CC BY
38
ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
2014 Прикладная теория кодирования №1(23)
УДК 519.72
О РАНГАХ ПОДМНОЖЕСТВ ПРОСТРАНСТВА ДВОИЧНЫХ ВЕКТОРОВ, ДОПУСКАЮЩИХ ВСТРАИВАНИЕ СИСТЕМЫ ШТЕЙНЕРА S(2, 4,v)1
Ю. В. Таранников
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, г. Москва, Россия
E-mail: taran@butovo.com
Получена оценка ранга подмножества X пространства через радиус покрытия кода, лежащего в подпространстве линейных зависимостей векторов из X. Получена верхняя оценка радиуса покрытия кода, порождённого матрицей инцидентности системы Штейнера S(2, 4,v). Получены верхняя точная и асимптотическая оценки ранга подмножества X пространства F^, допускающего встраивание системы Штейнера S(2, 4,v).
Ключевые слова: ранг, аффинный ранг, оценки, линейное подпространство, линейный код, радиус покрытия, система Штейнера, булевы функции, носитель спектра.
Пусть X С F^. Рангом множества X называется размерность dim(X) его линейной оболочки (X). Аффинным рангом множества X называется наименьшая размерность класса смежности линейного подпространства в F^, содержащего X. Пусть ах — взаимнооднозначное отображение векторов из X в компоненты пространства F^X|. Отображение ах индуцирует взаимно-однозначное сопоставление каждому подмножеству
I XI
A С X характеристического вектора а = (а\,... , а|х|) = £х(A) в F2 , такого, что ai = 1, если аХ^*) ^ A, и ai = 0, если Oxc(i) ^ A, i = 1,..., |X|. Пусть Вх =
= {B^...,Bs} — совокупность всех таких подмножеств Bi = {xn , ...,xiki} множе-
ki
ства X, что£ xij = (0,... , 0). Тогда множество векторов £х(Вх) = {£х(B1),... , £х(Bs)}, j=1
|х|
очевидно, является линейным подпространством в .
Лемма 1. Имеет место равенство dim(X) = |X| — dim£х(Вх).
Доказательство леммы 1 практически очевидно, потому что если dim£х(Вх) = г, то в X найдется подмножество X1 из |X| — г линейно независимых векторов, а все векторы из X \ X1 могут быть выражены как линейные комбинации векторов из X1.
Из леммы 1 получаем
Следствие 1. Пусть C С £х (Вх). Тогда
dim(X) ^ |X| — dim(C).
Произвольное множество C, C С Fm, называется кодом. Если C — линейное пространство в Fm, то C называется линейным кодом. Расстоянием (Хэмминга) d(a, b) между векторами а и b из Fm называется число компонент, в которых а и b различаются. Радиусом покрытия R = R(C) кода C, C С Fm, называется величина
1Работа поддержана грантом РФФИ, проект № 13-01-00183-а.
К = К(С) = шахштё(а,6). Радиусу покрытия и связанным с ним вопросам тео-абШ'™ ЬеС
рии кодирования посвящена монография [1]. Из определения радиуса покрытия сразу следует, что мощность кода С, С С Ет, оценивается через его радиус покрытия К(С) как
Системой Штейнера Б(£, к, V) называется пара (V, В), где V — множество мощности V, а В — семейство к-элементных подмножеств V, называемых блоками, таких, что любое ^-элементное подмножество V целиком принадлежит ровно одному блоку.
Будем говорить, что пара (V, В), являющаяся системой Штейнера Б(£, к, V), встраивается во множество X, X С ЕП, если существует биекция ^ : V ^ X, такая, что для любого блока В, В 6 В, выполнено соотношение £ <^(ж) = (0,... , 0). Саму биекцию ^
которое, в свою очередь, соответствует множеству двоичных векторов (^(В)), лежащему в (Вх).
Следующая теорема справедлива, даже если биекция ^ не обязательно является встраиванием. Фактически теорема устанавливает верхнюю оценку радиуса покрытия кода, порождённого матрицей инцидентности системы Штейнера Б(2, 4, V).
Теорема 2. Пусть X С РП, |Х| = V; (V, В) —система Штейнера Б(2, 4, V); ^ — взаимно-однозначное отображение V ^ X. Тогда для радиуса покрытия Я линейного кода С = (£х (<^(В))) в справедливо неравенство Я(С) ^ у^.
Доказательство. Пусть а — произвольный вектор из Р2. Надо доказать, что найдётся вектор и из (£х (^(В))), для которого ё(а, и) ^ у^. Для этого покажем, что если |а| > у7^, где |а| — вес вектора а, т. е. число ненулевых компонент в а, то найдётся вектор и1 из (£х (<^(В))), такой, что |а + и1! < |а|. Если |а + и:| > у^, то применим эти же рассуждения к вектору а + и1 и т. д. В силу конечности веса вектора а получим множество наборов и1, ..., и5 из (£х (<^(В))), что |а + и1 + ■ ■ ■ + и5| ^ у^, т. е. ё(а, и1 + + ■ ■ ■ + и5) ^ у^, где (и1 + ■ ■ ■ + и5) Є (£х (<^(В))), что и требуется.
Итак, предположим, что |а| > у^. Напомним, что все векторы из (^(В)) имеют вес 4. Выделим две достаточные для доказательства ситуации:
а) Если найдётся вектор и из (^(В)), имеющий с набором а не менее трёх общих единиц, то, очевидно, |а| < |а + и|.
б) Если найдутся векторы и1 и и2 из (^(В)), имеющие одну общую единицу между собой (но не более в силу определения системы Штейнера), причём в компоненте,
Отсюда, если С — линейный код, то
(1)
Из (1) и следствия 1 получаем следующую теорему. Теорема 1. Пусть С С (Вх). Тогда
&ш(Х)
жеВ
будем при этом называть встраиванием.
Заметим, что если такое встраивание существует, то семейство блоков В = {В*, ... ,В6} перейдёт в семейство <^(В) = {^(В*),... , ^(В6)} подмножеств множества Вх,
где в наборе а нуль, и каждый из них не менее двух общих единиц с набором а, то, очевидно, |а| < |а + (и1 + и2)|.
Обозначим за I множество всех компонент пространства Р, в которых вектор а имеет единицы. Для любых і, і Є I, і = і, в силу того, что (V, В) — система Штейнера Б(2, 4, V), существует вектор и(г-) из (^(В)), имеющий единицы в компонентах і и і. Если и(г-) имеет ещё хотя бы одну единицу в компоненте из I, то имеет место ситуация «а». Если для разных пар (і, і) и (і;,і;) векторы и(г-) и и(і - ) имеют общую единицу в компоненте не из I, то имеет место ситуация «б». Поэтому все векторы и(і’-), і,і Є !,і = і, разные и никакие два из них не имеют общих единиц в компонентах не из I. Следовательно, число компонент не из I, равное V — |а|, оценивается как V — |а| ^ 2|а|(|а| — 1)/2. Отсюда |а| ^ у^, что доказывает теорему. ■
Объединяя утверждения теорем 1 и 2, получаем следующую теорему.
Теорема 3. Пусть X С РП и существует встраивание системы Штейнера Б(2, 4, |Х|) в X. Тогда
/ |X |'
dim(X) ^ шіп п, log2 £ I
і=0
і
Из теоремы 3 вытекает асимптотическая оценка.
Следствие 2. Пусть существует последовательность подмножеств X С ЕП, п ^ то, IX| ^ то, для каждого из которых существует встраивание системы Штейнера Б(2, 4, IX|) в X. Тогда
^ 2^ ^|(1 + 0(1)).
Для доказательства следствия 2 достаточно воспользоваться неравенством
£ (™) ^ 2гаЯ(*/га) при 1 ^ ^ п/2, где Н(ж) = —жlog2 ж — (1 — ж)log2(1 — ж) — дво-
к=0
ичная энтропия (см., например, [2, с. 37]).
Параметры линейных кодов, порождённых системами Штейнера Б(Ь, к,г>), достаточно активно изучаются при к = Ь + 1 [3, 4]. Обсудим, почему нами выбраны именно системы Штейнера Б(2,4, V). Это связано с исследованиями ранга и аффинного ранга носителей спектра булевых функций.
Булева функция от п переменных — это отображение из ЕП в Е2. Преобразованием Уолша булевой функции f называется целочисленная функция над ЕП, определяемая как Ж/(и) = £ (—1)^(ж)+<и’ж>. Для каждого и 6 КП значение Ж/(и) называется коэффициентом Уолша. Коэффициенты Уолша называются спектральными коэффициентами, а совокупность всех 2П коэффициентов Уолша — спектром булевой функции. Множество Б/ всех наборов и, таких, что Ж/(и) = 0, называется носителем спектра функции f.
Для коэффициентов Уолша булевой функции f над ЕП справедлива теорема Тит-сворта (см., например, [5, с. 135]): для любого ненулевого в 6 ЕП выполнено равенство £ »7 (ж)Ж/(ж + в) = 0. Отсюда следует, что если носителю спектра Б/ принадлежат
наборы ж и ж + в, то в Б/ должна лежать ещё хотя бы одна пара наборов, отличающаяся на в, скажем, у и у + в. Но тогда ж + (ж + в) + у + (у + в) = (0,..., 0),
т. е. {x, x + s, y, y + s} — четвёрка наборов, удовлетворяющая условию на встраивание. Конечно, система Штейнера S(2, 4, v) —это достаточно специфический комбинаторный объект, существующий не при всех v. Известно [6], что система Штейнера S(2, 4, v) существует тогда и только тогда, когда v = 1,4 (mod 12). Однако этому условию удовлетворяет мощность носителя спектра платовидной функции. Булева функция называется платовидной, если её коэффициенты Уолша принимают ровно три возможных значения: 0 и ±2h для некоторого h. Платовидные функции представляют большой интерес для изучения бент-функций (например, потому, что при разложении бент-функции по переменной возникают две платовидные функции), а также потому, что многие криптографически важные функции являются платовидными (например, m-устойчивые функции с максимально возможной для них нелинейностью 2n-1 — 2m+1). Возможные значения аффинного ранга платовидных функций исследовались в [7]. Из равенства Парсеваля £ Wf (u) = 4n сразу следует, что мощность носителя спектра равна |Sf | = 4n-h = 4 (mod 12). Кроме того, из теоремы Титсворта видно, что для любого ненулевого s £ Fn носитель спектра платовидной функции содержит чётное число пар наборов, отличающихся на s, что даёт надежду сгруппировать наборы в совокупность четвёрок, являющихся встраиванием системы Штейнера S(2, 4, v). В [8] построены бесконечные последовательности платовидных функций с растущей мощностью носителей спектров, как допускающих, так и не допускающих встраивание системы Штейнера S(2, 4, v).
ЛИТЕРАТУРА
1. Cohen G., Honkala I., Litsyn S., and Lobstein A. Covering codes. Elsevier Science, 1997.
2. Чашкин А. В. Дискретная математика. М.: Академия, 2012.
3. Зиновьев В. А., Зиновьев Д. В. Системы Штейнера S(v, k, к — 1): компоненты и ранг // Проблемы передачи информации. 2011. Т. 47. №2. С. 52-71.
4. Ковалевская Д. И., Соловьева Ф. И. Системы четверок Штейнера малых рангов и расширенные совершенные двоичные коды // Дискретный анализ и исследование операций. 2013. Т. 20. Вып. 4. С. 46-64.
5. Таранников Ю. В. Комбинаторные свойства дискретных структур и приложения к криптологии. М.: МЦНМО, 2011.
6. Reid C. and Rosa A. Steiner systems S(2, 4,v) — a survey // Electron. J. Combinator. 2010. DS18.
7. Таранников Ю. В. О значениях аффинного ранга носителя спектра платовидной функции // Дискретная математика. 2006. Т. 18. Вып.3. C. 120-137.
8. Урбанович Т. А. О дизайнах специального вида на подмножествах булева куба: дипломная работа / механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова. М., 2012.
