CC BY
16
Международный научно-исследовательский журнал ■ № 10 (41) ■ Часть 4 ■ Ноябрь
5. Rivara M.C. “Algorithms for refining triangular grids suitable for adaptive and multi-grid techniques” // Int. J. Numer. Meth. Eng. Vol 20 (1984) pp. 745-756.
6. Dmitry Berzin "Finite element mesh generation using subdivision technique" // Research Journal of International Studies, №8 (27) 2014, p. 6
7. Dmitry Berzin "Finite element automatic mesh generation using Modified Butterfly subdivision scheme" // Research Journal of International Studies, №8 (27) 2014, p. 8
8. Dmitry Berzin "Finite element mesh automatic generation using triangilar subdivision schemes" // Research Journal of International Studies, №9 (28) 2014, p. 5
DOI 10.18454/IRJ.2015.41.043 Берзин Д.В.
Кандидат физико-математических наук, доцент,
Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, Москва О ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ДЕФОРМАЦИИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Аннотация
Допустим, мы решили трансформировать поверхность минимальным образом, чтобы соблюсти определенные условия непрерывности с ее соседями. В настоящей работе сформулирована проблема достижения условия 1
непрерывности G и выписаны соответствующие уравнения для решения этой задачи.
1
Ключевые слова: информационные технологии, условие непрерывности G , NURBS, оптимальное решение
Berzin D.V.
PhD in Physics and Mathematics, Associate Professor,
Financial University under the Government of the Russian Federation, Moscow ABOUT A VARIATIONAL PROBLEM FOR PARAMETRIC SURFACE DEFORMATION
Abstract
l
Suppose we want to deform a base surface of a face to achieve certain continuity condition (for example, G continuity)
l
with the given neighbors at common edges. We formulate a problem for preserving G continuity and give equations for a deformation that changes the surface geometry as little as possible.
l
Keywords: Information technology, G continuity, NURBS, optimal solution.
Предположим, что грань F0 окружена некоторым количеством соседних граней F1, F2, .... Мы хотим деформировать (начальную) базовую поверхность грани F0 для того, чтобы достичь некоторого условия
непрерывности (например, условия G1) с данными соседними поверхностями у общих ребер. Такая деформация должна минимально изменять геометрию поверхности.
1. Функционал “сдвиг кривой”
Обозначим векторы начальных и измененных (деформированных) контрольных точек как P0 = {P0 }, P = {P^. }
соответственно. Рассмотрим кривую c 0 (t), которая принадлежит (или располагается рядом с) начальной (не деформированной) поверхности S(P0). Пусть
w = w(c0, t) = (u(t),(v(t)) (1)
uv-кривая, соответствующая c0 (t). Рассмотрим класс трехмерных кривых с фиксированным w и переменной P:
n m
c „ (P)(t) = X X P ij N i,p (u(t))N jq (v(t)) (2)
i=0 j=0
Рассмотрим функционал
D(P) = D(c0, c w ( P)), (3)
который выражает расстояние (или максимальный зазор) между начальной и деформированной кривыми. Назовем этот функционал “сдвиг кривой”.
2. Другие функционалы
Рассмотрим еще два типа функционалов: H(P) и G(P). Функционал H(P), который мы назовем "сдвиг контрольной
точки" выражает расстояние между множеством контрольных точек P0 и P. H(P) служит для контроля отклонения деформированной поверхности от начальной. Функционал "непрерывности" G(P) служит для того, чтобы
выполнялось условие непрерывности, например, условие G 1 с соседними гранями.
1
3. Квази-G
1
Вместо условия G , мы можем попытаться достичь несколько другого (и в некотором смысле более строгого
1
условия, чем G ), которое, тем не менее, приведет к линейности в вариационной задаче. Пусть E - это произвольная, но фиксированная точка на некотором ребре, которое является общим для грани F0 и соседней грани F1. 12
12
Международный научно-исследовательский журнал ■ № 10 (41) ■ Часть 4 ■ Ноябрь
Рассмотрим плоскость Ж , которая является касательной в точке E к базовой поверхности грани F1. Пусть S0 и S 0 - соответствующие касательные векторы (исходящие из точки E и направленные вдоль u и v соответственно) к начальной базовой поверхности S(P0) грани F0. Спроектируем S0 и S 0 на плоскость Ж , получим пару векторов
S и и S соответственно. Теперь мы можем выписать функционал "непрерывности" для этого условия в точке E:
GB (P) = || S и - a S и ||2 + || S v -р S v ||2, (4)
где Su и S v - соответствующие касательные векторы к деформированной поверхности S(P), а О и Р являются
действительными переменными. Соответственно, функционал непрерывности для множества точек Q - это
G(P) = X Gs (P).
EeQ
4. Вариационная задача
Теперь мы можем выписать функционал "общей ошибки"
F(P) = k ^ D(P) + k h H(P) + k g G(P),
(5)
где константы kD, kH , kG могут служить как веса и находятся эмпирически. В конечном счете, нашей целью является нахождение минимума:
F(P) ^ min (6)
Эта вариационная задача без ограничений (см. [1]) может быть решена в соответствии с теоремой Ферма:
Л
grad F( P ) = 0 (7)
Л
где P - это решение данной задачи.
5. Замечания
При нашем подходе, количество узлов и количество контрольных точек остаются теми же самыми после деформации. Возможно, это ограничение не позволит достичь точного условия непрерывности и сохранения граничных кривых в пределах заданных допусков. Необходимо измерить непрерывность и сдвиги кривых, и, если необходимо, вставить дополнительные узлы в исходную поверхность, и после этого начать деформацию снова.
Все слагаемые в (5) должны иметь квадратичную форму, так что система (7) станет линейной. В нашей первой
реализации мы для простоты будем считать, что kD = kH = kG = 1.
Условие "квази-G " - это, конечно, не то же самое, что G , но мы ожидаем, что в общем (6) "заставит" соответствующие касательные плоскости приблизиться к желаемым положениям.
6. Алгоритм
Приведем ниже описание алгоритма для достижения нужной деформации (см. также [2]). Чтобы вычислить новые расположения контрольных точек, мы должны выполнить следующие основные шаги:
1) Составить вектор из (N+1) контрольных точек {P 0 } для начальной поверхности.
2) Отобрать (d+1) точку выборки, чтобы сохранить положения граничных кривых{(иD, vD )}г=0 d. Будем называть эти точки “G0 точки выборки”.
3) Отобрать (g+1) точку выборки, чтобы сохранить непрерывность {( u G, v G )}г=0 . Будем называть эти точки
“G1 точки выборки”. В нашем исполнении, множество G1 точек выборки является подмножеством G0 точек выборки.
4) Вычислим “желаемую” касательную плоскость в каждой G1 точке выборки и получим 2(g+1)
соответствующих проекций касательных векторов к начальной поверхности на касательную плоскость: (S и t) and
(S v г). Другими словами, получаем пару трехмерных векторов для каждой G1 точки выборки.
5) Вычислим два вектора, каждый из которых состоит из (g+1) константы: (8 U), (8 V).
6) Вычислим ^+1)-вектор Nt . для каждой G0 точки выборки используя базисные функции B-сплайна.
7) Вычислим пару ^+1)-векторов (Lt.), (Mt.) для каждой G1 точки выборки используя базисные функции B-сплайна и их производные.
8) Вычислим три (N+1) X (N+1) матрицы:(N rk),(L rk),(M rk).
9) Вычислим (N+1) X (N+1) матрицу (Q ).
10) Нам больше не нужны матрицы (L rk) и (MM rk ) и мы можем освободить соответствующую память.
11) Вычислим три вектора, каждый из которых состоит из (N+1) константы: (6 x ),(0 y),(в \). 13
13
Международный научно-исследовательский журнал ■ № 10 (41) ■ Часть 4 ■ Ноябрь
12) Нам больше не нужна матрица (N rk) и вектор контрольных точек {P0 }, и мы можем освободить соответствующую память.
13) Вычислим шесть (N+1) X (g+1) матриц (1 * ), (1 п), (1 Г), (ц Г), (Ц п), (Ц h )•
14) Вычислим шесть (g+1) X (N+1) матриц (L xsk), (L ysk ), (L zsk), (M xsk), (M ysk ), (M zsk).
15) Освободим память, выделенную для каждой контрольной точки.
16) Составим матрицу A. Освободим соответствующую память.
17) Составим вектор констант правой части B.
18) Решим систему уравнений, используя методы для систем с разреженными матрицами.
19) Получим множество новых контрольных точек.
20) Построим новую поверхность.
6. Благодарности
Я очень благодарен всем сотрудникам компании "Элизиум" (Elysium Co., Ltd, Japan, Hamamatsu city), особенно T.Kodera, A.Soma, T.Tsuduki за их постоянную поддержку.
Литература
1. S. V. Fomin, I. M. Gelfand “Calculus of Variations” // Dover Publications, 2000
2. Berzin D.V. "Surface deformation with geometric constraints" // Международный научно-исследовательский журнал = Research Journal of International Studies, №8 (15) 2013, part 1, p.6
References
1. S. V. Fomin, I. M. Gelfand “Calculus of Variations” // Dover Publications, 2000
2. Berzin D.V. "Surface deformation with geometric constraints" // Research Journal of International Studies, №8 (15) 2013, part 1, p.6
DOI: 10.18454/IRJ.2015.41.030 Гасенко В.Г.* 1, Горелик Р.С.2, Тимкин Л.С.3
1 Доктор технических наук, 2кандидат технических наук, 3кандидат физико-математических наук, Институт теплофизики им. С.С. Кутателадзе СО РАН МЕТОД ФОРМИРОВАНИЯ ПОЛИДИСПЕРСНОЙ ГАЗОЖИДКОСТНОЙ СМЕСИ
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 14-02-01009
Аннотация
Полидисперсная газожидкостная смесь с непрерывным распределением пузырьков по размерам обладает уникальным свойством повышенной диссипативности, вызванной аналогом затухания Ландау. Для формирования такой смеси предложен метод разрушения первоначально монодисперсных пузырьков короткими осциллирующими импульсами давления умеренной интенсивности 7-8 бар. Импульсы формировались электромеханическими ударами по жесткой металлической мембране в вертикальной газожидкостной трубе. Показано, что под воздействием осциллирующих импульсов давления пузырьки разрушаются на более мелкие, с широкой дисперсией по размерам, а также коагулирую в более крупные.
Ключевые слова: газожидкостные пузырьки, разрушение пузырьков, ударная волна, скорость звука, осцилляции давления.
Gasenko V.G.1, Gorelik R.S.2, Timkin L.S.3
:PhD in Engineering, 2PhD in Engineering, 3PhD in Physics and Mathematics,
Kutateladze Institute of Thermophysics SB RAS POLYDISPERSE GAS-LIQUID MIXTURE PREPARATION METHOD
Abstract
Polydispersive gas-liquid mixture with continuous bubble sizes distribution has unique property of increased dissipation induced by mechanism analogous to Landau attenuation. The essence of proposed method was to use short oscillating pressure pulses induced by electromechanical impact to stiff metal membrane of moderate 7-8 bar intensity in vertical gas-liquid shock tube. It was shown that such kind pulses destroy initial bubbles to smaller ones with broad size distribution, and promote conditions to coagulate them into greater bubble’s sizes.
Keywords: gas-liquid bubbles, bubble breaking, shock wave, sound velocity, pressure oscillations.
Разрушение газовых пузырьков в жидкости под действием ударных волн рассматривалось ранее в работах [1 -8] как экспериментально, так и теоретически. До сих пор нет единого мнения о механизме разрушения пузырьков. В работах [2-4] механизмом разрушения пузырьков считается классическая неустойчивость Кельвина-Гельмгольца, вызванная относительным движением жидкости и газа за счет проскальзывания пузырьков в поле давления со скоростью u = Ap / pc, где Ap = р - р0 - разность давлений в пике импульса и в невозмущенной среде, р - плотность среды, С - скорость звука. Критерием устойчивости здесь выступает число Вебера We = pg-v2 ■ db / 2а, где р - плотность газа, U - скорость пузырька относительно жидкости, db - диаметр пузырька, а - поверхностное натяжение. Опыты, проводимые в [2-4] показали, что миллиметровый пузырек начинает разрушаться при амплитудах волны Ар > 15 бар, а при меньших амплитудах (Ар < 4) наблюдается только
14
