CC BY
84
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ
УДК 521.1 +521.13
СИСТЕМА ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОСТУПАТЕЛЬНО-ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НЕБЕСНОГО ТЕЛА В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ НЫОТОНА
В. Б. Сурнсв, И. Д. Крюков
В статье приведена формулировка классической начальной задачи поступательно-вращательного движения абсолютно твердого тела в виде системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Предполагается, что в дальнейшем такая формулировка позволит разработать эффективный алгоритм решения задачи поступательно-вращательного движения системы небесных тел.
Ключевые слова, небесная механика, поступательно-вращательное движение, интегральное уравнение.
The article presents the formulation of a initial problem translational-rotational motion ofasolidbody as a system of Volterra integral equations of the second kind. It is supposedthat in future such a formulation will help to an efficient algorithm to solve the problem of translational-rotational motion of celestial bodies.
Keywords: celestial mechanics, transitional-rotary movement, integral equation.
Введение. Задача поступательно-вращательного движения небесных тел, являющаяся одним из обобщений основной задачи небесной механики, известна давно. Для се решения развиты методы, основанные на численном решении задачи Коши для систем дифференциальных уравнений [2]. В статье предлагается формулировка задачи поступательно-вращательного движения небесного тела - задачи Коши, в виде системы нелинейных интегральных уравнений Вольтерра. включающей в себя начальные условия. Результатом этой формулировки должен стать метод решения задачи поступательно-враща-тельного движения небесного тела во внешнем гравитационном поле, позволяющий найти обобщённые координаты тела путем численного решения указанной системы ичтеграль-НЫХ уравнений. Такой подход, по крайней мерс формально, имеет существенные преиму щества перед классическими методами, так как решать интегральные у равнения численно намного проще, нежели дифференциальные уравнения [2].
Статья посвящена выводу анонсированной системы интегральных уравнений и основана на работах одного из авторов [5, 6].
Постановка задачи поступательно« вращательного движения небесных тел. Сформулируем в целях напоминания некоторые физические и геометрические предположения относительно рассматриваемой динамической системы [2].
1. 11рсдположим. что рассматриваемая система содержит 2 тела и (¿х. причем тело (20-нсподвижнос, а - свободное.
2. Предположим, что тела Ql}t входящие в рассматриваемую систему, являются, возможно, неоднородными по вещественному составу, но абсолютно твердыми, с известным распределением масс, то есть
фу нкциональная зависимость р, =р,(.т',дг;,д:') считается заданной для каждого г = О, I.
3. Взаимодействие между телами системы происходит по закону всемирного тяготения Ньютона, то есть силы взаимодействия являются полевыми и могут быть выражены через градиент силовой функции [2. 4).
Отметим, что из первого предположения следует невозможность столкновения тел системы, то есть из рассмотрения исключается случай
С?фПС,*0,
где О*0 и 6', - области пространства, занятые телами и соответственно.
Таким образом, в статье изучается исключительно случаи, когда тело совершает поступательно-вращательное движение в пате силы тяжести другого тела С0, причем последнее считается неподвижным. Движение тела будем рассматривать в абсолютной системе координат - декартовой системе координат ОХ*Х*Х* с ортонормированным репером
связанной с телом О0. Описан-
ная ситу ация изображена на рисунке, причем масштаб не выдержан.
I ¡остановку задачи поступательно-вращательного движения небесных тел сформулируем в виде, предложенном в классической работе [2].
С твердым телом О, свяжем сопутствующую (подвижную) систему координат СГГУ с ортонормированным репером
|сэв|,в2,в>|.
Пусть в начальный момент
времени начало сопутствующей с истемы координат и ее оси совпадают с началом и осями системы координат наблюдателя. Предполо-
жим, что тело совершило некоторый поворот, причем точки Си О остались совмещенными.
Любой поворот твердого тела можно представить как композицию трех элементарных вращений [1]:
- поворота вокруг оси ОХ* на угол <р -угол прецессии (см. рисунок). Направление, которое при таком повороте займёт ось О У1, определит линию узлов:
- поворота вокруг линии узлов на угол 0 -угол нутации;
- поворота вокруг оси ОТ на угол у -угол чистого вращения,
Все три поворота осуществляются вокруг соответствующей оси в полежительном направлении. которое определяется правилом правого винта.
Напомним:
1) линия узлов является прямой линией, по которой пересекаются координатные плоскости XхОХ1 и ГОК1;
2) угол ф образован осью ОХ и линией
узлов;
3) угол 0 образован осью ООО и осью ОТ;
4) угол у образован линией узлов и осью
ОТ.
Для однозначности выполнения реального поворота для углов ф, 0,4/ принимаются следующие пределы изменения: 0 й. ф <. 2л. О <, 0 £ л. 0 <. V £ 2я. Введенные углы называются углами Эйлера [ 1 ].
Однозначность представления любого конечного пространственного поворота абсолютно твердого тела углами Эйлера доказана, например, в работе [ 1 ]. Следовательно, принимая. как обычно, за обобщённые координаты в абсолютной системе координат ОХ*Х*Х* с
/- - -м
ортонормированным репером <1е\,ег,е1>
шесть величин , , ф, 0, у} - три декартовы координаты центра масс тела и три угла Эйлера, можем описать любое поступательно-вращательное движение твердого тела.
Известно [I], что компоненты вектора
угловой скорости <■> в сопутствующей системе координат определяются следующими формулами, носящими название «кинематические уравнения Эйлера»:
о), = ф.чш О.чш ф + всо$ф, • •
(о} = ФБШ 00054* ~ ^^¡п V}/, • •
(О, = фСО50 + ф.
(1)
Чтобы ввести используемые ниже обозначения, напомним кратко ход дальнейших выводов, приводящих к системе обыкновенных дифференциальных уравнений постунатсльно-врашательного движения абсолютно твердого тела. Подробные преобразования в гораздо более общем виде можно найти в работе [2).
В качестве обобщенных координат, определяющих положение твердого тела в пространстве относительно инерциалыюй системы координат, выберем три координаты центра инерции твердого тела и три угла Эйлера. Оси сопутствующей системы координат направим по главным осям инерции твердого тела. 11ри таком выборе положения сопутствующей системы координат кинетическая энергия твердого тела определяется как сумма кинетической энергии поступательного движения
|2
(2)
-Ж
и кинетической энергии вращательного движения
(3)
где /,, /„ - главные моменты инерции твердого тела. Учитывая формулы (2), (3), легко видеть, что выражение для фу нкции Лаг-ранжа твердого тела С{ имеет вид:
¿=-А- & +/,ох 2 ||<Л | 2
(4)
Подстановка в выражение (4) со,, <о2.<о, из формул (1) приводит к следующему виду фу нкции Лагранжа твердого тела, совершающего поступательно-вращательное движение;
¿=1 2
/я|лс|
Осо$ф
+ /,|ф$твс05ф-в$тф^
Уравнения Лагранжа второго рода имеют
вид
с! Ы д1
(6)
I Тредполагая. что функциональная зависимость
и
=£^/?<г,Ф,е, у)
(7)
известна, и, учитывая тот факт, что силовая функция не зависит от обобщённых скоростей
К (1х1 </ф </о
1*' ' (¡1 ' Л аГ
.а кинетическая
энергия в силу кинематических формул (1) не зависит от утла прецессии, уравнения Лагранжа (6) запишем в виде:
</зг _*/=0
с] дТ дУ {) = № (8)
Жд'хг дх: (Л ду дц1 а/
и ет еи _ ц от дт ди
лд'хг дху зе аэ'
Подставляя в уравнения (8) выражение для кинетической энергии как суммы кинетической энергии поступательного движения (2) и кинетической энергии вращательного движения (3):
ТшТ+Т
4>«а
Н'[
■•■-(А®? +/2(»5 + /,а>|),
разрешая вторую фуппу уравнений системы (8)относительно
В уравнениях системы ния записи введены следующие
ди . (ш'у
х сое ф • — + совесб • -
дО V. А
(еи . ди) \(
X--со* 0--+— V
^дф дм/) 2{
$т2у*$т0-ф +
Л 1,-1. , /2-/,Л
+ 2 —¡-соб'Ф——
Л Л А ,
„. I аг/ 0ф сове ^ т=--+—-----Ф+
/, дф втЭ .чш 0 ^ V' 0' 4»+ сову 0^ >
(
х совфвтОф-вшфО I;
(И)
У /, /2^$ше1дф ду)
( Л • "^л-Л * /,-/, ., ^
^С058<р+ф11 '! со5 ф —~—-вш ф
2 /, /,
$ш2ув
' (15)
Пусть для некоторого момента времени /0 заданы начальные условия:
* |/ч, =*о» * |»ч, =*о» -ч, =ДГо»
• <ь?
л = х1.
¿Лр 1 • = Фо- Л| -в Л1'
= »
В силу имеющих место соотношений (13)-(15), эти начальные условия могут быть переписаны в следующем виде:
4-,=^ =х*> (16)
(17)
4*яф» ®|/^=0о» (18)
сЛР|
=€)о' ~л Ь=То' (19)
сл
: </0
= ф0, —
и./
(13)
Теперь задача поступательно-вращательного движения абсолютно твердого теза в поле сил тяжести, осфсдслснном силовой функцией (7). может быть сформулирована так: найти решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (12). удовлетво-ряющее нжалъным условиям (16) - (19).
Система интегральных уравнений основной задачи поступательно-вращательного движения абсолютно твердого тела. Вполне очевидно, что основная задача поступательно-вращательного движения абсолютно твердого тела (12) - (19) весьма сложна, и се решение, за исключением весьма частных случаев (2), не может быть найдено
аналитически. В силу сложной структуры дифференциальных уравнений (12) их численное решение обычными методами также представляется затруднительным, по крайней мере, в представляющих интерес для практики случаях. По этой причине в данной статье предлагается другой метод решения основной задачи (12) - (19), основанный на идеях у помянутых выше работ [5,6].
Чтобы упростить изложение, введем обозначения для вектора-столбца обобщенных координат и вектора-столбца правых частей:
(х] х2 ф В ф)Т г (у, у2 у} у4 уь у6)\
(20)
' — а. ♦ 2 ~ л ' ~ , '
тду, тду: т ду} (2\)
Тогда система у равнений (12) перепишется в стандартном виде:
= г
Л1 л1 с1Г
<*2у. л2 л2 л2
(22)
Очевидно, что начальные условия (16) -(19) в этих обозначениях примут вид:
лЦ ^ =У°2> =У*\ (23)
=> =у° =>-/24)
¿У/'"'* Ж*"4* Л',н*
У,\,^=У1 У>\,^=У1 У\,.н = У1* (25)
=уО =у* — у® (26)
Теперь задача Коши (12), (16) - (19) переписывается в абстрактном виде:
1к\| =|г) =
(27)
(28)
В силу обозначений (13) - (15), а также (20), (21) видно, что система обыкновенных дифференциальных уравнений является
нелинейной системой, причем в правые части уравнений системы входят кроме самих искомых неизвестных еще и нелинейные комбинации их первых производных по времени.
Пусть рассматривается поступательно-вращательное движение твердого тела на промежутке времени (/0, Г), гае Т- конечно, но достаточно велико. Проинтегрируем векторное дифференциальное уравнение (27) по времени от /0 до некоторого / е (/0, 7] один раз:
^И(29)
Полагая в последнем у равнении / = /0 и учитывая второе начальное условие (29),
получим С, = (29), получим:
(30)
Интегрируя у равнение (30) по времени от /0 до некоторого / е [/0, Т\ еще один раз, получим:
У0). Подставзяя С, в выражение
>1+с2. (31)
Полагая в уравнении (31) / = /0 и учитывая первое начальное условие (28), получим
С2 =|К0). Подставляя С2 в выражение (31). получим:
И')Нп>+ п)(<-'о)+ ЯИ'))^'- (32)
' '.и
После применения в уравнении (32) формулы Дирихле (7) для случая п = 2 запишем у равнение (32) в виде
И'ИПЬ ¡;)(/-/0)+|(/-т^(тК(зз)
Векторное интегральное уравнение (33) но существу является системой нелинейных интегральных уравнений типа Вольтсрра, эквивалентной задаче Коши (27) - (28) или, что то же самое, задаче Коши (12) - (19). Запишем его в виде системы интегральных уравнений. используя обозначения (21):
/о &
хЧ'Ьхо2+*о2('-'о)+
|0 дх
*3(')=*о3 + *о3('-'о)+ /(г-г)1^*.
/0 »» • /
'о 'о
(34)
Чтобы систему интегральных уравнений (34) можно было решить, нужно знать следующие функции:
1) силовую функцию {/;
2) функции (р, 0 и Ц/ .
Силовая функция определяется строением притягивающего тела [2]. а функции (р , 0 и I// определяются соотношениями (13) - (15) через силовую функцию.
Заключение
Полученная в статье система нелинейных интегральных уравнений (36) достаточно
сложна по структуре. Однако для некоторых частных случаев силовой функции и для некоторых частных случаев модельных обьек-товсистсма уравнений (34) может быть значительно упрощена. Получение и изучение частных случаев системы уравнений (34), а также ее обобщение на случай поступательно-вращательного движения системы небесных тел планируется опубликовать в следующих работах.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Голубев Ю Ф Основы теоретической механики М.: Изд-во МГУ, 2000. 719 с.
2.Дубошин Г. //. Небесная механика. М.: Наука, 1975'800 с.
3. Калиткин Н // Численные методы. М.: Наука. 1978. 512 с.
4. Рой А. Движение по орбитам. М.: Мир, 1981. 544 с.
5. Сурнев В Б. О возможном алгоритме численного решения задачи многих тел в небесной механике. Иерархия интегральных уравнений задачи многих тел // Изв. УГГУ. Вып. 23. Екатеринбург: Изд-во УГГУ, 2008. С. 3-11.
6. Сурнев В Б. Б-матрица системы материальных точек, взаимодействующих по закону всемирного тяготения II Вестник Южно-Уральского государственного университета. Челябинск, 2011. №2(219). С. 57-63.
7. Шилов Г. Е. Математический анализ. Фуакции нескольких вещественных переменных. М : Наука, 1972.624 с.
УДК 553.07.(470.5)
МОДЕЛЬ ФОРМИРОВАНИЯ коллизионных КВАРЦЕВО-ЖИЛЬНЫХ ОБРАЗОВАНИЙ УРАЛА
В. II. Огородников, Ю. А. Поленов
Предложена модель формирования квариево-жильных образований, с которыми связаны вольфрамовая. золотая, молибденовая и хрустальная минерализации. Показано, что один из путей образования кварцевых тел больших объемов обусловлен проседанием отдельных блоков гранитных интрузивов с образованием камер, выполняющихся кварцем.
Ключевые слова: кварцевые жаты, гранитонды, интрузивы, коллизия, квариево-жильные образования.
