CC BY
12
ЛИТЕРАТУРА
1. Novoselov S. A. and Boltnev Y. F. Characteristic polynomials of the curve y2 = x2g+1 + ax9+1 + + bx over finite fields // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2019. №12. С.44-46.
2. Cohen H. and Frey G. Handbook of Elliptic and Hyperelliptic Curve Cryptography. Chapman and Hall/CRC, 2006.
3. Blake I. F., Seroussi G., and Smart N. P. Elliptic Curves in Cryptography. Cambridge University Press, 1999.
4. Menezes A. Elliptic curve public key cryptosystem. Kluwer Academic Publ., 1993.
5. Tafazolian S. A family of maximal hyperelliptic curves //J. Pure Appl. Algebra. 2012. V. 216. No. 7. P. 1528-1532.
6. Novoselov S. A. Hyperelliptic curves, Cartier — Manin matrices and Legendre polynomials // Прикладная дискретная математика. 2017. №37. С. 20-31.
7. Von zur Gathen J. and Gerhard J. Modern Computer Algebra. Cambridge University Press, 2013.
8. Kodama T., Top J., and Washio T. Maximal hyperelliptic curves of genus three // Finite Fields Their Appl. 2009. V. 15. No.3. P. 392-403.
УДК 519.214 Б01 10.17223/2226308Х/14/2
ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ и-СТАТИСТИК ОТ ЦЕПОЧЕК МЕТОК ВЕРШИН НА ПОЛНОМ ГРАФЕ
Н. М. Меженная, В. Г. Михайлов
В полном графе с вершинами 1, 2,... ,п вершины 2, 3,... ,п снабжены независимыми случайными метками, принимающими значения из конечного множества Лм. Рассматривается совокупность всех цепей по в смежных рёбер, каждая из которых выходит из вершины 1 и не проходит через одну и ту же вершину дважды. Каждой цепи соответствует в-цепочка из случайных меток пройденных вершин. Рассматривается и-статистика ик (в) с ядром, зависящим от к таких в-цепочек. Число к ^ 2 считается фиксированным, а в ^ 1 может меняться. Установлено, что достаточным условием асимптотической нормальности и к (в) (при обычной стандартизации) является условие вида Ви^(в) ^ Сп2(к5-1)+к, где С, к > 0.
Ключевые слова: и-статистика, центральная предельная теорема, полный граф, цепочка, случайные метки.
Исследование свойств выборочных характеристик и статистических критериев привело к необходимости изучения распределений функционалов от последовательностей случайных величин Х1,... , Хп вида
ип = ип(Х1,...,Хп )= Е / (Хл ,...,Хг), (1)
называемых и-статистиками [1]. Число г называется порядком и-статистики. Функционалы вида (1) широко используются для проверки свойств случайных последовательностей, качества датчиков псевдослучайных чисел, наличия или отсутствия зависимости между членами последовательности, наличия образцов или повторений специального вида и в задачах, связанных с защитой информации.
Основные результаты об асимптотическом поведении распределений и-статистик с непрерывными ядрами можно найти в [2]. Результаты для и-статистик от дискрет-
Теоретические основы прикладной дискретной математики
31
ных последовательностей, например для числа пар одинаковых знаков, пар одинаковых цепочек и пар эквивалентных цепочек, получены в [3] и [4] соответственно.
В работе [5] установлено, что для последовательности случайных величин, удовлетворяющей условию абсолютной регулярности [6] с коэффициентом в(¿) ^ где > 0 и ^ то (£ ^ то) (например, для цепи Маркова), достаточным условием асимптотической нормальности является условие на дисперсию Юип ^ Сп2(г-1)+к, где к > 0. Разумеется, это относится и к последовательности независимых случайных величин. Как известно [3], в последовательности независимых одинаково распределённых случайных величин на конечном алфавите при их неравновероятном распределении число к-кратных повторений з-цепочек имеет дисперсию порядка п2к-1 и сходится (при подходящей стандартизации) по распределению к нормальному распределению при п ^ то.
В настоящей работе приведён аналогичный результат для и-статистики от цепочек меток вершин на полном графе.
Введём несколько определений. Пусть КП — полный граф с п вершинами из множества V = {1,... , п} и СП рёбрами; а2,... , аП — независимые в совокупности случайные величины, принимающие значения из множества = {0,1,... , N — 1}, причём
N-1
Р[а = к] = Рк е (0; 1), к eЛN, ЕРк = 1.
к=0
Далее будем считать, что а^- —метка вершины с номером ], ] е V \ {1}.
Обозначим через {и>(з)} цепь (связный путь без повторения рёбер) из з ^ 1 рёбер в графе КП, начинающийся из вершины с номером 1, не имеющей метки, и не проходящий через одну и ту же вершину дважды. Обозначим через а({^(з)}) соответствующую цепи {^(з)} последовательность из з меток вершин, через которые проходит цепь (с учётом их порядка). Число таких путей равно числу способов выбрать оставшиеся з вершин из п — 1 вершин графа (кроме вершины с номером 1) с учётом порядка,
(П — 1)!
поэтому в КП всего Т = АП_ 1 = 7-тт цепей длины з с требуемыми свойствами.
(п — з — 1)!
Занумеруем их и будем писать {и^(з)}, и = 1,... , Т.
Пусть f — ограниченная по абсолютной величине константой ^ функция от к ^ 2 з-мерных векторных аргументов, симметричная относительно их перестановки. Рассмотрим и-статистику вида
ик (з)= Е f (а({^и1 (з)}),...,а({^ (з)})). (2)
Здесь аргументами функции f выступают последовательности из з меток вершин, образованных цепями рассматриваемого вида в КП.
Обозначим N(0; 1) стандартный нормальный закон распределения; ^^ — сходимость по распределению.
Теорема 1. Пусть число к ^ 2 фиксировано, з ^ 1. Если Юик(з) ^ Сп2(к5-1)+К, где С, к > 0, то
ик(з) — Шк(з) п
/тлтт , . - ^ Я^^ п ^то. л/^ик (з)
Теорема 1 сводит доказательство асимптотической нормальности для таких и-ста-тистик, как число повторений цепочек в последовательности дискретных случайных
величин, к проверке скорости роста их дисперсий. В ряде случаев это упрощает обоснование их использования в практических задачах (примеры см. в [7]).
Для доказательства теоремы 1 использовался топологический вариант метода моментов, предложенный в [8].
ЛИТЕРАТУРА
1. Hoeffding W. A class of statistics with asymptotically normal distribution // Ann. Math. Statist. 1948. Vol.19. No.3. P. 293-325.
2. Королюк В. С., Боровских Ю. В. Теория U-статистик. Киев: Наук. думка, 1989.
3. Михайлов В. Г. Центральная предельная теорема для числа неполных данных повторений // Теория вероятн. и ее примен. 1975. Т. 20. Вып. 4. С. 880-884.
4. Шойтов A.M. Нормальное приближение в задаче об эквивалентных цепочках // Тр. по дискр. матем. 2007. Т. 10. С. 326-349.
5. Mikhailov V. G. and Mezhennaya N. M. Normal approximation for U- and V-statistics of a stationary absolutely regular sequence // Sib. Elektron. Mat. Izv. 2020. V. 17. P. 672-682.
6. Doukhan P. Mixing: Properties and Examples. Lecture Notes in Statistics 85. N.Y.: Springer Verlag, 1994.
7. Rukhin A., Soto J., Nechvatal J., et al. A statistical test suite for random and pseudorandom number generators for cryptographic applications. NIST Special Publication 800-22r1a. Natl. Inst. Stand. Technol. Spec. Publ., 2010.
8. Janson S. Normal convergence by higher semiinvariants with applications to sums of dependent random variables and random graphs // Ann. Probab. 1988. V. 16. No. 1. P. 293-325.
УДК 519.1 Б01 10.17223/2226308Х/14/3
О НАИБОЛЬШЕМ ПОРЯДКЕ ПОДСТАНОВОК ЗАДАННОЙ СТЕПЕНИ
В. М. Фомичёв
Необходимым требованием к системе шифрования является достаточно большой порядок группы, которая ассоциируется с шифром (то есть порождается подстановками шифра). В связи с этим представляет интерес величина ^(п), оценивающая порядки циклических групп подстановок степени п, в том числе циклических групп, порождённых шифрующими подстановками. Известно, что порядок подстановки равен наименьшему общему кратному длин её циклов. Однако мало изучена функция ^(п), принимающая значения, равные наибольшему порядку подстановки степени п. Показана монотонность функции ц(п), получена двухсторонняя оценка её значений: Лцп) ^ ц,(п) ^ [д/2(п — 1) ]!, где Пш(-п) _ произведение всех первых (в порядке возрастания) простых чисел, сумма которых не больше п. Получена асимптотическая оценка нижней границы при больших п:
^(п) > 224к!(1,665)к(1п к)(к-15)/2 при любом п ^ 1000 и п п .
Ключевые слова: порядок подстановки, цикловая структура подстановки, простое число.
Каждая подстановка есть произведение независимых циклов. Если длины циклов подстановки д равны 11,... , 1т, то её порядок равен
ога д = НОК(/ь...,/т).
