CC BY
18
4. J. C. Slater. Quantum Theory of Molecules and Solids. Vol. 3.Insulators, Semiconductors, and metals. McCraw-Hill, New-York, 1967.
5. J. C. Slater. Quantum Theory of Matter. McCraw-Hill, New-York, 1968.
6. T. Ozdogan, A. Nalcacl Calculation of two-center overlap integrals over slater-type orbitals via fourier transform convolution theorem // International Journal of Physical Sciences. - 2012. - v. 7(36). - 5378-5390.
7. S. Gumus, T. Ozdogan. Symbolic Calculation of Two-Center Overlap Integrals Over Slater-Type Orbitals // Journal of Chinese Chemical Society. - 2004. - v.5. - p. 243-252.
8. Peter M.W. Gill. Molecular integrals over Gaussian basic functions // Advanced in quantum Chemistry. - 1994. - v.25. - p. 141-205.
9. C.W.David. 1s_A 1s_B Overlap Integrals, Analitic and Maple Approches // Chemistry Education materials, University of Connecticut. - 2009. - Paper 69.
10. Z. Romanovski, A.F. Jalbout. Two-center Overlap Integrals. Three Dimensional Adaptive Integration and Prolate Ellipsoidal Coordinates // J. Math. Chem. - 2009. - v. 46. - p.97-107.
11. I.I. Gusseinov. Analitical evaluation of 2-Centere Colomb Hybrid and One-Electron integrals for Slater-Type Orbitals // J. Phys. -1970. - v. B3. - p. 1399-1412.
12. I.I. Gusseinov. Expansion formulae for two-center charge densities of integer and noninteger n generalized exponential type orbitals with hyperbolic cosine and their use in evolation of multicenter multielectron integrals // J. Math. Chem. - 2010. - v. 48. - p.812-815.
13. I.I. Gusseinov. N.S. Gorgun Calculation of multicenter nuclear attraction integrals over Slater type o orbitals using unsymmetrical one-rangeadditional theorems // Chinese Phys. B. - 2010. - v. 19. - p.1-5.
14. I.I. Gusseinov. B.A. Mamedov. Calculation of overlap integrals over Slater type orbitals using translation and rotation transformations for spherical harmonics // Theor. Chem. Acc. - 2000. - v. 105. - p.93-95.
15. I.I. Gusseinov. B.A. Mamedov. Calculation of overlap integrals over Slater type orbitals using recurrence relations for expansion coefficients // Communications in Mathematical and in Computer Chemistry. - 2004. - N. 52. - p.47-54.
16. B. Mamedov, H. Koc. Calculation of two-center overlap integral in molecular coordinate system over Slater type orbital using Lowdin a-radial and Guseinov rotation - angular function // J. Of Mathematical Chemistry. - 2008. - v. - 44. - iss. 2. - p. 365-372.
17. M.P. Barnet Two-center nonexchange integrals over Slater orbitals // J. Chem. Phys. - 2000. - v. 113. - p. 9419-9428.
18. M.P. Barnet. Molecular integrals and information processing // J. Quantum Chem. - 2003. - v. 95. - p. 791-805.
19. M.P. Barnet. Mathscape and molecular integrals // J. of Symbolic Computation. - 2007. - v. 42. - p. 265-289.
20. Баранов М.А. Точное аналитическое решение задачи о взаимодействии атомов, обладающих сферической симметрией электронных оболочек // Международный научно-исследовательский журнал. Часть 2.- 2014. - N 1(20)- C. 12-18.
21. Баранов, М.А. Воссоздание конфигураций электронных оболочек атомов на основе эмпирических данных // Ползуновский вестник. - 2012. - № 2/1.-С. 7-11.
22. Баранов М.А., Щербаков В.М. Роль превалирующей фазы в формировании механических свойств сплавов сложного химического состава [Текст] / М.А Баранов, В.М. Щербаков // Международный научно-исследовательский журнал. Часть 1.- 2013. - N 7(14)- C. 5-7.
Берзин Д.В.
Кандидат физико-математических наук, доцент Финансового университета при Правительстве Российской Федерации, Москва О ТЕНЗОРНОМ РАСШИРЕНИИ ОДНОЙ КЛАССИЧЕСКОЙ ГАМИЛЬТОНОВОЙ СИСТЕМЫ
Аннотация
Операция тензорного расширения занимает важное место в теории гамильтоновых систем. В статье рассмотрены соответствующие перестройки (бифуркации) на примере тензорного расширения классической задачи Эйлера о движении твердого тела.
Ключевые слова: Гамильтоновы системы, задача Эйлера, тензорные расширения, бифуркации.
Berzin D.V.
PhD in Physics and Mathematics, associate professor, Financial University under the government of Russian Federation ABOUT TENSOR EXTENTION OF A CLASSIC HAMILTONIAN SYSTEM
Abstract
Tensor extension takes an important part in Hamiltonian systems. We consider bifurcations in tensor extension of classical Euler problem.
Keywords: Hamiltonian systems, Euler problem, tensor extensions, bifurcations.
Как было отмечено в [1] и [2], в теории интегрируемых гамильтоновых систем важным является метод тензорного расширения алгебр Ли, который впервые был предложен В.В.Трофимовым [3], а затем развит А.В.Браиловым [4]. Этот метод, в частности, дает весьма эффективный способ построения инволютивных семейств функций на орбитах коприсоединенного представления групп Ли.
Особое место здесь занимает тензорное расширение алгебр Ли посредством фактор-кольца R[ x] / (x2) . Имеется алгоритм,
принадлежащий С.Ж.Такиффу [5] и В.В.Трофимову [3], позволяющий из интегралов и инвариантов для исходной алгебры Ли получить соответствующие интегралы и инварианты для расширенной алгебры. В частности, с помощью этого алгоритма можно из классических и известных систем получать интегрируемые системы с перестройками некомпактных инвариантных подмногообразий.
Известно, что движение трехмерного твердого тела вокруг точки, закрепленной в центре масс, можно описать уравнениями Эйлера для алгебры Ли e(3) группы движений трехмерного евклидового пространства. Такие системы гамильтоновы на
четырехмерных орбитах коприсоединенного представления (диффеоморфных касательному расслоению двумерной сферы) и для полной интегрируемости по Лиувиллю кроме гамильтониана H указывается еще один (дополнительный) интеграл K .
В результате тензорного расширения получаем 12-мерную алгебру Ли Q(e(3)). Имеем отображение момента
Ф: M8 ^ R4, где M8
орбита общего положения коприсоединенного представления для тензорного расширения,
Ф = (Н„К„H2,K2) , где HК„ H2,K2}
инволютивный относительно скобки Пуассона-Ли набор, получаемый из
{H, K} при тензорном расширении [5]. Доказывается, что орбита M8 общего положения диффеоморфна T(TS2) , где S2-двумерная сфера.
Рассмотрим перестройки типа "центр" (обозначим через "A") и "седло" (обозначим через "B"). В канонических координатах (p, q) в окрестности начала координат двумерной плоскости они задаются отображениями [7]:
(1) fA = p2 + Ч2 (центр)
(2) fB = p2 _ Ч2 (седло)
8
Теорема 1. В результате операции тензорного расширения особенности "центр" и "седло", заданные в локальных канонических координатах (p, q) выражениями (1) и (2), перейдут во особенности, определяемые (3) и (4) соответственно:
(3) H1 = Р12 + q22 , F1 = Р1Р2 + Ч1Ч2 ,
(4) H2 = Р12 - q22 , F2 = Р1Р2 - Ч1Ч2 .
При этом отображения момента HF1) и (H2,F2) заданы в окрестности точки (0, 0, 0, 0) в четырехмерном
симплектическом пространстве {R4, dp1 Л dq1 + dp2 Л dq2 } . Особенности нулевого ранга (3) и (4) - вырожденные и относятся
к типам 14a и 14b соответственно (см. таблицу в конце [8]).
Анализируя отображения момента (3) и (4), мы приходим к следующей теореме.
Теорема 2. Из перестроек A и B при тензорном расширении возникают перестройки T(A), R(A), T(B), R(B) соответственно, которые можно представить так:
T (A): 1Р1 + Ч2 = s,
1 Р1Р2 + Ч1Ч2
R( A): | p2 + ч\ =■
1Р1Р2 + Ч1Ч2:
T (B): 1Р12 + Ч22 = ^
1 Р1Р2- Ч1Ч2
R( B): 1 Р12+Ч22 =■
1Р1Р2- Ч1Ч2:
Литература
1. Берзин Д.В. Особенности "центр" и "седло" в тензорных расширениях некоторых гамильтоновых систем - Международный научно-исследовательский журнал, №2 (9), 2013, с. 4
2. Берзин Д.В. Перестройки "центр" и "седло" в тензорном расширении задачи Эйлера - Международный научноисследовательский журнал, №3 (10), 2013, с. 19
3. Трофимов В.В. Расширения алгебр Ли и гамильтоновы системы - Изв. АН СССР, серия матем., 1983, т.47, № 6, с. 1303-1321
4. Браилов А.В. Инволютивные наборы на алгебрах Ли и расширения кольца скаляров / Вестник МГУ, Сер.1 Математика, механика / 1983, №1, с. 47-51
5. Takiff S.J. Rings of invariant polynomials for a class of Lie algebras. -Trans. Amer. Math. Soc., 1971, V.160, p.249-262
6. Берзин Д.В. Инварианты коприсоединенного представления для алгебр Ли некоторого специального вида - Успехи мат. наук, 1996, т.51, №1, с.141
7. Eliasson L. Normal forms for Hamiltonian systems with Poisson commuting integrals. Elliptic case - Comment.Math.Helvetici, №65, 1990, p.4-35
8. Lerman L.M., Umanskii Ya.L. Structure of the Poisson action of R2 on a four-dimensional symplectic manifold - Selecta Mathematica Sovietica, 1987, v.6, №4, p.365-396.
Берзин Д.В.
Кандидат физико-математических наук, доцент Финансового университета при Правительстве Российской Федерации, Москва МАТЕМАТИКА НА АНГЛИЙСКОМ ЯЗЫКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЭКОНОМИСТОВ
Аннотация
Данная статья основана на многолетнем опыте преподавания на английском языке математических дисциплин на Международном финансовом факультете Финансового университета при Правительстве Российской Федерации.
Ключевые слова: преподавание на английском языке, международные образовательные программы, математика для экономистов.
Berzin D.V.
PhD in Physics and Mathematics, associate professor, Financial University under the government of Russian Federation
MATH IN ENGLISH FOR ECONOMICS STUDENTS
Abstract
This article is based on author's experience of teaching mathematics in English at International Finance Faculty of the Financial University under the Government of the Russian Federation.
Keywords: teaching in English, International educational programs, Mathematics for economics students.
Введение
В период усиливающейся глобализации и выхода российских компаний на мировой рынок, когда английский язык получает статус официального языка общения в деловом мире, обучение на английском языке приобретает особую значимость. Экономика и финансовая сфера здесь не является исключением. В связи с этим, в условиях перехода на новые образовательные стандарты, большое значение приобретает подготовка кадров, не только обладающих современными экономическими знаниями, но и способных применять их на практике, в том числе ведя документацию и общение на английском языке. В 2008 году в Финансовой Академии (Финансовом университете) при Правительстве Российской Федерации заработал новый факультет - Международный Финансовый (далее сокращенно МФФ). Одной из главных особенностей факультета является преподавание всех предметов на английском языке. Отметим, что преподавание предметов на МФФ на английском языке имеет ряд неоспоримых преимуществ [118]. Данная работа основана на моем опыте обучения студентов первого курса бакалавриата МФФ дисциплинам "линейная алгебра" и "дискретная математика".
Часть 1. Краткий обзор существующих авторских методик преподавания математики на английском языке
Англоязычная математика имеет существенные отличия от «нашей» математики. Не вдаваясь в детали конкретных программ, отметим одну общую и самую главную особенность. Эта особенность связана с принципиальным различием менталитетов и проявляется в том, что англоязычная математика в гораздо большей степени нацелена на практические приложения. Не зря говорят, что основной целью западного математического образования является «know how», а российского - «know why». Другой
9
