CC BY
42
УДК 517-9
О ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ДРОБНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
ABOUT THE WEIGHTED SPACES OF FRACTIONALLY DIFFERENTIABLE
FUNCTIONS
М.В. Кукушкин M.V. Kukushkin
Институт прикладной математики и автоматизации, Россия, Нальчик, ул. Шортанова, д. 89/а. Institute of Applied Mathematics and Automation, 89 / a Shortanova St, Nalchik, Russia.
E-mail: [email protected]
Аннотация. В данной работе рассматривается возможность построения Гильбертова пространства путем пополнения унитарного пространства, порожденного оператором дробного дифференцирования. Способ построения пространства аналогичен [1, с. 44], но в то же время в некотором смысле является более общим, поскольку в билинейной форме присутствует весовая функция. Доказывается теорема вложения построенного Гильбертова пространства в весовое пространство Лебега, суммируемых с квадратом функций, следствием которой является соответствующее оснащение весового пространства Лебега суммируемых с квадратом функций [8, с. 47] .
Resume. In this paper we consider the possibility of building the Hilbert space by completion of the unitary space generated by the fractional differentiation operator. A method of constructing this space is similar to [1, c. 44] but at the same time, is more general in a certain sense because a weighting function is present in the bilinear form. The embedding theorem for the constructed Hilbert space in the weighted Lebesgue space of square integrable functions is proved. The consequence of this theorem is the appropriate equipment of the weighted Lebesgue space of square integrable functions in the sense of [8, p. 47].
Ключевые слова: энергетическое пространство, дробное интегродифференцирование. _Keywords: energy space, fractional integrodifferentiation._
В работе [1, c. 44] А.М. Нахушевым описывается способ построения унитарных пространств с помощью операторов дробного дифференцирования и интегрирования. Вопрос построения пространств дробно дифференцируемых функций изучался И.А. Киприяновым, в данном направлении известна его работа [2, c. 166], в которой рассматриваются Банаховы пространства дробнодифференцируемых функций, доказываются теоремы вложения в пространство Соболева. Также известна работа Л.М. Энеевой [3]. В данной работе рассматривается возможность построения Гильбертова пространства путем пополнения унитарного пространства, порожденного оператором дробного дифференцирования. Способ построения пространства аналогичен [1, c. 44], но в то же время в некотором смысле является более общим поскольку в билинейной форме присутствует весовая функция. Доказывается теорема вложения пространства с (О) в пространство L2 (О, ф),
следствием которой является соответствующее оснащение пространства L2 (О, ф) [8, c. 47]. Если это не оговорено дополнительно, везде будем полагать: a е (0,1), х еО. Интегрирование будем понимать в смысле Лебега. Будем использовать обозначения:
\r < х < d, r < d О = ю, r d, = 1 r,d е R
1 r~d| [d < х < r, d < r
(f, g)0 f, g), (О) = \f (х)g(x)dx,
О
111 0 = III l2 (О), (f, g> 0,„ =(f, s)l2 (О,у) = jf (x)g(xMx)dx
О
Пространство L (О, у), 1 < p < да состоит из всех локально суммируемых c весом у(х) > 0, у(х) е L (О), 1 < у < да на О функций f (х) для которых конечна норма:
р
Ир
= 11 /(х) 1р ^(х)Лх
Следуя [4, с. 185] будем рассматривать классы:
(Ьр ) = {/(х) : /(х) = £>„>(?), ф(х) е Ьр (П)}, (1)
/£= (Ьр ) = {/(X) : /(х) = Б^фО, ф(х) е Ьр (О)}, (2)
I« (Ьр )+ = {/(х) : /(х) е (Ьр ), ф(х) > 0}. (3)
Допустим, что действительные числа в, д удовлетворяют условиям:
2 1 2 1 1
-+-< 1 + 2а,-<в < —,1<д <-, (4)
в д 1+2а а а
и пусть с(х) е (Ьд)+ . Рассмотрим линейное множество вида / г± (Ьв). Заметим, что данное множество является линейным пространством над полем действительных чисел. Определим на /г± (Ьв) билинейную форму
(и, у)а,с =1 (и, Б» о,с +1 (V, Б» о,с , И, V е /а± (Ь0). (5)
Для этой билинейной формы выполнение аксиом скалярного произведения очевидно, кроме аксиомы
(и, и)а,с >0, и Ф 0. (6)
Имеет место следующая лемма, позволяющая утверждать, что пара: билинейная форма (5) и
линейное множество /г±(Ьв) образует унитарное пространство.
Лемма 1.1 Пусть выполнены условия (4), и(х) е /Г± (Ьв). Тогда имеет место (6). Доказательство. Воспользовавшись леммой 1 [5], изменив порядок интегрирования, а затем интегрируя по частям, имеем для {и„} е /а (С™), ил ф 0
(и,ип)а,с = и,ЕТия)0,с > (с,БУииП)0 = (ипип',Б^сХ = 1 |ии2(х)ф(х)^х > 0 (7)
2 п
Пусть теперь и е /г± (Ьв ), тогда согласно теореме из источника [4, с. 64]
Рассмотрим
/„.2
:Ье^Ьр,р= ---. (8)
1-ав
*п , ф) 0 -{и ф) 0 = {(ип - и)(ип + u), ф) 0 < ||ип - 4ь \\(ип + и)^Ц <
р
< 11ип- и11Ь I \(ип +и )1 Ь...1 М1 (9)
где р, У, и t, 5 >1, соответственно взаимно сопряжены. Для доказательства ограниченности правой части (9), преобразуем условие (4):
2 1,,
- + -< 1 + 2а, в д
- -а < 1 + а-1 -0 < д(1 -ав) < д(в(1 + а) -1) -в, в в д
д(в(1 + а) -1) + а) -1 ^ в (в(1 + а) -1)
д(в(1 + а) -1)-в 1 -ав (1 -ав) в
д(в(1 + а) -1) д(в(1 + а) -1) -в
1 в
- - >-
t д(в(1 + а) -1)' t д(в(1 + а) -1)' t -1
^ д(в(1 + а) -1)
д(в(1 + а) -1)-в , 1<1_ в !_!> в
в
1 = 1_А= (0(! + а)
Y
0
t <
(1 -
(1 -а0 ) p
Yt < Р
_L < ?(i -1) ' V < ? t -1 p
из чего следует ограниченность правой части (9). Поскольку, согласно теореме 3.5 [4, c. 64]
IIм» - 4lp = (V» - v)|| < q||V» - v||if
и так как С"(Q) всюду плотно в L0 (Q) по норме L0, то
lim <м», ф) о = (и2, ф) о. Используя неравенство Коши-Шварца, имеем оценку
(и» - и, ип - м)а,с <|\(ип - м)4 ||V» L < \\(ип - и)||L 114
(10)
(11)
где /, 6, и 5, ? >1, соответственно, взаимно сопряжены. Покажем, что правая часть (11) стремится к нулю, для этого преобразуем условие (4). Имеем:
2 1,,
- + -< 1 + 2а, 6 q
1-а<(1+а)-1, 0<^^ <6(1+а)-2, q 6 q
t <
0-1 q
0 1 -aq
t >-
0-1
0(1 + a) - 2
>1,
t-
e
q
0 -1 1 - aq t 0 0
<
t -1 0-1 1 -a0
yt <■
q
1 -aq 0 .
^ < nae = p
Учитывая, что С " (Q) всюду плотно в L0 (Q) делаем вывод, что правая часть (11) стремится к нулю, откуда из свойств скалярного произведения следует что
lim (и», Мп)a,c = (U, U)a,c.
Воспользовавшись (10-12), осуществив предельный переход в (7), имеем неравенство
0 < Ju2 (х)ф(х)аХ < 2(м, и)ас < и ^ 0.
(12) (13)
Лемма доказана.
Поскольку на линейном пространстве (£0) определено скалярное произведение, то данное пространство является унитарным. Согласно общей теории, [7, ^14], норму в этом пространстве можно определить стандартным образом:
)2 .
' a,c
и = (и, и) 2
II 11а,с 4 ' а
Обозначим это пространство N а с (О) пополняя его относительно введенной нормы, получим гильбертово пространство (О). Имеет место следующая теорема.
Теорема 1.2 Пространство Nа,с (О) ограничено вложено в Ь2 (О,р) •
Доказательство. Докажем, что между элементами пространства Nас (О) и (О,р) можно установить линейное соответствие, такое, что:
1) каждому элементу и е Ыас (О) приводится в соответствие единственный элемент и' е (О, р) ;
2) если элементам и,V е (О) приведены в соответствие и', V е (О, р), то линейной комбинации ци +/V е Ыа с (О) приводится в соответствие элемент г/и' + /¡V' е (О, р) ;
п
L
0
Q
1
Для любого элемента и е Na,с (Q) можно построить последовательность элементов {un} е N ас (Q), такую, что \\u„ — и||ас ^ 0, п ^-<х>. Заметим, что
Un Um е N ,с (Q), Un — Um ||а с ^ 0, n, m ^ Согласно (13) имеем
llu - и II < K\\u — u || , K = const. (14)
II n ™\\ 0,Ф II n mll а,с v^ty
В силу полноты пространства L2(Q,ф) существует элемент и'е L2 (Q, ф), такой, что ||u — Um||o ^ 0. Поставим этот элемент в соответствие элементу и е Na,с (Q). Докажем
единственность элемента и'. Предположим, что другая последовательность {vn}еNac(Q) сходится к и по норме пространства Na,с (Q). Проведя аналогичные рассуждения, получим, что существует
элемент V е L2 (Q, ф), такой, что последовательность vn сходится к v' по норме пространства L2 (Q, ф). Покажем, что V = и'. Согласно неравенству треугольника
Ци„ — vl| = \\и — и — (v — и)\\ < ||и„ — и|| +| |и — vl| ^ 0. (15)
II n nll0,с II n у n 110,с II n 11о,с II nll0,с Э-7
Поскольку и — vn е Na с (Q), то
рИ - v4 0,ф< Kiu- - v
< %- vj „ ^0 (16)
из чего, осуществив предельный переход, получим:
\u' - vi = lim\u - v ц =о,
II Но,ф II n nll0,Ф '
что и требовалось доказать.
Допустим, что элементам u1; u2 е Na c (Q) соответствуют последовательности
{uin },{u2n} £ N,0 (QX такие, что
и, - и, ^ 0, щ. - пЛ ^ 0.
II 1п 41 а.,о ' II 2п 2\\а.,о
Пусть этим элементам соответствуют элементы щ, и'2 е ь2 (О, ф), такие, что: 1К - м1^0ф ^ 0, |Щ2п - м2||0ф ^ 0. Тогда, согласно неравенству треугольника, получим
ЦСЛЩ +^2и2) - (Л1и1п + ^2М2п )\\ас = |К(М1 - и1п ) + ^2(М2 - М2п ^ ^
-М1п||а,с + ^|Щ2 -М2п||с ^ 0 П ^^ (17)
ЦЦщ' +^2М2) - КЩ1п + ^2Щ2п 4>ф = 1К (Щ - и1п ) +^2(М2 - Щ2п 4,ф ^
-"Л0,ф + ^||М2 -и2п\\0,ф ^ 0 п ^ (18)
Соотношения (17-18) означают, что элементу +ц2 и2 пространства ^ас (О)
соответствует элемент пространства £2 (О, ф). Линейность соответствия доказана.
Выше нами было получено неравенство (13), устанавливающее соотношение между двумя
нормами элемента унитарного пространства Nаc (О). Покажем, что это неравенство верно для
любого элемента пространства N,с (О). Пусть и е Ыас (О), существует последовательность элементов
{ип} е N а с(О) такая, что
\\и - м'|| ^ 0, \\и - м|| ^ 0, п ^<х>.
II п 110,ф ' II п На,с '
Для элементов ип £ Na,0 (Q) имеет место неравенство (13):
||ul| <KUJ . II nll0,ф II nlla,0
Воспользовавшись непрерывностью скалярного произведения, осуществив предельный переход в (13), для любого элемента и е Ыа (О) получим
М0,р< К1И1,с, и е ¿2(0,р), и е Жа,с(О (19)
Это означает, что Жас (О) ограничено вкладывается в ¿2 (О, р). Теорема полностью доказана.
Следствие 1. 3 В силу доказанной теоремы на (О) определен линейный ограниченный оператор вложения:
О: Жа, (О) ^ ¿2(О, р).
Определение 1. 4 Рассмотрим билинейную форму от / е ¿2 (О, р), и е N с (О), задающую линейный непрерывный функционал I г над N с (О)
1} (и) = °, /)0,р < К\\/\\0,Ли||а с, К = СШЙ. (20)
Следуя [8, а 46], определим на Ь2 (О, р) оператор I, ставящий в соответствие каждому элементу из Ь2 (О,р) линейный непрерывный функционал
I : ¿2 (О, р) ^ Жа,с (О), (Ои, /)0,р = (и, I/)а,с. (21)
Имеет место следующая теорема.
Теорема 2.5 Пусть действительные числа 6, q удовлетворяют условиям:
2 1 2
—I— < 1 + а, 0 >-, q >1,
6 q 1 + 2а
с( е I;, (Ья)+,
оператор
€: ¿2 (О, с) ^ ¿2 (О, с), €= OI обратим на Р^. Тогда множество ^ (¿6) всюду плотно в ¿2 (О, с) и
д;: с (¿6) ^ ¿2 (о, с)
является положительным оператором.
Доказательство. Для удобства введем обозначения:
£2(О,с) = Но, Жа,/(О) = Н+, /(х) = Д^с, q
тогда поскольку /(х) е ¿у, у =-> q, используя (19), с учетом следствия 1 имеем
1 -аq
||Ои||я < К\и\н , и е Н+, К = сож! (22)
Согласно условию данной теоремы оператор I обратим на р^, покажем, что Р(!) = й^1) всюду плотно в Н0. Пусть Н1 тогда
0 = (Н, /) ^ = (!Н, I/) ^ = (!Н, /) ^.
Поскольку последнее равенство имеет место У/ е Н0, то € = 0, откуда, учитывая
обратимость $ на К (I) ,получим Н = 0, следовательно в силу леммы 2 [9, а 88] делаем вывод, что
р!) всюду плотно в Н0. Так как в свою очередь в силу теоремы 1 ^ (¿6) плотно в по норме
Н0, то ^ (¿6) всюду плотно в пространстве Н0.
Докажем теперь вторую часть теоремы. Имеем:
Ш2 = ||у(х)|2 с(х)оХИ, ,и(х)еС(¿6), у = -
II 110,с ^ 11 "¿2у у 1 -
О ¡1
Покажем, что в силу условия теоремы 2у' < 6 :
- + - < 1 + а, - - — < а, 2q' < (1 + аq')0, 2у' = <6,
6 q 6 ^ 1 + аq'
откуда следует, что
Д :Гг±(¿6) ^¿2(О,с). (23)
-аq
В силу теоремы 1 будем иметь для и е /г°± (¿6)
<и(х), £>(/)>> 0,
причем
ш, яа«(/)> 0,с =0
тогда и только тогда, когда и(х) = 0. В доказательстве первой части данной теоремы было
показано, что множество Гг'± (Ь0) с ) всюду плотно в Ь2(О,с). Заметим, что для того чтобы оператор обладал свойством положительности в классическом смысле, необходимо еще выполнение условия симметричности. Поскольку согласно [1, а 46] при определении свойства положительности оператора дробного интегродифференцирования, не требуется выполнение условия симметричности, то согласно такому определению оператор положительный. Теорема полностью доказана.
Рассмотрим условия, наложенные на весовую функцию, при которых операторы О и I обратимы. Имеют место следующие теоремы:
Теорема 3. 6 Пусть относительно ф(х) выполнены условия:
< М5, М = оотг,
Ф(х)> к >0,1 11 Ф(/ + 5)-ф(/)|9 ах
действительные числа О < д удовлетворяют условиям (4). Тогда оператор I обратим на Р(!).
Доказательство. Рассмотрим оператор I, согласно (21) для
/1,/2 е Ф), 1/1 = /2, и е Мас(О) имеет место
<Ои, /1 - /2 >0,ф = (и, I (/1 - Л)>а,с =0, откуда согласно лемме 2 [9, а 88] немедленно следует, что будет выполнятся равенство / = / , в случае когда Р(О) = Х2 (О, ф).
Рассмотрим множество П = {и(х):и(х) = у(х)Цф(х),у(х) еС0°°(О)}. Имеем для ип е П,ие 12(О,ф):
IIй» - 4 2,ф = \\у» - и^|| 2.
Поскольку и е (О, ф) равносильно и^ф е Ь2 (О), то отсюда следует, что множество и
всюду плотно в Ь2 (О, ф). Покажем, что при условиях данной теоремы и с !"+ (ЬО). Заметим, что с
учетом теоремы 13.7 [4, а 186] достаточно показать, что 1/^Ф е !"+ (ЬО). Из условия данной теоремы следует:
11Цф(х) - 1/Л/ф(х+Т) ах || | ф(х)-ф(х + () |0 ^
\П
1
М
2к
2 \П
д-0 1
(шетО) 09 ГГ| / ч , ч|_ , Л'
<--^-1 ] | Ф(х) — ф(х + 0|9 dx
\О
3
2к 2
(24)
Покажем, что последовательность х)} (см. теорему 13.7 [4, а 181]) фундаментальна в
^о (О). Использовав обобщенное неравенство Минковского, а затем оценку (24) и условие данной теоремы, имеем для е1 > е2 > 0 :
/1V., (х) -ф82 (х)|0 ах I =
а1^УФсх> - а 1^УФсх) - 1/УФ<Х) Л
•I (х-х)а+1 Т ^ Т
(х- х)а
0 Ло
ах
д
О
<
й
г
<1
г
X + 8
ц/ф(Х) - 1/Уфёо
(х- х)а
Ох
0 ^
ёх
а 2
Л Л
У^ф(х) -1/д/ф(х + /)
а
0 ^
ёх
"1 М,
11Н01/д/фСх) - 1^л/фсх+Т) ах оа < Щ 11~аа/
8о V г
— 1 1г»-а+1 г>-а+1 \ д л - (те5О)
-а +
у(8-а+1 - 8-а+1) Щ = М -
д-0
0д
3 2к2
что доказывает фундаментальность (х)}. В силу полноты Ц (О), Зу( х) е Ц (О): (х) -—х), из
чего в силу теоремы 13.2 [4, с. 183] следует: 1/д/ф(х) е Га+ (Ц). Как было замечено выше, в силу теоремы 13.7 [4, с. 186] и с1"+ (Ц). Поскольку Iа (Ц) с ГЧ(О), то из этого следует, что Р(О) = Ь2 (О,ф). Теорема доказана.
Теорема 4. 7 Пусть ф(х) = х(х) - х(г) > к >0, х(х) е ИХ(О), X + а <1, 2/(1 + 2а) < 0 < 1/а. Тогда оператор О обратим на Р(О).
Доказательство. Заметим, что при условии данной теоремы справедлива теорема 1, таким образом, для доказательства обратимости оператора О достаточно показать в обозначениях теоремы 1, что если элементам щ,щ е N с(О) приводится в соответствие один элемент и' е Ц (О, ф), то щ = щ. Допустим противное, обозначим щ - щ = V. Поскольку в силу теоремы 1.2 соответствие
между элементами пространств N ДО) и Ц (О,ф) линейное, то |Н|0ф = 0. Существует последовательность:
К } с Т~а,с (О) :1ш|Ы|0,ф = ^ЧЬ - VIа с =
Пусть Ле Ма,с (О)
тогда
<Vn , Л>а,с = 2 V , К Л>0,с + -<КХ , Л>0,с .
а+Х /
С учетом следствия 1 теоремы 3.1 [4, с. 58] с(х) е Иа+ (О).
l<Vn , КЛ>0,с1 =
jvn (х)с(х)КЦёх < С111 Vn (хКл | Ох < С11 11 Vn (х) |2 ф(х)Ох
Л к л2 ф-1( х)ах
V0
1
2 < С,Pv Р. • РКалР • /Рф-1Р < С1(те1О)2У Pv Р • РБалР - 0.
1 п 0,ф гх I Цд д/ т Ц ГГ п 0,ф гх I
/
л/к
Поскольку из условия 1< 0 <1/а, согласно [4, с. 185] следует 1™±(Ц ) = ), то в силу теоремы 13.7 [4, с. 186], и следствия 2 [4, с. 51] имеем:
1< , л> 0,с1=
(х)О-слОх <1 Л | Vn(х) |2 ф(х)Ох I I IIК«сл| ф-1 (х)Ох I <
<ыи -1КН1 ^Лк'ТГ < ^^ы0, •1ИИ1, - 0
4к
Следовательно в силу непрерывности скалярного произведения
^п, Л>а,с Л>а,с =0, п ^^ Ле 1Г± (Ц0 ),
поскольку множество 1а± (Ц) является всюду плотным в пространстве , то согласно лемме 2 [9, с. 88]: |^|ас =0, следовательно щ = щ. Теорема доказана.
8
а
г
8
8
2
X
О
О
О
X
О
О
О
Таким образом теорема 1 и теорема 4 дают возможность установить линейно изоморфное соответствие между пространствами Аас (О) и (О, ф), теорема 3 дает достаточные условия
обратимости оператора I (см. определение 1). При выполнении условий теорем 1, 3, 4 имеет место теорема 2. Можно показать, что при выполнении условий теорем 1, 4 и дополнительном условии Л > а, также имеет место теорема 2. Это будет следовать из полностью аналогичного повтора доказательства теоремы 3.
Следуя работе [6, а 72], определим функционал энергии следующим образом: Определение 2. 8 Функционал
Р/ (и) = На,с " 2(Н />о,Ф' (25)
и е Nа,с,/ е 4 (О, Ф)
будем называть функционалом энергии оператора дробного дифференцирования. Аналогично [6, а 73] имеет место теорема 5.
Теорема 5. 9 В энергетическом пространстве существует единственный элемент, на котором функционал энергии достигает минимума.
Доказательство. Используя неравенство Коши-Буняковского, а так же соотношение
между нормами пространств: £2 (О, ф), и Аа,с имеем следующую оценку:
I Н />0,ф N IН0,ф|/Iо,ф * К|И ЦА а,с, и е Аа,с, / е ^(О ф), (26)
из чего следует, что функционал (u, />о,ф ограничен на Аа,с • По теореме Рисса о представлении линейного функционала в Гильбертовом пространстве существует единственный элемент Но пространства Аа,с, такой, что
(Н />0,ф = (Н и0 >а,с , и е Аа,с • (27)
С помощью формулы (27) преобразуем выражение (25) для функционала Р/ : Р (и) = ||и|| - 2(и,н >„г = Н - 2(и, н >„,+||ип|| -|Н| = ||и - нп|| -|Н| •
^ / II 11а,с 0 а,с II IIа,с 0 а,с II 011 а,с II 011 а,с И 41 а,с II 41 а,с
Из чего следует, что в пространстве Аа,с существует единственный элемент Но на котором функционал Р/ достигает своего минимума. Теорема доказана.
Определение 3. 10 Элемент Но реализующий минимум функционала Р/ в
пространстве Аас будем называть минимальным элементом этого пространства, соответствующим элементу / .
Следуя работе [6, а 74], оценим норму минимального элемента. Полагая в формуле (27)
и = uо, оценив аналогично формулу (26), имеем
Нас * 410,ф • (28)
Используя неравенство (19), получаем оценку нормы минимального элемента пространства Аа,с в пространстве £2 (О, ф):
Ы1о,ф* КII /II о,ф • (29)
Следующая лемма используется в доказательстве важнейшей теоремы, которая дает достаточное условие сепарабельности энергетического пространства.
Теорема 6.11 Если при условиях теоремы 4 относительно ф система {/п} полна в пространстве (О, ф), и если {рп} система минимальных элементов, соответствующих {/п}, то система {рп} полна в энергетическом пространстве Аа с •
Доказательство. Положим и е Аа ДО) Введем обозначения:
Yßkft = > (з°ю
к=1
N
ТРк Pk = N•
к=1 (30б)
Оценим квадрат нормы разности
Pu-CTNPa,c = <U-CTN , U-CTN > a,c = <U, I>a,c - <CTN , I>a,c , (3l)
Ц = u -CTn е n,c•
Заметим, что VI e ^, 3{i} с T~a,c:
lim<U,M-n >a,c = <U l>a,c • (32)
поскольку n} с Na,c, c(x) е hl+a' (Q), то согласно теореме 13.7 [4, c. 186], следствию 2 [4, c. 51] имеет место
2<U In > a,c = <A*U In >0,c + U Drx In > 0,c = ^^AxU 1пФ> 0 + <Ф~'DdxcU .!пФ> 0 =
= <cф-1DrxU + ф-1 Ddxcu, In > 0,ф, (33)
так как, используя условия данной теоремы, несложно убедится в том, что
C(x) = -т^- [c(x)D„U + DdxcU ]е L2 Ф) 2ф(х)
В силу непрерывности скалярного произведения, из выполнения неравенства
ll°i-in|| Kll i-IJL,c '
следует :
lim <С, I n > 0,ф = <С, OI> 0,ф •
п^вд
Следовательно, осуществив в обеих частях равенства (33) предельный переход, имеем
<U, I>a,c = <С, Oi>0,ф, (34)
Используя условие данной леммы, имеем:
N
<CTN > I>a= Yßk <Pk ' I>a'
к=1
поскольку Pk - минимальные элементы, то <р ,м->ас = <f ,ц>0 • Следовательно,
N
<CT N> I>a,c = Yßk <fk > OI> 0,ф = <SN> OI> 0,ф • (35)
k=1
Используя равенства (34, 35), перепишем (31) в следующем виде:
Iм-а л а,с=0,ф-<^^ , 0,ф=<С- ^, 0,ф < ^и 0,лщ4 а,с,
поскольку Ц = и , и в силу неравенства (19). Следовательно,
ЩЛ ас < КР1 |Р0,ф. Поскольку система Уп} полна в Ц (О, ф), то для элемента ¿^ всегда можно подобрать SN
так, что
- Sj <—•
Nll °,ф 2K
Поскольку для любого е Nас существует и е N а с, такой, что
II II 8 Щ -М <—, II 1 Псхс 2
то используя неравенство треугольника, имеем:
|М1 -а N1 а,с < 8.
Из чего следует полнота системы {рл} в пространстве N „. Теорема доказана. Имеет место следующее следствие:
Следствие 2. 12 При условиях теоремы 4 пространство Na c(Q) сепарабельно.
Это следует из доказательства достаточности теоремы 4.6.1. [6, c. 51] и основано на том, что при условии теоремы 4 имеет место сепарабельность исходного пространства Z2 (0,ф), и справедлива теорема 6.
Список литературы
1. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение / А.М. Нахушев. - М.: Физматлит, 2003. - 272 с.
Nahushev A.M. Fractional calculus and its application / А.М. Nahushev. - M.: FIZMATLIT, 2003. - 272 p.
2. Бжихатлов Х.Г. Избранные вопросы дифференциальных и интегральных уравнений / Х.Г. Бжихатлов, И.М. Карасев, И.П. Лесковский, А.М. Нахушев. - Нальчик: КБГУ, 1972. - 290 с.
Bzhihatlov H.G. Selected problems of differential and integral equations / H.G. Bzhihatlov, I.M. Karasev, I.P. Leskovsky, A.M. Nahushev. - Nalchik: KBSU, 1972. - 290 p.
3. Энеева Л.М. О пространстве, порожденном оператором дробного интегродифференцирования / Л.М. Энеева //Материалы международного Российско-Казахского симпозиума, 2003. - С. 191-192.
Eneeva L.M. The space generated by the operator of fractional integrodifferentiation / L.M. Eneeva // Proceedings of the International Kazakh-Russian symposium, 2003. - C. 191-192.
4. Самко С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев. - Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.
Samko S.G. Integrals and derivatives of fractional order, and some applications / S.G. Samko, A.A. Kilbas, O.I. Marichev. - Minsk: Science and Technology, 1987. - 688 p.
5. Алиханов А.А. Априорные оценки решений краевых задач для уравнений дробного порядка / А.А. Алиханов // Дифференциальные уравнения. - 2010. - Т. 46. - С. 658-664.
Alikhanov A.A. A priori estimates of solutions of the equations of fractional order / A.A. Alikhanov // Differential Equations. - 2010.- T. 46. - P. 658-664.
6. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных / С.Г. Михлин. - М.: Высшая школа, 1977. - 431 с.
Mikhlin S.G. Linear partial differential equations / S.G. Mikhlin. - M .: Higher School, 1977. -
431 p.
7. Морен К. Методы гильбертого пространства / К. Морен. - М.: Мир, 1965. - 570 с.
Moren K. Hilbert space methods. - M.: Mir, 1965. - 570 p.
8. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов / Ю.М. Березанский: Наукова-думка. - Киев, 1965. - 798 с.
Berezanskii Y.M. The decomposition on eigenfunction of self-adjoint operators / Y.M. Berezan-skii. - Kiev: Naukova Dumka, 1965. - 798 p.
9. Люстерник Л.А. Элементы функционального анализа / Л.А. Люстерник, В.И. Соболев. -М.: Наука. Физматлит, 1965. - 520 с.
Lyusternik L.A. Elements of functional analysis / L.A. Lyusternik, V.I. Sobolev. - М.: The science. FIZMATLIT, 1965. - 520 p.
