CC BY
32
УДК 519.65 Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2005, вып. 1
Н. Ю. Додонов, В. В. Жук, Н. В. Хованов
О ВОССТАНОВЛЕНИИ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ,
ИМЕЮЩЕЙ ОГРАНИЧЕННУЮ ВАРИАЦИЮ НА ВСЕЙ ОСИ, ПО ЕЕ
ИЗВЕСТНЫМ ЗНАЧЕНИЯМ В КОНЕЧНОМ ЧИСЛЕ ТОЧЕК*)
Введение. Пусть некоторый процесс описывается функцией /(t), где t € Е. Практически важной задачей является нахождение значений этой функции на основании ее известных значений в конечном числе точек. В такой широкой формулировке задача заведомо не может быть решена строго математически без существенных ограничений на рассматриваемую функцию.
В данной работе предлагается некоторый (детерминированный) подход к изучению задач такого рода и иллюстрируются его возможности на примере временных рядов, связанных с наблюдениями за динамикой значений индексов меновой ценности, построенных на основе коэффициентов обмена трех валют.
§1. Описание общего подхода. В дальнейшем Е, Z,N суть соответственно множества вещественных, целых, натуральных чисел. Вместо +00 часто пишем просто оо.
-++оо
Интегралы типа / понимаются как несобственные:
->+оо Ь
[ = lim /.
J b^ooj
а а
Через С обозначаем пространство непрерывных ограниченных функций / : Е Е с нормой II/U = sup^gu |/(х)|; V - множество функций / : Е —> Е, имеющих конечную
оо
вариацию на Е: V (/) < оо; CV = С П V. Если у функции / существует конечный
—оо
предел lim /(ж) ( lim f(x) J, то по определению /(оо) = lim f(x) ( I-++00 ^z—» — ос J х—>+оо у
/(-оо) =
lim f{x) ]. Полагаем
X—оо
-*+оо
А— ^ £•: R К; D суммируема „а каждом отрезке, / Д =
—► — ОО
->+00
<р(и) = j D(t)dt,
УаМх) = /(-00) + £(/<(*■ + 1)Л) - №)) [V + ^ *) (1)
зег '
Здесь а, И > 0. Для / € СУ ряд в правой части (1), очевидно, сходится абсолютно и равномерно относительно х 6 Е^
•^Работа выполнена при финансовой поддержке программы «Университеты России» (грант Л* 04.01.304) и Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 05-01-00742). © Н. Ю. Додонов, В. В. Жук, Н. В. Хованов, 2005
В работе [1] доказана
Теорема А. Пусть f € CV, D G А, тогда
lim ||V«,ft(/)-/||=0. (2)
a,ft-+Q+
Агрегаты приближения типа (1) для некоторых классов ядер D ранее рассматривались в [2], где также были получены оценки для отклонений \\Vaih(f) — f\\ в терминах модулей непрерывности. За счет изменения функции D можно получить агрегаты приближения Vath(f), имеющие различную гладкость. При достаточно малых а и Л соотношение (2) позволяет написать приближенное (равномерное для всех х € К) равенство
f(x)*Va,h(f,x). (3)
Основываясь на (3) и считая известными значения функции / в точках kh, где к € [а, Ь] П Z, мы предлагаем находить значения в других точках kh, исходя из соотношений
f(kh) = Va,h(f,kh). (4)
В данной работе этот прием реализуется для ядра В. А. Стеклова четвертого порядка, т. е. для функции
D(t) = {
_J|l3+t2-2|t| + |, 1<|*К2,
О, |*| > 2.
Полученные формулы применяются к обработке временных рядов, связанных со значениями индексов ценности валют. Достигнутый уровень прогноза может рассматриваться как хороший.
Читателю, чьи интересы связаны сугубо с практической стороной прогнозирования, достаточно ознакомиться только с расчетными формулами (18) (см. стр. 21).
§2. Установление конкретных формул для финитных ядер. Остановимся на задаче нахождения значений функции / в точках kh, где к = 1,т, считая известными значения функции в конечном числе точек jh, где j ^ 0 (т. е. займемся задачей экстраполирования «вперед»). Задача экстраполирования «назад» может быть легко сведена к упомянутой выше.
С этой целью упростим систему (4). Пусть D G А и является четной функцией, т.е. D(-t) = D(t) при t е R. Тогда
—>+оо -*+оо ->+оо —►+00
ср(-и) + <р{и) = J D+ J D= J D{—t)dt + J D(t)dt = 1.
—и и —и и
Таким образом
V>(-u)-Mu) = l. _ (5)
Ясно, что
1 (
Введем обозначения
¿(Я-1)
= \ I Ч>№.
Тогда
и на основании (5)
Р-з
1
= У * I-а—;
л (6)
£0-1)
Значит, Положим Так как
= (7)
А №Ь) = Пи + т-№).
к-1
/(ЛЛ) - /(-оо) = ^ Д/(7Л),
3=~ оо
то (4) можно переписать в форме
А/0"Л) ■= А/О'Л). (8)
3<к з£Е
Ясно, что нахождение значений ${кЬ) (к = 1,ш) равносильно определению разностей А/(/г/г), где А; = 0,т — 1. Для отыскания этих разностей представим сумму в правой части (8) в виде трех сумм
т—1
¿62 ¿<0 ¿=0 з>т—1
Отбрасывая (этот шаг оправдывается, с одной стороны, тем, что ряд ^
г
сходится и его остаток стремится к нулю, с другой - практическими расчетами), вместо (8) приходим к равенству
ТП — 1
53 а/С= 53 д/ул) + 53 д/ол). (9)
¿«г ¿<0 ¿=0
Положим
ж = (Д/(0), Д/(Л),..., д/((ш - 1)Л))Г', Ь = (Д/(-Л), Д/(-2Л),.. .)Т-
Так как (в силу (7)) 1 - = 0н-з-и
Е д/о-л) = £ А/ал)+Е дмл)> ¿<0 ¿=0
то (9) может быть переписано следующим образом:
*-1 т—1
- Е А^-хД/О'Л) + Е А-*д/0'Л) = ^А-иД/О'Л). 7=0 ¿<0
Придавая в последнем соотношении индексу А; значения от 1 до т, приходим к равенству
Ас = ВЬ,
(10)
где
А =
В =
^ -А) 00 01 • 0т—2^
-Рг -0о 00 ■ • 0т—3
\~0m-l ~ 0т-2 ~0т- -3 • •• ~0о)
(01 02 03
02 03 04 ...
\0т 0т+1 0т+2
(И)
При финитном ядре Б члены последовательности начиная с некоторого но-
мера, будут нулями. Ясно, что за счет выбора величины £ - шага дробления носителя финитного ядра, можно прийти к случаю, когда при ] > тп все 0^ = 0. В этом случае значения Уа,/в точках кк можно записать в форме конечных сумм. Действительно, в силу (1) и (6),
УаМЩ = /(-00) + £А-*Д/0Т» = /(-оо) + Е&д/((* + з)Я
Но /Зу = 0 при у > т. Поэтому
УаМ «О = + Е А Д/((* + № =
З^т
т
3<0 ¿=0, = Е1+Е2-
Преобразуем Учитывая соотношения = 1 — 0-^-1, 0j = 0 при ^ > т, имеем
Ег = /(-«) + - + ЛЛ) =
¿<о
/(-оо) + Д/((* + № - 53 /З-^АЩк + ])Н) =
]<0
з< о
¿=о
Теперь окончательно получаем
т т
Щ = /(*Л) - 53 &Д/((* - 3 -'ОД + £ &Д/((* + ¿)Л). (12)
Далее в рассматриваемом случае вектор 6 и матрицу В можно записать так: Ь = (Д/(—Л), Д/(-2/г),..., Д/(-т/г))Т,
/Л & Рз ... Рт\
/32 03 р4 ... О
В =
\Рт о 0 ... О /
(13)
Теперь, основываясь на равенстве (10) и представлении (13) матрицы Б, найдем явные формулы для значений /(/г), /(2/г),..., /(т/г). Имеем
х = = СЬ.
Так как
¿к-1
/(ЛЛ) = /(0) + 53Д/(;Л) (* = 1,т),
¿=о
ДДО) \ / д/(0) \
Д/(0) + Д/(/г)
= ^
Д/(/г) V Д/((т - 1)/г) У
V ,Д/(0) + .,. + Д/((т-ОД / где F - матрица порядка т х т вида
С ■■•■ Э
(т.е. все элементы F выше главной диагонали равны нулю, ниже единицы), то
7(0)\ / Д/(-л) + FC
,/(0)7
(14)
\Д/(—т/г)у
Далее,
/7(0)\ ( №
: I = М
где М - матрица порядка га х (га 4-1) вида
М =
Л о ... о\ 1 о ... о
VI о ... о/
Кроме того, имеем
Здесь N, Р - матрицы порядка ш х (ш + 1) вида
/ Д/(-Л) \ ( т \
(16)
\А }{-тК)) \fi-mh)/
ЛГ =
Р =
'О 1
,0 о
в которых все элементы равны нулю, кроме стоящих на отмеченных диагоналях, где они равны единице. Сопоставляя (14)—(16), получаем искомые формулы
т \
к!{тК)/
( ДО) \
/(-л)
\}{-тЬ))
(17)
§3. Прогнозирование на основе ядер Стеклова. Пример приложений.
В этом параграфе в качестве ядра ^(^ рассматривается ядро Стеклова четвертого порядка
,0, Щ > 2.
Ясно, что В - четное финитное ядро. Непосредственное интегрирование дает при £ ^ 0
с»
<Р® = ¡п = =
Г 4- £ _ 2+ I 1
8 "т" 3 Я 1 "т" 1 '
о ^ г ^ 1,
0, £>2. Таблица 1. Значения величин ^
2 &
0 0,41787109375000
1 0,26650390662500
2 0,14736328125000
3 0,06826171875000
4 0,02542317708333
5 0,00686848958333
б 0,00100911458333
7 0,00003255208333
Полагаем га = 7, £ = Тогда fy = 0 при j > 7, значения /?0,...,/?7 приведены в табл. 1.
Далее по формулам (11) и (13) строятся матрицы А и В и вычисляются матрицы А~х, А~ХВ. Затем находится матрица М + F(A~1B)(N - Р). В итоге, применяя формулу (17), приходим к искомым соотношениям, позволяющим находить значения функции / в точках х = h, х = 2h,..., х = 7h по ее известным значениям в точках х = —7h,..., х = —h, х = 0:
51 = 0,41849066302834 • f0 + 0,28503370969435 • Д + 0,16860247777816 • /2 + + 0,08330816573609 ■ /3 + 0,03325409112937 • /4 + 0,00972768717785 • /5 + + 0,00153212380372 • /6 + 0,00005108165212 • /7,
52 = 0,46007010852235 • /0 + 0,28779135004944 • + 0,15394982541136 • /2 + + 0,06818816835595 ■ /3 + 0,02367472170193 • /4 + 0,00561177691856 • /5 + + 0,00069263774778 • /6 + 0,00002141129263 • /7,
53 = 0,48018717372853 • /0 + 0,28495030138023 ■ Д + 0,14587513428298 • /2 + + 0,06210290211404 • /3 + 0,02095310808226 • /4 + 0,00518030640478 • /5 + + 0,00072752444328 • /6 + 0,00002354956390 • /7,
54 = 0,48571965941718 • /0 + 0,28256575048161 • /i + 0,14322002619035 • /2 +
+ 0,06109054950705 • /3 + 0,02120430719431 ■ /4 + 0,00541416470654 • /5 + (18) + 0,00076094958086 • /в + 0,00002459292209 • /7,
55 = 0,48560370364899 • /0 + 0,28144230013275 • /i + 0,14318004661790 • /2 + + 0,06183601387266 • /3 + 0,02163686224617- /4 + 0,00550521682911 • /5 + + 0,00077096487957 ■ /6 + 0,00002489177284 • /7,
56 = 0,48438645728318 • /0 + 0,28132536776940 • Л + 0,14394433166710 • /2 + + 0,06229167631785 ■ /3 + 0,02173791820900 ■ /4 + 0,00551777108807 • /5 + + 0,00077157607050 • /6 + 0,00002490159490: /7,
57 = 0,48371893401492 • /0 + 0,28170275657667- Л + 0,14422967201903 • /2 + + 0,06232112J533507 • /3 + 0,02172262366468 • /4 + 0,00550986438849 • /5 + + 0,00077017026072 ■ /6 + 0,00002485374043 • /7.
Здесь /7 = f{-7h),fi = f{~h), /о = /(0) - известные значения, Si = f(h), 52 = f(2h),'..., S7 = /(7/i) - прогнозируемые значения.
Для демонстрации применения разработанного метода прогнозирования используем временные ряды, связанные с наблюдениями за динамикой изменений коэффициентов обмена C(EUR/USD; £), C(GBP/USD;i) трех валют: EUR (евро - единая европейская валюта), GBP (фунт стерлингов - валюта Великобритании) и USD (доллар США). Коэффициент обмена C(GBP/USD; t) указывает, сколько долларов США можно поменять на международном валютном рынке за один британский фунт стерлингов в день t, t = 1,... ,Г. Аналогично интерпретируется и коэффициент обмена C(EUR/USD;i).
Сто ежедневных значений (Т = 100) рассматриваемых коэффициентов обмена за период с 14 октября 2004 г. по 21 января 2005 г. взяты с Интернет-сайта www.fxtop.com.
Первые два временных ряда RVal(EUR/USD; t/t0), RVal(GBP/USD;i/i0j, t = 1 ,...,T = 100, представляют собой последовательные значения так называемых приведенных (к дате ¿о) индексов меновой ценности валют EUR, GBP соответственно (см. [3]). Индекс RVal(EUR/USD;£/i0) определяется формулой
RVal(EUR/USD;t/t„)=C(EUR/USD;i)
C(EUR/USD; to)'
где в качестве момента времени ¿о выбрано начало отсчета t = 1, соответствующее 14 октября 2004 г. Аналогично находится приведенный индекс меновой ценности RVal(GBP/USD;t/t0).
Дополнительно рассмотрены два вспомогательных временных ряда NVal(EUR; t), NVal(GBP;£), t = 1 ,...,T = 100, которые представляют собой последовательные значения так называемых нормированных (на среднее геометрическое коэффициентов обмена трех рассматриваемых валют) индексов меновой ценности валют EUR, GBP соответственно (см. [3]). Индекс NVal(EUR; t) определяется формулой
ч C(EUR/USD;£)
NVal(EUR; t) = v ' 1
где С(и8В/и8Б;£) = 1 для любого £ = 1,... ,Г = 100. Аналогично вычисляется нормированный индекс меновой ценности ИУа1(СВР; <).
На основе указанных вспомогательных временных рядов МУа1(Е1Л1; ¿), ]ЧУа1(СВР; £) строим временные ряды значений RNVal(EUR; t/to), RNVal(GBP; t/to) так называемых нормированных (на среднее геометрическое коэффициентов обмена трех рассматриваемых валют) приведенных (к дате ¿о) индексов меновой ценности валют Е1Ж, вВР соответственно (см. [3]). Индекс RNVal(EUR; ¿/¿о) определяется формулой
ЕНУа1(Ет;(Ао)= 1™"<В0*'>
NVal(EUR;io)'
где to = 1, t = 1,... ,Т = 100. Аналогично определяется нормированный приведенный индекс меновой ценности RNVal(GBP; t/to).
Разработанный метод прогнозирования (экстраполяции) был апробирован на временных рядах RVal(EUR/USD; £/£0), RVal(GBP/USD; t/t0), RNVal(EUR; t/t0), RNVal(GBP; t/to), to = M = 1,... ,T = 100.
Опишем методику аппробации. Обозначим одну из возможных реализаций выше названных рядов y(t), и на ее основе построим функции Sj(t), j = 1,7, по формулам (18): Sj(t) вычисляется по формуле Sj, в которой Д = y(t — 1 - к). С целью выяснения эмпирической точности соотношений (4) по формуле (12) составляется функция V(t). При этом полагается m = 7, h = 1, а = 4, V(t) = Va,h(f, kh), f(k,h) = y(t), Af({k-j - l)h) = Ay(t - j - 1), Af((k + j)h) = Ay(t + j) (j = 0, m), величины ßj берутся из табл. 1. Относительная погрешность вычисляется в процентах по выражениям
л 7 m _ |y(t-l+j)-Sj(*)l 0. m _ yjt-l+rt-Zjjt)
I^-I + ЛГ . ' 2 j( )" Vit- l + j) '
где Zi(t) есть V(t) или 5i(£); Zj(t) = Sj(t) при j = 2J.
Таблица 2. Результаты апробации формул прогноза
Delta Delta min Delta max DeltaS Delta min S Delta max S
RVal(EUR)
V 0,267106 0,000923 0,926198 0,003076 -0,792805 0,926198
0,436812 0,000741 1,944857 0,106772 -1,944857 0,926198
S2 0,582983 0,008402 2,601958 0,148742 -2,601958 1,487377
s3 0,716125 0,005613 2,991028 0,207211 -2,991028 1,558920
S4 0,811831 0,008999 2,992115 0,231482 -2,992115 1,617473
Sb 0,913847 0,009282 3,179236 0,259793 -3,179236 1,969138
S6 1,020637 0,005019 3,179168 0,287220 -3,179168 1,968583
s7 1,125537 0,020071 3,529131 0,321653 -3,529131 2,003628
RVal(GBP)
. V 0,282343 0,000311 0,967442 0,003907 -0,808451 0,967442
Si 0,448614 0,006778 0,967442 0,075914 -1,752230 0,967442
S2 0,578210 0,014590 2,413447 0,104065 -2,413447 . 1,727845
s3 0,695578 0,004633 2,916667 0,141378 -2,916667 2,147382
S4 0,781517 0,023138 2,922734 0,155749 -2,922734 2,183255 .
Sb 0,884167 0,020031 2,847755 0,175135 -2,847755 2,203770
s6 0,966581 0,021035 2,806580 0,191903 -2,806580 2,389279
S7 1,027231 0,003761 2,806567 0,213437 -2,806567 2,754360
RNVal(EUR)
V 0,123124 0,002174 0,359895 0,000976 -0,359895 0,303452
Si 0,196167 0,000013 0,359895 0,046131 -0,707000 0,303452
S2 0,267925 0,000982 0,921752 0,064858 -0,921752 0,855183
S3 0,337378 0,001971 1,123053 0,091594 -1,011608 1,123053
S4 0,382519 0,025460 1,334110 0,103109 -1,076781 1,334110
Sb 0,421940 0,002386 1,481343 0,115690 -1,170594 1,481343
Se 0,456579 0,003512 1,481118 0,128585 —1,318021 1,481118
S7 0,497362 0,014375 1,568238 0,144611 -1,568238 1,481119
RNVal(GBP)
V 0,137289 0,001967 0,431355 0,001911 -0,420514 0,431355
Si 0,202695 0,007368 0,431355 0,015393 -0,891198 0,431355
S2 0,265480 0,000776 1,044876 0,020314 -1,044876 1,033967
53 0,323768 0,000776 1,255776 0,025824 -1,081489 1,255776
s4 0,365255 0,000461 1,220230 0,027389 -1,060494 1,220230
S5 0,402713 0,015301 1,252233 0,030976 -1,060583 1,252233
s6 0,427750 0,007998 1,323529 0,033116 -1,060445 1,323529
s7 0,459127 0,002818 1,462685 0,036095 -1,128093 1,462685
Далее находим средние значения погрешностей и их минимальные и максимальные значения
- 90
Delta = - £ SiZjit t=io
Delta min = min {SiZj(t)
<=10,90
Delta max = max {S\Zj(t)
t=10,90
90
Delta
t=10
Delta min S - = min {¿2Zj(t)}, <=10,90
Delta max 5 = max {62Zj(t)}. 4=10,90
Результаты вычислений сведены в табл. 2, в которой строка V содержит средние погрешности для V(t), строки Sj — средние погрешности для Sj(t), j = 1,7.
Анализ табл. 2 показывает, что предлагаемый метод экстраполяции временных рядов дает (в рамках рассматриваемого примера, разумеется) неплохие результаты -практически все средние значения абсолютных величин относительной ошибки прогноза (Delta) не выше 1%. Еще лучше выглядят средние значения самих величин относительной ошибки прогноза (DeltaS) - наибольшее из них меньше 1/3%.
Положительное впечатление от рассматриваемого примера применения предлагаемого метода экстраполяции временных рядов не слишком ухудшается наблюдаемым смещением прогнозных значений (все средние значения DeltaS величин относительной ошибки прогноза положительны), ввиду незначительности этого смещения. Во всяком случае, полученная в данном примере точность прогноза временных рядов значений индексов меновой ценности валют вполне приемлема при рассмотрении финансово-экономических задач, для решения которых эти индексы были разработаны (см. [3]).
Следует отметить также, что средние ошибки прогноза значений индексов типа RVal существенно превышают аналогичные средние ошибки для индексов RNVal. По-видимому, наблюдаемое различие в средних значениях ошибок прогнозов для индексов разных типов можно объяснить наличием определенного «сглаживания», имеющего место при построении индексов типа RNVal, получаемых путем нормировки меновых коэффициентов отдельных валют на среднее геометрическое этих коэффициентов. Иными словами, временные ряды значений индексов типа RNVal в большей степени, чем RVal, удовлетворяют условиям гладкости восстанавливаемой функции, заложенным в используемую исходную модель экстраполяции.
Summary
Dodonov N. Yu., Zhuk V. V., Hovanov N. V. On reconstruction of a continious function with a limited variation by its known values in a finite number of points.
A determined approach for finding unknown values of the function by the known values in the finite number of points is proposed. Some calculation functions and an illustration example are given.
Литература
1. Додонов H. Ю., Жук В. В. О равномерном приближении непериодических функций, заданных на всей оси // Проблемы математического анализа. 2004. Вып. 29. С. 25-35.
2. Жук В. В. О приближении функций в пространстве C(R). Равенства типа Парсеваля // Вопросы механики и процессов управления. Вып. 16: Математические вопросы анализа негладких моделей / Под ред. В. Ф. Демьянова. СПб., 1995. С. 105-118.
3. Hovanov N. V., Kolari J. W., Sokolov M. V. Computing currency invariant indices with an application to minimum variance currency // The Journal of Economic Dynamics and Control. 2004. Vol. 28. P. 1481-1504.
Статья поступила в редакцию 21 апреля 2005 г.
