О точных решениях задачи отражения электромагнитных волн от неоднородного слоя Текст научной статьи по специальности «Математика»

Матем атика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2014, №3 (1), с. 99-1022

УДК 517.958:537.812

О ТОЧНЫХ РЕШЕНИЯХ ЗАДАЧИ ОТРАЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ОТ НЕОДНОРОДНОГО СЛОЯ

© 2014 г. Н.А. Денисова

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского [email protected]

Поснупила в редакцию 05.03.2014

Найдено новое семейство неоднородных профилей показателя преломления диэлектрических слоев конечной толщины, для которых амплитудный коэффициент отражения записывается в элементарных функциях.

Ключевые слова: уравнение Гельмгольца, показатель преломления, функции Йоста, задача рассеяния, коэффициент отражения.

Строгое решение задачи отражения электро- Амплитудный коэффициент отражения от слоя магнитных волн от неоднородного слоя конеч- определяется через решение уравнения (1.1) с ус-ной толщины с вещественной диэлектрической ловиями Коши проницаемостью известно для нескольких случаев [1]. В данной статье приведен еще один вариант точного решения задачи для монотонных профилей диэлектрической проницаемости. Для нахождения решения использовался аппарат операторов преобразований задачи рассеяния, обобщенный на случай задачи электромагнитного отражения от неоднородного слоя [2, 3].

, E'( zs, k) = ikn/

(1.2)

Е( ^, k) = в"

с помощью формулы

/£п Е(0, k) - Е'(0, k)

г ^) = —--

1ЫаЕ (0, k) + Е'(0, k)

Введем в уравнении (1.1) новую переменную

х = х(2), где функция х(2) е С1 (Я) и имеет вид

7, 2 < 0,

1. Постановка задачи

Пусть три диэлектрические среды разделены плоскими границами 2 = 0 и 2 = 2,. Диэлектрические проницаемости сред, занимающих полупространства г < 0 и 2 > 25, принимают значения еа и е, соответственно. В области 0 < 2 < 25 неоднородная диэлектрическая проницаемость е(2) = п2(2) зависит только от 2. Электромагнитная волна падает на слой из области 2 < 0 . При нормальном падении электрическое поле Е(2, k) удовлетворяет уравнению Гельмгольца

d2 Е( 2, k)

х( z) =

[ко

J к(0)

n(zs )

dt, 0 < z < z„

(1.3)

(z - Zj ) + [

n(t)

dt,

n(0) ^ J n(0) Для функции x, k) = E(z(x), k) уравнение примет вид

^ + k2~2(x)y + Q(xÄ 0, (1.4) dx dx

где

n( x) =

n , x < 0, a n n(0) n(0), 0 < x < d, n = s^ ', d = x(zs),

n,, x > d,

n( z,)

dz2

- + k s(z)E(z,k) = 0,

(1.1)

ю

где s(z) = n (z), k =--волновое число,

c

na, z < 0,

n(z) = Jn(z), 0 < z < z, s„ = n1a, Sj = n)

n, z > zs, Функция n( z) e C'[0, zs ], а n (z)

n(0) dn(z)

, 0 < x < d,

в точках

емчп2(2) d2 (1.5)

Так как

у(0, k) = Е (0, k), У(0, k) = Е'(0, k), коэффициент отражения для уравнения (1.4) совпадает с (1.2).

При значениях 0 < х < d для уравнения (1.4)

2 = 0,2 = может иметь разрывы первого рода. с двумя видами коэффициентов

Q«(«) = - 4И(0)5

sh2(n(0)8x + у)

(1.6)

Q(2)( x) =-^- (1.7)

sh2(n(0)8x + у)

известны общие решения уравнения (1.4)

В( x, у) = -1 + ехр

2 |

x-у x+у 2 2

V(1) (x, k) = Л(1 - — й(«(0)8г + v))eikn(0)+ 8

+ B(1 + — й(«(0)8г + v))e-'Ы0) x,

8

¡к

(1.8)

V(2) к) = А(1 -—cth(n(0)8x + у)УЫ(0)" + 8

+ В(1 + — ^(«(0^ + v))e-'Ы0) x.

8

- | йц |Q(^ + ц)Bx (£ + ц,|у| < x.

0 0

(2.5)

Интегральный оператор I + В определен формулой

(I + В)/ = /(x) + |в^, у)/(у)йу,

(1.9)

Здесь А, В - произвольные постоянные, 8, V - Отсюда произвольные положительные параметры.

Цель работы - получить коэффициенты отражения и показатели преломления внутри слоя для уравнения (1.1), соответствующие функциям (1.6), (1.7).

В( x, x) = -1 + ехр

V 20

2 . (2.6)

| Q(№ = 1п[1 + В^, x)]- 2. (2.7)

0

С другой стороны, используя (1.3), (1.5), интеграл в (2.7) можно вычислить:

2. Функции Иоста

Обозначим через VI 2(x, к) и Ф^^, к) решения уравнения (1.4) (функции Йоста), имеющие заданный вид, соответственно, при x > й и

x < 0:

к) = е^, x > й, (2.1)

Ф^,к) = eтikn"x, x < 0. (2.2)

Аналогичные решения усеченного x) = 0)

x г(ж)

I Q(íd = I

«(0) г) ^^ =

= 1п

0 «2(г) йг п(х(x))

«(0)

(2.8)

Из формул (2.7), (2.8) следует, что

«(г) = п(0)[1 + В( л* г), л* г))]-2. (2.9) Дифференцируя (1.3) по г и учитывая (2.9), получим дифференциальное уравнение г) = [1 + В( ^ x)]-2, x(0) = 0, интегрируя которое найдем функцию

уравнения (1.4) обозначим v(2)(x,к), Ф^^,к).

Для усеченного уравнения функции Йоста находятся в явном виде. В частности, при значениях 0 < x < й для функции ф(0) (x, к) получим выражение

Ф((0) (x,к) = а12 (ку"™"" - Ь12 (к)e'kn"x, (2.3)

где "12 = « + «(0), Ь12 = « - «(0) . 12 2«(0) 12 2п(0)

В интервале 0 < x < й для решений Йоста Ф12 (x, к) справедлива следующая теорема.

Теорема. Если 1т к = 0 и 0 < x < й , решения Йоста ф[ 2 к) представимы в виде

Ф1 (x, к) = ф(0) (x, к) +

г =

г^) = | [1 + В^, t)]2 dt. (2.10)

Соотношения (2.9), (2.10) можно использовать для параметрического определения функции показателя преломления

« = п(0)[1 + В( x, x)]-2,

г =

| [1 + В^, t )]2 dt.

(2.11)

+ | В^, у) dУ(-b1,2e'kn(0)y + я,^-'М0) у )йу,

(2.4)

3. Решение задачи

Для решения задачи используются формулы (2.6), (2.11). Подставляя функцию (1.6) в интеграл (2.6), найдем

sh(«(0)8x)

В( x, x) = ■

йу

Ф2( x, к) = Ф1*( x, к), где В(x, у) - вещественная непрерывная функция, удовлетворяющая уравнению

sh V ch(n(0)8x + V) Используя (3.1), по формулам (2.11) получим «(1) = п(0)Ш2 V cth2(«(0)8x + V),

(3.2)

(3.1)

(

г = cth V

th(n(0)8x + V) + Л V

«(0)8

«(0)8

О ночныхрежегиях задачи онражегия элекнромаггингых волг он неоднородного слоя

101

Чтобы определить амплитудный коэффициент отражения влево для уравнения (1.4) с показателем преломления (3.2), следует использовать решение Йоста у2(х, k) при х < 0 и х > d. Являясь решением уравнения (1.4), эта функция при х< 0 имеет вид

V2 (х k) = С1 ехР(/Ь„х) + + С2 ехр(—кпах), х < 0. Согласно условию (2.1)

V 2 (х, k) = ехр(1кпхх), х > d. (3.4) Так как функция V2(х, k) непрерывно дифференцируема по переменной х при всех х е Я, то из условий непрерывности самой функции, ее производной в точках х = 0, х = й, используя равенства (1.8), (3.3), (3.4), можно найти коэффициенты А, В, С\, С2. Отношение г ^) = С2/С

будет искомым коэффициентом отражения. Этот амплитудный коэффициент отражения для показателя преломления (3.2) имеет вид

r(1) ) = Rff(k) + r23) (k)g(1)(k) 1 + R®(k )R23) (k )a(21)(k)

R®(k) = ^

r12 f (k, 8, v) +1

n (z) = i„ (1)

где r12 =

na - n(0) na +n(0)

R23)(k) =

nw(z), z > 0,

. Коэффициент

где Г23 =

(1) (k) = Г23 f (k,8, z0) 1 „2ifo(0)d !3 (k) _ /■»// £ \ f (k, 8, z0)

n(zs ) - ns _ n(0) - n1

f (k, 8, z0) - Г23

, z0 = n(0)8d + v

n(zs) + ns n(0) + n1

а

(1)(k) =

а

(D^-lH

>(k) =

f *(k, 8, v) + rn f (k, 8, v) + rn '

r,2 f '(k, 8, v) +1 r12 f (k, 8, v) +1 .

Аналогичные формулы могут быть получены для функции (1.7). В результате несложных преобразований найдем показатель преломления:

п(2) = п(0) сЛ2 V Л2 (п(0)8х + V), 0 < х < d,

(

z = th2 v

cth(n(0)8x + v) + cth v

внутри слоя толщины

(

z, = th2 v

d -

n(0)8

cth z0 cth v

n(0)8

Л

(3.9)

n(0)8 n(0)8

(3.5)

Чтобы компактно записать все входящие в формулу (3.5) функции, введем

/(k,8,у) = Л 2у - ^sh2у . (3.6)

8

С учетом обозначения (3.6) функция Я®^) примет вид

п (2)( 2,) = п (0)сШ2 vth2 2 0.

Коэффициент отражения от неоднородного слоя с показателем преломления, задаваемым параметрически соотношениями (3.8), представляется в виде (3.5), но все функции имеют верхний индекс 2 и определяются формулами

Я1(22)(k) = Г'2/(k,8,V) - 1 ,

12 ^ /(k, 8, V) - ъ '

Я(2) (k) = Г23 / (k,8, 20) + 1 „2Йи(0) й

а(2) (k) =

f (k, 8, z0) + r23

f '(k, 8, v) - r,2

(3.7)

f (k, 8, v) - r12 '

/ ^, 8, V) + гХ2

Это амплитудный коэффициент отражения от неоднородного полупространства с показателем преломления (3.2)

П„, 2 < 0,

,(2),,A_ Г12 f (k, 8, v) - 1

а 22)(k) =

r12 f (k, 8, v) -1

(3.8)

знак * означает комплексное сопряжение. Функции а(1)^) и а2^) определяют фазовые сдвиги

Таким образом, использование уравнения (1.4) и формул (2.6), (2.11) позволило получить новое семейство показателей преломления неоднородного слоя и найти соответствующие коэффициенты отражения.

Список линерануры

1. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 343 с.

2. Денисова Н.А., Степанова С.А. // ЖВМиМФ. 1999. Т. 39. № 7. С.1180-1187.

3. Денисова Н.А., Резвов А.В. // Изв. вузов. Радиофизика. 2012. T. LV. № 5. С. 369-380.

4. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наук. Думка, 1977. 329 с.

ON EXACT SOLUTIONS OF THE PROBLEM OF REFLECTION OF ELECTROMAGNETIC WAVES FROM AN INHOMOGENEOUS LAYER

N.A. Denisova

A new family of inhomogeneous refractive index profiles of finite-thickness dielectric layers has been obtained, for which the amplitude reflection coefficient is written in terms of elementary functions.

Keywords: Helmholtz equation, refractive index, Jost functions, scattering problem, reflection coefficient.

References

1. Brekhovskih L.M. Volny v sloistyh sredah. M.: Nauka, 1973. 343 s.

2. Denisova N.A., Stepanova S.A. // ZhVMiMF.

1999. T. 39. № 7. S.1180-1187.

3. Denisova N.A., Rezvov A.V. // Izv. vuzov. Ra-diofizika. 2012. T. LV. №.5. S. 369-380.

4. Marchenko V.A. Operatory Shturma-Liuvillya i ih prilozheniya. Kiev: Nauk. Dumka, 1977. 329 s.