CC BY
88
УДК 681.3
В. А. Ходаковский, В. Г. Дегтярев
О ТЕОРЕМЕ ОТСЧЕТОВ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИИ ДЛЯ СИНТЕЗА И АНАЛИЗА СИГНАЛОВ С ОГРАНИЧЕННЫМ СПЕКТРОМ
Дата поступления: 06.03.2017 Решение о публикации: 03.07.2017
Аннотация
Цель: Рассматриваются вопросы правильного понимания теоремы отсчетов, которая была абсолютно математически строго доказана акад. А. Н. Котельниковым в 1933 г., но до настоящего времени существуют убеждения, что для точного восстановления сигнала со спектром, не содержащим частот вышеf, недостаточно равномерных отсчетов, выполненных с интервалом 1/(2/в), что противоречит теореме отсчетов. Методы: Используется метод математического моделирования процессов обработки сигналов в математическом пакете MathCad. Описываются следствия из теоремы отсчетов, предлагается и исследуется в среде MathCad математическая модель сигнала с ограниченным спектром, приводятся характеристики сигналов, в том числе по скорости передачи информации. Показываются возможные ошибки при восстановлении сигнала после дискретизации и раскрываются причины, их вызывающие. Результаты: Выявлено, что для точного восстановления неизвестной функции по ее равномерным отсчетам необходимо знать момент первого информационного отсчета. Установлена возможность достижения предельно возможной удельной скорости передачи информации по узкополосному каналу связи. Практическая значимость: На основе полученных зависимостей разработаны способы синтеза и анализа узкополосных процессов, а также определения полного количества информации, содержащейся в таких процессах.
Ключевые слова: Аналитическая функция, дискретизация, квантование, квадратура, сигнал с ограниченным спектром, теорема отсчетов, фильтр низких частот.
*Valentyn A. Khodakovskiy, D. Eng. Sci., professor, head of a chair, hva1104@mail.ru; Valen-tyn G. Degtyarev, D. Eng. Sci., professor (Emperor Alexander I St. Petersburg State Transport University) ON SAMPLING THEOREM AND ITS APPLICATION FOR THE PUPOSES OF SYNTHESIS AND ANALYSIS OF BAND-LIMITED SIGNALS
Summary
Objective: The issues of an insight into the sampling theorem were considered, which was rigorously proven by academician A. N. Kotelnykov in 1933, but until present there have been opinions stating that proportional sampling, conducted with 1/(2/) interval, is not enough to regenerate an adequate signal with a band, containing no frequencies higher than /в, which contradicts the sampling theorem. Methods: The method of mathematical simulation of signal handling processes in MathCad mathematical package was applied. The sampling theorem conclusions were given, a mathematical model of a band-limited signal was introduced and studied in MathCad environment, signal characteristics were presented, including the rate of information transfer. The possible errors in the process of signal recovery after discretization were shown, as well as the reasons causing them. Results: It was detected that for an unknown function recovery according to its proportional sampling, it is essential to know the moment of the first data sampling. The possibility of achieving the maximum permissible rate of data transmission via a narrow-band communication channel was established. Practical importance: The methods of analysis and synthesis of narrow-band processes were developed on the basis of the obtained dependencies, as well as the identification of mutual information contained in the given processes.
Keywords: Analytical function, discretization, quantization, quadrature, band limited signals, sampling theorem, low-frequency filter.
Введение
В настоящее время во многих системах железнодорожного транспорта используются цифровые методы обработки данных. Это относится к системам поездной и локомотивной связи, к системам централизации и блокировки, а также к системам высокоскоростной передачи данных, где уже невозможно обойтись без цифровой фильтрации и цифровой обработки сигналов.
Во всех указанных системах применяются аналого-цифровые (АЦП) и цифро-аналоговые (ЦАП) преобразователи, которые позволяют свободно переходить от аналогового к цифровому представлению сигналов и наоборот. Для того чтобы точно осуществить переход от одного представления к другому, например от аналогового к цифровому, требуется правильно определить частоту дискретизации аналогового сигнала, поскольку при низкой частоте дискретизации сигнала будет теряться информация, а высокая частота дискретизации существенно увеличивает время обработки информации. При обратном преобразовании из цифрового представления в аналоговую следует правильно осуществить фильтрацию цифрового потока с целью избавления от шума квантования.
Теоретическим обоснованием выбора частоты дискретизации является теорема отсчетов Котельникова-Найквиста, которая была выведена для детерминированных сигналов с ограниченным спектром, конечной мощностью и удовлетворяющих условиям Дирихле. В общем случае теорема не применима для неэргодических сигналов, сингулярных стационарных, а также для сигналов с бесконечной мощностью.
Наиболее значимые исследования по обобщению теоремы отсчетов на случайные процессы проводились в 1959 г. А. Балакришна-ном [1], С. Ллойдом [2], в 1967 г. Ю. В. Прохоровым и Ю. А. Розановым [3], в 1968 г. Л. Л. Кэмпбеллом [4]. В 1971 г. Дж. Стиффлер [5] на «инженерном уровне строгости» пред-
ложил доказательство теоремы для случайных процессов.
Теорему отсчетов Котельникова обычно принято формулировать так: произвольный сигнал, спектр которого не содержит частот выше ^ (Гц), может быть полностью восстановлен, если известны отсчетные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки времени:
. _ » s sin[rnB (t— k%/ юв)]
~ ^ k ' г* 1 I \
k юв (t - k п / юв)
(1)
Функция
h(t — т) _
sin[mB (t -т)] Юв (t — т)
(2)
где т = 1/(2/в), называется функцией отсчетов Котельникова. На рис. 1, а приведен график функции Н ( - т) при / = 50 Гц и сдвиге т = 0, а также при сдвиге т = 1/(2/) Функция отсчетов (2) обладает свойством нормировки
J h(t — T)dt _ 1 при т ■
k
'2/ъ
(3)
где к - любое целое, что позволяет интерпретировать (1) как обработку функции 5(0 линейным фильтром. И действительно, спектр функции (2), представленный на рис 1, б, -идеальный фильтр низких частот (ФНЧ) с абсолютно плоской характеристикой и резкой крутизной ската частотной характеристики на частоте среза /в = 50 Гц.
Спектр функции (1) является комплексной функцией с действительной и мнимой частями:
Я(ш)= Яе тт) + Нш(/(Н(0),
в которой //(х(^)) - преобразование Фурье функции х(0.
Определим комплексно-сопряженный спектр в виде
Я(ш)= !ш(/ЖНт + гЯеШНт, (4)
h(t)
0.5
0.1
;
1 |Л " г;V\j'v"v-\
к\]< f. V \'
0.05
0
0.05
0.1
H(w) 1
0.1
0.01
110
110
о
20
40 55 60 30 100 w 65
Рис. 1. Характеристики функции отсчетов Н(1): а - график функции Н(?); б - модуль спектра Ь(1)\ сплошная кривая - т = 0,
пунктирная - т = 1/(2/)
путем перемены местами действительной и мнимой части в преобразовании Фурье, а затем выполним обратное преобразование Фурье, переходя из частотной во временную область представления:
h(t) = #№)),
(5)
где г/А(Й(ю)) - обратное преобразование Фурье комплексно-сопряженного спектра Й(<).
Выражение (5) есть комплексно-сопряженная импульсная переходная характеристика идеального ФНЧ с той же частотой среза/.
Вообще последовательность преобразований вида (4), (5) позволяет сформировать
450 500 550 600 I
Рис. 2. ИХ ФНЧ и их огибающая
квадратурную компоненту аналитического сигнала из любого действительного сигнала.
Действительная и мнимая импульсная характеристика (ИХ) идеального ФНЧ и их огибающая приведены на рис. 2. Огибающая идеального ФНЧ определяется, как обычно для аналитической функции:
лц)=4 [на )]2+[ на )]2.
На рис. 3 приведен фазовый портрет идеального ФНЧ.
0.5
-0.5
A h(t)"" \
( (à )
4 /
h(t)
-1 -0.5 0 0.5 1
Рис. 3. Фазовый портрет идеального ФНЧ
Выражение (1) дает разложение функции •(0 в бесконечный ряд по системе ортогональных функций:
0
t
1
0
J ^K (t — i -П / Юв )] x
Юв (t — i -П / Юв ) sin[юв (t — j -П / Юв )]
(6)
Юв (t — j-П / Юв )
dt _ 0 при i Ф j.
Ортогональность (6) функции отсчетов (2) дает возможность обеспечения независимой передачи отсчетов при выполнении их с интервалом, равным 1/(2 /в).
Следует отметить, что формулировка теоремы и выражение (1) указывают на возможности и пути решения следующих задач:
- восстановление непрерывного сигнала, не содержащего частот выше /в по его известным равномерным отсчетам, выполненным с интервалом 1/(2 /);
- синтез нового непрерывного сигнала, в котором в информационных точках, следующих с интервалом 1/(2/), будет содержаться информация в виде дискретных отсчетов Б = = {5к}, < к < да;
- получение полного количества информации, содержащейся в непрерывном сигнале, не содержащем частот выше /в, по его известным равномерным отсчетам, выполненным с интервалом 1/(2 /в).
Первые две задачи по сути являются задачами низкочастотной фильтрации решетчатой функции Б, которая существует только в моменты отсчетов, а в остальные моменты времени тождественно равна нулю. Но здесь следует отметить, что так как решетчатая функция определена только в моменты ее отсчетов (в другие моменты времени она тождественно равна нулю, и информации там нет), значит, вся информация функции с ограниченным спектром сосредоточена в решетчатой функции Б. В этом и состоит сущность третьей задачи.
Рассмотрим решения этих задач.
Одновременно с вышеуказанными существует и другая задача, обратная к задаче (1): задана непрерывная функция 5(0, не содержащая частот выше /, и необходимо так выбрать равномерные отсчеты, чтобы по ним можно было полностью восстановить решетчатую функцию Б, а значит, и всю информацию, в
ней содержащуюся. В этой задаче основными действиями являются правильный выбор начальной отсчетной точки (синхронизация) и знание диапазона возможных значений и величины дискрета функции Б. Данную задачу можно характеризовать как анализ непрерывной функции с целью выявления всей заложенной в ней информации.
К огромному сожалению, такую особенность очень часто не учитывают, считая, что для точного описания функции со спектром, не содержащим частот выше /, достаточно произвести несинхронизированные отсчеты с равномерным интервалом, равным 1/(2/). На самом же деле необходимо с чрезвычайно высокой точностью знать положение первой отсчетной точки. В противном случае восстановление будет только приближенным. Происходит это в связи с тем, что на граничной частоте /в сигнала хотя и производится ровно два отсчета, как того требует теорема Котель-никова, но они не позволяют правильно восстановить амплитуду и фазу на частоте /в.
На данную особенность обращали внимание многие авторы. Это подтверждается и тем, что в звуковых картах для высококачественной передачи звука частота дискретизации выбирается намного выше, чем предельные звуковые частоты.
Рассмотрим более подробно вторую задачу.
Задача восстановления функции с ограниченным спектром по известным равномерным отсчетам
Пусть известны 12 отсчетов некоторой непрерывной детерминированной функции, имеющей спектр, ограниченный частотой /в = 50 Гц. Эти отсчеты представим в виде вектора
Б = (7)
= (2 3 1 - 2 - 3 -1 3 3 - 3 - 3 8 - 8) и восстановленный сигнал запишем с использованием формулы (1)
"^ 8ш[2тс/-1/(2/))]
' 2п/в(/-1/(2/)) '
Ниже дана программа в среде МаШСАБ, реализующая обработку (8) по отсчетам (7):
(8)
si(f, t, a) := if
|(t - a)| > 10- 9,1. SiD[2-П-f-(t - a)] 2-n-f-(t - a)
f := 50 M := 4096 A := (2 3 1 -2 -3 -1 3 3 -3 -3 8 -8)
, „ -dd - 1 n + dd tk - tn n := rows(A) tn :=- tk :=- dt :=- i := 0.. n - 1
n-1
2f 2f
\\
M
f, t,
i
2- f
J
8(1) ^А.-81
1 = 0
а на рис. 4 приведен полученный сигнал. s(t)
j := 0.. M - 1 U. := s(j-dt + tn) F := fft(U)
9- П
8" г
7" / \
6" \
5" \
4" \
} \ \ \ Л
\ \ / \
/ 1 \ \
0^0 01 - 0 0. 01 0. 02 0. 02 0. 03 0 04 0. 05 0 06 0. 07 0. 08 0. 09 0 .1 0. .1 0. 11 0. 12 0.
2" I \
3" \
4" \ \
5" у / \ * /
6" V /
7" J
8" и
13 t
Рис. 4. Сигнал, сформированный программой в среде МаШСаё: сплошная кривая - информационные точки А. - о
На рис. 4 кроме сформированного сигнала показаны все 12 информационных точек (первая информационная точка соответствует моменту времени t = 0, вторая - t = 0,01 и т. д.), а также, что значения сигнала в информационных точках полностью соответствуют известному вектору (7).
На рис. 5 приведен модуль спектра сформированного сигнала. Его анализ показывает, что на частоте среза/ = 50 Гц уровень спектра падает, но крутизна невысокая. Это связано со слабым затуханием функции отсчетов и слишком близким расположением начальной и конечной информационных точек к начальному и конечному времени описания сигнала. В приведенном примере первой информа-
|F(w)|
10
0.1
w
50
100
150
200
Рис. 5. Модуль спектра сформированного сигнала
1
0
ционной точке предшествуют два интервала отсчета и за последней информационной точкой также следуют два интервала отсчета.
Следует отметить, что вторая задача синтеза нового непрерывного сигнала, в котором в информационных точках, следующих с интервалом 1/(2/), будет содержаться информация в виде дискретных отсчетов Б = (•_}, -да < к < да, не очень существенно отличается от рассмотренной задачи. Разница заключается только в том, что для первой задачи решетчатая функция Б заранее задана, а для второй задачи она формируется из информационного потока, который необходимо передать по каналу связи.
Определение полного количества информации в непрерывном сигнале, не содержащем частот выше /, по его известным равномерным отсчетам, выполненным с интервалом 1/(2
Для рассмотрения такой задачи воспользуемся исходными данными предыдущей задачи, где информация представлена вектором (7), состоящим из N = 12 чисел, из интервала [-8, +8], т. е. размах значений Я = тах(Л) -- тт(Л) = 16. Элементы вектора являются целыми числами, значит, величина дискрета (шага) по амплитуде равна АЛ = 1. Тогда число информационных бит, содержащих описание всех возможных вариантов размещения уровня амплитуды сигнала, в конкретный от-счетный момент времени будет равно Ь = (Я/АЛ) = = 4,0 Бит, а поскольку наш сигнал содержит N отсчетов, то общее количество информации в этом сигнале будет равно (в Бит)
I = N • Ь = N • 1о^(Я/АЛ) = 48.
Рассчитаем время, которое будет затрачено на передачу N информационных отсчетов. Поскольку информационные отсчеты следуют через равные интервалы времени, то
ДТ = 1/(2f) = 0,01 c,
то на передачу N отсчетов потребуется в N раз больше времени, т. е.
T = N/(2/) = 12/100 = 0,12 c.
Скорость передачи информации (в Бит) можно определить как отношение общего количества информации ко времени передачи информации, т. е.
C = I/T = N-L/T = NL/(N/(2f)) = = 2f log2 (R/AA) = = 2-50-log2(16) = 400 Бит/с.
Удельную скорость передачи информации можно определить как отношение скорости передачи информации к полосе частот, занимаемых сигналом. Поскольку полоса частот описываемого сигнала не превышает величины f = 50 Гц, то для удельной скорости передачи информации получим
1уд = С/ = 2-log2 (16) = 8 Бит/с/Гц.
Следует иметь ввиду, что в данном расчете не учтено время, необходимое для описания нарастания и спада «хвостов» функции отсчетов, в примере использовано 4 AT, что увеличивает время передачи сигнала до Т = (N -- 1 + 4)- AT = 15/(2f) = 0,15 с. Данное увеличение времени описания нарастания и спада функции отсчетов соответственно для первой и последней информационных точек позволяет существенно повысить точность описания сигнала в таких точках. Скорость передачи при этом уменьшится на величину (N + 4) / / N = 1,33. В этом случае приведенные выше формулы нужно откорректировать:
T = (N + 3)/(2/в) = (12 + 3)/100 = 0,15 c,
C* = I/T = NL/(T+ 4) = NL/((N+3)f(2f)) = = 2f • (N/(N + 3)) log2 (R/AA) = = 1,6-504og2(16) = 320 Бит/с,
1у/ = С*// = 1,6-1св2 (16) = 6,4 Бит/с/Гц.
Интересно сравнить полученные результаты с предельными формулами Клода Шеннона для узкополосного канала передачи информации. Необходимо сразу перейти от дискретов амплитуды к дискретам по мощности и принять мощность помехи равной 1, тогда при 16 дискретах в амплитуде и величине шага 1 получим ^2(162) = 8 Бит: столько информации в одном отсчете и такова предельная по Шеннону удельная скорость передачи информации по каналу в расчете на 1 Гц полосы частот канала. Для общего объема переданной информации в соответствии с предельной формулой Шеннона имеем
I = Т• /в -10^ (16 2) = 0,12-50-8 = 48 Бит.
Для скорости передачи информации С = 1/Т = 48/0,12 = 400 Бит/с.
Видно, что результаты, полученные на рассмотренной математической модели, приближаются к предельным значениям по скорости передачи информации по узкополосному каналу связи. Конечно, приведенные выше рассуждения не показывают алгоритма расшифровки сообщения, но они дают ответ на
вопрос о том, какой максимальный объем информации может содержаться в узкополосном сигнале.
Выбор по заданной непрерывной функции ж (¿), не содержащей частот выше/в, равномерных отсчетов для полного восстановления решетчатой функции а значит, и всей информации, в ней содержащейся
В этой задаче в качестве исходных данных воспользуемся функцией (7), о которой известно, что ее спектр ограничен сверху частотой / = 50 Гц, а значит, отсчеты необходимо делать с равномерным интервалом, равным Ы = 1/(2/в), но не знаем момент начала первого отсчета.
Поскольку сигнал сосредоточен на некотором интервале времени, то по входным данным можно определить времена начала и конца сигнала, превышающие некоторый порог, например 0,5, которому соответствуют моменты 1п = -0,02 с, tk = 0,13 с. Предположим, что первая информационная точка соответствует моменту времени t0 = - 0,01.
На рис. 6-10 приведены результаты восстановления сигнала при различных положениях точки начала дискретизации. На всех этих ри-
9" A
8" P I
7" \
6" \
5" \
4" ii- - a a
3" \ / S A
^ / \ \ \
/ 1 / \ к ■
i1 1 - Л 0 01 0 o\ 0 03 0 04 0 05 0 06 0 07 В 08 0 09 0 1 0 11 0] 12 0
1 1 г ) 07 0 ■ 0 Г
2" L / i 1 < \
3" \ R \
4" \ \
5" \ \
6" \J \
7 1 i
8" V
Рис. 6. Сдвиг первой точки дискретизации = -1/(2/): сплошная линия - 5 пунктирная - восстановленный сигнал, с - информационные точки, х - восстановленные точки (то же для рис. 7-10)
t
s(t)
) 9"
8"
7
6"
5"
4" --
3 } V к \
л - \ у
/ \
01 1 - 0 0 01 0 0А 0 03 0 04 0. 05 0 06 0 07 ^ 08 0 09 0 1 1 0 11 0 12 0
1 Ч, 0- 0 01 р.
2" !
3"
4" \ I
5" \ > 1
6" \
7
8" v/
13
Рис. 7. Сдвиг первой точки дискретизации t = -1,25/(2/)
t
13
Рис. 8. Сдвиг первой точки дискретизации t = -0,5/(2 f)
t
s(t)
о
г
✓
ч
_ t
*—' V fS;
г / V f
/ \ f N
-0 0 01 0 0^ 0 03 0 04 0 05 0 06 0 07 \ 08 i 0 09 0 1 0 г 0 12 0
0 1 \ i
/
\ \
\ j \
[ \ J
\
13
Рис. 9. Сдвиг первой точки дискретизации t = -0,75/(2/)
t
s(t) 9
Рис. 10. Сдвиг первой точки дискретизации I = -1,5/(2/)
t
сунках информационные точки, по которым формировался сигнал, отмечены кружками, а точки, по которым сигнал восстанавливался, - импульсным всплеском, оканчивающимся символом «х». Сформированный сигнал обозначен сплошной линией.
На рис. 7-10 видны погрешности восстановления сигнала. Наибольшая погрешность получается при сдвиге точки начала дискретизации относительно истинного положения начальной информационной точки на величину, кратную половине интервала дискретизации. Анализ влияния положения начальной точки отсчета может привести к ложному мнению, что для снижения ошибок восстановления достаточно вдвое увеличить частоту дискретизации, но на самом деле важнее уменьшить сдвиг начальной точки дискретизации относительно первой информационной точки. Приведенное моделирование не учитывало дрожания фазы (смещения информационных точек между первой и последней).
Заключение
Проведенное моделирование узкополосного сигнала позволяет сделать следующие выводы:
• теорема отсчетов утверждает о возможности восстановления функции со спектром,
ограниченным сверху частотой / по ее известным отсчетам, выполненным с равномерными интервалами, равными 1/(2/), но из нее не следует, что любая функция с ограниченным спектром может быть полностью восстановлена по неизвестным, но равномерным отсчетам, выполненным с интервалами, равными 1/(2/), и при случайном времени первого отсчета;
• наибольшие искажения при восстановлении функции со спектром, ограниченным сверху частотой 2/в по равномерным отсчетам, выполняемым с интервалами т = 1/(2/), возникают при сдвиге первого отсчета восстанавливаемой функции относительно первой информационной точки на величину, кратную
±1/(4/);
• погрешности при восстановлении функции с ограниченным спектром образуются при использовании равномерных отсчетов с интервалом 1/(2/) в связи с тем, что такие отсчеты не позволяют точно описать фазу наивысшей частоты в спектре сигнала, а значит, и определить точное время первого информационного отсчета. Знание точного положения первой информационной точки дает возможность полностью восстановить функцию с ограниченным спектром по ее равномерным отсчетам с интервалом 1/(2/);
• исследование приведенной модели узкополосного сигнала показало, что существует
возможность передачи информации с удельной скоростью 6,4 Бит/с/Гц при пределе Шеннона, равном 8 Бит/с/Гц, для сигнала с 16 градациями амплитуды. Простое увеличение числа информационных точек позволяет еще существеннее приблизиться к пределу Шеннона.
Автор уже многие годы занимается проблемой моделирования сигналов и их фильтрацией. Некоторые из полученных результатов приведены в работах [6-20].
Библиографический список
1. Balakrishnan A. V. A note on the sampling principle for continuous signals / A. V. Balakrishnan // IRE Trans. - 1957. - Vol. IT-3, N 2. - P. 143-146.
2. Lloyd S. P. A sampling theorem for stationary (wide sense) stochastic processes / S. P. Lloyd // Trans. Amer. Math. Soc. - 1959. - Vol. 92, N 1. - P. 1-12.
3. Прохоров Ю. В. Теория вероятностей. Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы / Ю. В. Прохоров, Ю. А. Розанов - М. : Наука, 1967. - 576 c.
4. Campbell L. L. Sampling theorem for the Fourier transform of a distribution with bounded support / L. L. Campbell // SIAM J. Appl. Math. - 1968. -Vol. 16, N 3.- P. 626-636.
5. Стиффлер Дж. Теория синхронной связи / Дж. Стиффлер ; пер. с англ. Б. С. Цыбакова ; под ред. Э. М. Габидулина. - М. : Связь, 1975. - 488 с.
6. Ходаковский В. А. Метод фильтрации случайных процессов с использованием обобщенной функции регрессии / В. А. Ходаковский, Д. Г. Бете-нев // Изв. Петерб. ун-та путей сообщения. - СПб. : ПГУПС, 2005. - Вып 3 (5). - С. 58-63.
7. Культин В. Б. Полосовой цифровой фильтр с временной обработкой в аппаратуре тональных рельсовых цепей / В. Б. Культин, С. А. Суханов, В. А. Ходаковский // Автоматика и телемеханика железных дорог России. Новая техника и новые технологии : сб. науч. тр. / ред. Вл. В. Сапожников, В. В. Сапожников, А. А. Прокофьев. - СПб. : ПГУПС, 2007. - С. 94-97.
8. Ходаковский В. А. Имитационное моделирование рельсовых цепей. Методы и инструменталь-
ные средства / В. А. Ходаковский, Д. С. Марков, М. Б. Соколов // Бюл. результатов науч. исследований. - 2014. - № 2 (11). - С. 30-44.
9. Ходаковский В. А. Методы и инструментальные средства имитационного моделирования рельсовых цепей / В. А. Ходаковский, Д. С. Марков, М. Б. Соколов // Развитие элементной базы и совершенствование методов построения устройств железнодорожной автоматики и телемеханики : сб. науч. тр. / под ред. Вл. В. Сапожникова. - СПб. : ПГУПС, 2014. - С. 48-54.
10. Ходаковский В. А. Мера сходства узкополосных сигналов / В. А. Ходаковский, Т. В. Ходаковский // Автоматика на транспорте. - СПб. : ПГУПС, 2015. - Т. 1, № 2. - С. 180-194.
11. Ходаковский В. А. Моделирование многополосного фильтра / В. А. Ходаковский // Междунар. конференция по мягким вычислениям и измерениям. - СПб. : СПбГЭТУ (ЛЭТИ), 2015. - Т. 1. -С. 145-148.
12. Ходаковский В. А. Синтез многополосного фильтра с требуемой частотной характеристикой / В. А. Ходаковский, Т. В. Ходаковский // Интеллектуальные технологии на транспорте. - СПб. : ПГУПС, 2015. - № 1. - С. 38-42.
13. Ходаковский В. А. Моделирование скрытой передачи информации в среде MathCad / В. А. Ходаковский // Совершенствование математического образования-2016: состояние и перспективы развития : материалы IX Междунар. науч.-метод. конференции. - СПб. : ПГУПС, 2016. - С. 82-86.
14. Ходаковский В. А. Моделирование технических задач сетями Петри в среде НРБ1М / В. А. Ходаковский // Актуальные вопросы развития систем железнодорожной автоматики и телемеханики : сб. науч. тр. / гл. ред. Вл. В. Сапожников. - СПб. : ПГУПС, 2013. - С. 41-51.
15. Ходаковский В. А. Моделирование арифметического кодека в среде MatCad / В. А. Ходаковский, В. А. Кудряшов, В. В. Яковлев // Изв. Петерб. ун-та путей сообщения. - СПб. : ПГУПС, 2012. -Вып. 2 (31). - С. 132-139.
16. Дегтярев В. Г. Математическое моделирование процессов развития дефектов в рельсовом пути / В. Г. Дегтярев, В. А. Ходаковский // Изв. Петерб. ун-та путей сообщения. - СПб. : ПГУПС, 2008. -Вып. 3. - С. 35-44.
17. Войнов К. Н. Математическое моделирование шероховатых поверхностей / К. Н. Войнов, В. А. Ходаковский, М. А. Шварц // Трение. Износ. Смазка. - 2009. - Т. 12, № 41. - С. 1-9.
18. Демьянович Ю. К. Введение в теорию вейв-летов : учеб. пособие / Ю. К. Демьянович, В. А. Ходаковский. - СПб. : ПГУПС, 2008. - 51 с.
19. Ходаковский В. А. Случайные величины. Распределения и их моделирование в среде Math-Cad-2000 : справ.-метод. пособие для науч. сотрудников, аспирантов и студентов ст. курсов / В. А. Ходаковский. - СПб. : ПГУПС, 2005. - 92 с.
20. Ходаковский В. А. Разработка алгоритмов исследования экономических задач в математических пакетах MathCad и MathLab / В. А. Ходаков-ский // Математическая подготовка студентов экономических направлений : материалы Междунар. науч.-метод. конференции. - СПб. : Изд-во СПбГЭУ, 2016. - С. 213-223.
References
1. Balakrishnan A. V. A note on the sampling principle for continuous signals. IRE Trans, 1957, vol. IT-3, no. 2, pp. 143-146.
2. Lloyd S. P. A sampling theorem for stationary (wide sense) stochastic processes. Trans. Amer. Math. Soc, 1959, vol. 92, no. 1, pp. 1-12.
3. Prokhorov Y. V. & Rozanov Y. A. Teoriya veroy-atnostey. Osnovniye ponyatiya. Predelniye teoremy. Sluchainiye protsessy [Probability theory. Basic notions. Limiting theorems. Stochastic processes]. Moscow, Nauka Publ., 1967, 576 p. (In Russian)
4. Campbell L. L. Sampling theorem for the Fourier transform of a distribution with bounded support. SIAM J. Appl. Math, 1968, vol. 16, no. 3, pp. 626636.
5. Stiffler J. Teoriya synkhronnoy svyazy [The theory of synchronous communication]. Moscow, Communication Publ., 1975, 488 p. (In Russian)
6. Khodakovskiy V. A. & Betenev D. G. Metod filtratsii sluchainykh proptsessov s ispolzovaniyem oboshennoy funktsii [Filtering method of stochastic processes with application of generalized regression function]. Proceedings of Petersburg Transport University, 2005, issue 3 (5), pp. 58-63. (In Russian)
7. Kultyn V. B., Sukhanov S. A. & Khodakovskiy V. A. Polosovoy tsyfrovoy filtr s vremennoy obrabotkoy v apparature tonalnykh relsovykh tsepey. Avtomatyka i telemekhanika zheleznykh dorog Rossii. Novaya tekhnika i noviye tekhnologii [Band digital filter with time processing in audio frequency track circuits 'equipment [Automatics and telemechanics of Russian railroads. New machinery and new technologies]. Sbornyk nauchnykh trudov [Collection of research papers], ed. by Vl. V. Sapozhnikov, V. V. Sapozhnikov, A. A. Prokofyev. Saint Petersburg, PGUPS Publ., 2007, pp. 94-97. (In Russian)
8. Khodakovskiy V. A., Markov D. S. & Soko-lov M. B. Imitatsionnoye modelyrovaniye relsovykh tsepey. Metody i instrumentalniye sredstva [Rail track circuit simulation modeling. Methods and tools]. Bulletin of scientific research results, 2014, no. 2 (11), pp. 30-44. (In Russian)
9. Khodakovskiy V. A., Markov D. S. & Soko-lov M. B. Metody i instrumentalniye sredstva imi-tatsionnogo modelyrovaniya relsovykh tsepey. Raz-vitiye elementnoy bazy i sovershenstvovaniye metodov postroyeniya ustroistv zheleznodorozhnoy avtomatyky i telemekhaniky [Methods and tools of track circuits' simulation modeling. The development of element base and design methods improvement of facilities of railroad automatics and telemechanics]. Sbornyk nauchnykh trudov [Collection of research papers], ed. by Vl. V. Sapozhnikov. Saint Petersburg, PGUPS Publ., 2014, pp. 48-54. (In Russian)
10. Khodakovskiy V. A. Mera skhodstva uzkopo-losnykh sygnalov [Commonality measure of narrowband signals]. Automation on transport, 2015, vol. 1, no. 2, pp. 180-194. (In Russian)
11. Khodakovskiy V.A. Modelyrovaniye mnogopo-losnogo fyltra [Multi band-pass filter simulation]. Me-zhdunarodnaya konferentsiya po myagkym vychisleni-yam i izmereniyam [International conference on soft computing and measurement]. Saint Petersburg, Saint Petersburg Electronical University (LETI) Publ., 2015, vol. 1, pp. 145-148. (In Russian)
12. Khodakovskiy V. A. & Khodakovskiy T. V. Syn-tez mnogopolosnogo fyltra s trebuyemoy chastotnoy kharakteristikoy [Multi band-pass filter synthesis with the required frequency response characteristic]. Intelligent technologies on transport, 2015, no. 1, pp. 38-42. (In Russian)
13. Khodakovskiy V.A. Modelyrovaniye skrytnoy peredachy informatsii v srede MathCad [Simulation of hidden data transmission in MathCad environment]. Sovershenstvovaniye matematycheskogo obra-zovaniya-2016: sostoya niye i perspektyvy razvytiya [The improvement of mathematical education-2016: current state and development trends]. Materialy IX Mezhdunarodnoy nauchno-metodycheskoy konferen-tsii [Proceedings of the 9th International research and methodological conference]. Saint Petersburg, 2016, pp. 82-86. (In Russian)
14. Khodakovskiy V. A. Modelyrovaniye tekh-nicheskykh zadach setyamy Petry v srede HPSIM [Petri nets engineering problems' simulation in HPSIM environment]. Aktualniye voprosy razvitiya system zheleznodorozhnoy avtomatyky i telemekhaniky [Topical issues of railroad automatics and telemechanics' systems development]. Sbornyk nauchnykh trudovm [Collection of research papers]. Saint Petersburg, PGUPS Publ., 2013, pp. 41-51. (In Russian)
15. Khodakovskiy V. A. Modelyrovaniye aryfme-ticheskogo kodeka v srede MathCad [Arithmetic codec simulation in MathCad environment]. Proceedings of Petersburg Transport University, 2012, issue 2 (31), pp. 132-139. (In Russian)
16. Degtyarev V. G. & Khodakovskiy V. A. Mate-maticheskoye modelyrovaniye protsessov razvitiya defektov v relsovom puty [Mathematical simulation of defects' growth processes on a track]. Proceedings
of Petersburg Transport University, 2008, issue 3, pp. 35-44. (In Russian)
17. Voinov K. N., Khodakovskiy V. A., Shwarts M. A. Matematicheskoye modelyrovaniye sherokho-vatykh poverkhnostey [Mathematical simulation of uneven surfaces]. Treniye. Iznos. Smazka [Confrication. Abrading. Antifriction], 2009, vol. 12, no. 41, pp. 1-9. (In Russian)
18. Demyanovich Y. K. & Khodakovskiy V.A. Vve-deniye v teoriyu veyvletov [Wavelet theory introduction]. Saint Petersburg, PGUPS Publ., 2008, 51 p. (In Russian)
19. Khodakovskiy V. A. Sluchayniye velychyny. Raspredeleniya i ikh modelyrovaniye v srede Math-Cad-2000 [Random variables. Their arrangement and simulation in MathCad-2000 environment]. Saint Petersburg, PGUPS Publ., 2005, 92 p. (In Russian)
20. Khodakovskiy V. A. Razrabotka algorytmov ekonomicheskykh zadach v matematycheskykh pa-ketakh MathCad i MathLab [Research algorithms development of business problems in MathCad and MathLab mathematical packages]. Matematycheskaya podgotovka studentov ekonomycheskykh napravleniy [Mathematical training of students of economical field of education]. Materialy Mezhdunarodnoy nauchno-metodycheskoy konferentsii [Proceedings of the International research and methodological conference]. Saint Petersburg, Saint Petersburg State University of Economics Publ., 2016, pp. 213-223. (In Russian)
*ХОДАКОВСКИЙ Валентин Аветикович - доктор техн. наук, профессор, заведующий кафедрой, hva1104@mail.ru; ДЕГТЯРЕВ Валентин Григорьевич - доктор техн. наук, профессор (Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I).
