О весовых спектрах одного класса линейных кодов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

2014 Прикладная теория кодирования №1(23)

ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ КОДИРОВАНИЯ

УДК 519.7

О ВЕСОВЫХ СПЕКТРАХ ОДНОГО КЛАССА ЛИНЕЙНЫХ КОДОВ

А. В. Покровский

Институт проблем информационной безопасности Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, г. Москва, Россия

E-mail: [email protected]

Рассматривается класс линейных кодов, являющихся подкодами кода Рида — Маллера. Для данного класса кодов рассчитываются их весовые спектры.

Ключевые слова: код Рида — Маллера, весовой спектр, булевы функции, вес булевой функции.

Введение

Проблема описания весового спектра кода Рида — Маллера тесным образом связана с задачей классификации булевых функций относительно группы аффинных или линейных преобразований, действующих на её аргументах. Для квадратичных булевых функций она была решена с помощью аппарата симплектических форм и теоремы Диксона [1, 2], что позволило описать весовой спектр кода Рида — Маллера второго порядка. Иначе обстоит дело с классификацией булевых функций более высоких степеней. Начиная уже с кубических форм, нет их полной классификации, хотя исследования в этом направлении проводятся довольно давно. В этой связи следует отметить работу [3], в которой получено существенное продвижение в данном вопросе. Аналогичная ситуация складывается и при описании весового спектра кодов Рида — Маллера более высоких порядков. Существенными результатами в области описания этой характеристики кодов являются формула Касами — Токуры [2] для числа кодовых слов, вес которых лежит в определённом диапазоне, и теорема, описывающая весовой спектр произвольного кода с максимальным расстоянием [4]. В настоящей работе рассматривается один из подкодов кода Рида — Маллера произвольного порядка и описывается его весовой спектр.

1. Основные обозначения и определения

Символом Fn, n Е N, будем обозначать множество булевых функций от n переменных, Fq — поле из q элементов. Для веса булевой функции и степени её полинома Жегалкина используем запись wt(f) и deg(f) соответственно.

Определение 1. Линейным кодом над Fq называется подпространство C векторного пространства F^ Размерность C называется размерностью кода. Если она равна к, то такой код называется (n, к)-кодом. Кодовым расстоянием C называется минимальный вес Хемминга ненулевого элемента с Е C. Если кодовое расстояние C равно d, то такой код называется (n, к, d)-кодом.

Для любого линейного (n, к, d)-кода справедлива оценка Синглтона [1, 2, 4]

d ^ n — к + 1.

Определение 2. Любой код с кодовым расстоянием, удовлетворяющим равенству d = п — к + 1, называется кодом с максимальным расстоянием.

Определение 3. Весовым спектром (п, к)-кода С называется совокупность чисел А0, Аь ..., Ап, где Аі = |{с є С : wt(c) = і}|, і = 0,1,..., п.

Весовой спектр кодов с максимальным расстоянием описывает следующая теорема.

Теорема 1 [4]. Распределение весов (п, к, d)-кода над Е, с максимальным расстоянием определяется формулами А0 = 1, А, = 0 при і = 1,...^ — 1 и

л, = (п) (« — 1) Е (—1)' (г — 1) при і > d.

Практически важным классом линейных кодов является код Рида — Маллера, который определяется через булевы функции заданной степени. Обозначим Qf вектор значений функции f є ^п:

Qf = (у (ио ),у (и1),...,у (и2п—1)), иі є , і = ° ..., 2га — 1.

Определение 4. Для произвольных п, г є N 0 ^ г ^ п, кодом Рида — Маллера ИМ (г, п) порядка г и длины 2п называется множество всех строк Qf булевых функций

V Є Тп, удовлетворяющих условию deg(f) ^ г.

На данный момент полностью описан весовой спектр кода ИМ(2,п). Эту задачу удалось решить, используя полученную классификацию квадратичных форм. Обозначим АОЬ группу аффинных преобразований на Щ.

Определение 5. Функции У1,У2 Є Т,п называются аффинно эквивалентными, если существует пара (А, 7) Є АОЬ, такая, что У1(хА ф 7) = У2(х) для любого Х Є Щ, где А — невырожденная матрица размера п х п над Е2; 7 — вектор из ЕП.

В дальнейшем обозначать аффинную эквивалентность функций будем символом

VI а£ьУ2. Как известно [1, 2], любая квадратичная форма аффинной заменой переменных может быть приведена к одному и только одному каноническому виду:

^ (Х1, . . . ,Хп) = Х1Х2 ф ... ф Х2к—1Х2к;

^(Х1, . . . ,Хп) = Х1Х2 ф ... ф Х2к—1Х2к Ф 1;

^(Х1, . . . ,Хп) = Х1Х2 ф ... ф Х2к—1Х2к ф Х2к+1.

Число к называется рангом квадратичной формы и может изменяться в интервале от 1 до [п/2]. Канонические формы ^^^ имеют вес 2п—*—1 — 2п—*—к—1, 2п—*—1 + +2п—*—к—1, 2п—*—1 соответственно и лежат на разных орбитах.

Обозначим О,.(к), і =1, 2, 3, мощность орбиты, на которой лежит і-я каноническая форма ранга к. Аффинные функции в этом смысле могут трактоваться как квадратичные формы ранга 0. Тогда всё множество аффинных функций от п переменных разбивается на три орбиты:

о,, (0) = |{0}| = 1,

О,2 (0)= |{1}| = 1,

О,3(0) = 110ЯХ1 ф ... ф ЯпХп ф є, аі, є Є Е2, і = 1,..., п, (а1,..., йп) = 0} | = 2п+1 — 2.

Совершенно иначе обстоит дело с описанием весового спектра кода ИМ(г, п) при

г ^ 3. Уже при г = 3 его весовой спектр не известен для произвольного п. На данный

момент наиболее исчерпывающий ответ на этот вопрос даёт формула Касами — Току-ры, которая позволяет подсчитать количество слов, вес которых лежит в диапазоне 2п—г ^ wt(f) < 2п—г+1, ^ Є ИМ(г, п). Позже эта формула была обобщена на случай 2п—г ^ wt(f) ^ 2,5 ■ 2п—г.

2. Весовой спектр одного подкода кода Рида—Маллера

Рассмотрим множество С* С Ь = 1,..., п — 1, определяемое следующим образом:

С* = \ д(ж„-*+ь..., жга) 0 0 0 0 Жк/к(жь..., жга-*)0

^ 1^г<^'^га-* &=«,-*+1

0/(ж1,... ,Хп-*) 0 е, где д е Л, а*^, е е {0,1},

/(ж1,. . . , Хп-*), /к (ж1,... , жп-*)—линейные функции|.

Очевидно следующее утверждение.

Утверждение 1. Множество векторов значений П/, f е С*, является подкодом кода И,М(шах{Ь, 2}, п) размерности 2* + ^ ^ + (п — Ь)(Ь +1).

Наиболее интересен этот код при Ь ^ 3, так как при этих значениях параметра получаем подкод кода Рида — Маллера третьего или более высокого порядка. В случае Ь = 3 это подкод кода ИМ(3,п), включающий в себя функции третьей степени нелинейности, содержащие лишь один кубический моном. Весовой спектр этого кода рассчитан в [5]. В данной работе предлагается обобщение этого результата для произвольного значения Ь из указанного интервала.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Весовой спектр кода С* в случае нечётного (п — Ь) представлен в табл. 1, где г = 0,... , 2*-г; г = 0,... , шт{£, п — Ь — 2к}; к = 0,... , [(п — Ь)/2]; в случае чётного (п — Ь) — в табл. 2, где г = 0,... , 2*-г; ^ = 0,... , 2*; г = 0,... , шт{£, п — Ь — 2к}; к = 0,..., (п — Ь)/2 — 1;

N(і, п — і — 2к, г) = <

0,

1,

(2

если г > тіп{і, п — і — 2к},

п—і—2к\(пі

)(24 — 1),

если г

если г

0,

1,

М(і, п — і — 2к, г) = <

N (і — 1, п — і — 2к, г — 1)х

х(2п—і—2к — 2Г—1) +

ll+N(і — 1, п — і — 2к, г)2г, если 2 ^ г ^ тіп{і, п — і — 2к};

0, если г > тіп{і, п — і — 2к} или г = 0,

2і — 1, если г =1,

N (і, п — і — 2к, г) —

„—N (і, п — і — 2к — 1, г)2г, если 2 ^ г ^ тіп{і, п — і — 2к}.

Таблица 1 Весовой спектр кода С* в случае нечётного (п — г)

Количество функций Вес

у тт{£,п — £—2к} ч Одз(к)22‘+2кЧ 2*("-4-2к) — £ М(г,п — 4 — 2к,г)) V Г=1 У 2”-1

^2 . ^Од3 (к)м(г,п — г — 2к,г)22‘-2‘-г+2к4 г wt(qk) + (24-г — г) wt(qk)+ + (2‘ — 2*-г ^(^)

^2 . ^ о91 (к)ж(г, п — г — 2к, г)22‘-2‘ - г+2Ы г wt(qk) + (24-г — г) wt(qk)+ + (2‘ — 2*-г ^(^)

^2 . ^ Од2 (к)ж(г,п — г — 2к, г)22*-2*- г+2Ы г wt(q|) + (24-г — г) wt(qk)+ + (2‘ — 2*-г ^(я|)

Таблица 2

Весовой спектр кода С* в случае чётного (п — г)

Количество функций Вес

у т1п{£,п-£—2к} ч Одз (к)22‘+2Ы( 2*("-4-2к) — £ М (г,п — г — 2к,г)) V г = 1 ' 2”.1

^2 . ^Одз(к)М(г,п — г — 2к, г)22*-2‘-г+2к 4 г wt(qk) + (2*. — г) wt(qk)+ + (24 — 2^г ^(д|)

^2 . ^ 091 (к)ж(г, п — г — 2к, Г)22‘-2‘-г+2к 4 г wt(qk) + (2*. — г) wt(qk)+ + (24 — 2^г ^(^)

^2 . ^ Од2 (к)ж(г,п — г — 2к, г^24.2*-^2*4 г wt(q|) + (2*. — г) wt(qk)+ + (24 — 2*. ^(^)

0 1 2 4 2 3 wt *)/2^ +(24 — 3^ *)/2^

о >£5 (О 2 4 24 3 wt (4”.)/2) +(24 — 3) wt У^”-^2)

Доказательство. Для фиксированной функции из С* возможен лишь один из трёх случаев:

0 а*,ж*ж, 0 I (ж!,..., жга_*) А^ь ^ (XI,..., жга_*);

1^г<,Хп_£

0 а*,ж*ж, 0 I (ж 1,... , ж„_*) а£ь ^ (ж,..., жп_*);

1^г<,Хп_£

0 а*.,-ж*ж, 0 I (ж!,..., ж„_*) а£ь (ж!,..., хп_*).

1^г<,Хп_£

Пусть (А, 7) Е АОЬ — преобразование, приводящее квадратичную форму

0 а*, ЖгЖ, 0 I (ж 1,..., ж„_*)

1^г<,Хп_£

к одному из канонических видов. Применим это преобразование к произвольной функции f Е С* и будем рассматривать вес функции f (жА 0 7) = /(ж). Функция f может

быть лишь одного из трёх видов:

g(xn-t+1 , g(xn-1+1 , g(xn-1+1 ,

>x„) 0 qk (xi,. ,xn) 0 (xi,.

,xn) 0 (xi,.

.,Xn-t) 0 ф Xi/(i)(Xi,

i=n-1+1 n

.,xn-t) 0 ф xi/(i)(x1,

i=n-1+1

n

.,Xn-t) 0 ф Xi/(i)(x1,

i=n-1+1

.j xn-t) 0 ., Xn-t) 0 ., Xn-t) 0 є;.

Вес функции / равен ^^(У) = Е wt(fn-í+t.’.')'n¿n), где Уп_п*4‘11.’.^гп — подфунк-

(¿п-4+1,...,гп )€^4

ция функции f, полученная фиксацией переменных с номерами п — £ + 1,... , п константами гп_*+1 ,... ,гп соответственно.

Рассмотрим ¿х (п—¿)-матрицу £, состоящую из коэффициентов линейных функций /(г)(ж1,... , жп_*), г = п — £ + 1,... , п:

£

/г(1) ...

;(2) 7(2)

71 • • • 7n—t

7 (t) 7n t

Разобьём матрицу L на две подматрицы

L = (Ltx2fc|L:

ix (n—i—2k)

и пусть rang(L") = r, r = 0,... , min {t, n — t — 2k}. Для сокращения записи обозначим число t х (n — t — 2к)-матриц ранга r через N(t, n — t — 2k, r):

N(t, n — t — 2k, r) = <

0,

1,

(2

in—t—2k

— 1)(2‘ — 1),

если r > min{t, n — t — 2k}, если r = 0, если r = 1,

N(t — 1, n — t — 2k, r — 1)x

x (2

,n-t-2fc

— 2r—1) +

Пусть

k+N(t — 1, n — t — 2k, r)2r, если 2 ^ r ^ min{t, n — t — 2k}.

0 ßijXiXj 0 7(X1, . . . , Xn-t) AGL qk(X1, . . . , Xn-t)

1^i<jXn—t

и rang(L") = r. Тогда система

(xn-t+1,... ,Xn)L" = 0

имеет 2* г решений. Если (жга_4+1 ,...,жп) Е Fí является решением системы, то wt(fra-n+l+1,.x.nГn) равен wt(qk), если #(жп_*+1,... , жп) 0 е' = 0, и равен '^(^), если д(жга_4+1 ,...,жп) 0 е' = 1. Поскольку д(жп_*+1,... , жп), а следовательно и д(жп_*+1, ...,жп) 0 е', пробегает всё множество ^¿, то при любой фиксации переменных жп_*+1,... , жп значение функции д(жга_*+1,... , жп) 0 е' может быть произвольным.

В противном случае (когда (жга_*+1,... , жп) не является решением системы (1)) выполняется равенство wt(fra-"í+l+.1;,n.:E") = wt(qk).

Далее рассмотрим два случая:

1) (п — ¿) нечётно и 0 ^ к ^ [(п — ¿)/2] или (п — ¿) чётно и 0 ^ к ^ (п — ¿)/2 — 1;

2) (п — ¿) чётно и к = (п — ¿)/2.

Из сказанного выше следует, что в первом случае ровно

2*_г\

N(¿, п — * — 2к, г)091 (к)22‘_2‘-г+2к*

г

функций имеют вес

i wt(qf) + (2i—r — i) wt(qf) + (2i — 2i—r)wt(qf),

где r = 0,..., min {n — t — 2k, t}, i = 0,..., 2i—r.

Для случая

0 OijXjXj 0 /(xb . . . ,Жга—t) aGlqf (Xi, . . . ,Xn—i)

1^i<jXn—i

рассуждения проводятся аналогичным образом, заменяя qf на и наоборот. Получим, что

^ ^ N(t, n — t — 2k, r)Oq2 (k)22t—2t-r+2ki

функций имеют вес

i wt(qf) + (2i—r — i) wt(qf) + (2i — 2i—r)wt(qf),

где r = 0,... , min {n — t — 2k, t}; i = 0,... , 2i—r.

Теперь рассмотрим случай, когда (n — t) чётно и k = (n — t)/2 при условии, что

0 ßijXiXj 0 / (xi,... , ж„—t) aGl qk (xi,..., xra—t).

1^i<jXn—i

В этом случае L = L/, и при любой фиксации xn—i+1,...,xn прибавление к qf линейной

n

комбинации 0 xi/(i)(x1,... ,xt) либо оставляет её на орбите, содержащей qf, либо

i=n—i+1

переводит на орбиту, содержащую qf. В конечном итоге вес « будет опре-

деляться лишь значением функции g(xn—i+1,... ,xn) 0 е/, которое может быть произвольным.

Зафиксируем в Fi j векторов, на которых функция g(xn—i+1,... , xn) 0е' принимает такие значения, что выполняется условие wt(/n‘ —i+t1+.1..'nXn) = wt(qf), а на оставшихся (2i — j) векторах wt(/«—*+*]+.3..’.Пг.Ж") = wt(qf). Тогда вес функции wt(/) равен

j wt (q(n—i)/2) + (2i — j) wt (q2n—i)/2) .

Поскольку при указанных условиях g(xn—i+1,... , xn) 0 e' однозначно определяется, то функций указанного веса будет ровно

o„i( +)(j) 2‘(“",)' j=0'...-2‘.

Случай, когда (n — t) чётно и k = (n — t)/2 при условии, что

0 ßijXiXj 0 / (x1,... , Xn—i) aGl qk (X1,..., Xn—i) ,

1^i<jXn—i

рассматривается аналогично предыдущему.

Опишем теперь последний из возможных случаев, когда

0 а,ЖіХ 0 I (х,... , ж„_*) а£ь ?з (х,..., ж„_*).

Рассмотрим систему

(жга_і+і,...,жга)£'' = (1, 0,..., 0). (2)

Если вектор (хп_і+і,... , хп) Є Fí является её решением, то ^(хі,..., хп-і) 0

п \

0 0 Жі/(г)(жі,..., я™-*)) равен ), если д(ж„_і+і,..., ж„) 0є' = 0, и ) в про-

г=га_і+і '

тивном случае.

Для всех остальных векторов а, для которых система

(хп_t+1, . . . , хп)^ а

совместна и вектор (жп_і+і,..., хп) лежит в множестве её решений, выполняется равенство

П—І

-Ц ^(хі,... ,хп_*) 0 0 ж/г)(жь... ,ж„_*) ) = 2п * і. і=і

Число * х (п — * — 2к)-матриц ранга г, для которых система (2) совместна, обозначим М(¿, п—*—2к, г). Поскольку система совместна тогда и только тогда, когда га^(£'')т = = га^((£'')т|вт), где в = (1, 0,... , 0), то имеет место рекуррентная формула

М(і, п—і — 2к, г) = <

'0, если г > тіп{і, п — і — 2к} или г = 0,

2* — 1, если г =1,

N (і, п — і — 2к, г) —

к — N (і, п — і — 2к — 1,г)2г, если 2 ^ г ^ тіп{і, п — і — 2к}.

Из этого следует, что * х (п — * — 2к)-матриц ранга г, для которых система (2) несовместна, ровно

шт{*,п_*_2к}

2*(п_*_2к) — Е М(*,п — * — 2к, г).

Г=1

Поэтому в исследуемом коде содержится

тіп{і,п_і_2к}

Е

г=і

Одз (к) ( 2*(п_*_2к) — Е М(і, п — і — 2к, г) 22Ч2Н

функций веса

-і(^ )2* = 2*2п_*_і = 2п_і

и

І —Г

Одз (к)М(і, п — і — 2к, г)2

2‘_2‘-г +2к*

функций веса

і —і(^к) + (2і г — і)-^^) + 22* 2* г —і(^к), где і = 0,..., 2*_ г, г = 1,..., тіп{і, п — і — 2к}, к = 1,..., [(п — і)/2].

ЛИТЕРАТУРА

1. Логачев О. А., Сальников А. А., Ященко В. В. Булевы функции в теории кодирования и криптологии. М.: МЦНМО, 2004. 469 с.

2. Мак-Вильямс Ф.Дж., Слоэн Н.Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки. М.: Связь, 1979. 744 с.

3. Черемушкин А. В. Методы аффинной и линейной классификации булевых функций // Труды по дискретной математике. 2001. Т. 4. С. 273-314.

4. Блейхут Р. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки. М.: Мир, 1986. 576 с.

5. Покровский А. В., Никифоров М. С. Весовой спектр одного подкода кода КМ(3,п) // XIV Междунар. конф. «Проблемы теоретической кибернетики». Пенза: ПГУ, 2006. Ч.2. С. 68-70.