О существовании классов весовых функций неограниченной вариации, для которых последовательность собственных функций нелинейной задачи типа Штурма-Лиувилля равномерно ограничена Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.43

О СУЩЕСТВОВАНИИ КЛАССОВ ВЕСОВЫХ ФУНКЦИИ

НЕОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ, ДЛЯ КОТОРЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ ТИПА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ РАВНОМЕРНО ОГРАНИЧЕНА

© 2005 г. Г.А. Айгунов

The subject of the present article is weight functions of unlimited variations, for which succession of proper functions of Sturm-Liuville-type nonlinear problems is uniformly limited.

В работах [1-3] автором были приведены примеры весовых функций неограниченной вариации, для которых совокупность нормированных собственных функций оператора Штурма-Лиувилля в линейном случае равномерно ограничена. Естественно встает вопрос: можно ли перенести эти результаты и на нелинейный случай оператора типа Штурма-Лиувилля?

Автору удалось частично дать положительный ответ на поставленный вопрос в работах [4, 5].

Данная статья посвящена более полному освещению вопроса равномерной ограниченности последовательности собственных функций в случае нелинейной задачи типа Штурма-Лиувилля.

1. Пусть 0<т <М- фиксированные числа. Обозначим через С[р 1 множество всех непрерывных на

сегменте [0,1] функций р(х), удовлетворяющих условию 0 <т < р(х) < М <да.

Пусть р(х) е С[0 ]]. Рассмотрим нелинейную спектральную задачу

- (у '(х))'р = РМОр , (0 < X < 1), у(о) = у(1) = 0,

(1)

1

J p(x)y2 (x)dx = 1, где p > 1 и (z)p = I

такие, что 0 < q < 1 и S =

1 - q.

определим последова-

тельности чисел ми:

{ai Ь {xi } {bi } {xi } и fyi } условия-

(

аг =

S • q

i-1

V

-1/p

- M.

-1/p

X2i = 4S^ q1 ;

x2i-1 = x2i-2S-q'; x = xq

1=1

i-1 2

X2i x 2

1-

i Л

m

x 2i M

V i У

Г Л 1/p

m

1 Mi V

f „ V/p

x2i-1 x

2i-1

bi =-

V Mi V

1-

1/p

m

V Mi v

Рассмотрим функцию

m, если x e U [x2i, x2

i=0

p(x )=

I |p-2

sgn Z = z Z .

В классических работах Штурма, Лиувилля и Стеклова в предположении некоторой гладкости весовой функции р(х) в линейном случае (при p = 2) было доказано, что

sup max yn (x)| < С0 < да, С0 > 0 . (2)

n 0< x<1

В работах [1-3] были указаны некоторые классы весовых функций неограниченной вариации, для которых в линейном случае справедлива оценка (2).

Наша цель - указать при любом p > 1 класс весовых функции неограниченной вариации таких, что для собственных функций спектральной задачи (1), ассоциированных с этим классом весовых функций, имеет место оценка (2).

Возьмем монотонно убывающую последовательность чисел {Mi}, удовлетворяющую условиям

M1 = M, limMt = m, 2 (Mi - m) = да ; числа q и S

'^<X> i=1

1);

Mi , если x e [x2i—1 , x2i ), (i = 1,2,...); a' если x e [x2i-1, x2i—1 ), (i = 1,2,...);

( - x))

если x e x 2i, x-

[x2i, x2i X (i = 1,2,...);

( - Ь))

т, если х = 1. (3)

Непосредственной проверкой можно показать, что р(х), непрерывна, а из условия £ Мг - т) = да

г=1

следует, что она имеет неограниченную вариацию.

Заметим, что р(х) однозначно определяется заданием последовательности {Мг} и числа д. Поэтому можно писать р(х) = р(х, д, {Мг-}).

Справедлива

Теорема 1. Существуют число д и последовательность {Мг-} такие, что для совокупности собственных функций задачи (1), ассоциированных с весовой функцией р(х) р(х, д, {М }), определяемой формулой (3), справедлива оценка (2).

Доказательство теоремы 1 основывается на нескольких леммах

Лемма 1. Существует константа т> 0 такая, что для любого решения у(х) уравнения

m

а

- ± (y'(x)) =А-

'> - Х)(У(Х)) ( < Ь)И еГо двух

последовательных нулей х' и х" имеет место ра-

уИ

венство

■ = т.

ш

Лемма 2. Пусть

р(х) =

a

(b - X0))

a,

(b - х)

a

{(b - X1 )p

х < х.

0>

Ха < X < Xi .

х ^ Xj,

где х0 < хх < Ъ ; у(х) - произвольное решение уравнения (1) (х <Ъ), а х',х" - два каких-либо последо-

вательных нуля

У(х). Тогда 1 <Щ<т.

Лемма 3. Существует натуральное число к0 и константа А такие, что

вещественная

A

т < 1 + -

(я)p '

1/p

b-l-l ,b -

a „m.

если

1/p

на

промежутке

какое-либо решение

уравнения (( (х)) =А ° (у(х))р имеет не ме-

dx р (Ъ - х) р

нее чем к0 нулей.

Лемма 4. Пусть /0 - минимальный из номеров ■ таких, что на интервале ((■, х^) меньше чем к0 нулей собственной функции ук (х) задачи (1). Существует константа С0, не зависящая от к, такая, что на промежутке [хго ,1] не более чем С0 • к0 нулей Ук(х).

Лемма 5. Для любой собственной функции ук (х) задачи (1), ассоциированной с весовой функцией р(х), и любых двух нулей х' и х" существует число А > 0 , не зависящее от к, такое, что

А"1 <Ж< А .

У и

Доказательства лемм 1-5 опускаем, так как они аналогичны доказательству соответствующих лемм в [3].

Приведем пример неограниченной сверху весовой функции, для которой совокупность собственных функций равномерно ограничена.

2. Рассмотрим нелинейную краевую задачу:

-(у'(х))'р =Лх-а(у(х))Р, (0 < х < 1),

у(0) = у(1) = 0, (4)

I х-ау 2 (х)ёх = 1,

.1 p-1

I p-2

где 0 <а< 1, p > 1 и (z)p = |z|; sgnz = |z|' z.

Имеет место

Теорема 2. Краевая задача (4) имеет непрерывные (вместе с первой производной) на [0,1] собственные функции ук (х), к е N ; их совокупность равномерно по к и х ограничена.

Для доказательства существования совокупности {ук (х)} достаточно показать, что решение задачи Коши с условиями у(0) = 0, у'(0)=а существует и единственно.

Действительно, так как при х > 0 х- непрерывная функция, то можно воспользоваться свойствами монотонности нулей [6] и точно таким же образом, как и в указанной работе, показать существование {ук (х)}. Справедлива

Лемма 6. Пусть р(х)>т непрерывна на (0,1] и суммируема на [0,1]. Тогда существует единственное решение задачи Коши -(у'(х))'р =Ар(х)(у(х))р , у(0) = а , у'(0) = Ъ при

любых вещественных а и Ъ .

Доказательство. Как показано в [6], при преобразовании у'(х) = г (х)'(р(х)), у(х) = г (х) ¿"(((х)) уравнение перейдет в систему

1('(х ) = \А<р)Р + Ар(х)\*(<рУ , [г'(х) = г(х)*'((р)(((р))р [1 - Ар(х)].

Так как + ^(р) = 1,

то гр(х) = |у'(х)|р +|у(х)|р .

Поэтому г(0)=(ар + \Ъ\р):/р. Если г(0)^0, то из соотношения у(0) = г(0)(р(0)) определим р(0), а

I p

именно

a = (ay +

^ *(Ф)) =

">"' 4M

a

a\p +

blp )1/p

^(0)=;

(a\P + Ь|Р )1/P

где s 1 (x) - функ-

ция, обратная к s(x) на

np np 2 , 2

2п

p sm-

Если г(0) = 0, то р(0) зададим произвольно. Из второго уравнения системы следует, что

1П(г(х)) = 1ПС + |/((())(((())) [1 - р],

где х0 е

:(0Д].

х0

J s'(p(t (t[p(()]] ,х0

Отсюда г (х) = се0 . Так как

р(/) суммируема, то интеграл конечен.

Следовательно, либо г (х) нигде не обращается в нуль, либо г(х) = 0 (с = 0). Поэтому решение

a

п

г (х) = 0 единственное в случае г(0) = 0. Исходная задача Коши имеет единственное решение у(х) = 0 в случае а = Ь = 0.

Пусть г(0)^ 0. Тогда, функция г(х) будет решением (однозначно по г (0) определенным), если р(/)

- решение первого уравнения - уже найдено. Таким образом, достаточно показать, что первое уравнение

с начальным

условием ф(р) e

np np 2 , 2

„v-a / p„ -а / p

h < czi a0 = ca0 = cz1 F ca

0

(4)

1 p p

c

)1/p

и по-

-а / p

cz i aa о

С-^т 1 L-V 0

этому hj <-3-h0.

Очевидно, что zl(k)>zj(2) для любого k>2, по/ * (2)

имеет

этому имеем h.- <-

h0 = c0 h0 (c0 не зави-

по-

единственное решение.

Переписав первое уравнение в виде

р(х)=^(х0)+ [)) +Яр(()(р(())],

х0

лучим, что из интегрируемости р(х), гладкости и ограниченности ^(р) следует существование и единственность необходимого решения.

Доказаны лемма 6 и существование {ук (х)}, так

как х- суммируемая функция на [0,1]. Покажем теперь ограниченность совокупности функций

{ (х)}.

Обозначим нули ук (х) в порядке убывания через г0,22,... (( = 1, 2к = 0) (рисунок).

сит от к).

Таким образом, если показать, что Н0 (к) равномерно по к ограничена, то теорема будет доказана. В силу того, что ук (х) нормированна, имеем:

\\Ук (х) я ,

xl =-

Jx ayk(x)dx

1/2

0 h0 (k)

0h0 (k)

Jx ay2k (x)x

1/2

Jx ay2k (x)dx 1/2

1/2

Введем

обозначения:

ai

= | y'k (z'

hi = max ]k (x I •

xe[, zi+1 J

Последнее выражение равномерно по к ограничено, так как на сегменте [[2,1] функция х~а непрерывна и имеет ограниченную вариацию, а ук (х) можно рассматривать как решение некоторой задачи Коши.

Таким образом, доказано, что краевая задача (4) имеет непрерывные на [0,1] собственные функции ук (х) , равномерно по всем к и х ограниченные, если а достаточно мало.

Справедлива

Теорема 3. Существует р(х)е Сда^, такая, что

0 <т <р(х)<М (0< х< 1) и -|У„ (х, Р\С

C0 > lim ■

"C[0,1

,i/2 p

> 0, где C0 = const.

Учитывая, что p(x) = x а, имеем оценки

hi <

caг

(% )p

•; 1 <-

a

i+1

( -a\ zi+1

z -a VZ' V

; h0 >

ca0

(k )1/p

a,

Тогда — = 1

a, a

j-1 a1

( -a p ( -a p ( -a^1/p zj-1

4-1

4-2

(.-a\1' p

V^ 0 V

или

-а / p

aj < zj~" ra0; следовательно,

Литература

1. Айгунов Г.А. // Вестн. ДГУ. Естеств. науки. 1997. Вып. 1. С. 140-143.

2. Айгунов Г.А. // Вестн. ДГУ. Естеств. науки. 1997. Вып. 4. С. 138-145.

3. Айгунов Г.А. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1998. № 2. С. 3-12.

4. Айгунов Г.А. // УМН. 2000. Т. 55. № 4. С. 213-214.

5. АйгуновГ.А. // УМН. 2002. Т. 57. № 1. С. 145-146.

6. Elbert A. // Qualitative theory of differential equations. 1981. Vol. 30. P. 153-180.

Дагестанский государственный университет

1 августа 2004 г.

c

c

c

c

<

п^да

«0 a j-1 aj-2

a

0

a

a

a

a

z