О весовых аналогах теорем Винера и Леви для рядов Фурье Виленкина Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.518

О ВЕСОВЫХ АНАЛОГАХ ТЕОРЕМ ВИНЕРА И ЛЕВИ ДЛЯ РЯДОВ ФУРЬЕ - ВИЛЕНКИНА

С. С. Волосивец

Саратовский государственный университет, кафедра теории функций и приближений E-mail: VolosivetsSS@mail.ru

В данной статье мы находим общий вид комплексного гомоморфизма для некоторых подалгебр алгебры абсолютно сходящихся рядов Фурье - Виленкина. Как следствие мы получаем весовые аналоги теорем Винера и Леви для рядов Фурье - Виленкина.

Ключевые слова: система Виленкина, абсолютная сходимость, весовая последовательность, теорема Винера, теорема Леви.

On Weighted Analogs of Wiener's and Levy's Theorems for Fourier - Vilenkin Series

S. S. Volosivets

Saratov State University,

Chair of Function Theory and Applications

E-mail: VolosivetsSS@mail.ru

In this paper we find the general form of complex homomorphism for some subalgebras of absolutely convergent Fourier - Vilenkin series algebra. As a corollary, we obtain weighted analogs of Wiener's and Levy's theorems for Fourier - Vilenkin series.

Keywords: Vilenkin system, absolute convergence, weight sequence, Wiener's theorem, Levy's theorem.

ВВЕДЕНИЕ

Пусть P = {pi}°=1 — последовательность натуральных чисел, не меньших 2. Обозначим через Z(pk) дискретную циклическую группу {0,1,... ,pk — 1} порядка pk со сложением по модулю pk и определим G = G(P), как прямое произведение Z(pk), k е N, с операцией 0, мерой д и топологией, соответствующими прямому произведению. Элементами G являются последовательности x = (x1 , x2,...,xk,...), где xk е Z(pk), k е N. Важную роль при этом играют подгруппы Gn = {x е G : x1 = x2 = • • • = xn = 0}, n е N и смежные классы Gn(y) = y 0 Gn = {x е G : xi = yi,..., xn = y,n}, n е N, y е G. Если mn = p1.. .pn при n е N и m0 = 1, то мера ^(Gn(y)) равна m-1 (^(G) = 1 = m-1). Известно, что Gn(y) являются одновременно открытыми и компактными. Аналоги функций Радемахера на группе G задаются формулами rk(x) = exp(2nixk/pk). Если

- = У2 nkmk_1, nk е

(1)

k=1

есть Р-ичное представление п е , то по определению хп(х) =

= П гПк(х), х е С (на самом деле произведение конечно). Система

к=1

{хп(х)}~=п, называемая системой характеров группы С, ортонорми-

( Волосивец С. С., 2011

3

Т^^Ш&ёЬ Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2011. Т. 11. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 3, ч. 1

рована на С и полна в Ь1 (С). Для любых к е Ъ+, х, у е С, верны равенства

Хк(х е у) = Хк (х)Хк (у), Хк(х е у) = Хк (х)Хк (у), (2)

где е — операция, обратная к е.

Сопоставим каждому п е вида (1) элемент п* = (п15п2 , ...,пк,...) группы С. Обратно, каждому финитному элементу (п1, п2,...,пк,...) е С, где пк =0 при к > ко, можно сопоставить число п е по формуле (1). Тогда можно ввести пет, пет, как числа, получающиеся по формуле (1) из п* е т*, п* е т*. Для любых т,п е , х е С, справедливы равенства

Хп (х)Хт(х) = Хпфш(х), Хп(х)Хт(х) = Хп0ш(х). (2/)

Все эти факты можно найти в [1, гл. 1, 3].

Введем коэффициенты Фурье функции / е Ь1 (С) по системе (хп}^0:

/(к) = /(х)Хк(х) ф(х), к е .¡о

те Л

Будем писать / е А, если ||/||А := ^ |/(к)| < го. В этом случае ряд Фурье функции / по системе

к=о

{Хп}те=0 сходится абсолютно и равномерно на С. Если /, д е А, то, перемножая два абсолютно сходящихся ряда Фурье, в силу (2') получаем

/ (х)д(х) = ^ ^Д^Х^Ж,? )xj (У) = ^ /Л )Хп(х) = ^ (^(п е 0Хп(х).

г=0 j=0 п=0 iфj=n п=0 г=0

Ясно, что при этом ||/д||А < ||/Щ||дЩ. Для двух произвольных последовательностей а = {аг}°=0, Ь = {Ьг}°=0, их Р-ичной сверткой а * Ь назовем последовательность с = {сп}^=0, такую что

те

сп = а^ЬП0г для всех п е . Для а, Ь е I1 ясно, что ||а*Ь||г1 < 11а|11Ь|г 1. Пусть 0 < р < го, а0 = 1

г=0

( те Л \ 1/Р

и ак > 1. Если для / е Ь1(С) имеем ||/||р,а = ( ^ |/(к)|рак I < го, то / принадлежит классу Аа.

к=0

Далее рассматриваем Аа как алгебру с поточечным умножением и функцией е(х) = 1 в качестве единицы. При доказательстве нам понадобятся определения банаховой алгебры и р-нормированной алгебры. Напомним, что множество В называется коммутативной банаховой алгеброй, если

а) В — коммутативная алгебра над С с единицей е относительно умножения;

б) В — банахово пространство с нормой ||||в;

в) ||е||в = 1 и ||/д||в < С||/||в||д||в для всех /,д е В.

Важную роль играет множество нетривиальных комплексных непрерывных гомоморфизмов алгебры В, обозначаемое через Г(В). Спектром ст(/) элемента / банаховой алгебры называется множество Л е С, таких что элемент / — Ае не обратим. Подробней об этих понятиях см. [2, гл. 11, §11.4]. Множество В называется коммутативной р-нормированной алгеброй (0 < р < 1), если

а) В — коммутативная алгебра над С с единицей е относительно умножения;

б) В — полное метрическое пространство с метрикой р(/,д) = ||/ — д||в, где ||с/||в = |с|р||/||в при с е С, / е В, и справедливы другие аксиомы нормы;

в) ||е||в = 1 и ||/д||в < С||/||в||д|в для всех /,д е В.

Множество Г(В) определяется так же, как в случае банаховой алгебры. Спектром ст(/) элемента / р-нормированной алгебры В называется множество {7(/) : 7 е Г(В)}. Подробнее о р-нормированных алгебрах и их роли в общей теории топологических алгебр см. работы В. Желязко [3] и [4].

Напомним, что классические теоремы Н. Винера и П. Леви об абсолютно сходящихся рядах Фурье формулируются следующим образом (см. [2, гл. 11, п. 11.4.17]).

Теорема А. Пусть Ф(г) аналитична на открытом множестве, содержащем множество значений функции /(х). Если /(х) имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье, то ряд Фурье функции Ф(/)(х) также абсолютно сходится. В частности, если /(х) имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье и /(х) = 0 для всех х е К, то ряд Фурье функции 1//(х) также абсолютно сходится.

те

те

те

те

те

4

Научный отдел

В настоящей работе сначала определяются условия, при которых множество Ар является банаховой алгеброй, или р-нормированной алгеброй, вложенной в А. При этих условиях доказываются аналоги известных теорем Винера и Леви. Для тригонометрических рядов в случае р > 1 аналогичные результаты установлены в [5]. В случае 0 <р < 1, «к = 1, для тригонометрических рядов также известны аналоги теорем Винера и Леви [4, 6]. Для системы Уолша (система {хп}^п при рг = 2) аналог теоремы Винера доказал Г.Н. Агаев [7].

1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

те ,,

Лемма 1. Пусть / е Ар, где 1 < р < ж, 1/р + 1/р' = 1 и ^ а-Р /Р < ж. Тогда / е А. Доказательство. Из неравенства Гельдера следует, что

к к=0

1/Р / те \ 1/Р'

1/^,"1/Р ^ I I ¿ЛЛ 1 ( /Р

£ 1/(г)1 = £ 1/«к1/Ра-1/р < £ 1/«1раг £а:

г=П г=П \г=П / \г=П /

Лемма 2. Пусть {АкС С — последовательность, такая что каждое число Ак равно некоторому корню степени рк из единицы. Тогда существует элемент хп е С, такой что гк (хп) = Ак для всех к е N.

Доказательство. Из определения г1 видно, что г1 (х) = А1 на некотором смежном классе у(1) ©С1, где ехр(2пгу(1)/р1) = А1. Пусть г1 (х) = А1, ..., гк (х) = Ак на некотором смежном классе у(к) © Ск. Последний является объединением рк+1 смежного класса вида г © Ск+1, причем в ]-м классе ¿к+1 равно ] е {0,1,...,рк+1 — 1}. Подбирая ] со свойством ехр(2пу/рк+1) = Ак+1, получаем смежный класс у(к+1) © Ск+1 С у(к) © Ск, на котором гк+1(х) = Ак+1. Поскольку множества у(к) © Ск вложены друг в друга и компактны, существует элемент хп, принадлежащий их пересечению. Очевидно, хп — искомый элемент. Лемма доказана.

Для последовательностей а = {аг}°=п, Ь = {Ьг}°=п будем писать а = Ьв, если аг = Ьв для всех

/те

г е а < СЬ, если аг < СЬг для всех г е , и а е ¿а, если |а|га := I ^ |Раг I < ж. При

\г=П У

ак = 1 вместо ¿а пишем ¿Р.

Лемма 3. Пусть 1 < р < ж, 1/р + 1/р' = 1, а последовательность а = {актакова, что

те

£а-р'/р < ж (а-р'/р е I1) (3)

к=0

и

а-р'/р * а-р'/р < Са-Р'/Р. (4)

Тогда ¿а является банаховой подалгеброй I1 с Р-ичной сверткой в качестве умножения и е = {еп}те=п, где еп = 1, еп = 0 при п е N в качестве единицы.

Доказательство. Большинство свойств банаховой алгебры для ¿р очевидны. Докажем, что для а, Ь е ¿а имеет место неравенство |а * Ь|г? < С1|а|1а |Ь|га . Пусть с = а * Ь, п е Тогда по неравенству Гельдера

Сп| = ^ ] агЬп©г =

геж+

у^ ь 1/р 1/р -1/р -1/р

/ у агЬп©гаг а п©га г ап©г г£Ж+

<

(\ 1/Р / \ 1/р'

£ |аг|ра г|Ьп©г|Ра ( £ а -Р'/ра -Р'/Р

геж+

Поэтому согласно (4) (знак в (4) меняется при возведении в отрицательную степень)

-р/р'

£ |сп|рап < С2 £ |сп|Р ( £ а -Р/Ра ¿/р ) <

п£Ж+ п£Ж+ \г£Ж+

Математика

те

те

5

— C2 Е Е |ai|pai|bnei|p«n0i = C2 E lal^i| E |bnei|p«nei•

n£Z+ i£Z+ i£Z+ n£Z+

Так как отображение ^(i) = n Q i взаимно однозначно отображает Z+ на Z+, то |bnei|panei =

n£Z+

= S |bn|pan и нужное неравенство доказано. Тот факт, что Ipp _ подалгебра l1, вытекает из (3)

n£Z+

аналогично лемме 1. Лемма доказана.

Следствие 1. Множество Aa является банаховой алгеброй при 1 < р < го и а, удовлетворяющей условиям (3) и (4).

Лемма 4. Пусть 0 < p — 1, ап > 1 для всех n е Z+, и

ао = 1, ап а-1 а-ei — C, n, i е Z+ • (5)

Тогда Aa есть р-нормированная алгебра с р-нормой ||/У = У/||p с поточечным умножением и e(x) = 1 в качестве единицы.

Доказательство. Так как ап > 1 при всех n е N, то для / е Aa, 0 < р — 1, имеем

те /те \ 1/p

El/(i)l— El/(i)l4 —У/Ур,а < го. i=0 \i=0 /

Значит, ряд Фурье / е Aa, 0 <р — 1, сходится абсолютно. Пусть /,g е Aa, 0 < р — 1. Тогда, согласно

введению, (/g)(n) = Yl / (i)i7(n Q i) и поскольку 0 < p — 1 имеем

iez+

ll/g|| = E Ш»^ — E E /«^(п q o^ei ап а-1 а^ —

n£Z+ n£Z+ i£Z+

< С1 Е |/(г)|раг ^ |д(п}|рап = С1

Лемма доказана.

Пример. Пусть ап = (п + 1)а, где а > 0 и P = (р*}°=1 ограничена числом N сверху. Если п е [тк,тк+1), к е то при г > тк имеем апаг-1 < N°. В свою очередь, при г < тк отмечаем, что п 0 г е [тк, шк+1) и тогда апа-^* < N°. Значит, для данной последовательности условие (5) выполнено.

Следующую лемму можно найти, например, в [2, гл. 11, теорема 11.4.15].

Лемма 5. Пусть элемент / принадлежит банаховой алгебре В и Ф(г) — комплекснозначная функция, аналитическая на некотором открытом множестве и, содержащем спектр <г(/). Тогда существует элемент д е В, такой что 7(д) = Ф(7(/)) для любого 7 е Г(В).

Аналогом леммы 5 для р-нормированных алгебр является лемма 6, доказанная в [4].

Лемма 6. Пусть В — коммутативная р-нормированная алгебра и и — открытое множество, содержащее спектр <г(/) элемента / е В. Если функция Ф(г) аналитична на и, то найдется элемент д е В, такой что 7(д) = Ф(7(/)) для любого 7 е Г(В).

2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Теорема 1. Пусть 1 < р < го и последовательность а = (апудовлетворяет условиям (3) и (4). Тогда любой гомоморфизм 7 е Г(Аа) имеет вид 7(/) = /(х0), где х0 е С.

Доказательство. Рассмотрим действие 7 е Г(А^) на г к, к е N. Поскольку = 1, то по определению гомоморфизма 7(гк)Рк = 7(грРк) = 7(1) = 1, т.е. 7(гк) = Ак, где Ак — некоторый корень степени рк из единицы. Согласно лемме 2 существует элемент х0 е С, такой что гк(х0) = Ак = 7(гк) при всех к е N. Отсюда по определению хп и гомоморфизма легко следует, что хп(х0) = 7(хп) для всех п е Поскольку Аа С А, то для любой функции / е Аа имеем

те те / те \

/Ы = Е / (г)х*Ы = Е / (г)7Ы = 7 Е /«Х* = 7(/)•

*=0 *=0 \г=0 /

б

Научный отдел

Легко проверить, что 7Х0 (/) = /(хп) является непрерывным комплексным гомоморфизмом Аа для любого хп е С. Теорема доказана.

Следствие 2 (аналог теоремы Винера). Пусть / е Аа, где 1 < р < ж и а удовлетворяет условиям (3) и (4). Если (х)| > 0 на С, то 1// е Аа.

Доказательство. По теореме 11.4.10 из [2, гл. 11] элемент / е Аа обратим в том и только том случае, когда для любого 7 е Г(Аа) имеем 7(/) = 0. По теореме 1 это условие равносильно тому, что /(х) =0 на С. Следствие доказано.

Следствие 3 (аналог теоремы Леви). Пусть / е Аа, где 1 < р < ж и а удовлетворяет условиям (3) и (4). Если Ф(г) — комплекснозначная функция, аналитическая на открытом множестве, содержащем множество значений /, то Ф(/) е Аа.

Доказательство. Из следствия 2 вытекает, что функция /(х) — сп обратима как элемент А^ тогда и только тогда, когда сп не является значением /(х). Это означает, что в алгебре А^ спектр ст(/) совпадает с множеством значений /. По лемме 4 найдем д е Аа, такую что 7(д) = Ф(7(/)) для всех 7 е Г(АР). По теореме 1 это означает, что д(х) = Ф(/(х)) для всех х е С. Следствие доказано.

Аналогично теореме 1 доказывается

Теорема 2. Пусть 0 < р < 1, последовательность а удовлетворяет условию (5) и 7 е Г(Аа). Тогда существует элемент хп е С, такой что 7(/) = /(хп). Обратно, для любого хп е С формула 7Х0 (/) = /(хп) задает комплексный непрерывный гомоморфизм на алгебре Аа.

В доказательстве снова используется включение Аа С А, полученное при доказательстве леммы 4.

Следствие 4. Пусть 0 < р < 1, последовательность а удовлетворяет условию (5) и / е Аа. Если Ф(г) — аналитическая функция на открытом множестве и, содержащем множество значений /, то Ф(/) е Аа.

Доказательство. Согласно лемме 4 в условиях данного следствия множество Аа является р-нор-мированной алгеброй. По определению спектра в р-нормированной алгебре функция Ф(г) аналитична на открытом множестве, содержащем ст(/). По лемме 6 найдем д е Аа, такую что 7(д) = Ф(7(/)) для всех 7 е Г(Аа). По теореме 2 отсюда выводим, что д(х) = Ф(/(х)) для всех х е С. Следствие доказано.

Следствие 5. Пусть / е Ь1 (С), 0 < р < 1 и ^ |/(г)|Р < ж, причем (х)| > 0 для всех х е С.

геж+

Тогда для д = 1 // справедливо неравенство

Е i^(i)ip <

iez+

Как отмечалось ранее, при р = 1 и рг = 2 следствие 4 было установлено Г.Н. Агаевым [7].

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 10-01-00270-а) и гранта Президента по государственной поддержки ведущих научных школ (проект НШ-4383.2010.1).

Библиографический список

1. Агаев Г. Н., Виленкин Н. Я., Джафарли Г. М, Рубинштейн А. И. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нуль-мерных группах. Баку: Элм, 1981. 180 с.

2. Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении: в 2 т. М.: Мир, 1985. Т. 2. 400 с.

3. Zelazko W. On the locally bounded and m-convex topological algebras // Studia Math. 1960. Vol. 19, № 3. P. 333-356.

4. Zelazko W. On the analytic functions in p-normed Математика

algebras // Studia Math. 1962. Vol. 21, № 3. P. 345-350.

5. El Kinani A. A version of Wiener's and Levy's theorems // Rend. Circ. Mat. Palermo. 2008. Vol. 57, № 2. P. 343-352.

6. Alpar L. Generalisation d'un theoreme de Wiener et de Levy // Acta Math. Hung. 1970. Vol. 21, № 1-2. P. 11-19.

7. Агаев Г. Н. Теорема типа Винера для рядов по функциям Уолша // Докл. АН СССР. 1962. Т. 142, № 4. С. 751-753.