CC BY
98
Построение индекса меновой ценности доллара США на основе стабильной
агрегированной валюты U.S. dollar exchange value index construction on the base of a stable aggregated currency
Бубенко Екатерина Александровна студентка Санкт-Петербургского государственного университета
bubenko. [email protected]
Аннотация: В настоящее время доллар США является основной резервной валютой, используемой для номинирования торговых контрактов. Предлагается метод построения индекса меновой ценности доллара на основе максимально стабильной корзины соответствующих национальных валют.
Abstract: Nowadays the U.S. dollar is the main reserve currency which is in use for trade contracts nomination. A method of the dollar’s exchange-value index construction on the base of the most stable basket of national currencies is proposed.
Ключевые слова: индексы меновой ценности, стабильная агрегированная валюта Key words: exchange-value indices, stable composite currency
Введение
В настоящее время американский доллар является валютой, наиболее часто используемой при оценке стоимости транснациональных и даже внутринациональных торговых потоков. Иными словами, доллар США играет роль эталона ценности (standard of value), т.е. роль денежной счетной единицы (monetary unit of account), при помощи которой измеряется меновая ценность (value in exchange) других экономических благ (товаров, услуг, национальных валют, активов и т.д.).
Однако, динамика меновой ценности самой этой номинальной счетной единицы «1 доллар США» ( USD ), определяемой её курсами обмена на другие национальные валюты и долларовыми ценами на товары и услуги, является, в общем случае, весьма неопределенной. Действительно, трудно, например, сказать повысилась ли в целом меновая ценность доллара, если его курс относительно евро понизился, а его курсы относительно британского фунта стерлингов (GBP) и японской иены (JPY) -повысились.
Для преодоления указанной неопределенности оценки динамики меновой ценности используются различные индексы курса доллара США (USD’s exchange rate indices),
представляющие собой различные скалярные функции вектора коэффициентов обмена доллара на другие валюты [1]. Иными словами, индекс курса доллара измеряет изменчивую покупательную способность (purchasing power) американского доллара по отношению к некоторой «корзине», состоящей из других национальных валют.
В статье рассматривается «стандартный» индекс USDX изменения меновой ценности доллара, определяемой по отношению к «корзине» шести других национальных валют (раздел 1), и предлагается метод построения стабильных агрегированных валют, используемых в качестве счетных единиц минимальной изменчивости (раздел 2). Проводится сравнительный анализ динамики стандартного USDX и предлагаемых других показателей изменения меновой ценности национальной валюты США (раздел 3).
1.Стандартный индекс ценности американского доллара
Наиболее простым (и в этом смысле, стандартным) среди индексов доллара Соединенных Штатов является индекс “U.S. Dollar Index” (USDX), введенный в 1973 году. Данный индекс представляет собой взвешенное среднее геометрическое значений изменения курсов доллара относительно шести других национальных валют (CAD, CHF, EUR, GBP, JPY, SEK). Иными словами, индекс USDX оценивает изменение покупательной способности американского доллара на рынке шести указанных валют.
В состав корзины национальных валют, определяющей индекс USDX, входят валюты основных торговых партнеров Соединенных Штатов: Еврозоны, Японии, Великобритании, Канады, Швеции и Швейцарии. Относительные «веса» (весовые коэффициенты w.(CUR.), i = 1,...,6), этих валют, пропорциональные объемам торговли между США и соответствующими странами, установлены в начале 2000 г.:
Wj = w (CAD) = 0.091, w2 = w (CHF) = 0.036, w3 = w (EUR) = 0.576 , w4 = w (GBP) = 0.119,
w5 = w (JPY) = 0.136, w6 = w (SEC) = 0.042.
Значение USDXt стандартного индекса USDX в момент времени t рассчитывается
как взвешенное среднее геометрическое изменений курсов доллара относительно шести выбранных валют:
USDX, = П
c(USD, Cur. ; t)
(1)
c(USD, СШг; ^)
где t0 = 01.03.1973 - начало расчета индекса, c(USD,СиРі;Ґ) - коэффициент обмена, показывающий, сколько единиц валюты СиК{ обменивается на единицу USD в момент времени t.
w
Таким образом, USDX измеряет покупательную способность американской национальной валюты относительно корзины национальных валют шести торговых партнеров США, определяемой относительными долями w1,...,w6 меновой ценности
соответствующих национальных валют. Однако, меновая ценность самого выбранного эталона измерения (валютной корзины) существенно менялась на протяжении последних двадцати лет, что могло, в принципе, сильно исказить представления экономистов о динамики покупательной способности доллара США за этот период. Иными словами, мы не знаем, в какой мере динамика индекса USDX отражает изменчивость покупательной способности доллара, а в какой - изменчивость меновой ценности самой корзины. В этой связи возникает задача построения для измерения меновой ценности доллара максимально стабильной валютной корзины, имеющей минимальную изменчивость индекса меновой ценности на протяжении некоторого достаточно длительного периода времени. Один из возможных подходов к построению таких стабильных валютных корзин описывается в следующем разделе.
2.Метод построения стабильных агрегированных валют
Для формализации используемых далее понятий используем так называемую расширенную простую модель обмена (extended simple exchange model), подробно описанную, например, в работе [2]. В этой модели фиксируется конечное множество G = {g13..., gn} национальных валют, объемы которых измеряются в соответствующих
единицах из множества U = {ul3...,un}. Предполагается, что единица ut валюты g обменивается в фиксированный момент времени t на c(i, j; t) единиц uj валюты g}.. Совокупность всех коэффициентов обмена c(i, j; t) простых валют образует транзитивную матрицу обмена C(t) = (c(i, j; t)), i, j = 1,...,n . Вводятся агрегированные (составные) валюты, каждая из которых представляет собой упорядоченный набор (вектор) q = (q1,.,qn) объемов (количеств) q1,.,qn соответствующих простых валют,
q +... + qn > 0, q. > 0, i = 1,., n. В качестве единицы измерения щ объема агрегированной валюты q = (q1,..., qn) используется нормированная агрегированная валюта v = (y,....yn) , v. = q. ■ (q1 +... + qn)_1, v1 +... + vn = 1. Коэффициент обмена c(^,k;t) нормированной агрегированной валюты v = (y1,.,vn) и простой валюты gk определяется формулой c(v, k; t) = v1c(1, k; t) + . + vnc(n, k; t).
В качестве монетарного индекса меновой ценности [3] простой валюты gi будет использоваться мультипликативный индекс Джевонса, т.е. среднее геометрическое Ix (i;t) = [c(i,1;t)•...• c(i,n;t)]1/n коэффициентов обмена c(i,1),...,c(i,n) [4]. Аналогично, в качестве мультипликативного монетарного индекса меновой ценности агрегированной валюты v = У1,...yn) выбирается среднее геометрическое коэффициентов обмена c(v,1; t),..., c(v, n; t).
Для оценки изменений мультипликативного монетарного индекса Ix (v; t) меновой
ценности составной валюты v на целочисленном временном интервале [1, T ]
(относительно значения Ix (v; t0) в фиксированный момент времени 10) используется
нормированный показатель Nx (v; t /10) = Ix (v; t) / Ix (v; t0).
Изменчивость (волатильность - volatility) временных рядов значений Nx(v;t/10) ,
t = 1,., T, можно оценить соответствующим средним квадратичным отклонением от
единицы (Mean Quadratic Deviation from Unit -MQDU), определяемым формулой 1 T
MQDU(v;Q = -X[Nx(v;t/Q-1)]! . (2)
T t=1
Выбрав в качестве меры разброса значений временного ряда Nx(v;t/10), t = 1,.,T , статистику MQDU(v;t0), можно поставить следующую оптимизационную
^ * s * * \
задачу: найти нормированную агрегированную валюту v = (v1,. ,vn),
v* > 0, v1* + . + v*n = 1, для которой среднее квадратичное отклонение MQDU(v;t0) принимает минимальное значение: min MQDU (v; t0) = MQDU (v*; t0).
Составная нормированная валюта v* = (v1*,.v*„), обладающая минимальной
изменчивостью, измеряемой минимальной величиной MQDU (v*; t0), называется
стабильной агрегированной валютой и обозначается SAC (Stable Aggregateв Currency) [2]. Такая стабильная составная валюта SAC может использоваться (при достаточно малых значениях меры изменчивости MQDU (v*; t0), разумеется) в качестве относительно
стабильной монетарной (денежной) счетной единицы (monetary unit of account) для измерения меновой ценности других валют (простых и составных).
3.Модификации стандартного индекса доллара США
N (v;t/10) = Ix(v;t) x Ix (v; t0)
Возвращаясь к стандартному индексу доллара США, определяемому формулой (1), необходимо сделать два важных замечания. Во-первых, стандартный индекс USDXt не
совпадает по форме с нормированным показателем N x (v; t /10) = I x (v; t)/1 x (v; t0) изменений мультипликативного монетарного индекса Ix (v; t) меновой ценности составной валюты v на целочисленном временном интервале [1, T ], введенным в предыдущем разделе. Действительно, USDXt есть взвешенное среднее геометрическое отношений c(USD, CUR.;t)/c(USD,CUR.; t0) коэффициентов обмена простых валют, а нормированный индекс N x (v; t /10), определяемый формулой
• ч пШ
, (3)
-1 c(v, t0) _
есть простое геометрическое среднее отношений c(v, i; t)/c(v, i; t0) коэффициентов
обмена простых валют g1,...,gn с агрегированной валютой v = (v1,...,vn).
Во-вторых, нормированный индекс N x (v; t /10) оценивает изменения показателя Ix (v; t) меновой ценности номинальной агрегированной валюты, определяемой вектором v = (v1,...,vn), компоненты которого суть объемы номинальных денежных единиц. А стандартный индекс USDXt оценивает изменения меновой ценности доллара США по отношению к корзине валют, задаваемой относительными долями w ...,wn ценности этих валют в их общей ценности, принимаемой за единицу: w1 +... + wn = 1.
Связь между номинальными объемами v ...,vn и относительными долями ценности w ...,wn корзины валют выражается простыми формулами (см. [5]):
. (4)
w. (t) = v> (* •c(i,k;0 , v. (,) -WOL
' ^ r j л c(i, k; t)
X vr(t) •c(r, k;t)
X wr(t) r=1 c (r, k; t)
r
r=1
Эти формулы позволяют построить индекс N (у; / / , который может
рассматриваться как некоторая модификация USDX(tv’ = N (V;^/10) стандартного индекса USDXt. Для построения такой модификации достаточно зафиксировать на выбранный начальный момент времени t0 относительные доли ценности w1(t0),...,wn(^) корзины валют, определяющей индекс USDXt, и пересчитать по второй формуле (4) номинальные объемы у^а),...,\п(^) валют, образующих корзину, определяющую индекс Nх(у;t/10) .
Пусть, например, изучается динамика индексов USDXt, USDX^V) на тестовом промежутке времени TP = [01.01.2012 - 31.12.2012] (TP - Testing Period). Выбрав начальный момент времени t0 = 01.01.2012, подсчитаем, используя вторую формулу (4) и данные о шести коэффициентах обмена c(USD,CUR.;t0), i = 1,...,6, и о шести весовых коэффициентах wt(t0),...,w6(t0), искомые номинальные объемы v1 (t0),...,v6(t0) валют, образующих корзину, определяющую индекс USDX(v): vx (t0) = v (CAD) = 0.119,
v2(t0) = v (CHF) = 0.043, v3(t0) = v (EUR) = 0.569, v4(t0) = v (GBP) = 0.098,
v5(t0) = v(JPY') = 0.134, JPY' = 100 JPY, v6(t0) = v(SEC') = 0.037, SEK' = 10SEK.
Итак, у нас теперь есть два индекса (USDXt, USDX^V)) изменения меновой ценности доллара США, определяемых эквивалентными (на момент времени t0 = 01.01.2012) составными валютами w (t0) = (wl (t0),..., w6 (t0)), v (t0) = (y (t0),..., v6 (t0)), но
вычисляемых по разным формулам. Третий индекс USDXt* изменения меновой ценности национальной валюты США рассчитывается по той же формуле, что и USDX^V), но в качестве корзины валют, по отношению к которой измеряется меновая ценность доллара США, используется стабильная агрегированная валюта v* = (у*,...,v*), компоненты
которой определяются по некоторому фиксированному обучающему периоду LP (Learning Period).
Воспользуемся описанной во втором разделе схемой построения стабильной агрегированной валюты для определения соответствующих корзин валют по статистическим данным по ежедневным обменным курсам МВФ, представленным на сайте ООН http://data.un.org, за обучающий период LP = [01.01.2011-31.12.2011]. Простые вычисления дают следующие номинальные объемы у,...,v6* простых валют в корзине,
определяющей USDXt*: v* = v(CAD) = 0.219 , v* = v(CHF) = 0.185, v3* = v(EUR) = 0.157 ,
v4* = v (GBP) = 0.126, v5* = v (JPY') = 0.173, JPY' = 100 JPY, v6* = v (SEK') = 0.140,
SEK' = 10 SEK.
Сравним степень волатильности меновой ценности агрегированных валют (v = (y(t0),...,v6(t0), v* = (v*,...,v*)) и простых валют, входящих в состав корзины,
определяющей эти составные валюты, на тестовом промежутке времени TP = [01.01.2012 - 31.12.2012].
Таблица 1. Абсолютные и относительные значения мер волатильности индексов изменения меновой ценности составных валют V = ),..., v6 )), V* = (V*,..., V*) за тестовый период
ТР = [01.01.2012-31.12.2012].
Statistics V II V о v о * * * N V = (у^..., V*)
Range 0,0242 // 21,6 0,0011 // 1,0
St.Dev. 0,0061 // 24,9 0,0002 // 1,0
С.Уаг. 0,0062 // 25,1 0,0002 // 1,0
St.QDU 0,0090 // 30,4 0,0003 // 1,0
0,97
010112 010412 010712 300912 301212
---£ЛИ2ЛГ, --------швхр ............ШОХ*
Рис.1. Динамика индекса USDXt и индексов иБОХ^, и8ОХ(р изменения меновой ценности корзин валют V = (^(/Д..., v6(t0)), V* = (V*,..., V*) за период ТР = [01.01.2012-31.12.2012]
Как видно на рис.1 построенные индексы американского доллара показывают очень схожую динамику, особенно стандартный индекс иБОХ( и его модифицированный
аналог иБОХ^ с закрепленными номинальными объемами национальных валют
относительно момента t0 = 01.01.2012: коэффициенты корреляции данных индексов
практически равен единице р(иБОХ(, иБОХ*) = 0,9997. Стабилизированный аналог также
демонстрирует схожую динамику со стандартными и модифицированным индексами доллара США, однако, все четыре меры волатильности индекса меновой ценности
стабильной агрегированной валюты v* = (v*,...,v*), указанные в табл.1 (Range - размах выборочных значений, St.Dev. - стандартное отклонение, C.Var. - коэффициент вариации, St.QDU St.QDU = д/ MQDU - стандартное квадратичное отклонение от единицы) существенно (в десятки раз!) меньше меры волатильности индекса USDX*’ (USDXt).
Таким образом, стабильность построенной агрегированной валюты SAC (v* = (v*,...,v*)) позволяет использовать индекс USDX(p в качестве наилучшего (из рассмотренных в данной работе) инструмента индексирования американского доллара для прослеживания «истинного» изменения самой меновой ценности доллара США относительно стабильной агрегированной валюты v = (v1,., v6), в наибольшей мере
сохраняющей неизменной свою меновую ценность на протяжении рассматриваемого промежутка времени.
Заключение
Итак, проведенные исследования динамики курсов национальных валют CAD, CHF, EUR, GBP, JPY, SEK, USD и агрегированных валют v = (v1(t0),.,v6(t0)),
v* = (v*,...,v6) показали, что стабильная агрегированная валюта v* = (v*,...,v6) обладает минимальной волатильностью на протяжении 2011 г. Этот факт позволяет предложить в качестве стабильной денежной единицы измерения, лежащей в основе индекса меновой ценности доллара США, именно эту составную валюту минимальной волатильности. Показано, что в 2012 г. стандартный индекс USDXt существенно завышал меновую ценность доллара США относительно системы валют CAD, CHF, EUR, GBP, JPY, SEK по сравнению с индексом USDX(p, основанном на указанной стабильной денежной единице меновой ценности.
Библиографический список
1.Бубенко Е.А., Хованов Н.В. Использование агрегированных экономических благ постоянной ценности для хеджирования меновых рисков // ...
2.Hovanov N.V., Kolari J.W., Sokolov M.V. Computing currency invariant indices with an application to minimum variance currency baskets // Journal of Economic Dynamics and Control. 2004. Vol. 28. P. 1481-1504.
3.Колесников Г.И., Корников В.В., Хованов Н.В. Мультипликативные монетарные индексы // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2007. Том 14. Выпуск 6.
4.Ершов Э.Б. Ситуационная теория индексов цен и количеств. М.: РИОР, 2011.
5.Колесов Д.Н., Ненашев Д.А., Хованов Н.В. Простая модель обмена: номинальная и ценностная структуры агрегированных экономических благ // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 5. Экономика. 2009. Выпуск 1. С. 108-119.
