Динамика поля и спектров световых импульсов предельно коротких длительностей в нелинейных средах Текст научной статьи по специальности «Физика»

ДИНАМИКА ПОЛЯ И СПЕКТРОВ СВЕТОВЫХ ИМПУЛЬСОВ ПРЕДЕЛЬНО КОРОТКИХ ДЛИТЕЛЬНОСТЕЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ

Выведены формулы, описывающие динамику средних параметров электрических полей (центра тяжести и среднеквадратической длительности) и спектров (центральной частоты и среднеквадратической ширины) предельно коротких импульсов в оптических средах с безынерционной электронной нелинейностью. Выведенные формулы применены для изучения различных сценариев самовоздействия предельно коротких импульсов в волноводах: их начального полевого (спектрального) уширения, сжатия или распространения с неизменяющейся длительностью (шириной спектра).

За последнее десятилетие в лазерной физике был уверенно освоен весь фемтосе-кундный временной диапазон [1]. Сегодня уже в целом ряде лабораторий имеются лазерные системы, позволяющие получать световые сигналы, состоящие всего из двух-трех осцилляций электрического и магнитного поля [2-4]. Такие предельно короткие по числу колебаний светового поля импульсы весьма перспективны в информационных технологиях [1], сверхточных измерениях [5] и спектроскопии [6]. Например, при передаче информации по волоконным световодам оптическими солитонами из двух-трех осцилляций светового поля скорость этой передачи может достигать 100 Тбит/с [7].

Важнейшей особенностью импульсов с малым числом колебаний светового поля является сверхуширение их спектра. При построении теории распространения импульсов с таким континуумным спектром приходится отказываться от привычного и плодотворного в оптике метода медленно меняющейся огибающей импульса, поскольку этот метод основан на приближении квазимонохроматического излучения [9, 10]. В работах [11-14] дан обзор разработанных в последние годы методов получения новых в оптике волновых и спектральных уравнений, описывающих динамику не огибающей импульса, а непосредственно его электрического поля и спектра. Анализ эволюции фемтосе-кундных импульсов с континуумным спектром, в том числе предельно коротких, в оптических средах с нелинейностями различной природы приводится обычно на основе изучения численных решений этих новых уравнений (см., например, [15-18]). В настоящей работе приведены аналитические формулы, описывающие динамику средних параметров поля импульса (центра тяжести и среднеквадратической длительности), на их основе дан анализ основных сценариев этой динамики. В работе получены аналогичные формулы для описания изменения средних параметров спектра (центральной частоты и среднеквадратической ширины) импульсов с континуумным спектром в нелинейных средах, на их основе обсуждены важнейшие закономерности эволюции спектров. При этом мы ограничились анализом волноводного распространения излучения, т. е. полагали его поперечную структуру неизменной.

Динамика электрического поля импульсов предельно коротких длительностей в волноведущих средах, где электронно-колебательная нелинейность отсутствует или ей можно пренебречь, может быть описана уравнением [11]:

СРЕДАХ

Д.Л Белов, С.А. Козлов, Ю.А. Шполянский

Введение

1. Динамика среднеквадратической длительности импульса

(1.1)

где V =-; N0 и а и Ь характеризуют материальную дисперсию, причем Ь может ха-

N о

рактеризовать и волноводную; g описывает нелинейность оптической среды и связано

2п

с коэффициентом нелинейного показателя преломления соотношением g = —- [19].

3с

Рассмотрим, как будет изменяться длительность импульса, динамика поля которого с по мере его распространения в волноводе эволюционирует в соответствии с (1.1). Под длительностью импульса будем понимать квадратный корень из центрального момента распределения поля излучения второго порядка

1 ад

Лт = (< Лт2 >) = ф {(т- < т >)2Е2ёт

12

где

< т >=

1 ад

— ГтЕ2 ёт

ж -ад

(12)

(13)

- «центр тяжести» импульса.

В работах [20, 21] нами было показано что для небольших расстояний г из (1.1) для длительности (1.2) можно получить формулу

Лт2 =< Лт >2 +

(ё < т2 >Л Г1 ё2 < т2 > (ё < т >Л2Л

ёг

г +

/о

2 ёг2

- —

ёг

где коэффициенты при г (Р1 =

( ё <т>Л

V ёг / о

)и г2 (Р2 =

/о

1ё <т > (ё<т>

(1.4)

, 2 Л

• -

ределяются следующими выражениями:

1 ад

Р = -^Т"<Т>о)

6а® + 2ьГ | Еёт'^

Р2 =

9а2

2 Ж2

Ж |

адгд 2еЛ2

дт2

ёт-

дт /

оо

/[£] ёт

ад /

2 Л

+ -

+ 3gE

(

2 ёг 2

ёт

ёг

) оп-

/ о

(1.5)

Ь2

Ж2

2

Ж П |иёт ёт-1 2ёт

+

3g2

4Ж 2

ад > 4

2

4Ж |Е6ёт- 3 |Е4ёт

[-ад /

+ ■

6аЬ

Ж2

-ад [-ад /

ж2 - п —i ёи| и2 ёт

[-ад /

+

+

4Ж{И Е2ёт-Д^! ёт|Е4ёт

V -ад -ад -ад /

(дЕ ^

Л

дт

Ж2

+

(1.6)

ад

4

Ж2

(ад

8Ж | Е ъи(т- < т >о)ёт + 3 2 ёт | Е 4 ёт

V -ад -ад -ад /

Рассмотрим распространение светового импульса с входным (при г = о) профилем, изменяющимся по гауссовскому закону:

Е(о, т) = Ео ехр(-2т2 / т2 ) 8т(ш от[1 + у • т / тр ]), (1.7)

где Ео, тр, шо и у характеризуют амплитуду входного импульса, его длительность, центральную частоту и начальную частотную модуляцию.

При отсутствии частотной модуляции (у=о) коэффициент при ъ в выражении (1.4) обнуляется ввиду нечетности поля (Р1=о), таким образом, начальная эволюция дли-

2

г

ад

2

оо

—оо

оо

оо

2

2

оо

оо

оо

тельности импульса целиком определяется коэффициентом Р2 при х . Анализируя знак и величину этого коэффициента для различных входных параметров импульса, можно сделать вывод о начальном сценарии его эволюции: уширении, сжатии или квазистационарном характере распространения.

На рис. 1 приведены поля значений нормированного коэффициента Р2 [см. также 20, 21] для импульсов (1.7) без частотной модуляции (у=0), распространяющихся в микроструктурированном волокне, в зависимости от входных центральной длины волны и интенсивности импульса. На рис. 1 а эти поля даны для импульса, который на вхо-

2п

де в волокно состоит из 2 колебаний поля (тр = 2Т0, где Т0 =—), на рис. 1б - из 6 колебаний поля (тр = 6Т0). Дисперсия и нелинейность среды описывалась следующими па-

раметрами: а=2.575-10"44 с3/см, £=2.818-1015 1/(c см), И2=3.2-10"10 ем1/Вт.

18

-16 „ 2/

(а)

(б)

. I :>! Вт/см2

. \0" Вт/см2

Рис. 1. Линии уровня нормированного коэффициента Р2 как функции интенсивности I и центральной длины А,0 волны для импульсов вида (2.6) с начальными длительностями т = 2Т0 (а), и тр = 6Т0 (б), распространяющихся в микроструктурированном волокне

(а)

AT ,фс

г,мм

t-<t>, фе

z, Л1Л1

0, G„

(в)

2 3 (й/(Оп

Рис. 2. Динамика среднеквадратической длительности Ат, эволюция электрического поля E и спектральной плотности G импульса в микроструктурированном волокне. Параметры входного импульса: А,0 = 2лс/ю0 = 780 нм, тр = 6Т0, I = 5 • 1012 Вт/см2.

Как видно из рис. 1, при интенсивностях, меньших тех, при которых возникает плазменная нелинейность, осуществимы все типы сценариев, и их характер определяется величиной входной центральной длины волны. Отметим, что одинаковые сценарии начальной динамики длительности можно наблюдать, например, для одного и того же входного импульса, но при значительно различающихся интенсивностях, отличающихся достаточно сильно.

На рис. 2а представлена динамика среднеквадратической длительности Дт импульса (1.7) с параметрами = 2тсс/ш0 = 780 нм, тр = 6Г0, I = 5- 1012 Вт/см2. При этих параметрах коэффициент Р2 положителен, и формула (1.4) описывает монотонное уширение импульса (сплошная линия на рис. 2а). Это типичный сценарий для импульса, спектр которого лежит в области нормальной групповой дисперсии среды, но который, как видно из рис. 1 а, может наблюдаться и для импульса, спектр которого лежит в зоне аномальной групповой дисперсии при определенных входных параметрах импульса. Рис. 2б и 2в демонстрируют, соответственно, эволюцию электрического поля и спектра импульса, рассчитанные прямым численным моделированием уравнения (1.1). Динамика среднеквадратической длительности импульса, соответствующая этому «точному» расчету, представлена на рис. 2а пунктирной линией. Из рис. 2 видно, что формула (1.4) предсказывает закон изменения длительности в условиях генерации спектрального суперконтинуума с точностью до 5 % на отрезке микроструктурированного волокна длиной в 0.4 мм.

А Т,фс

(В)

г, мм 1.0 -

!£1,

Оп

!-<!>, фе

1 2 (й/Юг,

Рис. 3. Динамика среднеквадратической длительности Дт, эволюция электрического поля Е и спектральной плотности импульса О в микроструктурированном волокне. Параметры входного импульса: А,0 = 780 нм, тр = 6Т0, I = 2.5 - 1012 Вт/см2.

Рис. 3 демонстрирует распространение импульса с теми же параметрами, что и на рис. 2, но с вдвое меньшей входной интенсивностью: I = 2.5 - 1012 Вт/см2 . Коэффициент Р2 при этом оказывается очень близок к 0, т.е. реализуется случай квазистационарного (в смысле среднеквадратической длительности) начального распространения импульса. Как видно из рисунка, на расстояниях порядка 0.4 мм в волокне длительность импульса почти не изменяется, хотя его профиль при этом претерпевает заметные изменения.

При увеличении центральной длины волны импульса на входе в волокно, т.е. при сдвиге спектра импульса дальше в зону аномальной групповой дисперсии, формула (1.4) предсказывает возможность сжатия импульса. В случае импульсов с большим числом колебаний поля на входе в среду точность предсказания формулы (1.4) увеличивается для всех сценариев распространения импульса.

Выше обсуждалась эволюция предельно коротких импульсов без начальной частотной модуляции (у = 0 в (1.7)), когда коэффициент Р1 был равен нулю. Варьируя также и у, можно обеспечить остальные нерассмотренные комбинации знаков коэффи-

циентов Р1 и Р2. Когда Р1 и Р2 имеют одинаковые знаки, среднеквадратическая длительность импульса ведет себя аналогично случаям, обсужденным выше, но скорость изменения длительности вблизи г = 0 возрастает (т.к. Р1 не равен 0). Особого рассмотрения заслуживают случаи, когда Р1 и Р2 имеют разные знаки и параболическая зависимость (1.4) имеет экстремум.

Дт ,фс

6.5 6 5.5 5 4.5

4 0 0.2 0.4

Z, ММ

1,ММ

1 о 0.8 0.6 0 4

0 2

h

0

(б)

z-<z>, фс

(в)

1,ММ 1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

о

1 2 3

Со/Юд

(а)

Рис. 4. Динамика среднеквадратической длительности Ат, эволюция электрического поля E и спектральной плотности импульса G в микроструктурированном волокне. Параметры входного импульса: А,0 = 620 нм, тр = 6Т0, у = - 0.2, I = 2 -1013 Вт/см2

Например, при Х0 = 629 нм, тр = 6Г0, у = - 0.2, I = 2-1013 Вт/см2 коэффициенты P1 отрицателен, а P2 - положителен,. Динамика длительности импульса представлена на рис. 4. На первых 0.2 мм происходит компрессия импульса. Достаточно необычно, что и среднеквадратическая ширина спектра импульса уменьшается на начальном этапе распространения. Из-за начальной частотной модуляции спектральные компоненты, формирующие задний и передний фронты импульса, расположены, соответственно, на низкочастотном и высокочастотном краях спектральной плотности. Совместное воздействие линейной дисперсии и кубической нелинейности накладывает на импульс частотную модуляцию противоположного знака, и периферийные спектральные компоненты ослабляются в пользу центральных, фазы которых одновременно выравниваются, укорачивая импульс. Далее происходит типичное для области нормальной групповой дисперсии одновременное увеличение длительности импульса и уширение его спектра. Предсказания формулы (1.4) обеспечивают точность 5 % на протяжении более 0.8 мм в волокне. Положение и значение точки минимума длительности предсказывается весьма точно.

2. Динамика среднеквадратической ширины спектра импульса

Динамика спектра предельно коротких импульсов в среде, в которой электронно-колебательной нелинейностью можно пренебречь, описывается выражением [22]

8G + .шпНg + i<x]r-G(<-a)G(a-ß)G(ß)-^ = 0. ^

dz c nc -œJ юй(й) + (ш- a)n(< - a) + (a - ß)n(a - ß) + ßn(ß)

Применяя при решении интегро-дифференциального уравнения (2.1) метод итераций, и полагая дисперсию линейного показателя преломления п(ш) слабой:

п(ш) = N0 + Ап(ш), где Ап(ш) << N0 , (2.2)

можно получить выражение для спектральной плотности в квадратурах вида

G(o,z) = Î(G0(<d) -i-^Nr Я^(ш - a)G0(a- ßG,(ß>Mß] • exp(-z). (2.3) 8n cN0 -J , c

V 0 -œ j

Для квадрата модуля спектра экспонента в (2.3) станет равной единице, и он будет определяться параболическим по ъ выражением:

|а(ш, 2)|2 = ^(ю)2

+ 2-

юХ

4п 2 сЫ0

(Яе(а0 (ю)) 1т(1 (ю)) - Тш(а0 (ю)) Яе(1 (ю))) +

+ г

22 2 ю X

64п 4 е 2 N 02

|1 (ю)2,

(2.4)

где

I(ш) = (ш - а^0 (а -Р^0(р)ёаёр .

(2.5)

Центральная частота и момент второго порядка импульса определяются следующими формулами:

< ш >=

1 ад

— |ш2ёш ,

— 0

1 ад

— | ю22 ёю .

< ю >= — | ю —

(2.6)

(2.7)

Так как модуль 2 описывается параболической по 2 зависимостью, то и центральная частота, и момент второго порядка по частоте будут также определятся параболическими зависимостями:

< ш >=< ш > 0 +Р112 + Р21 г2

< ю 2 >=< ю 2 > 0 +Р12 2 + Р22 2 2 Для гауссовского импульса вида

Е(0,т) = Е0 ехр(-ат2)соб(ш0т[1 + у-т/т ] + ф)

(2.8)

(2.9)

(2.10)

без частотной модуляции (у=0) можно получить алгебраические выражения для коэффициентов Р11 и Р21:

Р = хЕ0п 11 1б43асЫ0

( 3/2®0

-ш0

- Бт(2ф) ехр(-—) х

4а

2 I

ш ехр

V 0 V

\ (ш- 3/2ш0)2 Л

1/2®0

3а

ёш - 6 I

2 ( (ш-ш0/2) ш ехр 0

Р21 =

2 т^6

X Е0П

768ас2 N2

2I ш3ехр

(ш - 3ш0)

0

2 Л

V

3а

2 Л Л ёш ) )

(2.11)

6а

ёш + 162аш0 + 36а2 +

+

9 + 6соБ(4ф)ехр( 2ш°) II 21ш3ехр

3а

(ш -ш0)

2

+

+

- 3ш 02

2 соБ(6ф) ехр(-—) +18 соБ(2ф) ехр

2а

6а

(-ш2 ЛЛ

ёш + 18аш0 + 36а2

+

(2.12)

V 6а ))

36а +

6 соБ(2ф) ехр(——)| I ш3 ехр

2 ( 2®0

(

6а

(ш - 2ш0)

2

6а

ёш + 72аш0 + 36а

Аналогичные формулы можно получить и для момента второго порядка по частоте. Среднеквадратическая длительность спектра определятся выражением

ад

ад

х

1 ад

Лш = (<Лш2 >) = -1 Г(< у ' Ж г

(со- < ш >

)22 ёш

1/2

(2.13)

Её квадрат легко выражается через центральную частоту и момент второго порядка. Опуская слагаемые выше второго порядка по 2, можно снова получить квадратичную зависимость уже для ширины спектра:

Лш2 =<ш2 >-<ш >2«Лш2 + Р1 г + Р2^2 , (2.14)

где

Р1 = Р12 - 2 < ю >

Р

0 1 11

и

Р2 = Р22 - Р11 - 2 < ю > 0 Р21

(2.15)

(2.16)

Для ширины спектра мы можно построить поля, подобные приведенным на рис. 1. Они представлены на рис. 5 для импульсов, распространяющихся в полом волноводе, заполненном аргоном. Дисперсия и нелинейность среды описывалась следующими параметрами: о=1.467-10-47 съ/ем, ¿=8.674-1014 1/(с-см), п2=9.93 • 10-20 см2/Вт. Как и в случае с полями, при отсутствии частотной модуляции коэффициент Р1 обнуляется, но при этом сужения спектра не наблюдается, и коэффициент при 22 положителен как в области нормальной, так и в области аномальной групповой дисперсии волновода.

(а) (б)

1100

Л, нм

550

1100

Л , НМ

550

Вт/см2

13

,!.."■ Вт/СМ2

Рис. 5. Линии уровня нормированного на <ш0>2 коэффициента Р2 как функции интенсивности I и центральной длины волны А,0 для импульсов с тр = 6Т0 (а), и тр = 2Т0 (б), распространяющихся в полом волноводе, заполненном аргоном.

Рассмотрим, насколько точно формула (2.14) описывает динамику среднеквадра-

тической ширины спектра. На рис. 6а представлена динамика среднеквадратической

ширины спектра импульса с параметрами = 2пс/ш0 = 1000 нм, тр = 2Т0 = 2^0с, I = 7.712 2

10" Вт/см2 . Как было сказано выше, коэффициент Р2 положителен, и формула (2.14) описывает монотонное уширение импульса (сплошная линия на рис. 3.1а). Рис. 6б и 6в демонстрируют, соответственно, эволюции спектра и электрического поля импульса, рассчитанные прямым численным моделированием уравнения (1.1). Динамика средне-квадратической ширины спектра импульса, соответствующая этому расчету, представлена на рис. 6а пунктирной линией. При данных входных параметрах импульса формула (2.14) предсказывает закон изменения ширины спектра с точностью до 5 % на отрезке волновода длиной в 15 см. Аналогичную точность можно наблюдать и для импульсов, состоящих из большего числа колебаний поля.

Дм

1 1 1 1 1 / / - / / 35 28

/

У /

У ^ 21

/

14

кз1 7

| 1 1 | 1 е»

15 20 г. см

8.3 1—<х>,

Рис. 6. Динамика среднеквадратической ширины спектра Дю, эволюция спектральной плотности О и поля Е импульса в полом волноводе, заполненном аргоном. Параметры входного импульса: А,0 = 1000 нм, тр = 2Т0, I = 7.7-1012 Вт/см2.

В случае присутствия во входном импульсе частотной модуляции может наблюдаться сценарий начального сжатия импульса спектра с последующим уширением. Такой сценарий динамики ширины спектра приведен на рис. 7. В данном случае импульс претерпевает спектральное сужение на участке до 15 см. распространения в волноводе, а затем начинает уширяться.

(а) (б) (в)

м

Е_ Е„

1 2 и

Юл

х-<т>, фс

Рис. 7. Динамика среднеквадратической ширины спектра Дю, эволюция спектральной плотности О и поля Е импульса в полом волноводе, заполненном аргоном. Параметры входного импульса: А,0 = 780 нм, тр = 4Т0, у = - 0.2, I = 2-1013 Вт/см2

Заключение

В работе выведены формулы, описывающие динамику средних параметров поля (центра тяжести и среднеквадратической длительности) и спектров (центральной частоты и среднеквадратической ширины) предельно коротких импульсов в оптических волноводах с безынерционной электронной нелинейностью. Полученные соотношения между параметрами волноведущих структур и характеристиками входных импульсов, определяют сценарии распространения излучения в волноводе. Выведенные формулы могут быть применены для изучения различных сценариев самовоздействия предельно коротких импульсов в волноводах: их начального полевого (спектрального) уширения, сжатия или распространения с неизменяющейся длительностью (шириной спектра).

В рамках данной научно-исследовательской работы в 2003 году исследовались также самоотражение предельно коротких импульсов в волноводах [23] и их нелинейное отражение от границы раздела прозрачных диэлектрических сред [24].

Работа выполнена при поддержке гранта № УР.01.01.047 научной программ

Министерства образования Российской Федерации «Университеты России».

Литература

1. Brabec Th., Krausz F. Intense few-cycle laser fields: Frontiers of nonlinear optics. // Rev. Mod. Phys. 2000. V.72. № 2. Р.545-591.

2. Baltuska A., Wei Z., Pshenichnikov M.S., Wiersma D.A. Optical pulse compression to 5 fs at a 1 MHz repetition rate. // Opt. Lett. 1997. V.22. № 2. Р.102-104.

3. Nisovi M., De Silvestri S., Svelto O., Szipocs R., Ferencz K., Spielmann Ch., Sartania S., Krausz F. Compression of high-energy laser pulses below 5 fs. // Opt. Lett. 1997. V.22. № 8. Р.522-524.

4. Albert O., Mourou G. Single optical cycle laser pulse in the visible and near-infrared spectral range. // Appl. Phys. B. 1999. V.69. № 1. Р.207-209.

5. Holzwarth R. et al. Optical frequency synthesizer for precision spectroscopy. - Phys. Rev. Lett. 2000. V.85. № 11. Р. 2264-2267.

6. Yoshizawa M., Kurosawa M. Femtosecond time-resolved Raman spectroscopy using stimulated Raman scattering. // Phys. Rev. A. 1999. V.61. №1. Р. 013808(1-6).

7. Козлов С.А., Королев А.А. Передача сигналов оптическими солитонами длительностью в несколько периодов колебаний светового поля. // Известия ВУЗов. Приборостроение. 1998. Т.41. № 3. С.32-35.

8. Беспалов В.Г., Васильев В.Н. Козлов С.А., Шполянский Ю.А. Использование фем-тосекундного суперконтинуума в системах сверхплотной передачи информации. / В кн.: Оптические и лазерные технологии. / Под ред. Васильева В.Н. СПб: СПбГИТ-МО(ТУ), 2001. С. 214-219.

9. Ахманов С.А., Выслоух В.А.. Чиркин А.С. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов. М.: Наука, 1988. 312 с.

10. Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика. М.: Мир, 1996. 324 с.

11. Козлов С. А., Сазонов С.В. Нелинейное распространение импульсов длительностью в несколько колебаний светового поля в диэлектрических средах. // Журнал теоретической и экспериментальной физики. 1997. Т.111. В.2. С. 404-418.

12. Козлов С. А. Нелинейная оптика импульсов предельно коротких длительностей. / В кн.: Проблемы когерентной и нелинейной оптики. / Под ред. Гурова И. П. и Козлова С. А. СПб: СПбГИТМО(ТУ), 2000. С.12-34.

13. Маймистов А. И. Некоторые модели распространения предельно коротких электромагнитных импульсов в нелинейной среде. // Квантовая электроника. 2000. Т.30. №4. С.287-304.

14. Козлов С.А. Спектральные уравнения в фемтосекундной нелинейной оптике. - В кн.: Проблемы когерентной и нелинейной оптики. Под ред. Гурова И.П. и Козлова С. А. СПб: СПбГИТМО(ТУ), 2002. С.143-160.

15. Шполянский Ю.А. Сценарии развития фемтосекундного спектрального суперконтинуума. / В кн.: Проблемы когерентной и нелинейной оптики. Под ред. Гурова И.П. и Козлова С.А. СПб: СПбГИТМО(ТУ), 2000. С.136-153.

16. Ukrainsky A.O., Kozlov S.A., Polarization effects in the interaction of extremely short light pulses with nonlinear media. // J. Optics B: Quant. and Semiclass. Optics. 2001. V.3. Р. S180-S183.

17. Shpolyanskiy Yu.A., Kozlov S.A., Bespalov V.G., Steinmeyer G., The theory of spectral supercontinuum generation in microstructure fibers. // Proc. SPIE. 2002. V. 4638 (to be published).

18. Берковский А.Н., Козлов С. А., Шполянский Ю.А. Самофокусировка импульсов с малым числом колебаний светового поля. // Оптический журнал. 2002. Т.69. №3 (принята к опубликованию).

19. Беспалов В.Г., Козлов С.А., Шполянский Ю.А. Метод анализа динамики распространения фемтосекундных импульсов с континуумным спектром в прозрачных оптических средах. // Оптический журнал. 2000. Т.67. № 4. С.5-11.

20. Белов Д. Л., Козлов С. А., Шполянский Ю.А., Динамика фемтосекундных импульсов с континуумным спектром в нелинейных волноводах. // Оптический журнал. 2002. Т.69. №7. Сс.46-53.

21. Y.A. Shpolyanskiy, D.L. Belov, M.A. Bakhtin and S.A. Kozlov. Analytic study of continuum spectrum pulse dynamics in optical waveguides. // Applied Physics B: Lasers and Optics. 2003. V.77. №.2-3. Р. 349-355.

22. Bespalov V.G., Kozlov S.A., Shpolyanskiy Yu.A., Walmsley I.A., Simplified field wave equations for the nonlinear propagation of extremely short light pulses. // Phys. Review A. 2002. V.66. Р. 013811(1-10).

23. Курасов А.В. Самоотражение световых импульсов предельно коротких длительностей в нелинейных оптических волноводах. / В кн.: Современные технологии. Под ред. С.А. Козлова. СПб: СПБГИТМО(ТУ), 2003. С. 204-211.

24. Ястребова Н.В. Особенности нелинейного отражения импульсов из малого числа колебаний светового поля от просветленной границы раздела сред / В кн.: Современные технологии. Под ред. С. А. Козлова. СПб: СПБГИТМО(ТУ), 2003. С..196-203.