О тождествах и квазитождествах алгебр многообразия b 1,1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Библиографический список

1. Штерн А. И. Квазипредставления и псевдопредставления // Функц. анализ и его прил. 1991. Т. 25, № 2.

2. Файзиев В. А. Об устойчивости одного функционального уравнения на группах // Успехи мат. наук. 1993. Т. 48, № 1.

3. Григорчук Р. И. Ограниченные когомологии групповых конструкций // Мат. заметки. 1996. Т. 59, № 4.

4. Бардаков В. Г. О ширине вербальных подгрупп некоторых свободных конструкций // Алгебра и логика. 1997. Т. 36, № 5.

5. Каган Д. З. Псевдохарактеры на аномальных произведениях локально индикабельных групп // Фундаментальная и прикладная матем. 2006. Т. 12, вып. 3.

6. Каган Д. З. Псевдохарактеры на свободных группах, инвариантные относительно некоторых типов эндоморфизмов // Фундаментальная и прикладная матем. 2012. Т. 17, № 2.

7. Добрынина И. В., Каган Д. З. О ширине вербальных подгрупп в некоторых классах групп // Чебышевский сборник. 2015. Т. 16, вып. 4.

8. Бродский С. Д. Уравнения над группами и группы с одним определяющим соотношением // Сибирский матем. журнал. 1984. Т. 25, № 2.

О ТОЖДЕСТВАХ И КВАЗИТОЖДЕСТВАХ АЛГЕБР МНОГООБРАЗИЯ B1,1 В. К. Карташов (г. Волгоград) E-mail: kartashovvk@yandex.ru

Через B1,1 обозначается многообразие алгебр с двумя унарными операциями f и g, определяемое тождеством fg(x) = x.

Алгебры этого многообразия рассматривались в работах [1-4]. Очевидно, что многообразие B1;1 вклчает в себя многообразие A1,1 унарных алгебр с двумя операциями f и g, заданное тождествами

fg(x) = gf (x) = x.

К настоящему времени получено значительное количество результатов об алгебрах многообразия A11, имеющих окончательный характер ([1,3,4]).

В этой заметке установлено, что B1;1 является покрытием для A1,1 в решетке всех многообразий алгебр с двумя унарными операциями.

В дальнейшем N означает множество неотрицательных целых чисел и N0 = N и{0}.

Очевидно, что на любой алгебре многообразия Б1;1 истинны следующие тождества

1) /кдт+к(х) = дт(х), к,т е N0;

2) /к+тдк(х) = / т(х), к, т е N0;

3) д7'д'(х) = х, 5 е N0;

4) (д/)к(х) = д/(х), к е N.

Пусть г, к е N и г < к. Обозначим через Qг,k квазитождество вида

(Vх)(дки(х) = х ^ дг/г(х) = х), где и(х) - произвольный терм сигнатуры {/, д}.

Теорема. Любое квазитождество вида Qг,k истинно на каждой алгебре многообразия Б1,1.

Нетрудно также проверить что квазитождество

^х)(дп(х) = х ^ /п(х) = х)(п е N0)

истинно на любой алгебре многообразия Бх,1.

Напомним [5], что бициклической полугруппой называется полугруппа Б(/, д) с двумя порождающими элементами / и д и определяющим соотношением /д = е, где е - единица полугруппы.

Очевидно, что любой полигон над бициклической полугруппой можно интерпретировать как алгебру многообразия Б1?1.

Следствие. Квазитождества вида Qг,k истинны на любом полигоне

Л г"

над бициклической полугруппой и, в частности, - на самой полугруппе

Б (/,д).

В работе также найдены условия, при которых решетка СопА кон-груэнций произвольной алгебры А многообразия Б1;1 является цепью, модулярной либо дистрибутивной.

Библиографический список

1. Бощенко А. П. Решетки конгруэнций унарных алгебр с двумя операциями / и д, удовлетворяющими тождеству д(/(х)) = х. Деп. в ВИНИТИ 20.04.98. Волгоград, 1998. № 1220-В98.

2. Акатаев А. А., Смирнов Д. М. Решетки подмногообразий многообразий алгебр // Алгебра и логика. 1968. Т. 7, № 1.

3. Горбунов В. А. Покрытия в решетке квазимногообразий и независимая аксиоматизируемость // Алгебра и логика. 1977. Т. 16, № 5.

4. Карташов В. К. Характеризация решетки квазимногообразий алгебр A1;1 // Алгебраические системы : межвуз. сб. Волгоград, 1989.

5. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп : в 2 т. М. : Мир, 1972. Т.1.

О РЕШЕТКАХ ТОПОЛОГИЙ ПОЛИГОНОВ НАД ПОЛУГРУППАМИ ПРАВЫХ И ЛЕВЫХ НУЛЕЙ А. В. Карташова (г. Волгоград) E-mail: kartashovaan@yandex.ru

Левым полигоном над полугруппой S (или просто полигоном) называется множество X, на котором задано действие полугруппы S, т.е. задано отображение S х X ^ X, (s, x) ^ sx, удовлетворяющее условию (ts)x = t(sx) при s,t Е S, x Е X.

Полигоны над полугруппами образуют широкий класс алгебраических объектов, которые изучались многими авторами с различных точек зрения (см., например, [1-3]).

Полугруппой правых (левых) нулей называется полугруппа S, удовлетворяющая тождеству st = t(st = s) для любых s,t Е S.

В [4] изучались решётки конгруэнций полигона над полугруппой правых или левых нулей.

Пусть X - полигон над полугруппой S и а - некоторая топология на множестве X. Будем говорить, что а - топология данного полигона, если для любых s Е S и U Е а множество {x|sx Е U} Е а.

Нетрудно показать, что множество ^(X) всех топологий полигона X является решеткой по включению.

Теорема 1. Пусть X - полигон над полугруппой S правых нулей и sx = tx для некоторых s,t Е S и x Е X. Тогда решетка ^(X) топологий этого полигона немодулярна и не является решеткой с дополнениями.

Отсюда, в силу [5, теорема 9],получаем

Следствие. Решетка ^(X) топологий полигона X над полугруппой S правых нулей является решеткой с дополнениями тогда и только тогда, когда sx = tx для всех s, t Е S и x Е X.

Теорема 2. Пусть S - полугруппа правых или левых нулей. Тогда решетка ^(X) топологий произвольного полигона X над полугруппой S модулярна в том и только том случае, когда |X | < 2.