О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ ЧЕБЫШЕВСКИХ ТЕОРЕМ ОБ АЛЬТЕРНАНСЕ И ФАЗОВОМ ИТЕРАЦИОННОМ МЕТОДЕ НАХОЖДЕНИЯ НАИЛУЧШИХ С ВЕСОМ ПРИБЛИЖЕНИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 1. № 4 (2009). С. 110-118.

УДК 517.518.82

О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ ЧЕБЫШЕВСКИХ ТЕОРЕМ ОБ АЛЬТЕРНАНСЕ И ФАЗОВОМ ИТЕРАЦИОННОМ МЕТОДЕ НАХОЖДЕНИЯ НАИЛУЧШИХ

С ВЕСОМ ПРИБЛИЖЕНИЙ

В.И. ЛЕБЕДЕВ

Аннотация. Знаменитые статьи П.Л. Чебышева [1],[3] — о многочленах наилучшего приближения(МНП) — открыли новое направление в математике, получившее затем мощное развитие в работах отечественных математиков. В дальнейшем Ремезом были разработаны [4] методы нахождения параметров этих многочленов, основанные на итерационных методах.

Работа содержит обобщение изложенного в работе [5] фазового метода нахождения наилучших приближений для функций в пространстве C[-1.1] с весом w(x) с помощью чебышевских систем функций, рациональных функций и тригонометрических многочленов. В статье теоремам П.Л. Чебышева об альтернансе придана аналитическая и конструктивная тригонометрическая форма представления взвешенной ошибки r(x) через фазовую функцию ф(9) (ФФ) в виде E cos(шв + ф(9)),х = cos 9. Сформулированы итерационные методы нахождения параметров приближений. Приведенные примеры численных расчетов показали высокую эффективность предлагаемого метода. Краткое содержание работы изложено в [6].

Ключевые слова: Т-системы, рациональные функции, тригонометрические многочлены, формула чебышевского альтернанса, наилучшие приближения, итерационный фазовый метод.

1. Приближение чебышевскими системами Функций

Пусть f(x),g(x) g C[— 1, 1],w(x) = expg(x) — вес, f(x) — приближаемая функция, {uk(x)}n - чебышевская на [-1, 1] система непрерывных функций (Т-система) , а Пп — класс вещественных (обобщенных) многочленов Qn(x) не выше n-го порядка вида

п

Qn(x) = ^2 akuk(x). (1.1)

k=0

Разнообразные примеры Т-систем содержатся в [7],[8]. Рассмотрим решение следующей экстремальной задачи для f (x) / Пп. Найти

Pn(x) = arg min max |(f(x) — Qn(x))w(x)|. (1.2)

Qn(x)sn„ xe[-1,1]

V.I. Lebedey, On trigonometric form of tchebyshey alternance theorems and on phase iterative method of finding best approximations with weight.

© Лебедев В.И. 2009.

Поступила 28 октября 2009.

Работа поддержана РФФИ (грант 08-01-00393) и программой РАН "Теоретические проблемы современной математики"(проект "Оптимизация вычислительных алгоритмов решения задач математической физики").

Решение этой задачи существует и единственно [7]. Многочлен Рп(х) назовем многочленом наилучшего приближения на [-1, 1] для f (х) с весом -ш(х), или МНП. Пусть ^а = п + 2, 1а = NA — 1, а ошибка

rn(x) = (f (x) - Pn(x))w(x), en

max |(f (x) - Pn(x))w(x)|. x6[-1,1]

(1.3)

Для непериодического случая при f (x) / Пп справедлива (см. [7])

Теорема 1 (Чебышева об альтернансе для обобщенных многочленов). Для того, чтобы многочлен Pn(x) наименее отклонялся в равномерной норме от функции f (x) g C [—1, 1] с весом w(x), необходимо и достаточно, чтобы существовали по крайней мере Na точек 1 > > Ci > • • • > C/A > — 1, называемых (e)-точками альтернанса, в которых с

последовательной переменой знака достигался max |rn(x)|.

x6[-1,1]

Из этой теоремы следует, что существуют по крайней мере Ia точки y = (yi, y2,..., y/A) таких, что Co > yi > Ci > • • • > У/А > Cna , в которых r,n(yj) =0, j = 1, I a.

Пусть далее x = (x1,..., x/A), xj g [—1, 1], xj = , Ln(x, x) - интерполяционный многочлен n-го порядка для функции f (x), построенный по ее значениям в точках x:

Ia

Ln(x, x) = f (xfc)/fc(x), k=i

Ik (x) =

Dk (x)

Dk(xk):

(1.4)

где [7]

Dk(x) =

Uo(xi) Ui(xi)

Un(xi)

Из (1.4) следует, что Pn(yj) = в виде:

Uo(xk-i) uo(x) Uo(xk+i) Ui (xk-i) ui(x) Ui(xk+i)

Uo (xiA) Ui (xiA)

■ ■ ■ Un(xk-i) Un(x) Un (xk+i) ■ ■ ■ Un(xiA) Ln(yj,y). Следовательно, многочлен Pn(x) можно искать

Pn(x) = Ln(x, y) = argmin max |(f (x) — Ln(x, x))w(x)|.

X x6[-i,i]

Решение этой задачи, определяющее один и тот же интерполяционный многочлен, может быть неединственным относительно y в случаях, когда rn(x) имеет на [-1, 1] более Ia нулей. Реализовывать задачу (1.2) будем по форме по (1.4), определяя расположение корней y.

Пусть далее x = cos 9, Re9 g [0, п], Tn(x) = cos n9, Un(x) = sin(n + 1)0/ sin 9 - многочлены Чебышева n-ой степени соответственно 1-го и 2-го рода. Тогда для непериодического случая теореме об альтернансе можно придать следующую конструктивную форму представления rn(x), лежащую в основе алгоритмов, описывающих движение нулей и е-точек МНП при изменении w(x).

Теорема 2. Для того, чтобы Pn(x) был МНП, необходимо и достаточно, чтобы нашлись такие числа: целое m > Ia, En и функция -0n(9) g C[0, п], —п < -0n(0) < 0, 0 < ^n(n) < п такие, что

rn(x) = En cos(m9 + ^n(9)) = = En (cos ^n(9)Tm(x) — (1 — x2)i/2 sin ^n(9)Um-i(x))

(1.5)

тогда en = |En |

Доказательство этой теоремы совпадает с доказательством аналогичной теоремы для случая (х) = хк [5].

Функцию -0га(0) назовем фазовой функцией (ФФ). Из теоремы 2 вытекает

Следствие 1. Если Р„(х) — многочлен п-го порядка, то множество функций / (х), для которых Р„(х) является МНП, представимо формулой /(х) = Р„(х) + еов(т0 + ^„(0))/-ш(х), где целое т > 1А, = 0 и функция

•0„(0) е с[0, п], -п < ^„(0) < 0, 0 < ^„(п) < п,е„ = |Е„|.

Корнями г„(х) будут

yj = cos 6j, 0j = ((j - 1/2)n - ))/m, j = 1,m. (1.6)

Будем предполагать, что для каждого j уравнения в (1.6) имеют единственные решения.

2. Приближение рациональными функциями

Пусть f(x),g(x) g C[—1, 1],w(x) = expg(x) — вес, f(x) — приближаемая функция, Pni (x), i = 1, 2 — многочлены степени не выше n^, n = (ni, n2), а Пп — класс вещественных дробей Qn(x) вида

q (x)=Ш) • (21)

Рассмотрим решение следующей экстремальной задачи для f (x) / Пп. Найти

Pn(x) = arg min max |(f(x) - Qn(x))w(x)|. (2.2)

Qn (x)enn же[—i,i]

Решение этой задачи существует и единственно [9]. Дробь Pn(x) назовем дробью наилучшего приближения на [-1, 1] для f (x) с весом w(x) (ДНП).

Пусть Pn(x) имеет нулевой дефект (d = 0) [9] (это означает, что у дроби Pn (x) нет общих делителей в числителе и знаменателе ее) и Na = n1 + n2 + 2, /a = Na — 1, а ошибка

rn(x) = (f (x) - Pn(x))w(x), ей = max |(f (x) - Pn(x))w(x)|. (2.3)

x6[-1,1]

Тогда для функции rn(x) справедлива (см. [9])

Теорема 3 (Чебышева об альтернансе для рациональных приближений). Для того, чтобы дробь Pn(x) наименее отклонялась в равномерной норме от функции f (x) g C[-1,1] с весом w(x), необходимо и достаточно, чтобы существовали по крайней мере Na точек 1 > £0 > С1 > • • • > > -1, называемых (е)-точками альтернанса, в которых с

последовательной переменой знака достигается max |rn(x)|.

же[-1,1]

Из этой теоремы следует, что существуют по крайней мере /а точки y = (y1, y2,y/A) такие, что £о > У1 > £1 > • • • > y/A > , в которых rn(yj) = 0, j = 1, /a-

Для определения коэффициентов Pni (x),i = 1, 2 решаем линейную систему уравнений

f (yj)Pn2 (yj) - Pm (yj) = 0 j = 1, /A,

используя следующий алгоритм. Пусть Pn2 (x) = 1 + ^П= 1 dkxk, y = (y1,yni+1), ij — разделенная разность n1 + 1-го порядка, построенная по y и yj, i = n1 + 2,..., /a:

f ( ) ni+1 f ( ) ni+1

<f = f^T+E , Sj(x) = (x - y<) Д (x - yk)•

si(yi) k=1 sj(yk)

"1+1 _£/■.. \ „1+1

(х -

к=1

Применяя к системе уравнений оператор ^ при г = п1 + 2, ...,/а, получаем п2 линейных уравнений

„2

„к

&f (x) + ^ dk&f (x)xk = 0, i = П1 + 2,/a,

(x

k=1

решив которые, находим коэффициенты ^ многочлена РП2(х). Затем РП1 (х) определяем как многочлен Лагранжа по точкам у в виде

p ( Sn=1 /(yk)P>n2 (yk) i _ "Г+1 1

Pni(r) _ y^ni+1 ' _ 11

k=l / (Ук)Pn (Ук)

Efei+1 x^yk f=t Ук - yi

Окончательно

P (r)

Pn(r) _ , Pn(y,)_ /(y,), j _1,...,1a. (2.4)

РП2 (Г)

Справедлива и теорема о представлении rn(r) в тригонометрическом виде.

Теорема 4. Для того, чтобы Pn(r) была ДНП, необходимо и достаточно, чтобы нашлись такие числа: целое m > Ia, En и функция -0n(0) £ C[0,п], —п < -0n(0) < 0, 0 < (п) < п такие, что

rn(r) _ En cos(m0 + -0n(0)) _ _ En (cos (0)Tm(r) — (1 — r2)1/2 sin (0)Um-1(r)), (2.5)

тогда en _ |En

Корни yj функции rn (r) определены формулами (1.6).

3. Приближение тригонометрическими многочленами

Пусть /(0),g(0) £ C[0, 2п] являются 2п-периодическими функциями, w(0) _ exp g(0) — вес, /(0) — приближаемая функция, а Пп — класс тригонометрических многочленов Qn(0) не выше n-го порядка вида

n

Qn(0) _ a0 + cos k0 + sin k0). (3.1)

fe=1

Рассмотрим решение следующей экстремальной задачи для /(0) / Пп. Найти

Pn(0) _ arg min max |(/(0) — Qn(0))w(0)|. (3.2)

Qn(0}enft 0e[o,2n)

Решение этой задачи существует и единственно [7]. Многочлен Pn(r) назовем тригонометрическим многочленом наилучшего приближения на [0, 2п) для /(0) с весом w(0), (ТМНП).

Пусть Na _ 2n + 2, Ia _ Na — 1, а ошибка

rn(0)_(/(0) — Pn(0))w(0), en _ max |(/(0) — Pn(0))w(0)|. (3.3)

0€[O,2n)

Для периодического случая при /(0) / Пп справедлива (см. [7])

Теорема 5 (Чебышева об альтернансе для тригонометрических многочленов). Для того, чтобы тригонометрический многочлен Pn(0) порядка n наименее отклонялся в равномерной норме от функции /(0) £ C[0,2п) с весом w(0), необходимо и достаточно, чтобы на полуотрезке [0, 2п) существовали по крайней мере Na е-точек альтернанса 0< 00 <01 < ■ ■ ■ < 0/A < 2п, в которых с последовательной переменой знака достигался max |rn (0)|.

0€[O,2n)

Из этой теоремы следует, что существуют по крайней мере Ia точки (01, 02,..., 0/A) такие, что 0O < 01 < 01 < ■ ■ ■ < 0/A < 0Va, в которых rn(0j) _ 0, j _ 1, IA.

Интерполяционный тригонометрический многочлен п-го порядка для функции / (в) строится по значениям f (в/) в /а точках в/:

Е1л / {®к )?к т

к-1 . в-вк тл 1

Р(в) = ^ "2 , 4 = П —^. (3.4)

Справедлива

Теорема 6. Для того, чтобы Рп(в) был ТМНП на полуотрезке [0, 2п), необходимо и достаточно, чтобы нашлись такие числа: целое т > п + 1, и 2п-периодическая функция 0Й(в) € С[0, 2п], (0)| < п такие, что

гй (в) = Е со-(тв + 0Й (в)), (3.5)

тогда в^ =

Существуют по крайней мере 2m точки 0j £ [0, 2п), в которых гй(0j) = 0, j = 1, 2m. Корнями гй(0) будут величины 0j из формулы (1.6) при j = 1,..., 2m.

4. Сингулярные интегральные операторы с ядром типа Коши и

квадратурные формулы

Рассмотрим классы сингулярных интегральных операторов с ядрами типа Коши, определенных на функциях класса H [10], вида

п

0(0) = BG = W / (G(^ - G<0)>, (4.1)

п J cos ^ — cos 0 0

где b(0) £ H, 0 < b(0) < 1, b(0) = b(n) =0 и оператор с ядром Гильберта

2п

•0(0) = Я (G(<¿) — G(0)) = b2)J cot(^(G(*0 — G(0)) d^, (4.2)

0

где b(0) £ H, 0 < b(0) < 1. Интегралы понимаются в смысле главного значения. При b(0) = sin0 формула (4.1) получена Бернштейном и Сегё [12],[13] как асимптотическая формула для ФФ ортогональных и экстремальных многочленов: 0n(0) ^ 0(0) при n ^ то, тогда 0(0) = 0(п) = 0 (канонический случай).

Лемма 1. Пусть (c, d) £ [0, п],с < d, G(^) £ H является финитной функцией с носителем (c, d). Тогда существуют ci, di, c < ci < di < d такие, что для оператора (4-1): 1) при G(^) > 0 в (c, d) функция 0(0) < 0, если 0 < 0 < c1 и 0(0) > 0, если d1 < 0 < п; 2) при G(^) < 0 в (c, d) функция 0(0) > 0, если 0 < 0 < c1 и 0(0) < 0, если d1 < 0 < п.

Для вычисления оператора B получим интерполяционную квадратурную формулу BmG [5] по узлам

= kn/M, k = 0,1,...,M, M = 2¿m

в виде

bm G = Co(0)(G(^o) — G(0)) + cm (0)(g(^m ) — G(0))+ (4.3)

M-1

+ J] Cfc(0)(G(^fc) — G(0)),

Ck(0) = b(0!M1"(—1)k C0S M0) ■ k =1,...,M — 1, (4.4)

M (cos — cos 0)

_ b(g)(1 - cos Mg) C ,,, b(g)(1 - (-1)M cos Mg) 5)

Co(g) - 2M(1 - cos g) ' Cm(g) ---2M(1 + cos g) ' (4'5)

точную для всех cos-многочленов M-ой степени.

Лемма 2. Для каждого k — 0, 1,..., M коэффициент Ck(g) как функция от g таков, что 1) имеет однократный корень: Ck (^) — 0 и двукратные корни: Ck — 0, если |k — i| - четно; 2) Ck(g) < 0 при g < , Ck(g) > 0 при g > .

Рассмотрим свойства сингулярный интегральный оператора (4.2). Справедлива

Лемма 3. Пусть (c, d) g [0, 2п], 0 < d — c < п, G(^) g H является финитной функцией с носителем (c, d). Тогда существуют ci, di, z, c < ci < di < d, c + п < z < d + п такие, что 1) при G(^) > 0 в (c, d) функция -0(g) < 0, если z — n<g<ci и 0(g) > 0, если di < g < z; 2) при G(^) < 0 в (c, d) функция 0(g) > 0, если z — п < g < ci и 0(g) < 0, если di < g < z.

Формулу (4.2) реализуем с помощью квадратурных формул НмG. Пусть M — целое,

2кп 2п

^fc — в + ^-, 0 < в <^7-, k — 0,1,..., 2M.

^ Р 2M +1' 2M +1' ' ' '

Тогда квадратурная формула [11]

hHmG _ £ Ck(0)(G(^) — G(0)), (4.6)

2M

k=0

где

Ck(0) _ [cos — cos(2M + 1) ] b(0)

2 v ' 2 J(2M +1)sin

будет точна для любого тригонометрического многочлена степени M.

Таким образом, имеем B1 _ BM1 _ Н1 _ HM1 _ k Ck (0) _ 0.

5. Итерационный метод

Изложим единым текстом итерационный метод решения трех рассмотренных экстремальных задач. Для этого унифицируем обозначения, опустив у функций нижние индексы или обозначения аргумента. В предлагаемом итерационном методе определяются нули для ошибки по формулам (1.6). Важной проблемой является разработка алгоритмов коллективного взаимосвязанного движения нулей f-приближения к r, уменьшающих разброс локальных максимумов |f| (в е-точках). Формулы (1.6) определяют движение 0j, yj, 0j при изменении функции 0(0), из них следует

Лемма 4. Знаки поправок к 0j МНП, ДНП, ТМНП противоположны знакам для поправки ¿0(0) к функции 0(0) в соответствующей точке.

Изложим сначала идею итерационного метода для нахождения ФФ, основанную на применении методов обратного анализа и теории возмущений. Пусть возмущение w(r) _ expg(r) имеет вид g + ¿g, а 0(0, g) _ 0(0) _ T(g) — неизвестный нам и зависящий и от /, n нелинейный оператор. Тогда приближенно

¿0(0, g)_ ¿0(0) и Dig, (5.1)

где линейный оператор D является производной по Фреше оператора T по переменной g в точке (/, g.n). Тогда

DC _ 0, C _ const (5.2)

и если ¿0j(0) _ Dig^, i _ 1, 2, то

¿0(0, ¿g1 + ¿g2) _ D(ig1 + ¿g2) _ ¿01 + ¿02. (5.3)

Пусть р = п для задач (1.2), (2.2) и р = 2п для задачи (3.2). Естественно предположить, что оператор О обладает при в € [0, р] следующими свойствами:

1) при четной относительно р/2 функции 5$(в) функция (в) является нечетной относительно р/2 функцией

50(в - р/2) = -50 (р/2 - в), если 5#(в - р/2) = 5#(р/2 - в); (5.4)

2) при нечетной относительно р/2 функции 5$(в) функция 50(в) является четной относительно р/2 функцией

50(в - р/2) = 50(р/2 - в), если 5#(в - р/2) = -5#(р/2 - в); (5.5)

3) если 5$(в) является финитной функцией с носителем (с, й) € [0,р], с < й и 5$(в) > 0 в (с, й), то

50(в) > 0, в € (0, с), 50(в) < 0, в € (й,р) (5.6)

и обращается в нуль в некоторой точке (с, й).

Представим ФФ 0(в) в (1.5), (2.5), (3.5) через новую переменную О = О(в) по формуле

0(в) = ОО (5.7)

и пусть известно приближение для ФФ вида 0 = ОО через заданную функцию О. Предполагая достаточную близость функций О и О, найдем приближение для поправки О - О следующим образом.

По 0(в) последовательно находим корни уравнений (1.6) в/, ^ = 1, ..,/а, по ним аппроксимации (1.4), (2.4), (3.4), от которых вычисляем ошибку г (1.3), (2.3), (3.3). Затем находим разделенные нулями г локальные максимумы |щ| = т( в ^а точках (назовем их е-точками). Пусть А/ — непрерывный, монотонный между е-точками сплайн, принимающий значения т( в е-точках. Положим 5О = - 1п А/. Тогда функция г ехр 5О будет иметь в е-точках точный чебышевский альтернанс. Следовательно,

О и О + 5О, 0 и ОО. (5.8)

За итерируемую переменную возьмем функцию О. Пусть на к-ой итерации получены значения Ок, 0к, в/?, ук, гк. Для простоты изложения предположим, что для любого к имеем канонический случай: число точек приближенного альтернанса равно ^а, т.е. т = /а, а крайние точки его для задач (1.2), (2.2) принадлежат концам отрезка. В этом случае 0к(0) = 0к(п) = 0. Непосредственно по гк вычисляем координаты вк-точек ( / = со- в/к для задач (1.2), (2.2), щ для задачи (3.2)) и т/к — значения |гк= 0, ...,/а в этих точках. Пусть для задач (1.2), (2.2) 0 = Щ < в^ < ... < в^л < Щл = п. Вычислим = ^к—о 1- тк /^а и рк = 1п ту - . Построим кубический сплайн-интерполянт, основанный на разложении единицы по финитным функциям следующего вида. Пусть и(г) = (г - 1)2(2г + 1),г € [0, 1] (и(0) = 1,и(1) = и'(0) = и'(1) = 0) — шаблонная функция, с помощью которой построим ^А финитных функций и>к(в) € С 1[0,п],ик(вк) = 1. В общем случае при 1 < ] < /а функция ик (в) имеет носитель (в"/к_1, в"/к+1), на котором

ик (в) = и((вк - в)/(вк - щ_1)) при в € (вк_1,в? ], ик (в) = и((в - щ )/(вк+1 - щ)) при в € (вк,вк+1].

При ] = 0, /а для задач (3.2) функции иОк(в), икл(в) определяются по общим формулам, если в них положить в_ 1 = щл, щд тл = в^, а для задач (1.2), (2.2) функция иОк(в) имеет носитель [0, щ), на котором (в) = и(в/щ), функция икл(в) имеет носитель (щ^л_1,п], на котором икл(в) = и((п - в)/(п - в/^^)). Далее полагаем

/л /л

5Ок (в) = рк ик (в), (5Ок (в/, ) = -рк, £рк = 0). (5.9)

/-О /-о

Тогда произведение гк exp имеет точный чебышевский альтернанс в ек-точках 0к, j = 0,..., Ia. Поэтому функция фк(0) обеспечивает решение возмущенной задачи с весом w(x)exp . Используя методы обратного анализа и теории возмущений, полагаем

Gk+i = Gk + , о < вк < 1, фк+1 = DGk+1. (5.10)

Затем получаем новые значения и т. д..

В итерационном методе (5.10) оператор D играет роль идеального переобуславливате-ля (см. (5.7)). Однако точный вид оператора D неизвестен. Поэтому рассмотрим классы сингулярных интегральных операторов с ядрами типа Коши. Для итерационного решения задач (1.2) и (2.2) возьмем взамен оператора D сингулярный оператор (4.1) B, для вычисления которого применяем квадратурную формулу Вм (4.3)-(4.5). Для итерационного решения задачи (3.2) возьмем взамен оператора D сингулярный оператор (4.2) H, для вычисления которого применяем квадратурную формулу Нм (4.6). Согласно (5.9), (5.10)

Ia

5фк (0) = £ ¿ф* (0), ^ (0) = -pfDcj (0), (5.11)

j=0

где o>k (0) — финитные функции. Поэтому согласно леммам 1 -4 эти операторы, примененные в (5.11) вместо оператора D, разумно определяют алгоритмы движения корней и ек-точек при возмущении . При четной относительно р/2 функции b(0) для них выполнены условия (5.4)-(5.6).

Изменение функций фк (0) возможно и с помощью соответствующего выбора функции b(0). Так, для задач (1.2), (2.2) при G, Gk g H и ограниченности на [0, п] отношения а(0) = b(0)/sin0 имеем ф(0) = фк(0) = ф(п) = фк(п) = 0.

Для неканонического случая в задачах (1.2), (2.2) вместо оператора (5.11) применяем оператор (р + q)0 — рп + BG, 0 < р, q < 1. Такая замена оператора связана с тем, что факт несовпадения крайних точек альтернанса с концами отрезка [—1, 1] связан, как правило, с достаточно сильным вырождением в соответствующем конце весовой функции w(x). Пусть 0Ок, 0^ — крайние eK-точки, то р, q определяем из системы уравнений: 0^(m + р + q) — рп + фк (0^) = тп, 0^} (m + р + q) — рп + фк(0^}) = 0. Другой метод заключается в регулировании поведения функции b(0) в окрестности точек 0, п.

Случай m > Ia требует дополнительных предположений. Разберем одно из них. Пусть известно значение т. Тогда для задач (1.2), (3.2) проводим итерационный метод по выше приведенным формулам, положив в них Ia = m, при этом интерполляционный многочлен ((1.4) или ((3.4)) совпадет с искомым многочленом. В задаче (2.2) требуется дополнительно задать n1 или n2.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Чебышев П.Л. Теория механизмов, известных под названием параллелограммов. Избранные труды. Изд. АН СССР. М., 1955. С. 611-648.

2. Чебышев П.Л. Вопросы о наименьших величинах, связанных с приближенным представлением функций. Избранные труды. Изд. АН СССР. М., 1955. С. 462-578.

3. Чебышев П.Л. О функциях, наименее уклоняющихся от нуля. Избранные труды. Изд. АН СССР, М., 1955. С. 579-610.

4. Ремез Е.Я. Основы численных методов чебышевского приближения. Киев. Наукова думка. 1969. 623 с.

5. Лебедев В.И. О нахождении многочленов наилучшего с весом приближения // Математический сборник. 2008. Т. 199, № 2. С. 49-70.

6. Лебедев В.И. О представлении и нахождении наилучших приближений с весом // Кубатур-ные формулы и их приложения. Материалы Х международного семинара-совещания. Улан-Удэ. 2009. С. 49-59.

7. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука. 1977.

8. Карлин С., Стадден В. Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике. М.: Наука. 1976.

9. Попов В.А., Теслер Г.С. Приближение функций для технических приложений. Киев. Наукова думка. 1980.

10. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Физматлит. 1962.

11. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М., ТОО Янус. 1995. 519 с.

12. Бернштейн С.Н. О многочленах, ортогональных на конечном отрезке. Собр. соч. Т. 2,. М., Изд. АН СССР. 1954. С. 7-106.

13. Сеге Г. Ортогональные многочлены. Гос.изд-во физ.-мат. лит. М., 1962. 500 с.

Вячеслав Иванович Лебедев,

Институт вычислительной математики РАН,

ул. Губкина, 8,

119991, г. Москва, Россия

E-mail: [email protected]