(7Ь) dT

i î t/i(r)i

*£ " ¿(/¡,) ¿Г 1™'

У 1 </С(7')| с " С(7о) <7Г l**'

(19)

(20)

(21)

получаем

Я(Г)=/?0[|+МГ-Г0)]; (22)

¿(r)=in[l+Az(r-7;))t (23)

С(Г) = С0[1 + ^(Г-Г0)] (24)

«лс = ¿ч - ¿(Г„). с0 - С (7;>.

Следует отмстить, что температурные коэффициенты остаются постоянными только

в определённом диапазоне температур. За пределами выделенного диапазона линейная зависимость может нарушаться, и в этом слу чае в разложениях (13) (15) нужно уч»ггывать члены, начиная со второго порядка и выше. Впрочем, если исключил» экзотический случай слишком высоких температур, температурные коэффициенты, начиная со второю порядиа. имеют весьма малые значения. Для сопротивления, например, определённая эмпирически температурная зависимость в достаточно широком диапазоне температур Г е [0,600J С" имеет вил

R{T)~ /?o[l + 4'V-100)] гч« ¿¡У - - A 77**

°C:, kjj3)= -4,1Й-10-Ч"СЛ В ташера-

турном диапазоне T с [0.300] Са ее можно заменить зависимостью

В более ^реалистичном» температурном диапазоне Г е (-20. 60J С° с большой точностью справедлива линейная зависимость (22).

Кроме этого, нужно отметить, что температурный ко эффициент индуктивности носит комплексный характер, так как температурная нестабильность индуктивности измерительной катушки обусловлена целым рядом факторе в. J ) при изменеинн температуры изменяются длина и диаметр провода обмотки, а также длина н диаметр каркаса, в результате чего изменяются шаг и диаметр витков; 2) при изменении температуры изменяется диэлектрическая проницаемость материала каркас а, что ведёт к »вменению собственной ёмкости катушки. 3) при изменении температуры изменяется магнитная проницаемость сердечника, что непосредственно влияет на величину индуктивности.

Лшмошчио температурный ыоэффицисп ёмкости является комплексным коэффициентом. зависящим от ряда факторов, например, для плоского конденсатора: 1 ) от температурного коэффициента расширения диэлектрического материала прокладки. 2) от температурного коэффициента расширения материала пластин.

Зависимость темпера прньп коэффициентов от скорости изменения температуры

И практических приложениях темпера гур-ные коэффициенты зависят от времени. Действительно. в практике индуктивной геофизической разведки измерения магнитного ноля проводятся на некотором временном промежутке. например, в течение светового дня. Тепловой поток, воздействующий ив измерительную систему, в течение суток изменяется -температура окружающей среды является функцией времени, «по приводит к изменению параметров измерительной системы (см. рис. I). Поэтому временную зависимость нужно ввести в формулы (22) - (24). Лучше всего это сделать несколько раньше, » формулах (13)-(15).

Для преобразования формул (13) - (15) к нужному виду достаточно заметить, чте гак кик Г - ДД где / - астрономическое время, то параметры электрической цепи сложным образом зависит от времени вместо функций (I) имеем композиции функций

т=лсд/)), цо * ¿(до), а/) - сто». (25)

Тогда разложения (13) -(15) с учётом того, что 7'у - Д*0), принимают следующий вил:

4- {члены, начиная со второго порядка},

(26)

4- \чп-ны. начиная со второго порядка},

(27)

¿С(Т(!))<£\ ( ) <1Т ¿ГН'

С(Г)=С(Г0)+ -+ {чДеяы, начиная со второго порядка}.

(28)

Ограничиваясь линейными членами м используя определения температурных коэффи-'Н".*птоп (19) - (21), иону ч"м

С(г)-Св 1 + *с^Ц(<-'о)] (31»

где П/0». = ¿(Пдк С„ = (Щф. сГГ\

а величина скорость изменения

температуры в момент ;0,

Паримо ричискан модель индуктивного измерительного преобразователя

В предыдущем пункте приведены краткие сведения о физических свойствах элементов радиотехнических систем, »гз которых следует, что если радиотехническая система, и частности измерительная система (индукционный измерительный преобразователь), подвержена экзогенному тепловому воздействию со стороны окружающей среды, то параметры системы опосредованно завися» через температуру окружающей среды от астрономического времени. Поэтому в каждый моме! г времени измерительная система, оставаясь линейной, является параметрической. Следовательно. уравнение (I) следует заменить отвечающим физической реальности уравнением с переменными коэффннне!гтами

+ (/^^(гК-о^яН (32)

¿г л

которое является дифференциальным зволю« пиоштым уравнением для рассматриваемой динамической системы - индукционного измерительного преобразователя. Уравнение (32) описывает динамику модели индуктивного измерительного преобразователя. учнииваю-щую экзогенное тепловое воздействие на ИЗМС-ригельную систему и тем самым более точно соответствующую физике рассматриваемого процесса измерения вторичного магнитного поля.

Описание динамики параметрической системы с помощью дифференциального .равнения второго порядка с переменными коэффициентами приводит, однако, ктрудное-в процессе численного моделирования, связанным с выполнением процедуры численного дифференцирования. Избавиться от этик трудностей численного моделирования удаётся с помощью описания динамики параметрической системы уравнениями первою порядка вида (6) или. что то же самое, записанной в матричном виде системой дифференциальных уравнений (7).

Итак, пусть система измерения подвержена экзогенным температурным воздействиям Тогда коэффициенты системы диффережшальных уравнений (7) зависят от температуры, которая изменяется во времени согласно некоторому закону. Следовательно, коэффициенты системы являются сложными функниями времени, и для системы имеем общую запись:

\Pi if) рт)

(33)

|де

р?(0

I ЛА »

(34)

соу "Г' Щс(ГУ

Эволюция ИИП во времени кок парамст-рнческой динамической системы описывается

векгор-фушшней ¡у(0} решением задачи Коилс

С ЖК"»

(35)

МЭДнНл)- (36)

Система интегральных эпо.ионноннмх уравнений ИИП

значению температуры I Д(0), разложим чх в ряды Тейлора;

вгм-НМг»-^))! .

¿2(г(/))

- К7Ь) , г{Го№о)

Фо) ¿(Т0)

__' Мт0)

¿(Г0) <1Г

1 Мт0) /(Г0) ОТ

ш

(37)

/4(<)=

1ШУ1Ш

1.2т)

__I ¿цг0)</г(ц

Цг0) ¿{Т0) <гг л

2(Л_ I 1 I

с(г0) с:(г0) ат ш * -С(т0) ф,о) у

Предполаптя, что коэффициенты системы уравнений (35) варьируют в окрестности некоторых фоновых значений, отвечающих

miam" mwrnh i^HSm

(44)

мт

jLL

<!СШ) dT

яцт(,))с{г(<)) т))с2т

ЧК.«......

R{T0)C(To)

MTo) dCfa1 df +_¿L

R2(TMTn) н(гп)с2М

A =

M

Wb)

1

1

ад 1

(41)

с(г0) одДОГо);

перепишем систему уравнений (35) в виде

где введены обозначения:

dd

\P{t)=A-P{t)*

f НГо)

Фо)

I

ЦГ0)

гЩ)

ЦП !

~с(г0) ЩЩ))

I

4W _ 1

ГсШ Щ)5сШ

(43)

И|гтерпретируя вектор АР^у^)) как

вектор вторичных источников, запишем решение задачи Кошн (35). (36) по принципу Дюаме-дя в виде векторного интегральною уравнения

МОМлНлМЬ

145)

где G(t,s) - матричная функция Грина для на-чндьных условий (36). В уравнении (45) вектор

* с/,

..... -

В разложениях (37)- (40) элементов матрицы А Д/)) системы уравнений (35) темпера-гуриые коэффициенты определены формулами (19) - (2И. Определяя матрицу

| .ftWhJi&GM/W

'о

(46)

(42)

Векторное ннгаральнос уравнение (45) с учетом обозначений (43), (44) и (46) является искомым интегральным эволюционным урав пением динамической системы индуктивного измерительного преобразователя. Нетрудно видеть, что «то уравнение является уравнением типа Вольтсрра второго рода. Как известно 112], для интегральных уравнений этого типа имеет место сходимость метода последовательных приближений. Чтобы решение уравнения (45) можно было эффективно найти численно методом последовательных приближений. нужно знатьфункцнональные зависимости элементов шггрииы Р(1). что требует знания зависимости Т= Д7) температуры от времени. Задача может быть упрощена, сели в разложениях (37) - (40) ограничиться лннейвым приближением, что соответствует случаю слабомонотонною изменения температуры со временем. Тогда вместо формулы (43) для матрицы АР(1) будем иметь выражение

Гtff

ДР(/)= А-Р{1).

- к сШ

*(r0)c(r0)J

dT( 7Ь)

Jt

н и интегральном эволюционном ураяненнн (45) вектор вторичных источников принимает вид

(11

г{Т0) Ит0)

к-А*]

Цт„) ГМ]

*к+*с Ы*)

•'Щ

Л<)

г{Тп) I I Г

Гс(г0) /?('г0)с(г0)

к"0

}(с}Ы

Ш[к1~к*] йг)

*г к К + к у

а*

(48)

В обычном развернутом виде система уравнений записывается так:

_т.

-КМ-

(1Т

ш |»ч.(д-'о)

г/л-»

л(г0)с(г0)" есть) КМ-^

. иГ

Г** л

<£ы

с(гп) /?(гу)с(г0)/

Интегральное эволюционное уравнение в скалярной записи представляет собой систему интегральных уравнении, которая в матричном втие записывается как

г//

(50)

где использована линейная временттая зависимость индуктивности (30).

Функция Грина задачи Каши (35) -(36). Для численного решения векторного интегральною уравнения (48). эквивалентного задаче Копти (36), (36), нужно знать фундаментальное решение (функцию Грина) линейного обыкновенно» о дифференциального оператора

.о Iил

X 1 ¿о и _1__

Со .

векторного дифференциального уравнения (35) Сформулируем теорему, латошую консгрук-тивный метод нахождения функции Грина.

Теорема 1. Фундаментальное решение (функция Грина) матричного дифференциального оператора

выражается через решение задачи Кошн

/ (51)

и имеет вал

С(/)=7/(/)2(0=Я(/)К(/)Г,(/о\ (52)

где 0 - нулевая матрица; //(/) - функция Хсвн-сайда; >'(» - фундаментальная матрица однородной системы (51).

Доказательство. Сначала проверим, что решение задачи Котин

jtm^y(')) = \ 0): (53)

|>МвЫ m

может быть записано в виде матричной экспоненты

(55)

12А2

+ (-1Г ТГ—Г + ...

-Л/

Z(/)=expj-/</).

(i6)

ехр{-Л/)

0 .. 0 0 ... 0

о о

г.-".»

Поэтому

2(0 ) = ехр{-.40} = 5 • схр{- А0)5"1

V 0 .,r о

0 ... 0

= 5

u 0 ... A

Действительно, подставляя выражение (55) в (53) н учитывая легко получаемую формулу дифференцирования матричной экспоненты

d . , ЪА- , .и Л 2! (А-1^

получаем тождество

В сош ветсгвни с формулой (55) решением задачи Кошн (53), (54) при / > 0 является матричная функция

Проверим выполнение начальных условий (51 ). По известным формулам для матричной экспоненты 113]

Z(t) = схр{-At} » 5 • cxpl-A /}^', где S - V. Т - матрица перехода к базису собственных векторов матрицы А, и

Окончательно формула .для функции Грина линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений принимает вид

6'(r ) = H(t )Z{t ) = H{t )схр{- A t} =

= H(t]ScMS~\ С57)

что в силу формулы для общего решения однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений 114] совпадает с формулой (52). На этом доказательство теоремы закончено.

Уравнение (45) по аналогии с теорией рассеяния можно назвать уравнением Лнпмлна-Швишсра 115], или сокращённо УЛШ. Решение УЛШ (45) можно представить в виде борцовскою ряда, который получается методом последовательных подстановок. Для получения борцовского ряда запишем (45) для различных моментов времени /,. /,,... е (о, ¿>]:

а

I ><<2 )) = | Уо (h )>+) G(h. 'з №h i y(h H.

Совершая бесконечную подстановку; получаем решение УЛШ в виде искомого ряда:

I у(( )) = I УоЬ))+\ G(t> №'1 < .vo('i H +

+ )}a(t. /, M/,. '¡Ш'гЫЬгРь**

J II ana

xO(f2. 'iM'ilfoM^^'i +..» (58)

Определяя матрицу взаимодействия

M

- ])dt[dl2G(tj2)b0(t2 £(f2, -Ь

аа

- j j\dtsdt2diyG(t. ty M'-, £(/„ h )x « •» <i

.Л0(/:У?(г2Л, HH', l -]+-... •jujhiucm решение уравнения (45) в виде

:zcS~ I+-T гак называемая матрица рассеяли* или 5-матрица системы.

Система интегральных эволюционных ..равненнП (48) относится к тину Вольтерра Численное решение системы уравнений (48) «ожег был» найдено без особого труда, если -оказана сходимость борновскоп» ряла.

Теорема 2. Ест (v/. J = i. /») фwkuuu

• • г )). |/(0) и матрица \Р{1) непрерывны «с компактном промежутке |а. /»1, то ряс Варна (5Я) сходится на »пом промежутке лосачютио и равномерно.

Доказательство. Ядро уравнения -5«(матричная функция Грина)огршшчена на

fi. п|*[ы. Ь]. а вектор-функция |/(')) непре-îjbiia па (а />]. следовательно, например, не

• орме Ы>") =

соепки

*:-r^axV| справедливы

IXU*. £с*М)2>*(/|р. 1 m Я II

згкуда для общею члена Г'(/, н) ряду (1.4.2; Кмсем

• ; j с положительным общим членом

Иb-aft

* ——;-— сходится при люоых числах

/il

М. N. Ь - о и является мажорантой функционального ряда (58). Поэтому функшшиальнмй ряд (58) сходит ся абсолютно и равномерно на всем промежутке времени [а, Ь\.

Заключение. В статье предложено рассматривать индукционный измерительный преобразователь как параметрнческую подсистему измерительной системы, находящуюся под экзогенным воздействием окружающей срелы. Получена модифицированная система обыкновенных дифференциальных уравнений с гаписяшими от времени коэффициентами, оинсываниная функционирование ИИП В предположении не слишком сильных экзогенных воздействий основная задача математического моделирования НИИ - задача Коши сведена к системе линейных ннтприлышх уравнений Вольтерра.

БИШ101ОДИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Якубовский Ю. В. Эластроразасака. М.: Нсл-ра. 1973.304 с.

2. Захаров hIX Электроразведка методом ди-пелыюгоиидуктнииотопрофклиримаши. М. Недра. 1975.224 с.

3. Астраханцев Г. В. Ипдукшюнпос зондиро-панне при изучении контростиы» по электропровод-кости сред. Свердловск: Институт геофизики УрО АН СССР, 1988.182 с.

4. Милок Л. Я. Элементы транзисторных схем измерительной аппаратуры два индуктивной электроразведки. Киев. IiyxOBU думка, 1970.279 с

5. Аппаратура для ао/югеофшической ¡наемки с магнитным и электромагнитным информационными каналами 'Л Л. Вакульский[идр.]. Ки«: Наумова думка, 1985.256 с.

6. Хнеяеаскпй В. К Геофизические методы вс стсловкния земной коры. Чисть 2. Региональная. разведочная, ипжекерная и экологическая (еофизюл Дубна: МУПОЧ, 199?.

7. Гсофтика! В. Л. Богословский [и .тр.] NV: КДУ, 2008. 32(1 с.

8. Афонский А. А.ДнмкпновВ. П. Измеритель-ные приборы и массовые ьтектронные »»мерен г я М.: COJIOf l-I IPECC, 2(Ю7.544 с.

9. Рож ко« В //. Контроль качества при производстве летательных аппаратов. М.. Машиностроение. 2007

10. Математическое моделирование в здычэх механики связанных полей Введение в теорию термоиьс'зоэлектричества. Том I / Д. И Блр.ттокас (илр.|. М.; ЬДНТОРЕАЛ-УРРС, 2005.312с.

11. Бессонов JI. А. Электрические пени. М.: ГАР-ДАРИКИ.2007.701 с.

12. Ловитт У. В. Линейные инплральные уравнения. М.: ГИТТЛ, 1957.266 с.

13. Федорюк M. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука. 1985.448 с.

\ 4. Матвеев H. М. Обыкновенные дифференш!-альные уравнения. СПб.: Специальная литература, 1996.371с.

15. СурневВ. Б. О рассеянии упругих ваш локализованной неоднородностью // Из». АН СССР Геофизика. 1988. №2. С. 9-19.