О связи между нарушением квантовомеханической и полевой суперпозиций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Проявление неабелевой геометрической фазы в спектроскопии ЯКР

Поскольку в эксперименте Р. Тико угол в определяется условием cos2(в) = 1/3, то из уравнений (2.19) сразу получаем три резонансные линии на частотах

(14 = (23 = ®0 ,

(о 13 = а>0 — V3® ,

®24 = ®0 .

Такое расщепление и наблюдал Р. Тико.

Список литературы

1. Berry M. // Proc. Roy. Soc. London, Ser. A 392. 1984. Vol. 45.

2. Wilczek F, Zee A. // Phys. Rev. Lett. 1984. Vol. 52. P. 2111.

3. Simon B. // Phys. Rev. Lett. 1983. Vol. 41. P. 2167.

4. Tycko R. Adiabatic Rotational Splittings and Berry's Phase in Nuclear Quadru-pole Resonance// Phys. Rev. Lett. 1987. Vol. 58. № 22. P. 2281.

5. Born M, Fock V. // Ztschr. Phys. 1928. Bd. 51. S. 165.

Об авторах

A. И. Иванов — д-р физ.-мат. наук, проф., РГУ им. И. Канта, physics@dekan. albertina.ru.

B.В. Березюк — ст. преп., БГА РФ, Dzheta@km.ru.

15

УДК 539.12.01

С.Д. Верещагин, А.В. Юров

О СВЯЗИ МЕЖДУ НАРУШЕНИЕМ КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЙ И ПОЛЕВОЙ СУПЕРСИММЕТРИЙ

Показано, что спонтанное нарушение нерелятивистской квантовомеханической суперсимметрии для одномерных систем приводит к «раздвижке по массе» суперпартнеров, описываемых соответствующей полевой моделью.

We show that spontaneous breaking of non-relativistic quantum-mechanical supersimmetry for one dimensional systems lead to «mass separation» for superpartners in corresponding field model.

Введение

Хорошо известно, что нерелятивистская суперсимметричная квантовая механика может быть построена с помощью преобразований Дарбу (ПД). ПД объединяет два гамильтониана ^ и

Н0 = q+q + Е0; Нг = qq + + E0;

Вестник РГУ им. И. Канта. 2006. Вып. 4. Физико-математические науки. С. 15 — 19.

16

ц=-X - (Ьру; ц+ = А- - (Ър)', (*)

ИЛ ИЛ

где р = р(-, Е0) — решение уравнения й0р = Е0р (опорная функция) с фиксированным значением спектрального параметра Е = Е0. Гамильтониан^! Н0 и Н1 сплетаются посредством ц и ц+

цк0 = к1ц; Н0 ц += ц+^.

Преобразование Дарбу отображает ненормируемые функции в нормируемые, из чего прямо следует, что спектры операторов Н0 и Н1 совпадают с точностью до уровня Е0. Уровень Е0 может принадлежать спектру гамильтониана Н0. В этом случае р будет знакоопределенной, лишь если это волновая функция основного состояния Н0. При этом спектр Н1 получается из спектра Н0 вычеркиванием уровня Е0 [1]. Поскольку ПД обратимы, то можно, отталкиваясь от исходной решаемой модели (с гамильтонианом Н0), строить новые гамильтонианы с дополнительными уровнями. Подробный анализ такого преобразования содержится в работе [2]. Наконец, можно обойти условие знакоопределенности опорной функции и удалять уровни целыми группами по специальной схеме, предложенной в [3], причем нижний уровень в серии, составленной из этих групп, может быть возбужденным.

Суперполевой формализм

Все сказанное имеет прямое отношение к одномерной суперсимметричной квантовой механике, основанной на известных перестановочных соотношениях

Ю,И] = [д+ ,Н] = 0; (0,0+} = н, (1)

где 0 = дт+; Q += ц+т-; Н = diag(h0 - Е0, Н1 - Е0), причем т± = (т1 + iст2 )/2, (г12 — матрицы Паули. Отметим, что ц и ц+ — бо-зонные, а т1 и т2 — фермионные операторы уничтожения — рождения. Если дискретные спектры Н0 и Н1 отличаются на один уровень, то уравнение (1) отвечает точной суперсимметрии. Если же уровень Е0 отсутствует в спектрах обоих гамильтонианов, то суперсимметрия нарушена. Легко видеть, что уровень Е0 не может одновременно присутствовать в спектре Н0 и спектре Н1. Это означает, что если нижний уровень в спектре одномерного суперсимметричного гамильтониана равен нулю, то он невырожден.

В работе [4] показано, что d -мерную суперсимметричную квантовую механику можно рассматривать, как (0 +1) -мерную теорию d -компонентного суперполя. Интересно рассмотреть с полевой точки зрения описанную модель с вырожденным нулевым уровнем. Соответствующий лагранжиан имеет вид (см. [4])

1 i_л 11 _

I = -№)2 + - т, дт, --(д а(-))2 --(д, д тХ(-))т1 %, (2)

Связь нарушений квантовомеханической и полевой суперсимметрий

где х = хп(Ь); п = 1...й; — двухкомпонентный спинор;

х(х) = - 1п(р) — суперпотенциал; р — опорная функция; д = у0 д; 70 = а1'; 7-1 = ia2; Т = Т+у0; I = 1, 2 . Скалярные поля х1 — вещественных,

а фермионное поле — майораново: Т = Тс = СТТ , С = ст2. После перехода к гамильтоновскому формализму и канонического квантования получается квантовый суперсимметричный гамильтониан, который в координатном представлении совпадает с нерелятивистским суперсимметричным гамильтонианом.

Возникает интересный вопрос: как нарушение нерелятивистской суперсимметрии скажется на спектре масс полей, входящих в супер- и

мультиплет (2)? Допустим, что суперсимметричный квантовый гамиль- -

тониан Н, построенный с помощью преобразования Дарбу, отвечает точной или нарушенной суперсимметрии. Конкретизируем вопросы:

1) будут ли совпадать массы бозонов и фермионов, если суперсимметрия квантовомеханического гамильтониана точна (т. е. если у него есть уровень Е = 0);

2) будут ли различаться, если такого уровня нет в спектре Н;

3) что будет, если уровень Е = 0 вырожден?

Нарушение квантовомеханической и полевой суперсимметрий

Рассмотрим для начала случай с й = 1 (легко показать, что при й = 1 уровень Е = 0 — всегда невырожден, поэтому вопрос (3) имеет смысл рассматривать только при й > 1). Скалярные гамильтонианы обозначим как и в предыдущем параграфе Н(0) =-д2 + и(х) = q+q + Е0,

Н(1) =-д2 + и(1)(х) = qq+ + Е0, а суперсимметричный Н = йiag(H(0),Н(1)); q =д + д%, х = - 1пр — суперпотенциал, Н(0)р = Е0р . Потенциальную часть лагранжиана (2) обозначим так:

и = ив + Ыг ТТ , (3)

1 1

где ив = -(дх)2; иг = -д2х . (4)

Если суперпотенциал всюду регулярен, то квадраты масс бозона и фермиона определим по формулам

тВ = д2ив, х = 0; тг = иг , х = 0 . (5)

1. Вначале рассмотрим самый простой случай — гармонический осциллятор: и = 4а2х2, Е0 = -2а, р — волновая функция основного состояния: р = ехр(-ах2), р> 0. Уровень Е0 принадлежит спектру Н(0) и

не принадлежит спектру Н(1) . Поэтому нижний уровень в спектре супергамильтониана Е = 0 и мы имеем точную суперсимметрию. Это должно приводить к тому, что тв = тг, однако если подставить

X = ах2 в уравнение (3), то получается

18

И = 2а2-2 + ах¥х¥,

т. е. в 2 раза меньшая масса фермиона, чем должно быть. Чтобы получился правильный ответ, надо совершить преобразование

и тогда тв = тр = а . Это свойство связано с майорановостью спинора Т. Ниже, во всех примерах, подразумевается, что преобразование (6) выполнено.

2. Пусть и = 0, Е0 = к2, р = С08Ь(к-). Теперь Е0 — единственный уровень в спектре Н(1). Суперсимметрия — точная. Подставляя в формулы (4) и (5) находим:

2 2 т 4

тв = тР = к .

Здесь уместно сделать одно замечание: если уровень Е0 — нижний в спектре Н(0), то масса фермиона положительна, если же этот уровень нижний в спектре Н(1), то масса отрицательна. Это очевидно из явного вица ир [см. уравнение (4)]. По этой причине всюду будем сравнивать квадраты масс.

3. Рассмотрим теперь более интересный случай двойного преобразования Дарбу. Пусть и = 0, р = С08Ь(к-), ф = ехр(с-) - 2 ехр(-с-),

Н(0)р = -к2р, Н(0)ф = -с2ф, с > к > 0 .

Число 2 принимает два значения: 2 = 0 или 2 = 1. Осуществляя преобразование Дарбу с функцией р, мы имеем

Н (1)ф(1) =-с2ф(1),

где ф(1) = цф = дф + (д%)ф. Второе преобразование осуществляем с помощью функции ф(1) и получаем супергамильтониан

Н = diag( Н(1), Н(2)).

Если 2 = 1, то в спектре Н(2) появляется уровень Е0 = -с2, которого

нет в спектре Н(1), т. е. суперсимметрия точная. Если же 2 = 0, то суперсимметрия нарушена. Если теперь воспользоваться формулой (5), то получается

2

2 а-, а, 2 а^

тв = 1 2.,„ ; т2 =-

с 4(1 + 2) р с4(1 + 2)4

где а1 = 3(2-1)2 к4 - 4с2(22 - 42 + 1)к2 + 22с4(2- 4); а2 = (2-1)2к4 -42с2(с2 -2к2). Отсюда находим разность квадратов масс:

лт2 т2 т2 2а2(2- 1)2(к - с)2(к + с )2

Дт = тв - тр =--.--.-. (7)

в р с4(1 + 2)4 4 '

Из уравнения (7) следует, что если 2 = 1, то Дт = 0, как и должно быть. Если же 2 = 0, то суперсимметрия нарушена (спектры Н(1) и Н(2)

Связь нарушений квантовомеханической и полевой суперсимметрий

совпадают, поскольку содержат по одному уровню Е0 = -k2) и, как и должно быть, возникает «раздвижка» масс бозона и фермиона.

Заключение

Таким образом, нарушение суперсимметрии у квантового супергамильтониана (т. е. наличие нижнего уровня E > 0) действительно приводит в описанном полевом формализме (2) к раздвижке масс. Это служит указанием на то, что простые модели с нарушенной квантовомеханической суперсимметрией, могут служить удобным средством для реализации нарушенной суперсимметрии в значительно более сложных реалистичных полевых моделях. Естественным обобщением описанной техники является переход к высшим измерениям (и, соответственно, к увеличению числа компонент суперполей, входящих в лагранжиан). Указанный анализ будет рассмотрен в отдельной работе.

Список литературы

Андрианов А.А., Борисов Н.В., Иоффе М.В. // ТМФ. 1984. Т. 61. № 2. С. 183.

Березовой В.П., Пашнев А.И. // ТМФ. 1987. Т. 70. № 1. С. 146.

Адлер В.Э. // Теор. и мат. физ. 1994. Т. 101. № 3. С. 323.

Андрианов А.А., Борисов Н.В., Иоффе М.В., Эйдес М.И. // ТМФ. 1984. Т. 61. №1. С. 17.

Об авторах

А.В. Юров — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта, artyom_yurov@mail.ru.

С.Д. Верещагин — ассист., РГУ им. И. Канта, sergev@nightmail.ru.

19

УДК 524.85

С.Д. Верещагин

О ПРИНЦИПИАЛЬНОЙ НЕОДНОЗНАЧНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ БУДУЩЕГО ВСЕЛЕННОЙ ПО ДАННЫМ НАБЛЮДЕНИЯ ЗА МАСШТАБНЫМ ФАКТОРОМ

Мы показываем, что даже в простейшем случае плоской Вселенной в метрике Фридмана и при наличии точных наблюдений за динамикой масштабного фактора всегда можно построить более общую космологическую модель, которая сколь угодно точно совпадает с современными данными наблюдений, но приводит к принципиально другой будущей эволюции. В частности, по-видимому, не существует астрономических наблюдений, которые могли бы исключить нарушение условия энергодоминантности и появление большого разрыва в будущем.

Вестник РГУ им. И. Канта. 2006. Вып. 4. Физико-математические науки. С. 19 — 23.