CC BY
31
УДК 535.34
РАССЕЯНИЕ РЕНТГЕНОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ НА СЛОИСТЫХ НАНОСИСТЕМАХ С ШЕРОХОВАТЫМИ ИНТЕРФЕЙСАМИ
С. В. Ульянов1'2, В. П. Романов1, В.М. Уздин1'3
1 Санкт-Петербургский государственный университет, физический факультет,
Санкт-Петербург, Россия
2Санкт-Петербургский торгово-зкономический институт, Санкт-Петербург, Россия
3Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, Санкт-Петербург, Россия
[email protected], [email protected], [email protected]
Развита теория рассеяния рентгеновского излучения на слоистых структурах с шероховатыми интерфейсами. Рассмотрено как кинематическое (борновское), так и динамическое приближения (борновское с искаженными волнами ). Выполнены расчеты рентгеновских спектров зеркального рассеяния для сверхрешеток с разными периодами, амплитудами и корреляционными длинами шероховатостей интерфейсов. Результаты расчетов в разных приближениях сравниваются с экспериментом.
Ключевые слова: слоистые наноструктуры, сверхрешетки, шероховатость интерфейсов, рассеяние синхро-тронного и рентгеновского излучения.
1. Введение
При практическом использовании наносистем важной задачей является неразру-шающий контроль качества их внутренней структуры. Среди систем, имеющих многочисленные приложения в спинтронике, особое значение имеют слоистые структуры, в которых были открыты гигантское магнитносопротивление, туннельное магнитосопротив-ление, осциллирующее межслойное обменное взаимодействие и целый ряд других новых эффектов [1]. Важно отметить, что в этих системах электронные и магнитные свойства в значительной степени определяются микроскопической структурой интерфейса на различных пространственных масштабах. Рассеяние рентгеновского излучения под малыми углами является традиционным методом изучения интерфейсов многослойных наноструктур, позволяющим определять как геометрические параметры системы, так и статистические характеристики шероховатости интерфейсов.
Диэлектрическая проницаемость е и показатель преломления п на частотах, соответствующих рентгеновскому излучению, очень мало отличаются от единицы, причем их вещественные части меньше единицы:
где величины 8 и 3 порядка 10 6 — 10 5. На плоской границе вакуум-среда для луча, прошедшего в среду, нормальная компонента волнового вектора имеет вид
РАС8 61.05.cf, 61.05.cm, 73.21.Ac, 78.70.Ck
е « 1 — 28 + 2%3, п = 1 — 8 + %3.
(1.1)
кх = —кол/е — сое2 во = — коу вт2 во — 28 + 2%3.
Ф
(1.2)
Здесь ось z направлена в вакуум перпендикулярно границе, зависимость поля от времени предполагается гармонической ехр(—iwt). Через ко обозначено волновое число падающей волны в вакууме ко = ^, где Л - длина волны падающего излучения; во - угол скольжения падающего луча. При углах скольжения, меньших критического значения вс, которое определяется соотношением
sin вс =V25, (1.3)
происходит полное внешнее отражение. При углах значительно превышающих критическое значение вс, луч проходит в среду практически не преломляясь и сохраняя интенсивность из-за очень малых значений 6 и / . При углах скольжения, близких к вс, луч, прошедший в среду существенно отличается от падающего луча как по интенсивности, так и по характеру распространения.
При описании рассеяния рентгеновского излучения многослойными структурами с неидеальными интерфейсами традиционно применяют два основных подхода. В первом подходе, «кинематическом» используется борновское приближение, в рамках которого падающее поле во всех точках рассматривается как вакуумное, а вся многослойная пленка вместе с подложкой - как источник рассеяния. Во втором, «динамическом» подходе, используется борновское приближение с искаженными волнами. При этом падающее поле находится как точное решение задачи распространения волны в многослойной пленке с идеальными интерфейсами. Отклонения интерфейсов от идеальных рассматриваются как возмущения, на которых рассеивается падающее поле, а рассеянное поле ищется в борнов-ском приближении.
В спектрах зеркального рассеяния периодических многослойных систем наблюдаются брэгговские пики. Положение этих пиков приближенно может быть получено из уравнения
= \ QÍ + -г = 12- (1.4)
Здесь qz - перпендикулярная к плоским слоям составляющая вектора рассеяния, qc -критическое значение вектора рассеяния, qc = ^ sin вс, d - пространственный период слоистой структуры. В кинематическом приближении положение брэгговских пиков определяется формулой (1.4) при qc = 0. Это приводит к тому, что в этом приближении брэгговские пики оказываются смещенными в сторону меньших qz, то есть меньших углов скольжения по сравнению с их истинным положением.
Настоящая работа посвящена исследованию зеркального рассеяния рентгеновского излучения многослойными пленками с учетом диффузного вклада, вносимого шероховатостями интерфейсов. Особое внимание уделяется сопоставлению результатов расчетов, выполненных в рамках борнорвского приближения и борновского приближения с искаженными волнами.
2. Основные уравнения
Рассмотрим рассеяние волны, падающей из вакуума на многослойную пленку. В декартовой системе координат с осью z, направленной в вакуум по нормали к средним положениям слоев, будем считать, что пленка на подложке расположена в области z ^ 0. Уравнения z = zn, п =1, 2, ...N +1 описывают средние положения интерфейсов в пленке, содержащей N слоев на подложке. Из-за наличия шероховатостей истинные положения интерфейсов отклоняются от средних, и могут быть описаны уравнением
z = Zn + hn(p), (2.1)
где р = (х,у), < кп >= 0. Усреднение проводится по поверхности интерфейса.
Для монохроматической волны, в которой зависимость поля от времени определяется множителем е_шЬ, имеем
(А + к2е(г))Е(г) = —У((У 1пе(г)) • Е(г)), (2.2)
где А - оператор Лапласа. Рассмотрим рассеяние волны, поляризованной перпендикулярно плоскости рассеяния. В этом случае, учитывая, что 1пе(г) « —28 + 2%3 очень мало, а характерное расстояние, на котором в плоскостях интерфейсов меняется е(г), много больше длины волны рентгеновского излучения, можно пренебречь правой частью уравнения (2.2). Само уравнение (2.2) становится скалярным
(А + к2е(г))Е (г) = 0, (2.3)
Диэлектрическую проницаемость е(г) в многослойных системах удобно разбить на два слагаемых
е(г) = ё(г) + 8е(г), (2.4)
где е(г) - диэлектрическая проницаемость в идеальной слоистой структуре с плоскими интерфейсами
N
ё(г) = в(г) + ^ е,п[в(г — гп+1) — в(г — ¿п)] + е^Д^+1 — г), (2.5)
п=1
В этом выражении еп, п =1, 2...N + 1 - диэлектрические проницаемости N слоев и подложки. Отклонение е(г) от ё(г), возникающее из-за шероховатостей интерфейсов, дается выражением
N+1
8е(г) = ^ Аеп[9(х — гп) — в (г — гп — Мр))], (2.6)
п=1
где Аеп = еп — еп_ 1, в (г) - функция Хевисайда. Уравнение (2.3) перепишем в виде
[А + к2ё(г)]Е (г) = —к2 8е(г)Е (г), (2.7)
или в интегральной форме
Е(г) = ЕРг(г) — к2 У ^г'С(г, г')8е(г')Е(г'), (2.8)
где С(г, г') - функция Грина, удовлетворяющая уравнению
[А + к2 ё(г)]С(г, г') = 8(г — г') (2.9)
и условию излучения. Здесь 8(г) - 8-функция, ЕРг (г) - решение однородного уравнения
[А + ё(г)к2]Е^> (г) = 0. (2.10)
По смыслу Ерг (г) - решение задачи Френеля о нахождении поля в каждой точке пространства в случае многослойной пленки с плоскими интерфейсами.
При описании рассеяния рентгеновского излучения в борновском приближении с искаженными волнами для поля Ерг (г) также удобно написать интегральное уравнение
ЕРг (г) = Ео(г) + к2! ¿г'Со(г, г')[1 — ё(г')]Ерг (г'), (2.11)
где Ео(г) - поле, а Со(г, г') - функция Грина в вакууме
[А + к2]Со(г, г') = 8(г — г'). (2.12)
Интегральный член уравнения (2.11) может быть переписан с использованием функции Грина G(r, г') из уравнения (2.8). Действительно, уравнение распространения волны в вакууме
[Д + k2]Eo(r) = 0 (2.13) формально может быть переписано в виде
[Д + k2ê(r)]Eo(r) = k2[ê(r) - l]Eo(г). (2.14) В интегральной форме уравнение (2.14) примет вид
Eo(r) = EFr(r) + k2 J dr'G(r, r')[ê(r') - l]Eo(r'). (2.15)
Подставляя Eo(r) из (2.15) в (2.11), получаем [2]
У dr'Go(r, r')[l - ê(r')]EFr(r') = J dr'G(r, r')[l - ê(r')]Eo(r'). (2.16)
Подставляя (2.16) в (2.11) и в (2.8), имеем
E(r) = Eo(r) + k2 J dr'G(r, r')[l - ê(r')]Eo(r') - k2 J dr'G(r, r')5ê(r')E(r'). (2.17)
Интегральное уравнение (2.17) является точным. В борновском приближении с искаженными волнами в последнем слагаемом правой части уравнения (2.17) поле E(r) заменяется на EFr(r). Таким образом, рассеянное поле Esc(r) в этом приближении складывается из регулярного поля
Ereg(r) = k2 J dr'G(r, r')[l - ê(r')]Eo(r') (2.18)
и стохастического, зависящего от шероховатостей интерфейсов
Efl(r) = -k2 [ dr'G(r, r')5ê(r')EFr(r'). (2.19)
Дифференциальное сечение рассеяния имеет вид
dО = < \Ereg + Efi I2 > Г2
dQ = Eo2
(2.20)
где Е0 амплитуда падающего поля, г - расстояние до точки наблюдения. Выделяя в (2.20) чисто зеркальный и диффузный вклады в рассеяние, имеем [3]
do \Ereg + < Efi > \2 2 < \Efi\2 > -\ < Efi >
2
М- Е '+ Е§ г-. р.2»
В задачах рассеяния при г ^ И, где И - характерный размер пленки, для функции Грина можно использовать приближение дальней зоны, и она может быть записана в виде
[4]
С(г, г') = -£(г', -к,), (2.22)
где £рг(г', -к,) - решение задачи Френеля для плоской волны единичной амплитуды вида е-1шь-1каг, где к, = кЗ^ - волновой вектор рассеянной волны.
В экспериментах по рассеянию рентгеновского излучения измеряется интенсивность излучения, прошедшая через приемное отверстие детектора. которое в силу конечности
размеров приемной щели детектора регистрирует как чисто зеркальное, так и диффузное рассеяние. Для коэффициента отражения Я имеем
Я=лк I ¿°( %)• (223)
дп
Здесь Б - освещенная площадь пленки, ДП - телесный угол, под которым видна щель детектора из точки на поверхности пленки. Дифференциал ¿0 может быть представлен в виде [3]
¿" = (2.24)
к0 ьш азс
Здесь 9,с угол скольжения рассеянного луча, я - вектор рассеяния, q = к, — кг, где кг -волновой вектор падающей плоской волны в вакууме.
В приближении дальней зоны для регулярной и стохастической частей рассеянного поля из формул (2.18), (2.19), (2.22) имеем
гк^ П
Егед (г) = — к2 ¿г'£рг (г', —к,)[1 — £(г')}егк*г' (2.25)
гк^ п
Еп(г) = к2 ¿г'£Рг (г', —к, )6е(г')ЕРг (г') (2.26)
Для выполнения интегрирования в формулах (2.25), (2.26) необходимо знать поле ЕРг (г) и £рг(г', —к,) во всех точках пленки на подложке. Поле ЕРг(г) в случае падения на многослойную пленку плоской монохроматической волны с амплитудой Е0, может быть представлено в виде
N
ЕРг(р,г) = ^ Еп(р,г, кг)[9(г — хп+1) — 9 (г — гп)] + ЕN+1 (р, г, +1 — г), (2.27)
п=1
где
Еп(р, г, кг) = [Тпе~гк"-*+ Ппегк("-"п)] Ео (2.28)
Формула (2.28) представляет поле в каждом слое в виде суперпозиции двух волн с волновыми векторами (к^, ), где кп^х = к\/£п — сое2 9о. В формуле (2.28) ТпЕ0 и ЯпЕо -комплексные амплитуды поля на нижней стороне п - го интерфейса для волн, распространяющихся в направлении подложки и вакуума соответственно. Эти амплитуды могут быть найдены матричным методом [4,5]. Поле £Рг(г, —к,) дается выражением
N
£Рг (г, —к,) = ^ £п(р, г, — к,)[9(г — гп+1) — 9(г — гп)} + ^+1 (р, г, — к,)9^+1 — г), (2.29)
п=1
где
Еп(р, г, —к,) = е~г]^р \Тпе-гк»(Х-Хп) + Япек^(2.30)
Здесь к'пх = кл/£п — сое2 9,с, Тп и Яп - комплексные амплитуды полей под п - ым интерфейсом при единичной амплитуде поля с волновым вектором — к,с, падающего из вакуума на пленку.
Как регулярное, так и стохастическое рассеянные поля могут быть представлены в виде суммы по интерфейсам [6, 7]
гкг N +1 *
Егед (г) = к2 ^Ео ^ ¿р'е-г^р'оп, (2.31)
п=1
Рассеяние рентгеновского излучения на слоистых наносистемах где
(п (£п 1)
_Т (^ _ ^ ^п + 1 ) _ _К ^
пп
г
Пп,х
Ппг = кп,г ± к вШ I
(2.32)
'О,
В формуле (2.32) в амплитудах Тп и Кп угол взс = вО. Для стохастической части рассеянного поля
Акт
Ер1 (г) = к
4ъг
Ео ¿ / ¿Р'
п=1 ^
где
Т
п
Кп
е-г^ Абп п^п(р')
(Тп, Кп)
(2.33)
(2.34)
Рп(р)
=г
1 (е-гдп,1 К(р) _ 1 | . __!_ (е-гдп,1 К(р) _ 1
9п,1 V / ' V
—Ы Нп(р) _ 1) ; —Ы Нп(р) _ 1)
Здесь
П(1) = к' + к П(2) = к' —к (2 35)
Пп,Х кп,Х > кп,Х , Пп,Х кп,Х кп,Х ■
При получении формулы (2.33) для поля в окрестности каждого интерфейса использовалось аналитическое выражение для поля Ерг под интерфейсом.
В коэффициенте отражения (2.23) выделим чисто зеркальный и диффузный вклады
К,
к4
16^2 вт 9О
дп
К = К1 + К,, N+1 2
5>п+ < К >) ,
п=1
, N+1
¿П йре-г^Р ^ (< АпШ*т(в) > _ <Кп ><А*т >),
п,т=1
К1 = — П2
где
(2.36)
(2.37)
(2.38)
Ап(р) = А^п п^п(р) п, (2.39)
а верхний индекс «*» означает комплексное сопряжение. В формулах (2.37) и (2.38) использовалось предположение о пространственной однородности шероховатостей пленки, и поэтому
Ап(р) =< Ап > ■ (2.40)
В диффузной части коэффициента отражения К2 при выполнении статистического усреднения будем предполагать, что шероховатости интерфейсов кп(р) имеют гауссово распределение и поэтому статистическое усреднение переносится в показатель экспоненты. В результате получаем
К 2 = к4 „ [ ¿П £ А^А^ £ Н^Н^еТ1 № ^^ х (2.41)
16^2 вт вО
дп
п,т=1
3,1=1
Здесь ап - среднеквадратичная шероховатость п - го интерфейса, д^х = —дпх, д^х = —дпх,
И (1) = ТпТп ^ (2) = ТпКп
11п (1) > 11п (2) '
дп,х дп,х
тт(3) RпТп Тг(4)
^3) ' д(4) •
Если предположить, что шероховатости изотропны в плоскостях интерфейсов, то интегрирование по угловой переменной в / Ар может быть выполнено, что формально приведет в формуле (2.41) к замене
те
J ¿ре~^р ^ у АррЗо(д±р), (2.43)
о
где ■0(х) - функция Бесселя нулевого порядка.
Выражение (2.41) описывает диффузное рассеяние в борновского приближения с искаженными волнами. Если в формуле (2.41) положить Тп = Тп = 1, Ип = Ип = О, дп,х = дх, то получим диффузный вкалад в рассеяние в борновском приближении.
3. Анализ спектров зеркального рассеяния
В работах [8,9] был предложен метод выделения в спектрах зеркального рассеяния чисто зеркального Я1 и диффузного вклада Д2, обусловленного конечностью ширины щели детектора. Оба вклада анализировались в рамках первого борновского приближения. Было показано, что при малых углах рассеяния вклад диффузного рассеяния пренебрежимо мал, в то время как с ростом угла рассеяния его вклад возрастает, а в области брэгговских пиков высоких порядков становится определяющим. Для пленок с большими толщинами слоев определение параметров шероховатостей с использованием первого борновского приближения может приводить к большим погрешностям из-за того, что в этом приближении положение брэгговских пиков, как следует из формулы (1.4) искажено. В частности, при описании спектров зеркального рассеяния в таких пленках в кинематическом приближении получаются заниженные толщины слоев. Использование этих значений приводит к неверным значениям таких параметров шероховатостей как среднеквадратичная амплитуда и корреляционные длины. Использование борновского приближения с искаженными волнами позволяет применять способ анализа спектров зеркального рассеяния, предложенный в [8, 9] не только для тонких пленок с тонкими слоями, но и для пленок произвольной толщины.
Остановимся подробнее на диффузном вкладе. Из-за конечности ширины щели детектора рассеянное излучение собирается из телесного угла ДП, величина которого определяется геометрией щели. В частности, для прямоугольной щели шириной а и длиной
Ь
л ^ аЬ _
ДП = ^, (3.1)
где г — расстояние от рассеивающей пленки до детектора. Это приводит к тому, что в детектор попадают лучи, рассеянные с волновыми векторами q = (дх,ду,дх), где
дох — Ддх ^ дх ^ дох + Ддх, —Дду ^ ду ^ Дду■ (3.2)
Для зеркального рассеяния д0х = О. При углах рассеяния, при которых становится заметным диффузный вклад, изменением дх из-за конечности размеров щели детектора можно
пренебречь. Телесный угол ДП связан с Дqx и Aqy соотношением
= , (3.3)
к2 sin Bsc
Характерный интервал изменения q± можно оценить как
к _
Дq± - — V ДП sin Bsc (3.4)
В экспериментах по рассеянию рентгеновского излучения типичными являются следующие параметры: ДП — 10_6 стерад, Л — 0.15 нм, 9sc — 3o. В этом случае
Дq± - 0.5 • 10_2пт_1, (3.5)
В диффузном вкладе в рассеяние, даваемом выражением (2.41), область интегрирования по переменной р фактически ограничена радиусом корреляции шероховатостей в плоскости интерфейсов lxy. Для не слишком больших корреляционных длин, удовлетворяющих условию
Дq±lxy < 1, (3.6)
выражение (2.41), (2.43) может быть существенно упрощено, т.к. при этом можно положить
Jo(q±p) - Jo(0) = 1. (3.7)
Как следует из оценок (3.5),(3.6), это справедливо для корреляционных длин lxy, удовлетворяющих условию lxy << 200 нм.
Интегрирование по ДП в формулах (2.41), (2.43) при этом может быть заменено на умножение на величину телесного угла ДП. Корреляционную функцию шероховатостей будем учитывать в виде
, 2 _ (zn—zm) _ 2
< Мр)М0) >= опоте Ч е (3.8)
В этом случае
кЧ2 ДП N+1 4 Г 1 1
r2 = 16Лте0^> Д£пД£^Т,нпн<£*ехР {-2 Ш+ (q£:)2^]}х (3.9)
п,т=1 j,l=1
(Bn,m,j,l%))3
Е-
рр!
Р=1
где
//1 \ (гп Вп,т^1 = ^^апате (3.10)
Если условие (3.6) не выполнено, то в формуле (2.41) необходимо выполнить интегрирование по телесному углу ДП.
Мы провели сравнительный анализ рассчитанных спектров зеркального рассеяния рентгеновского излучения многослойными пленками. Расчеты были выполнены для трех типов сверхрешеток: для сверхрешеток с тонкими слоями и относительно гладкими интерфейсами, для сверхрешеток с тонкими слоями и шероховатыми интерфейсами и сверхрешеток с толстыми слоями. Для каждого типа структур расчеты проводились как в борновском приближении, так и в борновском приближении с искаженными волнами. Слои можно считать тонкими, если в подкоренном выражении в формуле (1.4) можно пренебречь первым
слагаемым при определении положения любого брэгговского пика. При этом пространственный период многослойной пленки й должен удовлетворять условию
й< ^ = 2Т2Г (311)
Взяв типичные значения параметров системы в экспериментах по рассеянию рентгеновского излучения: Л = 0.15 пт,5 = 10"5, получим условие й ^ 17 пт.
Для сверхрешеток с тонкими слоями и малыми шероховатостями спектры зеркального рассеяния, рассчитанные в кинематическом и динамическом приближениях дают при углах больше угла полного внешнего отражения практически совпадающие результаты. Это показано на рисунке 1, где для системы [Fe(2ML)/V(16МЬ)]30 приведены результаты эксперимента (зеленая кривая, 1), расчет в борновском приближении (красная кривая, 3) и в борновском приближении с искаженными волнами (синяя кривая, 2). Для наглядности кривые сдвинуты друг относительно друга по оси ординат. Нетрудно видеть, что для данного типа наноструктур результаты, полученные в двух использованных приближениях, практически идентичны.
Рис. 1. Спектры зеркального рассеяния рентгеновского излучения с длиной волны Л = 0.154 пт на сверхрешетке [Fe(2ML)/V(16ML)]30, нанесенной на подложку М£0(0,0,1). 1, красная кривая - экспериментальные данные [8]; 2, синяя кривая - результаты расчетов в борновском приближении с искаженными волнами; 3, зеленая кривая - результаты расчетов в борновском приближении. При расчетах использовались следующие значения параметров: среднеквадратичная шероховатость а = 0.23 пт, корреляционные длины Ь = 1ху = 25 пт. Кривые сдвинуты по вертикали для наглядности
На рисунке 2 приведены экспериментальные данные и результаты расчетов в обоих приближениях для многослойных пленок с тонкими слоями с периодом й = 4.35 пт и существенными шероховатостями интерфейсов. Прежде всего, видно, что результаты этих подходов различаются при малых углах, близких к углу полного внешнего отражения. Это
связано с тем, что пространственный период в данной многослойной системе в два раза больше , чем у рассмотренной выше. Если расчет в динамическом приближении практически описывает положение брегговских пиков в эксперименте, то в кинематическом приближении есть заметные отличия. В частности, положение первого брэгговского пика в борновском приближении несколько сдвинуто в область меньших углов. В области больших углов результаты обоих расчетов практически совпадают. Отметим, что на экспериментальном спекре отсутствуют промежуточные осцилляции после первого брэгговского пика, а сами брэгговские пики постепенно расширяются при увеличении угла скольжения. Этот эффект можно объяснить, если допустить, что толщины отдельных слоев многослойной пленки имеют некоторый разброс.
\ п I_I_I_I_I_I_I_I_I_
□ 123456709
¿е
Рис. 2. Спектры зеркального рассеяния рентгеновского излучения с длиной волны Л = 0.1127 пт на сверхрешетке \CoFeB(2.55 пт)/МдО(1.8 ит)]15, нанесенной на подложку 8г/8Ю2. 1, красная кривая - экспериментальные данные [9]; 2, синяя кривая - результаты расчетов в борновском приближении с искаженными волнами; 3, зеленая кривая - результаты расчетов в борновском приближении. При расчетах использовались следующие значения параметров: среднеквадратичная шероховатость интерфейсов а = 0.62 пт, подложки а8 = 0.5 пт корреляционные длины 1г = 12 пт, 1ху = 25 пт. Кривые сдвинуты по вертикали для наглядности
Особенно заметно расхождение результатов расчетов в кинематическом и динамическом приближениях в случае толстых многослойных пленок. Это проиллюстрировано на рисунках 3 и 4, где приведены результаты расчетов для двух модельных систем с сильно различающимися значениями корреляционных длин шероховатостей интерфейсов. Видно, что спектры зеркального рассеяния, рассчитанные в борновском приближении, имеют равноотстоящие брэгговские пики, тогда, как в приближении искаженных волн расстояние между пиками, в согласии с формулой, (1.4) меняется. Кроме того само положение брэг-говких пиков в борновском приближении особенно для пиков с малыми номерами сильно
сдвинуто в область малых углов относительно пиков, рассчитанных в приближении искаженных волн.
Рис. 3. Спектры зеркального рассеяния рентгеновского излучения с длиной волны Л = 0.154пт на сверхрешетке [СаАв(7пт)/А1Аз(15тт)]ю. 1, синяя кривая - результаты расчетов в борновском приближении с искаженными волнами; 2, зеленая кривая - результаты расчетов в борновском приближении. При расчетах использовались следующие значения параметров: среднеквадратичная шероховатость интерфейсов о = 1 пт, корреляционные длины = 1ху = 30 пт. Кривые сдвинуты по вертикали для наглядности
Что касается диффузного вклада в зеркальное рассеяние, то они в обоих подходах очень близки. Однако определение корреляционных длин шероховатости по ближней части спектра, где подавляющий вклад вносит чисто зеркальное рассеяние, не представляется возможным. Тем не менее менно по этой части спектра зеркального рассеяния в динамическом приближении можно определить межслоевое расстояние и амплитуду шероховатостей интерфейсов, необходимые для моделировании брэгговских пиков высокого порядка. Кинематическое приближение при малых углах скольжения приводит к заметным ошибкам в определении параметров.
4. Заключение
В настоящей работе выполнены расчеты спектров зеркального рассеяния рентгеновского излучения на слоистых наносистемах в кинематическом и динамическом приближениях. Установлены условия, при которых оба приближения дают практически совпадающие результаты. Для толстых пленок, для систем с большими корреляционными длинами и амплитудами шероховатостей интерфейсов и для малых углов скольжения, близких к углу полного внешнего отражения, кинематического подхода недостаточно для адекватного описания эксперимента. Конечная ширина щели детектора приводит к тому, что спектры зеркального рассеяния от систем с шероховатыми интерфейсами содержит диффузные вклады.
о
2 3 4 5 6 7В
26 ((1с5;1
■]g"1D _I_I_I_I_I_I_I_
□ 12345Б7Э
Рис. 4. Спектры зеркального рассеяния рентгеновского излучения с длиной волны Л = 0.154пт на сверхрешетке [GaAs(7nm)/AlAs(15nm)]io. 1, синяя кривая - результаты расчетов в борновском приближении с искаженными волнами; 2, красная кривая - диффузный вклад, вычисленный в борновском приближении с искаженными волнами; 3, зеленая кривая - результаты расчетов в борновском приближении; 4, коричневая кривая - диффузный вклад, вычисленный в борновском приближении. При расчетах использовались следующие значения параметров: среднеквадратичная шероховатость интерфейсов а =1 пт, корреляционные длины lz = lxy = 120 пт. Кривые сдвинуты по вертикали для наглядности
Это проявляется в уширении брэгговских пиков высоких порядков и в замедлении спада интенсивности с ростом угла рассеяния. В экспериментах с варьируемой шириной щели это позволяет получить информацию о корреляционных длинах шероховатостей интерфейсов непосредственно из спектров зеркального рассеяния [8,9]. При этом обработку спектров можно проводить как в кинематическом, так и в динамическом приближениях. При малых углах рассеяния, когда спектры, рассчитанные в кинематическом и динамическом подходах заметно различаются, относительный вклад диффузного рассеяния в зеркальные спектры мал. Здесь преимущество динамического подхода проявляется в более точном определении параметров сверхрешетки при обработке экспериментальных спектров.
Работа выполнена при поддержке грантами СПбГУ № 11.38.45.2011, РФФИ № 12-02-01016-а и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы» (контракты P 689, NK-526P, 14.740.11.0879, 16.740.11.0030).
Литература
[1] Грюнберг П.А. // УФН. — 2008. — V. 178. — P. 1349.
[2] Rodberg L.S., Thaler R.M. Introduction to the quantum theory of scattering, 2nd ed.—New-York and London: Academic Press, 1967.—400 p.
[3] Sinha S.K., Sirota E.B.,Garoff S., Stanley H.B. // Phys. Rev. B. — 1988. — V.38. —P.2297.
[4] Renaud G., Lazzari R., Leroy F. // Serf. Sci. Rep. B. — 2009. — V.64. — P.255.
[5] Борн М., Вольф Э. Основы оптики. — 2-е изд., М.: Наука, 1973. — 720 с.
[6] Holy V., Baumbach T. // Rev. B. — 1994. —V. 49. — 10668.
[7] Pietsch U., Holy V., Baumbach T. High-resolution X-ray scattering: From thin films to lateral nanostructures, 2nd ed. — New-York: Springer-Verlag, 2004. —409 p.
[8] Romanov V. P., Ulyanov S. V., Uzdin V. M., Nowak G., Vadala M., Zabel H.// J. Phys. D: Appl. Phys. — 2008. —V.41.—P. 115401.
[9] Romanov V. P., Ulyanov S. V., Uzdin V. M., Nowak G., Shokuie K., Zabel H. // Phys. Rev. B. —2010.— V.82. — P. 165416.
X-RAY SCATTERING FROM LAYERED NANOSYSTEMS WITH ROUGH INTERFACES
S.V. Ulyanov, VP. Romanov, V.M. Uzdin
The theory of X-ray scattering from the multilayers with rough interfaces is developed. Both kinematic (Born) and dynamic (the distorted wave Born) approaches are considered. Modeling of x-ray specular scattering for the superlattices with different periods as well as amplitudes and correlation lengths of interface roughness are performed.The results of calculations in different approximations are compared with experiment. Keywords: layered nanosystems, superlattices, interface roughness, x-ray and synchrotron radiation scattering
S. V. Ulyanov - Saint Petersburg State University, Department of Physics, Saint Petersburg, Russia; St. Petersburg Institute Commerce and Economics, Saint Petersburg, Russia, Professor, D.Sc., [email protected]
V. P. Romanov - Saint Petersburg State University, Department of Physics, Saint Petersburg, Russia, Professor, D.Sc., [email protected]
V.M. Uzdin - Saint Petersburg State University, Department of Physics, Saint Petersburg, Russia, Saint Petersburg National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics, Saint Petersburg, Russia, Professor, D.Sc., [email protected]
