CC BY
7
УДК 519.214 DOI 10.17223/2226308X/12/4
О ЧИСЛЕ f-РЕКУРРЕНТНЫХ СЕРИЙ И ЦЕПОЧЕК В КОНЕЧНОЙ ЦЕПИ МАРКОВА
Н. М. Меженная
Будем называть /-рекуррентной цепочкой отрезок дискретной последовательности, знаки которого получаются последовательным применением функции / к l предыдущим знакам, а цепочку, которую нельзя продлить ни в одну сторону с сохранением свойства /-рекуррентности, — /-рекуррентной серией. При помощи метода Чена — Стейна получена оценка расстояния по вариации между распределением числа £ /-рекуррентных серий длины не меньше s в отрезке длины n конечной эргодической стационарной цепи Маркова и сопровождающим законом распределения Пуассона, т. е. распределением Пуассона с параметром As = E£, порядка ü(sAs/n + eus\/AS) при некотором u > 0. Из этой оценки стандартными методами выведены пуассоновская и нормальная предельные теоремы для случайной величины £ (при стремлении длины n отрезка цепи Маркова и параметра s к бесконечности). Также полученная оценка позволяет показать, что вероятность наличия /-рекуррентных цепочек длины не меньше s стремится к 1 — ел, если n, s ^ ж так, что s/n ^ 0, As/n ^ 0 и As ^ A. Свойства распределений частот /-рекуррентных серий или цепочек с определёнными свойствами могут быть использованы при разработке статистических критериев для проверки качества псевдослучайных последовательностей.
Ключевые слова: цепь Маркова, /-рекуррентная серия, /-рекуррентная цепочка, предельная теорема Пуассона, нормальная предельная теорема, метод Чена — Стейна.
Пусть {Xj,j = 1 , ...,n} — эргодическая стационарная цепь Маркова с множеством состояний An = {1,...,N}, N ^ 2, матрицей переходных вероятностей P = = ||Ра,ь\\a,beAN и распределением вероятностей {na,a Е AN}. Элементы матрицы Pn
обозначим pni, $ = Pa,b.
Известно [1, ч. 2, § 2, с. 100], что существуют константы С, Y > 0, при которых
\Pn) — пь| ^ Спьe-Yn, n ^ 1. (1)
Пусть f : AN ^ AN —числовая функция, s ^ 2. Приведём определение f-рекуррентной цепочки и серии [2].
Определение 1. Случайные величины Xj+i,... , Xj+1+s образуют f -рекуррентную цепочку длины не меньше s, если
Xj+i+i = f (Xj,... , Xj+l-l), ... , Xj+i+s = f ... , Xj+1+s-l). (2)
Определение 2. Случайные величины Xj,... ,Xj+l+s образуют f -рекуррентную серию длины не меньше s, если
Xj+i = f (Xj,..., Xj+i-i), (3)
Xj+l+1 = f (Xj+b . . . , хj+l), . . . , Xj+l+s = f (Xj+s, . . . , Xj+l+s-1).
Обозначим Aj и Bj индикаторы событий (2) и (3) соответственно.
Определение f-рекуррентной серии обобщает известное определение серии из одинаковых знаков [3, с. 62]. Действительно, если l = 1, функция f = a, a Е An, то
Bj = {Xj+1 = a, Xj+2 = a,..., Xj+s+1 = a}
и f -рекуррентная серия длины не меньше в совпадает с обычной серий знаков а длины не меньше в.
Точные распределения чисел серий в двоичных марковских цепях изучены в [4, 5], а их предельные распределения в цепях Маркова с любым числом состояний получены в [6]. Распределение длины наибольшей серии одинаковых знаков рассмотрено в [7-9] для последовательности независимых случайных величин, в [10-12] —для цепи Маркова.
Распределение числа ^рекуррентных серий в последовательности независимых случайных величин изучено в [2, 13]. В [14] получены аналогичные результаты для f-рекуррентных серий с возможными пропусками знаков.
Большинство современных криптографических систем предполагает использование псевдослучайных последовательностей, обладающих свойствами, близкими к свойствам случайных равновероятных последовательностей. Для оценки их качества используются различные статистические критерии, в том числе основанные на статистиках от частот значений функций от в-цепочек: тест частот встречаемости в-грамм, покер-тест, тест линейной сложности, тест ранга случайной матрицы, тест интервалов и др. [15]. Для построения таких критериев могут быть использованы и частоты появлений f-рекуррентных цепочек и серий при подходящем выборе функции f.
Будем считать, что задана функция f от I ^ 1 переменных. Пусть Г = {1,..., п — в — /}; {aj = 1а2 : 3 € Г} и {вj = 1в2 : 3 € Г} —наборы случайных индикаторов, соответствующих событиям {Aj : 3 € Г} и {Bj : 3 € Г}; Qs = Р{В-} — вероятность любого события из набора {Bj : 3 € Г}.
п—s
Определим случайную величину £ = Е вj, равную числу f-рекуррентных серий
j=1
в {Xj,3 = 1,..., п}, и её математическое ожидание А., = Е£ = (п — в — а так-
п—s
же случайную величину £ * = Е aj, равную числу f -рекуррентных цепочек в {Xj,
j=1
3 = 1,...,п}.
Будем использовать следующие обозначения: ¿(£) —для закона распределения случайной величины £; Ро1в(А) —для распределения Пуассона с параметром А; N(0,1) — для стандартного нормального распределения; р (¿(£), ¿(п)) —для расстояния по вариации между ¿(£) и ¿(п). Для неотрицательных целочисленных случайных величин п1 и оно задаётся формулой
1 те
р(¿Ы,¿Ы) = 1 Е |Р{т = и} — Р{П2 = и}|.
2 и=0
Теорема 1. Пусть в, /, т ^ 1 и А. ^ 1. Тогда
р(¿(£),Ро18(А.)) ^ ^2(в + I + 2т) + 1 + ^^ц) Qs+ +Се—7(т+1)УА. (2 + Се-7(т+1) + е-^^^) , где константы С и 7 определены в (1).
Следствие 1. Пусть число I ^ 1 фиксировано, в,п ^ то, так что
в
--> 0, Qs ^ 0, Аs ^ А € (0, то).
п
Тогда
1) L(£) ^ Pois(A);
2) P{£* ^ 1} ^ 1 - е-л.
Следствие 2. Пусть число l ^ 1 фиксировано, s,n ^ то, так что
s
As ^ то, —As ^ 0, n
и существует константа u > 0, для которой As = o(eus). Тогда
L (^) (0-1).
Замечание 1. Для доказательства теоремы 1 использованы метод Чена — Стей-на (см. теорему 1.A из [16, с. 9]) и схема рассуждений, предложенная в [17, 18].
ЛИТЕРАТУРА
1. Розанов Ю. А. Случайные процессы. Краткий курс. М.: Наука, 1979. 184 с.
2. Михайлов В. Г. Об асимптотических свойствах числа серий событий // Тр. по дискр. ма-тем. 2006. Т. 9. С. 152-163.
3. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х т. Т. 1. М.: Мир, 1984. 528 с.
4. Савельев Л. Я., Балакин С. В., Хромов Б. В. Накрывающие серии в двоичных марковских последовательностях // Дискрет. матем. 2003. T. 15. №1. С. 50-76.
5. Савельев Л. Я., Балакин С. В. Некоторые применения стохастической теории серий // Сиб. журн. индустр. матем. 2012. Т. 15. №3. С. 111-123.
6. Тихомирова М. И. Предельные распределения числа непоявившихся цепочек одинаковых исходов // Дискрет. матем. 2008. Т. 20. №3. С. 293-300.
7. Erdos P. and Revesz P. On the length of the longest head-run // Topics in Inform. Theory. Colloquia Math. Soc. J. Bolyai 16 Keszthely. 1975. P. 219-228.
8. Fu J. C. Distribution theorem of runs and patterns associated with a sequence of multi-state trials // Statist. Sinica. 1996. V.6. P. 957-974.
9. Lou W. Y. W. On runs and longest runs tests: a method of finite Markov chain imbedding // J. Amer. Statist. Assoc. 1996. V.91. P. 1595-1601.
10. Vaggelatou E. On the length of the longest run in a multi-state Markov chain // Statist. Probab. Let. 2003. V.62. P. 211-221.
11. Chryssaphinou O., Papastavridis S., and Vaggelatou E. Poisson approximation for the number of non-overlapping appearances of several words in Markov chain // Combinatorics Probab. 2001. V. 10. P. 293-308.
12. Zhang Y. Z. and Wu X. Y. Some results associated with the longest run in a strongly ergodic Markov chain // Acta Mathematica Sinica. 2013. V.29. No. 10. P. 1939-1948.
13. Михайлов В. Г. О предельной теореме Б. А. Севастьянова для сумм зависимых случайных индикаторов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2003. Т. 10. №3. С.571-578.
14. Меженная Н. М. Предельные теоремы для числа плотных F-рекуррентных серий и цепочек в последовательности независимых случайных величин // Вестник Московского государственного технического университета им. Н. Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2014. №3. С. 11-25.
15. ШойтовА.М. Вероятностные модели псевдослучайных последовательностей в криптографии // Материалы Второй Междунар. науч. конф. по проблемам безопасности и противодействия терроризму. МГУ им. М.В. Ломоносова. М.: МЦНМО, 2006. С. 116-134.
16. Barbour A. D, Holst L., and JansonS. Poisson Approximation. Oxford: Oxford Univ. Press, 1992. 277 p.
17. Михайлов В. Г., Шойтов А. М. О длинных повторениях цепочек в цепи Маркова // Дискрет. матем. 2014. Т. 26. №3. С. 79-89.
18. Minakov A. A. Poisson approximation for the number of non-decreasing runs in Markov chains // Матем. вопр. криптогр. 2018. Т. 9. №2. С. 103-116.
УДК 512.772 DOI 10.17223/2226308X/12/5
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ НЕКОТОРЫХ ГИПЕРЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРИВЫХ РОДОВ 2,3 И p-РАНГА 11
Е. М. Мельничук, С. А. Новоселов
Исследуются характеристические многочлены некоторых классов гиперэллиптических кривых рода 2, 3 р-ранга 1 над конечным полем. р-Ранг является важным инвариантом кривой, который накладывает ограничения на характеристический многочлен кривой и, следовательно, на число точек в её якобиане. Получены сравнения (по модулю характеристики) и ограничения на коэффициенты для характеристических многочленов кривых р-ранга 1 с автоморфизмами.
Ключевые слова: гиперэллиптические кривые, р-ранг, характеристические многочлены, группа автоморфизмов.
Введение
Гиперэллиптическая кривая C рода g над конечным полем Fq задаётся уравнением
y2 + ВДу = / (ж),
где h(x),/(ж) G Fq[ж] и degh(x) ^ g + 1, deg/(ж) = 2g + 1 или deg/(ж) = 2g + 2 и многочлен / (ж) является унитарным.
В настоящее время гиперэллиптические кривые изучаются как альтернатива эллиптическим кривым. Гиперэллиптические кривые требуют меньший размер ключа при сравнимом уровне безопасности. Одними из перспективных направлений в криптографии на (гипер)эллиптических кривых являются классическая криптография на дискретном логарифме, криптография на билинейных спариваниях, постквантовая криптография на изогениях.
Для криптографии на дискретном логарифме необходимы кривые рода 2 и 3 с большим простым числом точек в якобиане. Для кривых больших родов имеются атаки методом исчисления индексов. Для криптографии на билинейных спариваниях, помимо требований для стойкости дискретного логарифма, необходимы кривые с малой степенью вложения. Ярким примером применения криптосистем на билинейных спариваниях является механизм Zk-Snark, применяемый в криптовалюте Zcash. В основе Zk-Snark лежит редуцированное эйт-спаривание. Криптография на изогениях гиперэллиптических кривых в настоящее время только начинает развиваться. Основной проблемой является отсутствие эффективных формул для вычисления изогений.
Множество точек гиперэллиптических кривых рода 2 и 3 не образует группу, в отличие от эллиптических кривых, поэтому для использования таких кривых в криптографии строится ассоциированная с кривой группа — якобиан кривой.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ, проект № 18-31-00244.
