CC BY
6
сходятся к функции распределения и моментам стандартного нормального распределения.
Доказательства теорем 1 и 2 основаны на модификации метода Янсона [12], предложенной в работе В. Г. Михайлова [13].
ЛИТЕРАТУРА
1. Guibas L. J. and OdlyzkoA.M. Long repetitive patterns in random sequences // Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb. 1980. No. 1. P. 241-262.
2. Зубков А. М., Михайлов В. Г. Предельные распределения случайных величин, связанных с длинными повторениями в последовательности независимых испытаний // Теория ве-роятн. и ее примен. 1974. Т. 19. №1. С. 173-181.
3. Михайлов В. Г. Оценка точности сложной пуассоновской аппроксимации для распределения числа совпадающих цепочек // Теория вероятн. и ее примен. 2001. Т. 46. №4. С. 713-723.
4. Kruglov V. and Zubkov A. Number of pairs of template matchings in q-ary tree with randomly marked vertices // LNCS. 2017. V. 10684. P. 336-346.
5. Hoffmann C. M. and O'Donnell M. J. Pattern matching in trees // J. ACM. 1982. V. 29. No. 1. P. 68-95.
6. Steyaert J.-M. and Flajolet P. Patterns and pattern-matching in trees: an analysis // Inf. & Control. 1983. V. 58. No. 1. P. 19-58.
7. Singh G., Smolka S. A., and Ramakrishnan I. V. Distributed algorithms for tree pattern matching // LNCS. 1988. V.312. P. 92-107.
8. Tahraoui M. A., Pinel-Sauvagnat K., Laitang C., et al. A survey on tree matching and XML retrieval // Computer Science Rev. 2013. No. 8. P. 1-23.
9. Зубков А. М., Круглов В. И. Повторения цепочек на бинарном дереве со случайными метками вершин // Дискретная математика. 2015. Т. 27. №4. С. 38-48.
10. Kruglov V. I. On coincidences of tuples in a q-ary tree with random labels of vertices // Discr. Math. Appl. 2018. V.28. No. 5. P. 293-307.
11. Михайлов В. Г., Круглов В. И. Об асимптотической нормальности в задаче о повторениях цепочек в помеченном полном дереве // Матем. вопр. криптогр. 2021. Т. 12. №4. С. 59-64.
12. Janson S. Normal convergence by higher semiinvariants with applications to sums of dependent random variables and random graphs // Ann. Probab. 1988. V. 16. No. 1. P. 306-312.
13. Михайлов В. Г. Об одной теореме Янсона // Теория вероятн. и ее примен. 1991. Т. 36. №1. С. 168-170.
УДК 519.214 Б01 10.17223/2226308Х/15/3
О ТОЧНОСТИ НОРМАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧИСЛА КРАТНЫХ ПОВТОРЕНИЙ ЗНАКОВ В СТАЦИОНАРНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
В. Г. Михайлов, Н. М. Меженная
Изучается задача об асимптотической нормальности числа г-кратных повторений знаков в отрезке длины п стационарной в узком смысле случайной последовательности со значениями в конечном множестве, удовлетворяющей условию равномерно сильного перемешивания. Показано, что если существует такое число а > 0, что коэффициент равномерно сильного перемешивания убывает
12
Прикладная дискретная математика. Приложение
как t-6-a, то расстояние в равномерной метрике между функцией распределения стандартизованного числа повторений и функцией распределения стандартного нормального закона с увеличением длины отрезка последовательности n убывает со скоростью O(n-S) для любого S £ (0, а(32 + 4а)-1).
Ключевые слова: кратные повторения, зависимые случайные величины, равномерно сильное перемешивание, нормальная аппроксимация, оценка скорости сходимости.
С развитием вычислительной техники всё большую роль играет метод статистического моделирования изучаемых природных явлений и теоретических построений. Этот метод предполагает генерацию последовательностей случайных или псевдослучайных чисел, что делает необходимой проверку соответствия их свойств требованиям модели. Особенно важно это для криптографических применений. Для такой проверки в криптографической литературе разработаны наборы статистических тестов [1, 2]. Обоснование этих тестов использует свойства последовательностей независимых случайных величин.
Теоретические исследования дискретных случайных последовательностей вышли за пределы этих чисто утилитарных потребностей. В частности, сформировалось отдельное научное направление, изучающее предельное поведение распределения числа повторений, в том числе кратных, в независимых и конечно зависимых последовательностях случайных величин. Наиболее успешными оказались исследования условий сходимости распределений чисел повторений к распределению Пуассона [3, 4]. В качестве примера построения достаточных условий асимптотической нормальности числа повторений следует привести работу А. М. Шойтова [5].
В последние годы активно велись исследования повторяемости знаков в дискретных цепях Маркова. Например, в работах [6-8] исследована возможность аппроксимации распределения чисел повторений цепочек в цепи Маркова распределением Пуассона. Аналогичная задача о доказательстве центральной предельной теоремы для таких случайных величин решена в [9]. В частности, в [9, теорема 3] установлена оценка скорости сходимости к нормальному закону для числа кратных совпадений знаков в конечной стационарной цепи Маркова. В настоящей работе показано, что вместо цепей Маркова можно рассматривать более широкий класс — стационарные случайные последовательности, удовлетворяющие условию равномерно сильного перемешивания.
Пусть X1,... , Xn — отрезок стационарной (в узком смысле) случайной последовательности со значениями из множества {1,... , N}, стационарным распределением P[X1 = k] = pk, k = 1,..., N, p1 + ... + pN = 1, удовлетворяющей условию равномерно сильного перемешивания.
Напомним, что процесс {Xt}^, называется стационарным (в узком смысле), если распределения случайных векторов вида (Xtl+h,..., Xts+h) при всех натуральных s не зависят от h. Стационарная последовательность {Xt}^ обладает свойством равномерно сильного перемешивания, если
<p(t)= sup |P[B|A] - P[B]| i 0, t ^ж,
где F — а-алгебра событий, порождённая величинами Xa,... , X&. Величину <^(t) называют коэффициентом равномерно сильного перемешивания.
Рассмотрим случайную величину
е- = е i {Xji =... = Xjr} (i)
1^jl<...<jr ^n
— число r-кратных повторений знаков в отрезке X1,... , Xn.
Для исследования распределения случайной величины (1) определим случайные величины
п
Ск = Е = к}, к = 1,...,Ы,
г=\
— числа одинаковых знаков в Х\,... , Хп, и пусть Пк = Ск — прк. Обозначим
1 N
ип = (Г—^ £ рГЧ ■
р 1 N / г-1
" 1 N Ц(прк — з)).
r ur-l^DUn nr-1r^v/DÜñfc=i у=о
Теорема 1. Пусть X1,... , Xn — отрезок стационарной (в узком смысле) случайной последовательности со значениями из множества {1,... , N}, стационарным распределением P[X1 = k] = pk > 0, k = 1,..., N, p1 + ... + pN = 1 (причём среди вероятностей p1,... ,Pn есть различные), удовлетворяющей условию равномерно сильного перемешивания с коэффициентом таким, что при некотором a > 0 выполнено условие
a
Тогда для любого 0 < 8 < —,-т
4(8 + a)
sup |P[£ ^ x] - Ф(х)| = O (u-s) , u ^ro. ЛИТЕРАТУРА
1. Иванов М. А., Чугунков И. В. Теория, применение и оценка качества генераторов псевдослучайных последовательностей. М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2003. 240 с.
2. Rukhin A., Soto J., Nechvatal J., et al. A Statistical Test Suite for Random and Pseudorandom Number Generators for Cryptographic Applications. NIST, Apr. 2010. https://nvlpubs. nist.gov/nistpubs/Legacy/SP/nistspecialpublication800-22r1a.pdf.
3. Михайлов В. Г. Предельная теорема пуассоновского типа для числа пар почти полностью совпавших цепочек // Теория вероятностей и ее применения. 2008. Т. 53. Вып. 1. С. 59-71.
4. Михайлов В. Г., Шойтов А. М. О числах множеств эквивалентных цепочек в последовательности независимых случайных величин // Математические вопросы криптографии. 2013. Т. 4. Вып. 1. С. 77-86.
5. Шойтов А. М. Нормальное приближение в задаче об эквивалентных цепочках // Труды по дискретной математике. 2007. Т. 10. C. 326-349.
6. Михайлов В. Г. Оценки точности пуассоновской аппроксимации для распределения числа серии повторений длинных цепочек в цепи Маркова // Дискретная математика. 2015. Т. 27. Вып. 4. С. 67-78.
7. Михайлов В. Г., Шойтов А. М. О длинных повторениях цепочек в цепи Маркова // Дискретная математика. 2014. Т. 26. Вып.3. С. 79-89.
8. Михайлов В. Г., Шойтов А. М. Многократные повторения длинных цепочек в цепи Маркова // Математические вопросы криптографии. 2015. Т. 6. Вып.3. С. 117-134.
9. Михайлов В. Г., Меженная Н. М., Волгин А. В. Об условиях асимптотической нормальности числа повторений в стационарной случайной последовательности // Дискретная математика. 2021. Т. 33. Вып.3. С. 64-78.
